新人教版九年級上冊初中數(shù)學(xué)全冊課時練（課后作業(yè)設(shè)計）

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

一、選擇題

1.下列方程，一定是一元二次方程的是（）.

A.cuc2+bx+c=OB.8x+2=10C.（x-2）（x+2）=0D.5*+）=0

2.若關(guān)于x的方程（，+1）9+3mr-8=0是一元二次方程，則m的取值范圍是

（）.

A.任意實數(shù)BMW-1C.m>\D./n>0

3.如果關(guān)于x的方程f+px+l=0的一個實數(shù)根的倒數(shù)恰好是它本身，那么〃的值

是（）.

A.1B.±lC.2D.±2

4.若將關(guān)于y的方程化成一般形式后為，則〃2,〃的值依次為（）.

A.1,0B.0,1C.-1,0D.0,-1

5.己知關(guān)于x的一元二次方程8二0有一個非零根功，貝I」。功的值為（）.

A.1B.-lC.OD.-2

6.用一條長40cm的繩子圍成一個面積為64cn?的長方形.設(shè)長方形的長為xcm,

則可列方程為（）.

A.x（20+x）=64B.x（20-x）=64C.x（40+x）=64D.x（40-x）=64

二、填空題

1.一元二次方程（3x-l）（2x+4）=l的一般形式為.二次項系數(shù)與一

次項系數(shù)的和為.

2.己知x=\是一元二次方程x2+/nr+n=0的一個根，則的值

為.

三、解答題

1.己知tn是關(guān)于x的一元二次方程9-201”+1=0的一個根，試求

〃"2019加+駕也的值.

機+1

2.先化簡，再求值:其中m是方程2--2工一3=0的根.

參考答案

一、1.C2.B3.D4.A5.A6.B

二、1.6^+10^-5=016

2.1

三、1.解：*：m是關(guān)于x的一元二次方程x2-2019工+1=0的一個根,

22

:.W2-2019/W+1=0,:.w-2019m=-l,w+1=2019/M.

.2019〃z

?m2+1

??.32019研袈A-l+l=0.

in2加2（6+1）一〃，

2.解:原式二

+m+l

_m2m3

（W+1）（7M-1）7W4-1

_m2tn+1

（W2+l）（m-1）m3

__1_

m2-m

-m是方程2x2-2x-3=0的根，

?3

2/w2-2m-3=0?in2-m=—.

2

工原式=--=-.

m~-m3

21.2解一元二次方程

一、選擇題（本題包括11小題，每小題只有1個選項符合題意）

1.已知兩圓的圓心距是3,它們的半徑分別是方程/-7X+10=0的兩個根，那

么這兩個圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離

2.如果等腰三角形的兩邊長分別是方程/-10%+21=0的兩根，那么它的周長

為（）

A.10B.13C.17D.21

3.在下列方程中，有實數(shù)根的是（）

A./+如+i=°R.V4x+l=-lC./+2x+3=°D.喜白

4.如果關(guān)于x的一元二次方程/-2x+m-l=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么

機的取值范圍是（）

A.m>2B.m<2C.m>2且mHlD.m<2且mH1

5.一元二次方程/-8x-2=0,配方的結(jié)果是（）

A.（x+4）2=18B.（%+4）2=14C.（x-4）2=18D.（x-4）2=14

6.一元二次方程/—%-1=0的兩個實數(shù)根中較大的根是（）

A.1+V5B.UC.UD.士匹

222

7.若關(guān)于x的方程%2+Vk%-2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.kN—8B.kW—8C.kW0D.kN0

8.若方程%2一2%-1=0的兩根為“x2，則一-的值為（）

A.-1B.1C.-3D.3

9.用配方法解方程2/+6=7%時，配方后所得的方程為（）

2

A.(X+^)=7B.(T)2*c.(%+令2=專D.(X一令2=表

10.方程3/-2=1-4%的兩個根的和為()

11.下列一元二次方程中，兩實根之和為1的是()

A.x2—2%4-1=0B.x2+x-3=0C.2x2—x-1=0D.x2—x—5=

0

二、解答題(本題包括4小題)

12.解下列方程：

(l)x2-8%+1=0(配方法)

(2)3x(%-1)=2-2%.

X+1x+5

13.解方程:

x2-x3x3x-3

14.己知關(guān)于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0

(1)若該方程有實數(shù)根，求。的取值范圍.

(2)若該方程一個根為-1,求方程的另一個根.

15.己知關(guān)于彳的方程/+(2々-1)%+攵2-1=0有兩個實數(shù)根與、x2

(1)求實數(shù)&的取值范圍；

(2)若%1、％2滿足好+后=16+%「％2,求實數(shù)左的值.

參考答案

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】設(shè)方程的兩個根分別為修，X2,所以與+不=7,32=10,則

+x22

\X1-x2\=2)-4X1X2=V7-4x10=3,所以兩圓內(nèi)切，故選A.

2.【答案】C

【解析】解方程/-IO%+21=0得，/=3,X2=7,根據(jù)三角形的兩邊之和大于

第三邊，三角形的三邊不能是3,3,7,所以三邊長是3,7,7,則周長是

3+7+7=17,故選C.

3.【答案】A

【解析】A.7+3X+1=0,A=32-4xlxl=5>0,有實數(shù)根；B.因為

V4x+1>0,所以沒有實數(shù)根；C.x2+2%+3=0,A=22-4xlx3=-8<0,沒

有實數(shù)根；=是增根，沒有實數(shù)根，故選

x-lx-1x=lA.

4.【答案】B

【解析】根據(jù)題意得，△=(一2)2-4x1x(m-1)>0,解得mV2,故選B.

5.【答案】C

【解析】因為析?8x?2=0,所以析?8x+16=18,所以(x-4)2=18.故選C.

6.【答案】B

【解析】用公式法解方程X2-X-1=0,得冗二上且，所以較大的實數(shù)根是

2

片上走.故選B.

2

7.【答案】D

【解析】根據(jù)題意得，△=(a)2-4x1x(-2)20,解得kN-8,但k是二次根式

的被開方數(shù)，所以kN),則kK),故選D.

8.【答案】C

【解析】根據(jù)題意得，/+%2=2，%1%2=-1，所以一-電+%1%2=

—(%1+%2)+x1x2=-2-l=-3f故選C.

9.【答案】D

【解析】移項得2/一7%=-6,二次項系數(shù)化為1得/一六=一3,兩邊都加上

一次項系數(shù)一半的平方得好一梟+(一/=一3+(一；)2,即4_/=1,故

選D.

10.【答案】D

【解析】將原方程整理得，3X2+4X-3=0,所以％1+%2=-%故選D.

11.【答案】D

【解析】A.兩實根之和為2；B.兩實根之和為?1；C.兩實根之和為0.5；D.兩實根

之和為1,故選D.

點睛：本題主要考查了一兀二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對于任何一個有實數(shù)根

的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)的相反數(shù)；兩

根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù).

二、解答題

12.【答案】(1)%=4±(2)%=1或%=一手.

【解析】(1)先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把方程兩邊都加上一次項系數(shù)的

一半的平方，把方程左邊寫完全平方的形式，然后用直接開平方法求解；(2)

把方程右邊的項移到左邊，然后用因式分解法求解.

解：⑴x2-8x=-1,

.?.x2-8%+16=-1+16,即(％-4)2=15,

則％-4=±V15，

/.x=4±反；

(2)???3x(%—1)+2(%—1)=0,

A(%—1)(3%+2)=0,

則％-1=0或3%+2=0,

解得：x=1或％=一(

13.【答案】x=-4

【解析】方程兩邊都乘3x(%-1),將原方程化為一元二次方程，再用因式分解法

求解，注意檢驗.

解：方程兩邊都乘3%。一1),得：3(%+1)-(％-1)=(%+5)%,

2

整理得：x+3%—4=0,解得：與=—4,x2=1.

經(jīng)檢驗：x=-4是原方程的解.

點睛：本題主要考查了可化為一元二次方程的分式方程的解法，基本方法是，將

方程兩邊都乘以分母的最簡公分母，化分式方程為整式方程，求出整式方程的解

后，要代入到最簡公分母中檢驗，若最簡公分母不等于0,則是原分式方程的

解，否則原分式方程無解.

14.【答案】(1)Q>1且QH5(2)方程的另一個根為一

【解析】(1)根據(jù)方程有實數(shù)根可知：方程根的判別式為非負(fù)數(shù)，二次項系數(shù)不為

零，從而得出a的取值范圍；(2)將x=l代入方程求出a的值，然后解出方程的

解.

解：⑴I?方程(a-5)x2?4x?l=0有實數(shù)根,(-4)2-4x(a-5)x(-l)>0,

16+4a-20>0,4a>4,解得:a>l

???a-5#),Aa/5,的范圍是：a21且醉5；

⑵把x=?l代入方程得a=2,所以方程為3/+4x+l=0.

解得，馬=—L曰=-1,所以，另一個根為

33

15.【答案】(l)k(2)實數(shù)攵的值為一2.

【解析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=-4k+5K),解之即

可得出實數(shù)k的取值范圍；

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得Xl+X2=l?2k、X]?X2=?1,將其代入XJ+X2?=(X1+X2)2-

2X1?X2=16+X-X2中,解之即可得出k的值.

解：(1)???關(guān)于X的方程x?+(2k-1)x+k2-1=0有兩個實數(shù)根XI,X2,

/.△=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5>0,

解得：k<p

??.實數(shù)k的取值范圍為必不

4

(2).?,關(guān)于x的方程x?+(2k-1)x+k?-1=0有兩個實數(shù)根X],X2,

/.Xi+X2=l-2k,X|X2=k2-1,

VXI2+X22=(X1+X2)2-2X1X2=16+X|X2,

/.(1-2k)2-2x(k2-1)=16+(k2-1),B|]k2-4k-12=0,

解得：1<=-2或1<=6(不符合題意，舍去)，

???實數(shù)k的值為-2.

點睛：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)

方程的系數(shù)結(jié)合根的哦按別是，找出△=-4k+5N0；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)

合X]2+X22=16+X|X2，找出關(guān)于k的一元二次方程.

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21.3實際問題與一元二次方程

一、選擇題(本題包括小題，每小題3分，共27分。每小題只有1個選項符合

題意)

1.隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展，某購物網(wǎng)站的年銷售額從2015年的200萬元增長到

2017年的392萬元，設(shè)該購物網(wǎng)站銷售額年均增長率為此則下列方程正確的是

()

A.200(1+x)2=392B.200(1一%)2=392

C.200(1+2x)2=392D.200+200(1+x)+200(1+%)2=

392

2.某種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主

干、枝干和小分支的總數(shù)是91.設(shè)每個枝干長出元個小分支，則x滿足的關(guān)系式

為()

A.x+x2=91B.1+/=91

C.1+x+x2=91D.14-x(x-1)=91

3.若關(guān)于x的一元二次方程/+mx+m-4=0有一根為0,則加的值為()

A.4B.-4C.2D.-2

4.如圖，在寬為20米、長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部

分)，余下部分種植草坪，要使草坪的面積為540平方米，則道路的寬為

()

A.5米B.4米C.3米D.2米

5.下列說法：

①若一元二次方程%2+匕％+a=0有一個根是-Q(Q。0),則代數(shù)式a-b的值

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是一1；②若Q+b+c=O,則％=a+b+c是一元二次方程a/+加；+c=0

的一個根；③若b=2a+3c,則一元二次方程a/++。=0有不相等的兩

個實數(shù)根；④當(dāng)相取整數(shù)-1或1時，關(guān)于x的一元二次方程m/-4x+4=0

與/-4mx+4m2-4m-5=0的解都是整數(shù).其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個各隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時

間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個

隊參賽？若設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽，可列出的方程為()

A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.1x(x+1)=28D.1x(x-1)=28

7.某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來100元降到81元.設(shè)平均每次降價

的百分率為X,根據(jù)題意可列方程為()

A.81(1-x)2=100B.100(1+%)2=81

C.81(1+%)2=100D.100(1-%)2=81

8.獨山縣開展關(guān)于精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)扶貧的決策部署以來，某貧困戶2014年人均

純收入為2620元，經(jīng)過幫扶到2016年人均純收入為3850元，設(shè)該貧困戶每年純

收入的平均增長率為％則下面列出的方程中正確的是()

A.2620(1+2%)2=3850B.2620(1+%)=3850

C.2620(1+2%)=3850D.2620(1+%)2=3850

9.某商品原價800元，連續(xù)兩次降價Q%后售價為578元，下列所列方程正確的是

()

A.800(1+a%)2=578B.800(1-a%)2=578

C.800(1-2a%)=578D.800(1-a2%)=578

二、解答題(本題包括5小題，每小題5分，共25分)。

10.一輛汽車，新車購買價20萬元，第一年使用后折舊20%,以后該車的年折舊

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率有所變化，但它在第二、三年的年折舊率相同.己知在第三年年末，這輛車折

舊后價值11.56萬元，求這輛車第二、三年的年折舊率.

11.如圖，為了給小區(qū)居民增加鍛煉場所，物業(yè)擬在一寬為40米、長為60米的矩

形區(qū)域內(nèi)的四周修建寬度相司的鵝卵石小路，陰影部分用作綠化.當(dāng)陰影部分面

積為800平方米時，小路寬x為多少米.

4Qm

I

k----------607n--------->1

12.銷售某種商品，根據(jù)經(jīng)驗，銷售單價不少于30元/件，但不超過50元/件時,

銷售數(shù)量N（件）與商品單價M（元/件）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示中的線段A8.

（1）求），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）如果計劃每天的銷售額為2400元時，那么該商品的單價應(yīng)該定多少元?

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13.某商店在銷售中發(fā)現(xiàn)：“米奇”牌童裝平均每天可售出20件，每件贏利40元.為

了迎“六一”兒童節(jié)，商場決定適當(dāng)?shù)亟祪r，以擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫

存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8

件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多少

元？

14.某花店第一次購進(jìn)甲、乙兩種多肉植物共300株，甲種多肉植物每株的成本4

元，售價為8元；乙種多肉噴物每株成本價為6元，售價為10元

(1)若第一次購進(jìn)多肉植物的總金額為1400元，則購進(jìn)甲種多肉植物多少株？

(2)多肉植物一經(jīng)上市，十分搶手，花店決定第二次購進(jìn)甲乙兩種多肉植物，它

們的進(jìn)價不變.甲種多肉植物的進(jìn)貨量在第一次進(jìn)貨量的基礎(chǔ)上增加了2瓶％,

售價也提高了m%,乙種多肉植物的售價和進(jìn)貨量不變，但是由于乙種多肉植

物的耐熱性不強，導(dǎo)致銷售完之前它的成活率為90%,結(jié)果第二次共獲利2100

元，求相的值.

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參考答案

一、選擇題(本題包括小題，每小題3分，共27分。每小題只有1個選項符合

題意)

1.【答案】A

【解析】設(shè)該購物網(wǎng)站平均每年銷售額增長的百分率為x,根據(jù)從2015年的200

萬元增長到2017年的392萬元，得200(1+x)2=392.故選A.

2.【答案】C

【解析】設(shè)每個枝干長出x個小分支，則主干上長出了x個枝干，根據(jù)主干、枝

干和小分支的總數(shù)是91,即可得:x2+x+l=91.故選C.

3.【答案】A

［解析】把x=0代入x2+mx+m-4=0得m-4=0,解得m=4.故選A.

4.【答案】D

【解析】設(shè)道路的寬為x,根據(jù)題意，得20X+32X-X2=20X32-540,整理得(x-

26)2=576,開方得x-26=24或x-26=-24,解得x=50(舍去)或x=2,所以道路寬

為2米.故選D.

5.【答案】B

【解析】①若一元二次方程x2+bx+a=0有一個根是-a(a翔)，則a?+bx(-a)

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+a=0整理得出：a(a-b+1)=0,則代數(shù)式a-b=l,故此選項正確；②若

a+b+c=0,則x=l是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，故此選項錯誤；③若

b=2a+3c,那么△=b?-4ac=(2a+3c)2-4ac=(2a+2c)2+5c2,當(dāng)a，0,c=-a時，△

>0；當(dāng)存0,c=0時，△>0；當(dāng)時c和時，△>0,???△>(),故此選項正確；

@V關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0則m#),

A>0,mx2-4x+4=0,A=16-16m>0,BPm<l；x2-4mx+4m2-4m-5=0,

△=16m2-16m2+16m+20>0,4m+5>0,m>--；,而m是整數(shù)，所以

44

m=l,m=0(舍去)，m=-l(一個為x2-4x+4=0,另一個為x2+4x+3=0,沖突，故

舍去)，當(dāng)m=l時，mx2-4x+4=0BPx2-4x+4=0,方程的解是XI=X2=2；x2-

4mx+4m2-4m-5=0BPx2-4x-5=0,方程的解是xi=5,X2=-l；當(dāng)m=0時，mx2-

4x+4=0時，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.故m=l,故此選項錯

誤；故正確的有2個，故選B.

6.【答案】D

【解析】每支球隊都需要與其他球隊賽(x-l)場，但2隊之間只有1場比賽，所

以可列方程為：(x-l)=28.故選D.

7.【答案】D

【解析】利用基本數(shù)量關(guān)系：商品原價x(1.平均每次降價的百分率)二現(xiàn)在的價

格，列方程可得：100x(1-x)2=81.故選D.

8.【答案】D

【解析】由題意得2620(1+x)2=3850.故選A.

點睛：平均增長率(降低)百分率是3,增長(降低)一次，一般形式為。(l±x)

二。；增長(降低)兩次，一般形式為。(l±x)2=b；增長(降低)〃次，一般形

式為。(l±x)11二b,。為起始時間的有關(guān)數(shù)量，力為終止時間的有關(guān)數(shù)量.

9.【答案】B

【解析】根據(jù)題意分別表示出兩次降價后的價格可得：800(1-a%)2=578.故選

B.

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【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出降價后價

格是解題關(guān)鍵.

二、解答題(本題包括5小題，每小題5分，共25分)

10.【答案】這輛車第二、三年的年折舊率為15%

【解析】設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x,則第二年這就后的價格為20(1-

20%)(1-x)元，第三年折舊后的而價格為20(1-20%)(l-x)2元，與第三年

折舊后的價格為11.56萬元建立方程求出其解即可.

解：設(shè)這輛車第二、三年的年折IH率為-有題意,得20(1-20%)(1)2=

11.56.

整理得：(1-x)2=0.7225.

解得:不合題意,舍去).

xt=0.15,x2=1,85(

???%=0.15,即％=15%.

答：這輛車第二、三年的年折日率為15%.

【點睛】本題是一道折舊率問題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用，解

答本題時設(shè)出折舊率，表示出第三年的折舊后價格并運用價格為11.56萬元建立

方程是關(guān)鍵.

11.【答案】小路的寬為10米.

【解析】分別表示出陰影部分的矩形的長和寬，然后利用矩形的面積公式列出方

程求解.

解：設(shè)小路的寬為x米，根據(jù)題意得：(40-2x)(6。-2%)=800,

解得：x=10或％=40(舍去)

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答：小路的寬為10米.

12.【答案】（l）y=-4%+220；（2）計劃每天的銷售額為2400元M,該商品的單

價應(yīng)該定40元.

【解析】（1）根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)值可求出一次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該商

品的單價應(yīng)該定x元，利用：每天的銷售額=商品單價x銷售數(shù)量，得到關(guān)于x的

一元二次方程，計算求出x的值即可.

解：（1）設(shè)了關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k。0）.

由題意,得｛濫心

解得真嬴

故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-4%+220；

（2）設(shè)該商品的單價應(yīng)該定x元.

由題意，得%（—4%+220）=2400.

化簡整理，得/一55%+600=0.

解得，x1=40/x2=15-

經(jīng)檢驗，x2=15不合題意，舍去.

答：計劃每天的銷售額為2400元時，該商品的單價應(yīng)該定40元.

【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)和一元二次

方程的關(guān)系，是中考題中常見題型.

13.【答案】每件童裝降價20元

【解析】利用童裝平均每天售出的件數(shù)x每件盈利二每天銷售這種童裝利潤列出方

程解答即可.

解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元，根據(jù)題意列方程得：

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(40-x)(20+2x)=1200

解得即=20,及=10.

???增加盈利，減少庫存，.??x=io(舍去).

答：每件童裝降價20元.

點睛：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問

題的關(guān)鍵.最后要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

14.【答案】(1)甲種多肉植物購進(jìn)200株；(2)m的值為25.

【解析】(1)設(shè)購進(jìn)甲種多肉植物x株，則購進(jìn)乙種多肉植物(300-x)株，根

據(jù)購進(jìn)多肉植物的總金額為1400元列出方程并解答：(2)根據(jù)第一次共獲利

2100元列出方程，求解即可.

解：(1)設(shè)甲種多肉植物購進(jìn)x株，根據(jù)題意得

4x+6(300-x)=1400,

解得x=200.

答：甲種多肉植物購進(jìn)200株；

(2)根據(jù)題意，得

200(l+2m%)[8(1+m%)-41+100x90%xl0-100x6=2100,

解得mi=25,m2=-125(不合題意舍去)，

即m的值為25.

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第二十一章一元二次方程

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、選擇題(本題包括io小題，每小題只有1個選項符合題意)

1.二次函數(shù)y=ax2-2x-3(a<0)的圖象一定不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限.

2.拋物線y=-(x+I)2+3的頂點坐標(biāo)是()

A.(-1,-3)B.(1,-3)C.(一1,3)D.(1,3)

3.己知拋物線y=ax2+3x+(a—2),a是常數(shù)且aV0,下列選項中可能是它大

致圖象的是()

4.下列函數(shù)中，y的值隨著x逐漸增大而減小的是()

29

A.y=2xB.y=x2C.y=--D.y=-(x>0)

5.將拋物線y=(x+27向下平移2個單位后，所得拋物線解析式為()

A.y=x2B.y=X2-2C.y=(x+2)2+2D.y=(x+2)2-2

6.如果拋物線丫=2*2+6*+(:經(jīng)過點(一1,0)和(3,0),那么對稱軸是直線

()

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A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3

7.函數(shù)y=(a-l)xa2+1+x—3是二次函數(shù)時，則a的值是()

A.1B.-1C.±1D.0

8.將拋物線yl=x2-2x-3先向左平移l個單位，再向上平移4個單位后，與拋

物線丫2=ax?+bx+c重合，現(xiàn)有一直線丫3=2x+3與拋物線y?=ax2+bx+c

相交，當(dāng)丫24丫3時，利用圖象寫出此時x的取值范圍是()

A.x<—1B.x>3C.-1<x<3D.x>0

9.將拋物線丫=乂2-4乂-4向左平移3個單位，再向上平移5個單位，得到拋物

線的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=(x4-I)2—13B.y=(x-5)2—3C.y=(x-5)2—13D.y=(x+

l)2-3

10.小明將圖中兩水平線k與k的其中一條當(dāng)成x軸，且向右為正方向；兩鉛垂線

h與L的其中一條當(dāng)成y軸，且向上為正方向，并且在此平面直角坐標(biāo)系上畫出

二次函數(shù)y=-X2-2X+1的圖象，則關(guān)于他選擇x軸與y軸的敘述正確的是

()

A.k為x軸，卜為y軸B.k為x軸，〃為y軸

(2」2為乂軸，13為丫軸D」2為X軸，>為y軸

二、解答題(本題包括4小題)

11.己知：拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過B(3,0)、C(0,3)兩點,，頂點為A.

求：(1)拋物線的表達(dá)式;

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(2)頂點A的坐標(biāo).

12.已知拋物線y=-2x2-4x4-1.

(1)求這個拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

(2)將這個拋物線平移，使頂點移到點P(2,0)的位置，寫出所得新拋物線的表

達(dá)式和平移的過程.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線y=ax?+bx-(經(jīng)過點

A(—l,0)、B(5,0).

(1)求此拋物線頂點C的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)AC交y軸于點D,聯(lián)結(jié)BD、BC,過點C作CH1BD,垂足為點H,

拋物線對稱軸交x軸于G,聯(lián)結(jié)HG,求HG的長.

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14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+4x+c與y軸交于點A(0,5)，

與x軸交于點E,B,點B坐標(biāo)為(5,0).

(1)求二次函數(shù)解析式及頂點坐標(biāo)；

(2)過點A作AC平行于x釉，交拋物線于點C,點P為拋物線上的一點(點P

在AC上方)，作PD平行于y軸交AB于點D,問當(dāng)點P在何位置時，四邊形

APCD的面積最大？并求出最大面積.

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參考答案

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】???二次函數(shù)y二ax2?2x-3(a<0)的對稱軸為直線x==一?=2V

2a2aa

o,???其頂點坐標(biāo)在第二或第三象限.???當(dāng)X=O時，y=3,?,?拋物線一定經(jīng)過第四

象限，?,?此函數(shù)的圖像一定不經(jīng)過第一象限.故選A.

2.【答案】C

【解析】根據(jù)拋物線的頂點式；y=a(x-h)2+k,(a^O),則拋物線的頂點坐標(biāo)

為(h,k)可得：拋物線y二-(x+1)2+3的頂點坐標(biāo)為(-1,3),所以C選項的

結(jié)論正確.故選C.

【點睛】拋物線的頂點式：y=a(x-h)2+k,(a#)),則拋物線的頂點坐標(biāo)為

(h,k).

3.【答案】B

【解析】,??拋物線y=ax2+3x+(a?2),a是常數(shù)且aVO,??.圖象開口向下,a-2<

0,???圖象與y軸交于負(fù)半軸，???aV0,b=3,?,?拋物線對稱軸在y軸右側(cè).故選

B.

4.【答案】D

【解析】A選項：函數(shù)y=2x的圖象是y隨著x增大而增大，故本選項錯誤；B選

項：函數(shù)函數(shù)y=x2的對稱軸為x=0,當(dāng)爛0時y隨著x增大而減小，故本選項錯

誤；C選項：函數(shù)y=—1,當(dāng)xVO或x>0時，y隨著x增大而增大，故本選項

錯誤；D選項：函數(shù)y=：(x>0),當(dāng)x>0時，y隨著x增大而減小，故本選項

錯誤；故選D.

5.【答案】D

【解析】拋物線產(chǎn)(x+2)2的頂點坐標(biāo)為(-2,0),向下平移2個單位后的頂

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點坐標(biāo)是(-2,-2),所以，平移后得到的拋物線解析式為丫=(x+2)2.2.故選

D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)國象與幾何變換，利用頂點的變換確定出函數(shù)解析

式是此類題目常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運用，平移規(guī)律“左加右減，

上加下減

6.【答案】B

【解析】:拋物線y=ax?+bx+c與x軸兩交點的坐標(biāo)為(-1,0)和(3,0),而

拋物線y=ax?+bx+c與x軸兩交點是對稱點，，拋物線的對稱軸為直線x=l.故選

B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)：二次函數(shù)丫=@乂21bxic(a/0)的圖

象為拋物線，當(dāng)a>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線x=V；拋物線與y軸的

交點坐標(biāo)為(0,c)；當(dāng)b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0,拋

物線與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4acV0,拋物線與x軸沒有交點.

7.【答案】B

【解析】依題意，得a2+l=2且a-"0,解得a=l.故選B.

8.【答案】C

【解析】yi=x2-2x-3=(x-1)2-4,則它的頂點坐標(biāo)為(1,-4),所以拋物線

y尸x2?2x-3先向左平移1個單位，再向上平移4個單位后的解圻式為y=x2,解方

程組匕駕3得｛“1J或憂；，所以當(dāng)-1WXW3,故選C

9.【答案】D

【解析】因為y=x2-4x-4=(x-2)2-8,所以拋物線y=x2-4x-4的頂點坐標(biāo)為(2,-

8),把點(2,-8)向左平移3個單位，再向上平移5個單位所得對應(yīng)點的坐標(biāo)

為(-1,-3),所以平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為丫=(x+1)Z3.故選D.

10.【答案】D

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【解析】y=-x2-2x+l=-(x+1)2+2,故拋物線的對稱軸為：直線x=?l,頂點坐標(biāo)

為：(-1,2),則關(guān)于他選擇x軸與y軸的敘述正確的是：k為x軸，14為y

軸.故選D.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象，正確求出二次函數(shù)的對稱軸與頂點坐

標(biāo)是解題關(guān)鍵.

二、解答題

11.【答案】(Dy=-/+2%+3(2)(1,4)

【解析】(1)直接把B(3,0)、C(0,3)代入y=-x2+bx+c得到關(guān)于b、c的

方程組，解方程組求出b、c,可確定拋物線的解析式；(2)把(1)的解析式進(jìn)

行配方可得到頂點式，然后寫出頂點坐標(biāo)即可.

解：(1)把8(3,0)、C(0,3)代入y=_/+b%+c{_9+3)\c=0,

IC—3

解得，二I.

故拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)y=—x2+2%+3=—(x2—2%+1)4-3+1=—(x—l)2+4,

所以頂點A的坐標(biāo)為(1,4).

12.【答案】(1)對稱軸是直線％=-1,頂點坐標(biāo)為(—1,3);(2)平移過程為：向

右平移3個單位，向下平移3個單位

【解析】(1)將拋物線整理成頂點式形式，然后解答即可；(2)根據(jù)向右平移

橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減解答.

解：(l)y——2/—4x+1,=-2(%2+2.x+1)+2+1,=-2(%+1)?+3,

所以，對稱軸是直線％=-1,

頂點坐標(biāo)為(一L3);

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(2)???新頂點P(2,0),

???y——2(%—2產(chǎn)，

v2-(-1)=2+1=3,

0—3=-3?

???平移過程為：向右平移3個單位，向下平移3個單位.

13.【答案】(1)C(2,-3)(2)HG=^V13.

【解析】(1)已知拋物線過A,B兩點，可將A,B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式

中用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.然后可根據(jù)拋物線的解析式得出頂點

C的坐標(biāo).(2)本題介紹三種解法：方法一：分別求直線AC的解析式和BD的

解析式，直線AC：y=-x-l,直線BD：y=1x-l,可得D和P的坐標(biāo)，證明

△BPGs/XCPH和△HPGs/XCPB,列比例式可得HG的長；方法二：如圖2,

過點H作HM1CG于M,先根據(jù)勾股定理的逆定理證明NBCD=90。，利用面積

法求CH的長，再證明AOBDs/XMCH,列比例式可得CM的長，從而可得結(jié)

論；

方法三：直線AC：y=-x-l,求CH和BD的解析式，聯(lián)立方程組可得H的坐標(biāo)，

由勾股定理可得GH的長.

解：(1)把4(一1,0)、8(5,0)代入拋物線解析式，

(a-b=0fa=

得：435?解得：＜3，

l25a+5b-1=0\b=

???拋物線的解析式為：y=i%2-^x-1=i(x-2)2-3,

?,?頂點C(2,-3)

(2)方法一：設(shè)8。與CG相交于點P,

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b

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把4(一1,0)和。(2,-3)代入得：02

解得：｛￡=一;

3=-1

則直線AC：y=—x—lt

.??。(0,-1),

同理可得直線BD：y=1x-l,

3

???P(2，-5)

乙CHP=乙PGB=90°,乙GPB=Z.CPH

:ABPGs^CPH,

CPPH

??~~1

PBPG

：?>HPGs〉CPB,

HG_PGHG_g

?.BC~PB13V2一1V26，

口l3V13

；?HG=------；

13

方法二：如圖2,過點”作HM_LCG于M,

???CD=2VLBC=3V2,BD=V26,

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222

BD=CD+BCf

???乙BCD=90°,

vZ.ABD=乙HCG,

OBDs〉MCH,

1_5_V26630

??-=-=6HM=—/CM=—,

HMCMyp/261313

GM=—,

13

由勾股定理得：GH=y/HM2+GM2

??.GW=—V13,

13

方法三：直線AC：y=-x—1,

???。(0,-1),

直線86y=1x-l,

VCH1BD,

**,^BD'kH=11，

???直線C”：y=-5x4-7,

i_35

聯(lián)立解析式：［y=?T,解得：|"一石$

(y=-5x+7卜=一三

?Y號A。號代

14.【答案】(1)(2,9)(2)P(￡y)

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【解析】(1)用待定系數(shù)法求拋物線解析式，并利用配方法求頂點坐標(biāo)；(2)

先求出直線AB解析式，設(shè)出點P坐標(biāo)(x,-x?+4x+5),建立函數(shù)關(guān)系式SIMI邊形

APCD=-2X2+10X,根據(jù)二次函數(shù)求出極值；可得P的坐標(biāo).

解：(1)把點4(0,5),點B坐標(biāo)為(5,0)代入拋物線y=。/+4%+。中，

得：晨一；?記解得：｛"[1，

(25Q+4X5+C=0tc=5

拋物線的解析式為：y=-/+4%+5=-(工一2)2+9,

???頂點坐標(biāo)為(2,9)；

(2)設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n?

???4(0,5),8(5,0)，

『解得：1=J

15m+n=0l九=5

二直線AB的解析式為：y=-x+5,

設(shè)P(x,-X2+4X+5)，則D(X,一％+5),

.?.PD=(-x2+4x+5)—(-x+5)=-x2+5x,

???點C在拋物線上，且縱坐標(biāo)為5,

5),

:.AC=4,

S四邊形APCD=PD=1x4(一/+5x)=-2x2+10%=-2(%一1)24-y,

???—2V0,???S有最大值，

當(dāng)％=[時，S有最大值為

此時P(1第.

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【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極

值額確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極

值.

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22.2二次函數(shù)與一元二次方程

一、選擇題（本題包括io小題，每小題只有1個選項符合題意）

1.下列命題：①若Q+b+c=0,貝防2-4。。20；②若b>a+c,則一元二次

方程a%2+"+c=o有兩個不相等的實數(shù)根；③若b=2a+3c,則一元二次

方程。/+族+。=0有兩個不相等的實數(shù)根；④若力2一4附>0,則二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的公共點的個數(shù)是2或3.其中正確的是

（）

A.只有①②③B.只有①?④C.只有①④D.只有②③④

2.二次函數(shù)y=ax2+b%的圖象如圖所示，若一元二次方程。產(chǎn)+bx+m=0有

實數(shù)根，則根的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.m<—3D.m>—3

3.已知二次函數(shù)y=ax2+b%+。的圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)），的對應(yīng)值

如下表：

X???-1012???

y???0343???

那么關(guān)于它的圖象，下列判斷正確的是（）

A.開口向上B.與x軸的另一個交點是（3,0）

C.與），軸交于負(fù)半軸D.在直線％=1的左側(cè)部分是下降的

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4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，開口向下的拋物線y=ax2+bx+c的一部分圖象

如圖所示，它與x軸交于4(1,0),與)，軸交于點8(0,3),則。的取值范圍是

()

393

A.a<0B.—3<a<0C.aV—2D.—2<cz<—2

5.二次函數(shù)y=ax2+b%+c（aH0）的圖象如圖所示，那么一元二次方程a-+

bx+c=m（a0/?n為常數(shù)JELmW4）的兩根之和為（）

A.1B.2C.-1D.-2

6.已知二次函數(shù)y=+%一，當(dāng)自變量x取加時對應(yīng)的值大于0,當(dāng)自變量

x分別取771-1、m+1時對應(yīng)的函數(shù)值為yi、y2?則丫1、%必須滿足()

A.yi>0、y2>0B.yiV0、y2VoC.%V0、丫2>0D.yi>0、y2Vo

7.如圖，教師在小黑板上出示一道題，小華答：過點(3,0);小彬答：過點

(4,3);小明答：a=l；小穎答：拋物線被彳軸截得的線段長為2.你認(rèn)為四人

的回答中，正確的有()

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已知拋物線y^-bx-3

與x軸交于（乙試添

加一個條件，使它的對稱

軸為直線"2。

A.1個B.2個C.3