《平面與平面垂直的性質(zhì)定理》知識(shí)探究

高中數(shù)學(xué)精編資源13/13《平面與平面垂直的性質(zhì)定理》知識(shí)探究探究點(diǎn)1二面角1.二面角與平面幾何中的角的對(duì)比.二面角角圖形定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形從平面內(nèi)一定點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形表示法由“半平面—棱—半平面”構(gòu)成,表示為二面角由“射線—頂點(diǎn)—射線”構(gòu)成,表示為∠AOB理解二面角是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的角是一條射線沿著頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)量2.構(gòu)成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面內(nèi)”“垂直”,即二面角的頂點(diǎn)必須在棱上,角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi),角的兩邊必須都與棱垂直,這三個(gè)條件缺一不可.這些要素決定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面與棱垂直.學(xué)科素養(yǎng):理解二面角的平面角的三個(gè)條件,掌握二面角平面角的作法,并能正確求解二面角,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).典例1-1[分析計(jì)算能力]從空間一點(diǎn)P向二面角的兩個(gè)面,分別作垂線PE,PF,E,F為垂足.若,則該二面角的平面角的大小是()A.B.C.或D.不確定解析:本題為求二面角的平面角,解決本題的關(guān)鍵是分析P點(diǎn)的位置(分在二面角內(nèi)和二面角外,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法),再根據(jù)二面角的平面角的定義去求解計(jì)算,注意二面角平面角的取值范圍為.若點(diǎn)P在二面角內(nèi),則二面角的平面角為;若點(diǎn)P在二面角外,則二面角的平面角為.答案:C典例1-2[推測(cè)解釋能力](河北衡水中學(xué)月考)若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,那么這兩個(gè)二面角()A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.關(guān)系無(wú)法確定解析:本題考查二面角的平面角的定義,解決本題的關(guān)鍵之處在于推理判斷兩個(gè)二面角的位置關(guān)系,如圖所示,設(shè)平面平面BCD,平面平面ABC,當(dāng)平面HDGM繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),平面HDG始終與平面BCD垂直,因?yàn)槎娼堑拇笮〔淮_定,所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定.答案:D探究點(diǎn)2平面與平面垂直的性質(zhì)定理1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)記若面面垂直,則線面垂直作用①證明線面垂直、線線垂直;②構(gòu)造面的垂線【要點(diǎn)辨析】垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行,如圖(1)所示,,,但與相交;如圖(2)所示,,,有.2.平面與平面垂直的其他性質(zhì)和結(jié)論(1)如果兩個(gè)平面垂直,那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).(2)如果兩個(gè)平面垂直,那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面.(3)如果兩個(gè)平面垂直,那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi).(4)如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面,那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面.(5)三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直.學(xué)科素養(yǎng):理解和掌握線面垂直的判定和性質(zhì)是解決直線、平面位置關(guān)系的橋梁,提升了邏輯推理核心素養(yǎng).典例2-1[概括理解能力](北京人大附中高一期末)三棱錐ABC中,側(cè)面底面ABC,,VA=VB,AC=AB,則()A.B.C.D.解析:本題考查直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是對(duì)線線垂直、線面垂直、面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的理解與掌握.因?yàn)?AC=AB,所以為等腰直角三角形,,,過(guò)點(diǎn)A作于D,連接VD,因?yàn)閭?cè)面底面ABC,所以側(cè)面VBC,所以,易得,所以,因?yàn)镈,所以平面VDA,又因?yàn)槠矫鎂DA,所以VA.答案:C典例2-2[推測(cè)解釋能力]若平面平面,平面平面,則()A.B.C.與相交但不垂直D.以上都有可能解析:本題通過(guò)平面