2612正弦定理課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

2.6.1.2正弦定理北師大版（2019）必修第二冊(cè)第二章

平面向量及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)理解正弦定理在討論三角形邊角關(guān)系時(shí)的作用02了解正弦定理推導(dǎo)過程，掌握正弦定理.01能應(yīng)用正弦定理解斜三角形03知識(shí)回顧

已知三條邊求任意角（SSS）已知兩邊及其夾角求第三邊（SAS、SSA）余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式.問題：如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？追問1：初中我們得到三角形中等邊對(duì)等角的結(jié)論．實(shí)際上，三角形中還有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系．是否可以先把邊、角關(guān)系量化之后，再對(duì)問題進(jìn)行定量探究？可以描述為：在三角形△ABC中，設(shè)

A的對(duì)邊為

a，B的對(duì)邊為

b，求

A，B，a，b之間的定量關(guān)系.在三角形△ABC中，設(shè)

A的對(duì)邊為

a，B的對(duì)邊為

b，求

A，B，a，b之間的定量關(guān)系.可以先從熟悉的特殊三角形的邊、角關(guān)系分析入手，具體如何研究呢？（1）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，成立，∵A＝B＝C，∴sinA＝sinB＝sinC，又a＝b＝c，∴成立.

（2）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)成立，如圖，C＝90°，

c問題：當(dāng)△ABC是一般的三角形時(shí)，上述等式

還成立嗎？

ACabcBD銳角三角形鈍角三角形DABCabc

問題：你能用其它方式證明關(guān)系式

成立嗎？

向量法1ABCj

ABCj

jj問題：你能用其它方式證明關(guān)系式

成立嗎？

當(dāng)該三角形為銳角三角形時(shí)向量法2

問題：你能用其它方式證明關(guān)系式

成立嗎？

當(dāng)該三角形為鈍角三角形時(shí)向量法2

抽象概括正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.即

正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對(duì)的角的正弦之間的一個(gè)定量關(guān)系.利用正弦定理，不僅可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題，還可以解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形”的問題.例4某地出土一塊古代玉佩如圖，其一角已破損.現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：BC＝2.57cm，CE＝3.57cm，BD＝4.38cm，B＝45°，C＝120°.為了復(fù)原，請(qǐng)計(jì)算原玉佩另兩邊的長(zhǎng).(精確到0.01cm)解：將

BD，CE分別延長(zhǎng)相交于點(diǎn)

A如圖，在△ABC中，BC＝2.57cm，

B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝15°，由正弦定理得(cm)，

因此，原玉佩另兩邊的長(zhǎng)分別約為7.02cm，8.60cm.例5

求證：如圖，以Rt△ABC斜邊

AB為直徑作外接圓，設(shè)這個(gè)外接圓的半徑為

R，則

證明：在Rt△ABC中，C＝90°，

所以

思考：對(duì)于鈍角三角形、銳角三角形，

還成立嗎？

由圖可知：∠B＝∠B'，在Rt△AB'C中

，由右圖同理可得：解：成立，理由如下：例6

臺(tái)風(fēng)中心位于某市正東方向

300km

處，正向西北方向移動(dòng)，速度的大小為

40km/h

，距離臺(tái)風(fēng)中心

250km

范圍內(nèi)將會(huì)受其影響.如果臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不變，那么該市從何時(shí)起要遭受臺(tái)風(fēng)影響？這種影響持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？(精確到0.1h)解：如圖，設(shè)臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)

B向西北方向沿射線

BD移動(dòng)，該市位于點(diǎn)

B正西方向

300km

處的點(diǎn)

A.假設(shè)經(jīng)過t

h，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)C.由正弦定理得在△ABC中，AB＝300km，AC＝250km，BC＝40tkm，B＝45°.

例6

臺(tái)風(fēng)中心位于某市正東方向

300km

處，正向西北方向移動(dòng)，速度的大小為

40km/h

，距離臺(tái)風(fēng)中心

250km

范圍內(nèi)將會(huì)受其影響.如果臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不變，那么該市從何時(shí)起要遭受臺(tái)風(fēng)影響？這種影響持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？(精確到0.1h)

從而(km)，

∴(h).因此約2h

后將要遭受臺(tái)風(fēng)影響，持續(xù)約6.6h.思考：在△ABC中，已知

a，b，A求其他邊和角，它的解有幾種情況？拓展正弦定理的常見變