2023-2024學年廣東省廣州市白云區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題及答案

試題PAGE1試題2023學年第二學期期末教學質量監(jiān)測高一數(shù)學（試題）本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考生號和座位號填寫在答題卡上，用2B鉛筆將考生號和座位號填涂在答題卡相應位置上.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將試卷和答題卡交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，，則（）A. B.C. D.2.下列的表述中，正確的是（）A.過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面垂直B.過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面平行C.過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線垂直D.過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行3.若兩個非零向量的夾角為，且滿足，則（）A. B. C. D.4.有一組從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，，則（）A.數(shù)據(jù)的標準差不小于數(shù)據(jù)的標準差B.數(shù)據(jù)的中位數(shù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等C.若數(shù)據(jù)的方差為m，則數(shù)據(jù)的方差為D.若數(shù)據(jù)的極差為d，則數(shù)據(jù)的極差為5.為了得到的圖象，只需把圖象上所有的點（）A.先向右平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變B.先向右平移個單位長度，橫坐標伸長為原來2倍，縱坐標保持不變C.先向左平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變D.先向左平移個單位長度，橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變6.已知的外接圓圓心為O，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.7.設，，且，則（）A B. C. D.8.通常以24小時內降水在平地上積水厚度（單位：mm）來判斷降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一個近似圓臺的水桶（如圖，計量單位）連續(xù)接了24小時的雨水，桶中水的高度約為桶高的，則當天的降雨等級是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，有選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則下列說法中正確是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若向量的夾角為鈍角，則m的取值范圍是10.已知復數(shù)，則下列說法中正確是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則11.在正三棱柱中，已知動點P滿足，，且，則下列說法中正確的是（）A.若，則三棱錐的體積是定值B.若，則三棱錐的體積是定值C.若，則三棱錐的體積是三棱柱的體積的D.若，則直線AP與平面所成角的正弦值的最大值是三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)z滿足，則__________．13.某班有男學生20人、女學生30人，為調查學生的課后閱讀情況，現(xiàn)將學生分成男生、女生兩個小組對兩組學生某個月的課后閱讀時長進行統(tǒng)計，情況如下表：課后閱讀時長平均數(shù)（小時）方差男生組251女生組261.1則該班學生這個月的課后閱讀時長平均數(shù)為___________小時，方差為___________．14.己知點在所在平面內，滿足，且，，則邊BC的長為___________．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為2的正方體中，點E，P分別為，的中點．（1）求證：直線平面；（2）求點A到平面的距離．16.一家品牌連鎖公司旗下共有100所加盟店．公司在年底對所有加盟店本年度營銷總額（單位：百萬元）進行統(tǒng)計，制作頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率100.1x0.15200.230y1501550.0550.05合計1001.00（1）請求出頻率分布表中x，y的值，并畫出頻率分布直方圖；（2）請估計這100所加盟店去年銷售總額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)，用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）為了評選本年度優(yōu)秀加盟店，公司將依據(jù)營銷總額制定評選標準，按照“不超過的加盟店獲評優(yōu)秀加盟店稱號”的要求，請根據(jù)頻率分布直方圖，為該公司提出本年度“評選標準”建議．17.已知甲船在A海島正北方向海里的B處，以7海里/小時的速度沿東偏南的方向航行．（1）甲船航行3小時到達C處，求AC；（2）在A海島西偏南方向6海里的E處，乙船因故障等待救援．當甲船到達A海島正東方向的D處時，接收到乙船的求援信號．已知距離A海島3海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？請說明理由．18.在四棱錐中，側面底面，側面為正三角形，底面為矩形，M是PD的中點，且與平面所成角的正弦值為．（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成二面角的正弦值．19.如圖，E為線段AD的中點，C為DA延長線上的一點，以A為圓心，AE長度為半徑作半圓，B為半圓上一點，連接BC，BD．（1）若，以BD為邊作正三角形BFD，求四邊形ABFD面積的最大值；（2）在中，記的對邊分別為a，b，c，且滿足①求證：；②求的最小值．

2023學年第二學期期末教學質量監(jiān)測高一數(shù)學（試題）本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考生號和座位號填寫在答題卡上，用2B鉛筆將考生號和座位號填涂在答題卡相應位置上.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將試卷和答題卡交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量運算法則逐步轉換即可.【詳解】.故選：C2.下列的表述中，正確的是（）A.過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面垂直B.過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面平行C.過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線垂直D.過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行【答案】B【解析】【分析】對于A，根據(jù)過平面外一點有且只有1條直線與平面垂直以及線面垂直定義即可判斷；對于B，由平面概念即可判斷；對于C，由線面垂直定義即可判斷；對于D，“由過直線外一點只能作出一條直線與該直線平行”和“過所作直線的平面有無數(shù)個即可判斷”.【詳解】對于A，因為過平面外一點有且只有1條直線與平面垂直，而過該垂線的面有無數(shù)個，根據(jù)面面垂直的判定定理可知這無數(shù)個面與該平面垂直，故A錯誤；對于B，由平面定義可知過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面平行，故B正確；對于C，由線面垂直定義可知，過直線外一點，有且只有一個平面與該直線垂直，而過垂面內一點在垂面內有無數(shù)條直線與該直線垂直，所以過直線外一點，有無數(shù)條直線與這條直線垂直，故C錯誤；對于D，過直線外一點，只能作出一條直線與該直線平行，而過所作直線的平面有無數(shù)個，所以過直線外一點，有無數(shù)個平面與該直線平行，故D錯誤.故選：B.3.若兩個非零向量的夾角為，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算律和夾角公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選:A.4.有一組從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，，則（）A.數(shù)據(jù)的標準差不小于數(shù)據(jù)的標準差B.數(shù)據(jù)中位數(shù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等C.若數(shù)據(jù)的方差為m，則數(shù)據(jù)的方差為D.若數(shù)據(jù)的極差為d，則數(shù)據(jù)的極差為【答案】B【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意以及標準差的意義即可判斷；對于B，根據(jù)中位數(shù)定義即可判斷；對于C，由方差性質即可判斷；對于D，根據(jù)極差定義直接計算即可得解.【詳解】對于A，因為，所以根據(jù)標準差的意義可知數(shù)據(jù)的標準差小于等于數(shù)據(jù)的標準差，故A錯誤；對于B，根據(jù)中位數(shù)定義可知，數(shù)據(jù)的中位數(shù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)是相同數(shù)據(jù)所得，所以兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，故B正確；對于C，若數(shù)據(jù)的方差為m，則由方差性質得數(shù)據(jù)的方差為，故C錯誤；對于D，由題意數(shù)據(jù)的極差為，所以數(shù)據(jù)的極差為，故D錯誤.故選：B.5.為了得到的圖象，只需把圖象上所有的點（）A.先向右平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變B.先向右平移個單位長度，橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變C.先向左平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變D.先向左平移個單位長度，橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平移變換知識即可判斷.【詳解】根據(jù)平移變換知識先向左平移個單位長度可得，再將所得曲線橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變得.故選：C.6.已知的外接圓圓心為O，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得出為的外接圓的直徑以及，再根據(jù)投影向量的概念直接計算即可得解.【詳解】因為，所以O為BC邊中點，所以為外接圓的直徑，且（為外接圓半徑），又，故，所以，則在上的投影向量為.故選：B.7.設，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系式及兩角和的正弦公式及誘導公式對題中條件進行化簡，即可求得.【詳解】因為，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故選：8.通常以24小時內降水在平地上積水厚度（單位：mm）來判斷降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一個近似圓臺的水桶（如圖，計量單位）連續(xù)接了24小時的雨水，桶中水的高度約為桶高的，則當天的降雨等級是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】計算出水桶桶中水體積，除以水桶上底面面積即可得24小時內降水在平地上積水厚度，即可得解.【詳解】由題桶的下底面面積為，上底面面積又桶中水水面與底面距離為，設水面半徑為，如圖為桶的軸截面圖形，則，則，故由得，故水面半徑為，所以桶中水水面面積為所以連續(xù)24小時的桶中水的體積為，所以24小時內降水在平地上積水厚度為，所以當天的降雨等級是中雨.故選：B.【點睛】思路點睛：先計算出水面半徑，進而得水桶桶中水的體積，再除以水桶上底面面積即可得24小時內降水在平地上積水厚度.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，有選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若向量的夾角為鈍角，則m的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】A選項，計算出，利用模長公式列出方程，求出，A錯誤；B選項，根據(jù)模長公式列出方程，求出答案；C選項，根據(jù)平行關系列出方程，求出；D選項，得到且不反向共線，得到不等式，求出答案.【詳解】A選項，，故，解得，A錯誤；B選項，，即，解得，B正確；C選項，由題意得，解得，C正確；D選項，若向量的夾角為鈍角，則且不反向共線，故且，解得且，D錯誤.故選：BC10.已知復數(shù)，則下列說法中正確的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】對于A，由復數(shù)幾何意義以及向量加法三角形法則結合向量的模的定義即可判斷；對于B、C，舉反例即可判斷；對于D，設，，再根據(jù)共軛復數(shù)定義、復數(shù)的除法以及復數(shù)的模的定義直接計算即可判斷.【詳解】對于A，設復數(shù)、對應的點分別為、，則由復數(shù)幾何意義以及向量加法三角形法則結合向量的模的定義得，故A正確；對于B，當，則，可為任意復數(shù)，即與不一定相等，故B錯誤；對于C，設復數(shù)、，則，故，但不滿足，故C錯誤；對于D，若，設，，故，則，又，故，故D正確.故選：AD.11.在正三棱柱中，已知動點P滿足，，且，則下列說法中正確的是（）A.若，則三棱錐的體積是定值B.若，則三棱錐的體積是定值C.若，則三棱錐的體積是三棱柱的體積的D.若，則直線AP與平面所成角的正弦值的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】對于A，易得點在上，再根據(jù)棱錐的體積公式即可判斷；對于B，易得點在上，再根據(jù)棱錐的體積公式即可判斷；對于C，由題意得點為的中點，再根據(jù)棱錐和棱柱的體積公式即可判斷；對于D，由題意可得點在上，取的中點，連接，證明平面，則即為直線AP與平面所成角的平面角，再解即可判斷.【詳解】對于A，若，則，所以，所以，所以點在上，因為，所以點到平面的距離即為點到平面的距離，為定值，而為定值，所以為定值，故A正確；對于B，若，則，所以，所以，所以點在上，所以點到平面的距離不是定值，因為為定值，所以不是定值，故B錯誤；對于C，若，則點為的中點，故，故C正確；對于D，若，則三點共線，即點在上，取的中點，連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即為直線AP與平面所成角的平面角，設正三棱柱的棱長為，則，而，要使最大，則要最大，則最小，當時，最小，此時，此時，所以，即直線AP與平面所成角的正弦值的最大值是，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)z滿足，則__________．【答案】##【解析】【分析】先求出復數(shù)z，再根據(jù)復數(shù)的模的定義直接計算即可得解.【詳解】由題意，故.故答案為：.13.某班有男學生20人、女學生30人，為調查學生的課后閱讀情況，現(xiàn)將學生分成男生、女生兩個小組對兩組學生某個月的課后閱讀時長進行統(tǒng)計，情況如下表：課后閱讀時長平均數(shù)（小時）方差男生組251女生組261.1則該班學生這個月的課后閱讀時長平均數(shù)為___________小時，方差為___________．【答案】①.25.6②.1.3【解析】【分析】將數(shù)據(jù)代入平均數(shù)公式和分層抽樣方差公式進行運算.【詳解】該班學生這個月的課后閱讀時長平均數(shù)為，方差為.故答案為：25.6；1.314.己知點在所在平面內，滿足，且，，則邊BC的長為___________．【答案】【解析】【分析】取的中點，先證明點為的重心，易得點為的外心，將用表示，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結合求出，再根據(jù)求出，進而可得出答案.【詳解】取的中點，則，因為，所以，所以，又為公共端點，所以三點共線，所以點在邊的中線上，且，同理點在邊的中線上，即點為的重心，故，因為，所以點為的外心，即為為中垂線的交點，故，則，所以，而，所以，即，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結合求出，是解決本題的關鍵.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為2的正方體中，點E，P分別為，的中點．（1）求證：直線平面；（2）求點A到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，進而得即可得證直線平面；（2）由即可求解.【小問1詳解】由正方體性質可知，且，故，又因為點E，P分別為，的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面.【小問2詳解】設點A到平面的距離為，由題，故,又由正方體性質平面，平面，所以，所以，所以，又，故，即點A到平面的距離為.16.一家品牌連鎖公司旗下共有100所加盟店．公司在年底對所有加盟店本年度營銷總額（單位：百萬元）進行統(tǒng)計，制作頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率100.1x0.15200.230y150.1550.055005合計1001.00（1）請求出頻率分布表中x，y的值，并畫出頻率分布直方圖；（2）請估計這100所加盟店去年銷售總額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)，用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）為了評選本年度優(yōu)秀加盟店，公司將依據(jù)營銷總額制定評選標準，按照“不超過的加盟店獲評優(yōu)秀加盟店稱號”的要求，請根據(jù)頻率分布直方圖，為該公司提出本年度“評選標準”建議．【答案】（1），頻率分布直方圖見解析.（2）（3）選取本年度營銷總額大于百萬元的加盟店獲評優(yōu)秀加盟店稱號.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率與頻數(shù)的關系，即可求解，再把頻率除以組距即可畫出頻率分布直方圖.（2）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可求解.（3）根據(jù)百分位數(shù)公式即可求解.【小問1詳解】,頻率分布直方圖如圖所示，【小問2詳解】，故這100所加盟店去年銷售總額的平均數(shù)為18.2.【小問3詳解】第40百分位數(shù)為，故應選取本年度營銷總額大于百萬元的加盟店獲評優(yōu)秀加盟店稱號.17.已知甲船在A海島正北方向海里的B處，以7海里/小時的速度沿東偏南的方向航行．（1）甲船航行3小時到達C處，求AC；（2）在A海島西偏南方向6海里的E處，乙船因故障等待救援．當甲船到達A海島正東方向的D處時，接收到乙船的求援信號．已知距離A海島3海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？請說明理由．【答案】（1）海里；（2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由見解析.【解析】【分析】（1）在中使用余弦定理即可求得答案.（2）先根據(jù)題目所給的條件作圖，在中，由求得長度，在中，先根據(jù)余弦定理求得長度，再利用等面積法求得長度，即可判斷.【小問1詳解】由題意得，海里，海里，，在中，由余弦定理得，所以，(海里).【小問2詳解】甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：如圖所示，延長，過點A向正東方向作交的延長線于點D，連接，過點A作交于點F，中，(海里)，在中，(海里)，，由余弦定理得，所以(海里)，所以，因此甲船能沿方向航行前往救援.18.在四棱錐中，側面底面，側面為正三角形，底面為矩形，M是PD的中點，且與平面所成角的正弦值為．（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成二