河北省邯鄲市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中檢測數(shù)學(xué)試題

2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測試卷高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩點橫坐標(biāo)得直線與軸垂直，從而易得傾斜角．【詳解】由已知直線的斜率不存在，即軸，傾斜角為，故選：C．2.向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式計算即得.【詳解】向量，由，得，即，因此，所以.故選：B3.已知雙曲線：的離心率為，則的值為（）A.3 B. C.12 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的知識求得正確答案.【詳解】雙曲線：，即，所以，所以.故選：D4.已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一個動點，若的面積的最大值為，則（）A.7 B.3 C. D.9【答案】A【解析】【分析】利用點的縱坐標(biāo)表示的面積，再借助范圍求出最大值即可.詳解】依題意，橢圓半焦距，設(shè)點，則，因此的面積，則，即，而，解得，所以.故選：A5.已知兩平行直線與之間的距離為，則（）A. B.23 C.13或23 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式列式計算即得.【詳解】由直線與平行，得，則，直線，于是，解得或，所以或.故選：C6.直線被圓截得的最短弦長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線過圓內(nèi)定點，當(dāng)為弦中點時弦長最短，用勾股定理求弦長．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為4，直線的方程整理為，因此直線過定點，，在圓內(nèi)，當(dāng)為所截弦中點時，弦長最短，此時，，最短弦長為，故選：D．7.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求.【詳解】由題意，以坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建系如圖，設(shè)，因為，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，即.故選：C8.已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，其中為左焦點，是與在第一象限的公共點.線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，利用勾股定理，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義建立方程組，由半焦距表示出即可求出漸近線方程.【詳解】令線段的垂直平分線與的交點為，顯然是的中點，而是的中點，則，而，因此，，則，令與的半焦距為，由，得，于是，解得，則，，所以的漸近線方程為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.圓與圓沒有公共點，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由兩圓位置關(guān)系求得參數(shù)范圍，然后判斷各選項．【詳解】由已知圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為4，兩圓無公共點，則，解得或，或者，解得，綜上或或，ACD滿足，故選：ACD．10.下列說法正確的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.若直線經(jīng)過第一象限、第二象限、第四象限，則C.已知雙曲線左焦點為，是雙曲線上的一點，則PF的最小值是D.已知是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的一點，則的最小值是-2【答案】BC【解析】【分析】舉例說明判斷A；利用直線橫縱截距符號判斷B；利用雙曲線的意義求出最小值判斷C；利用橢圓定義求出最小值判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，直線與直線垂直，A錯誤；對于B，直線的橫縱截距分別為，依題意，，因此，B正確；對于C，雙曲線實半軸長，半焦距，為左焦點，當(dāng)為左頂點時，，C正確；對于D，點在橢圓外，其長半軸長，點，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與橢圓的交點時取等號，D錯誤.故選：BC11.在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點是底面內(nèi)的一點（包括邊界），則下列說法正確的是（）A.存在點，使得的周長為7 B.存在點，使得C. D.若點滿足，則點的軌跡長度為【答案】BCD【解析】【分析】作關(guān)于平面對稱點，，計算可判斷A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量研究垂直、數(shù)量積，求空間軌跡并求得軌跡長度判斷BCD．【詳解】延長到，使得，則關(guān)于平面對稱，，由正方體性質(zhì)知，因此，又，所以，所以的周長不可能為7，A錯；以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，底面內(nèi)一點，設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即，此時為正方形中心．B正確；，，,，，C正確；，，，則．即，所以點軌跡是平面內(nèi)直線在正方形內(nèi)的一條線段，由得，由得，因此此線段的兩端點分別是的中點，由已知，D正確．故選：BCD．【點睛】方法點睛：空間線段和最小值問題，常常利用對稱轉(zhuǎn)化兩點間的距離線段求解，在立體圖形中如果垂直關(guān)系較多（如正方體，長方體等）可以建立空間直角坐標(biāo)系，用向量研究垂直與平行．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量模的運算求得正確答案.【詳解】，所以.故答案為：13.已知圓，點是直線上一點，過點作圓的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，若直線上僅有一點，使得，則的值為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)給定條件，由圓的切線性質(zhì)可得點在的外接圓上，再由唯一性可得，進而列式計算即得.【詳解】圓的圓心，半徑，由，得點在的外接圓上，當(dāng)時，，該圓直徑，由直線上僅有一點，使得，得的外接圓與直線相切，即，于是，解得或，所以的值為或.故答案為：或14.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，直線與交于另外一點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交于另外一點，且，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)Px0,y0，Mx1,y1,則，，根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)公式，可分別求得直線的斜率，又，所以，從而，再根據(jù)點【詳解】設(shè)Px0,y0，M所以，，因為，所以，所以，即.又，所以，即，解得，即橢圓的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知圓過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過圓心的直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）求出線段的中垂線方程，與已知直線方程聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)及半徑即可.（2）按截距為0和不為0分類，并借助直線的截距式方程求解.【小問1詳解】由點，得線段的中點，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，即圓心，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，點，當(dāng)直線過原點時，直線在軸，軸上的截距相等，此時直線的方程為，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，則，解得，方程為，所以直線的方程為或.16.求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知動點到定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，記點的軌跡為曲線．求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)雙曲線的方程為，代入點即可求解；【小問1詳解】依題意，，即，兩邊平方得，整理得.【小問2詳解】設(shè)雙曲線的方程為，將，代入得：，解得，所以雙曲線方程為.17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是等邊三角形，且平面平面，點為棱的中點.（1）求證：；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）取中點，證明，證明平面，由此得，從而再證得平面，最后得證結(jié)論成立；（2）以為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，確定各點坐標(biāo)，分別求出平面與平面的一個法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值．【小問1詳解】如圖，取中點，連接，，因為是中點，所以，是菱形，則，所以，又是等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】，則和都是等邊三角形，連接，則，，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，因此有，，，，，是中點，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，易知平面的一個法向量是，則，取，則，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知雙曲線過點.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的右焦點的直線與交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將分別代入雙曲線C即可求解；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，易證明不滿足題意；當(dāng)直線斜率不存在時，假設(shè)直線方程與雙曲線聯(lián)立得到韋達定理，由題可知，代入并化簡即可求出斜率，進而知道直線方程.【小問1詳解】將分別代入雙曲線C得:,解得,所以.【小問2詳解】,所以雙曲線的右焦點為當(dāng)直線的斜率不存在時,此時,,,以為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點；直線的敘率存在,設(shè)聯(lián)立,消去并整理得,其中,即,,以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,,即，，,整理得,解得，所以即19.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點是上位于第一象限內(nèi)的一點，且的周長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與交于另外一點，直線與交于另外一點.①若，求直線的方程；②記的面積分別為，求的最大值.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式和焦點三角形周長以及關(guān)系得到方程，解出即可；（2）①設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系得到，再代入橢圓方程，并結(jié)合Px0,②設(shè)，求出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立得到點坐標(biāo)，再求出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立得到點坐標(biāo)，根據(jù)寫出面積表達式，最后利用基本不等式即可求出最值.【小問1詳解】由題