2023-2024學(xué)年廣東省深圳高級(jí)中學(xué)七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末測(cè)試初一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將在答題卡寫上姓名、班級(jí)，準(zhǔn)考證號(hào)用2B鉛筆涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再涂其它答案，不能答在試題卷上．3．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卡收回．一．選擇題：（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)，每小題3分，共計(jì)30分）1.下列各數(shù)為無(wú)理數(shù)是（）A. B.π C.0.618 D.2.二十四節(jié)氣，是歷法中表示自然節(jié)律變化以及確立“十二月建”的特定節(jié)令，蘊(yùn)含著悠久的文化內(nèi)涵和歷史積淀，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作品，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列各組數(shù)分別是三條線段的長(zhǎng)度，其中能圍成直角三角形的是（）A.1，1，2 B.1，2，3 C.3，4，5 D.2，3，44.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.5.下列成語(yǔ)所描述的事件中，屬于必然事件的是（）A水漲船高 B.水中撈月 C.守株待兔 D.拔苗助長(zhǎng)6.如圖，從教學(xué)樓到圖書館總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪，用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋他們的動(dòng)機(jī)是（）A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.兩點(diǎn)之間線段最短C.過(guò)一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線 D.垂線段最短7.如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，其依據(jù)是（）

A.兩直線平行，同位角相等 B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C.同位角相等，兩直線平行 D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等8.如圖，為的平分線，添下列條件后，不能證明的是（）A B. C. D.9.如圖，在長(zhǎng)方形中，在上分別截取，使，分別以E、F為圓心、以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線；又分別以A、C為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線；射線和直線交于點(diǎn)P，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.10.如圖，在中，是的角平分線，點(diǎn)E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為（）

A. B. C. D.二．填空題（共5小題，每小題3分，共計(jì)15分）11.25的算術(shù)平方根是_______.12.已知等腰三角形的周長(zhǎng)為18，底邊長(zhǎng)為5，則腰長(zhǎng)為_(kāi)______．13.如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)時(shí)，_______．14.如圖，是等邊三角形．D，E分別是上點(diǎn)，若．則______．15.如圖中，，平分交于D，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，滿足，若，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____________三．解答題（共7小題，共計(jì)55分）16.計(jì)算：．17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．18.在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球，共15個(gè)．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)．（1）從中任意摸出一個(gè)球，是紅球的概率比是白球的概率______（填“大”或“小”）；（2）從中任意摸出一個(gè)球，是黑球的概率為_(kāi)______；（3）小明從盒子里取出m個(gè)黑球（其他顏色的球數(shù)量沒(méi)有改變），使得從盒子里任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，請(qǐng)求出m的值．19.在一次實(shí)驗(yàn)中，馬達(dá)同學(xué)把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體質(zhì)量的一組對(duì)應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量彈簧長(zhǎng)度（1）如表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并指出誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是因變量．（2）當(dāng)懸掛物體的重量為千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)______；不掛重物時(shí)彈簧長(zhǎng)______；（3）彈簧長(zhǎng)度所掛物體質(zhì)量之間的關(guān)系可以用式子表示為：______；（4）當(dāng)彈簧長(zhǎng)時(shí)，求所掛物體的重量．20.如圖，已知等腰三角形的底邊，是腰上的一點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求的面積．21.定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的，我們稱這兩個(gè)角互為“和諧角”，這個(gè)三角形叫做“和諧三角形”．例如：在中，如果，，那么與互為“和諧角”，為“和諧三角形”．（1）如圖1，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接．①_______（填“”或“不是”）“和諧三角形”；②若，請(qǐng)判斷是否為“和諧三角形”？并說(shuō)明理由．（2）如圖2，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接，若是“和諧三角形”，請(qǐng)直接寫出_______．22.等邊三角形和等腰直角三角形是我們熟悉的特殊三角形．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究得到了以下判定和性質(zhì)：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形；③等腰直角三角形的兩腰相等，兩銳角都是．請(qǐng)應(yīng)用以上知識(shí)解決下列問(wèn)題：己知線段，點(diǎn)C是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)D在右側(cè)，且，連接交于點(diǎn)E．【初步應(yīng)用】（1）如圖1，若，則_______°；【深化應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，作的角平分線交于F，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）若，當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末測(cè)試初一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將在答題卡寫上姓名、班級(jí)，準(zhǔn)考證號(hào)用2B鉛筆涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再涂其它答案，不能答在試題卷上．3．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卡收回．一．選擇題：（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)，每小題3分，共計(jì)30分）1.下列各數(shù)為無(wú)理數(shù)的是（）A. B.π C.0.618 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的識(shí)別．熟練掌握無(wú)理數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，，是無(wú)理數(shù)的是；故選B．2.二十四節(jié)氣，是歷法中表示自然節(jié)律變化以及確立“十二月建”的特定節(jié)令，蘊(yùn)含著悠久的文化內(nèi)涵和歷史積淀，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作品，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3.下列各組數(shù)分別是三條線段的長(zhǎng)度，其中能圍成直角三角形的是（）A.1，1，2 B.1，2，3 C.3，4，5 D.2，3，4【答案】C【解析】【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A、，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法和乘法，積的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法和乘法，積的乘方法則逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．與不是同類項(xiàng)，不能合并，故原計(jì)算不正確，不符合題意；B．，故原計(jì)算不正確，不符合題意；C．，原計(jì)算正確，符合題意；D．，故原計(jì)算不正確，不符合題意；故選C．5.下列成語(yǔ)所描述的事件中，屬于必然事件的是（）A.水漲船高 B.水中撈月 C.守株待兔 D.拔苗助長(zhǎng)【答案】A【解析】【分析】本題考查了事件的分類，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．根據(jù)必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A．水漲船高是必然事件，故符合題意；B．水中撈月是不可能事件，故不符合題意；C．守株待兔是隨機(jī)事件，故不符合題意；D．拔苗助長(zhǎng)是不可能事件，故不符合題意；故選A．6.如圖，從教學(xué)樓到圖書館總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪，用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋他們的動(dòng)機(jī)是（）A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.兩點(diǎn)之間線段最短C.過(guò)一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線 D.垂線段最短【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可得圖書館和教學(xué)樓兩點(diǎn)之間，線段最短，即可求解；【詳解】解：根據(jù)題意，可得圖書館和教學(xué)樓兩點(diǎn)之間，線段最短，即用到的知識(shí)為兩點(diǎn)之間線段最短，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是理解相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．7.如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，其依據(jù)是（）

A.兩直線平行，同位角相等 B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C.同位角相等，兩直線平行 D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)同位角相等、兩直線平行解答即可．【詳解】解：過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．故選C．8.如圖，為的平分線，添下列條件后，不能證明的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了對(duì)全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定方法只有共5種，主要培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力．根據(jù)“”對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)“”對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)“”對(duì)C進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)符合，不能證明．【詳解】解：由，利用可證明，所以A選項(xiàng)不符合題意；由，利用可證明，所以B選項(xiàng)不符合題意；由，利用可證明，所以C選項(xiàng)不符合題意；由，符合，不能證明，所以D選項(xiàng)符合題意．故選D．9.如圖，在長(zhǎng)方形中，在上分別截取，使，分別以E、F為圓心、以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線；又分別以A、C為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線；射線和直線交于點(diǎn)P，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)得，由角平分線的定義得，求出，然后根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．由作圖知，平分，∴．由作圖知，，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，直角三角形兩銳角互余，以及對(duì)等角相等，理解作圖的含義是解答本題的關(guān)鍵．10.如圖，在中，是的角平分線，點(diǎn)E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，可證得，同理，可知，，，進(jìn)而可知，即，在上時(shí)最?。墒堑慕瞧椒志€，可知，由“直角三角形兩銳角互余”可得，則，由此可得結(jié)論．【詳解】解：在上，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，，如圖，則，∵平分，∴，∵，，∴，同理，∴，，，∴，即：，在上時(shí)最?。堑慕瞧椒志€，，∵，，則，．故選C．二．填空題（共5小題，每小題3分，共計(jì)15分）11.25的算術(shù)平方根是_______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果，算術(shù)平方根只有一個(gè)正根．【詳解】解：∵52=25，∴25的算術(shù)平方根是5，故答案：5．【點(diǎn)睛】題目主要考查算術(shù)平方根的求法，熟練掌握算術(shù)平方根的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．12.已知等腰三角形的周長(zhǎng)為18，底邊長(zhǎng)為5，則腰長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】設(shè)腰長(zhǎng)為x，根據(jù)題意，得，解答即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)腰長(zhǎng)x，根據(jù)題意，得，解得．故答案為：．13.如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)時(shí)，_______．【答案】##22度【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等，余角性質(zhì)，解答即可．本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，∵，，∴．∴．故答案為：．14.如圖，是等邊三角形．D，E分別是上的點(diǎn)，若．則______．【答案】【解析】【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形的內(nèi)角和定理可得，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.如圖中，，平分交于D，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，滿足，若，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____________【答案】10【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．過(guò)點(diǎn)D作于H，由可證，可得，，由可證，可得，根據(jù)即可可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于H，如圖所示：∵平分，∴，，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，故答案為：10．三．解答題（共7小題，共計(jì)55分）16.計(jì)算：．【答案】0【解析】【分析】本題考查了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、有理數(shù)乘方的意義，先根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、有理數(shù)乘方的意義計(jì)算，再算加減．【詳解】．．17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，先根據(jù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．18.在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球，共15個(gè)．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)．（1）從中任意摸出一個(gè)球，是紅球的概率比是白球的概率______（填“大”或“小”）；（2）從中任意摸出一個(gè)球，是黑球的概率為_(kāi)______；（3）小明從盒子里取出m個(gè)黑球（其他顏色的球數(shù)量沒(méi)有改變），使得從盒子里任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，請(qǐng)求出m的值．【答案】（1）小（2）（3）【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單事件的概率，清楚所有可能結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生時(shí)的可能結(jié)果數(shù)是解題的關(guān)鍵．注意概率公式的變形運(yùn)用．（1）根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（3）由紅球的概率可求得盒子里的總球數(shù)，用15減去總球數(shù)即可得到要取出黑球的個(gè)數(shù)，即可求得m的值．【小問(wèn)1詳解】解：∵紅球的概率白球的概率∴紅球的概率比是白球的概率小．故答案為：?。弧拘?wèn)2詳解】黑球的概率為．故答案為：；小問(wèn)3詳解】∵任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為∴盒子中球的總量為：（個(gè)），∴可以將盒子中的黑球拿出（個(gè)）．19.在一次實(shí)驗(yàn)中，馬達(dá)同學(xué)把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體質(zhì)量的一組對(duì)應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量彈簧長(zhǎng)度（1）如表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并指出誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是因變量．（2）當(dāng)懸掛物體的重量為千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)______；不掛重物時(shí)彈簧長(zhǎng)______；（3）彈簧長(zhǎng)度所掛物體質(zhì)量之間的關(guān)系可以用式子表示為：______；（4）當(dāng)彈簧長(zhǎng)時(shí)，求所掛物體的重量．【答案】（1）自變量是所掛物體的質(zhì)量，因變量是彈簧長(zhǎng)度（2），（3）（4）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：自變量是所掛物體的質(zhì)量，因變量是彈簧長(zhǎng)度；【小問(wèn)2詳解】解：由表格可知，當(dāng)懸掛物體的重量為千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)，不掛重物時(shí)彈簧長(zhǎng)，【小問(wèn)3詳解】解：由表格可知，與的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)與的關(guān)系為，把，和，分別代入，得，解得：，∴，【小問(wèn)4詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，解得，答：所掛物體的重量為千克．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的有關(guān)概念，函數(shù)的表示方法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，通過(guò)表格求出和的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．20.如圖，已知等腰三角形的底邊，是腰上的一點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理及逆定理，垂線定義，熟練掌握勾股定理及逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理的逆定理證明即可得證；（2）設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，從而利用三角形的面積公式即可得解．【小問(wèn)1詳解】解：，，，，，．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，則，，在中，∵，∴即，，21.定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的，我們稱這兩個(gè)角互為“和諧角”，這個(gè)三角形叫做“和諧三角形”．例如：在中，如果，，那么與互為“和諧角”，為“和諧三角形”．（1）如圖1，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接．①_______（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；②若，請(qǐng)判斷是否為“和諧三角形”？并說(shuō)明理由．（2）如圖2，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接，若是“和諧三角形”，請(qǐng)直接寫出_______．【答案】（1）①；②是“和諧三角形”，理由見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．理解題意，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①由題意知，，則，進(jìn)而可得是“和諧三角形”；②由，可得，則，由，可得是“和諧三角形”；（2）由題意知，，則，，由，，可知當(dāng)是“和諧三角形”，分或兩種情況求解即可．【小問(wèn)1詳解】①解：由題意知，，∵，