(寒假)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測(cè)12雙曲線方程及其性質(zhì)(教師版)_第1頁
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文檔簡介

資料整理【淘寶店鋪:向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪:向陽百分百】第12課雙曲線方程及其性質(zhì)考點(diǎn)01雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】設(shè)是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn),分別為左右焦點(diǎn),則(

)A.B.C.4D.【答案】A【分析】利用雙曲線的方程的特點(diǎn)和雙曲線的定義即可求解.【詳解】由,得解得.因?yàn)槭请p曲線左支上的動(dòng)點(diǎn),所以.由雙曲線的定義可知.故選:A.【變式1-1】如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是,那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是(

)A.B.C.或D.不確定【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求得答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為,則;則,由雙曲線定義可得,即,所以或,由于,故點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是或,故選:C【變式1-2】已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為(

)A.B.C.D.【答案】A【分析】由雙曲線的定義可知,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,利用待定系數(shù)法求軌跡方程.【詳解】,,又動(dòng)點(diǎn)滿足,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,設(shè)雙曲線方程為,則有,動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選:A.考點(diǎn)02根據(jù)方程表示圓、橢圓、雙曲線求參數(shù)【例2】已知方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線,則m的取值范圍是(

)A.B.C.D.【答案】C【分析】先化為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再建立不等式求解即可.【詳解】方程可化為:,由方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線,得,解得.故選:C.【變式2-1】“”是“表示雙曲線”的(

).A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程表示雙曲線以及充分、必要條件等知識(shí)確定正確答案.【詳解】當(dāng),即或時(shí),表示雙曲線,所以“”是“表示雙曲線”的充分不必要條件.故選:B【變式2-2】(多選)已知方程表示的曲線為C,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是(

)A.當(dāng)時(shí),曲線C是橢圓B.當(dāng)或時(shí),曲線C是雙曲線C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件,利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,則曲線是圓,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)或時(shí),,曲線是雙曲線,B正確;對(duì)于C,若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則,解得,C正確;對(duì)于D,若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,則,解得,D正確.故選:BCD考點(diǎn)03雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題【例3】已知雙曲線的左焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),右焦點(diǎn)為,點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn),且的周長為為線段的中點(diǎn),則(

)A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】根據(jù)右焦點(diǎn)為,得到,進(jìn)而得到,再根據(jù)的周長為得到,然后利用三角形中位線求解.【詳解】解:因?yàn)橛医裹c(diǎn)為,所以,又因?yàn)?,則,又因?yàn)?,則,所以為坐標(biāo)原點(diǎn),且為線段的中點(diǎn),所以,故選:B【變式3-1】設(shè),是雙曲線的左?右焦點(diǎn),過的直線交雙曲線的左支于,兩點(diǎn),若直線為雙曲線的一條漸近線,,則的值為(

)A.11B.12C.14D.16【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得,再由雙曲線的定義可得,得到,再根據(jù)得到答案.【詳解】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,得,由直線為雙曲線的一條漸近線,得,解得,得.由雙曲線的定義可得①,②,①②可得,因?yàn)檫^雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交雙曲線的左支于,兩點(diǎn),所以,得.故選:C.

【變式3-2】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于A,B兩點(diǎn),,且的周長為10,則雙曲線C的焦距為.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義,解得,然后根據(jù)的周長為10,解得各邊長,最后根據(jù)余弦定理求解即可;【詳解】

設(shè),,,根據(jù)雙曲線的定義可知:,可得,有,解得,在和中,由余弦定理有,解得,可得雙曲線的焦距為.故答案為:.考點(diǎn)04雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【例4】已知雙曲線與,下列說法正確的是()A.兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn)B.兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)C.兩個(gè)雙曲線有公共漸近線D.兩個(gè)雙曲線的離心率相等【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得答案.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在x軸上,而雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在y軸上,故A、B錯(cuò)誤;雙曲線的漸近線方程為,雙曲線的漸近線方程為,故C正確;雙曲線的離心率,而雙曲線的離心率,故D錯(cuò)誤.故選:C.【變式4-1】已知離心率為的雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為,M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn),且,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則雙曲線的實(shí)軸長是(

)A.32B.16C.84D.4【答案】B【分析】根據(jù),求出,,再根據(jù)以及求出即可得解.【詳解】由題意知,不妨令點(diǎn)在漸近線上,由題意可知,所以,由,可得,即,又,,所以,所以雙曲線C的實(shí)軸長為16.故選:B.【變式4-2】已知雙曲線的離心率為,虛軸長為4,則的方程為(

)A.B.C.D.【答案】D【分析】曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,再根據(jù)已知列出方程組求出即得解.【詳解】曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,則依題意可得解得.所以的方程為.故選:D.考點(diǎn)05求雙曲線離心率【例5】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于,兩點(diǎn),且,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為(

)A.B.C.D.【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形,然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得,,再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,,如圖所示,

又因?yàn)椋?,所以四邊形為矩形,設(shè),則,由雙曲線的定義可得:,,又因?yàn)闉橹苯侨切危?,即,解得,所以,,又因?yàn)闉橹苯侨切危?,所以,即:,所以,?故選:D.【變式5-1】已知雙曲線(,),直線的斜率為,且過點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在的右支上,且滿足,則的離心率為(

)A.B.2C.D.【答案】D【分析】首先寫出直線點(diǎn)斜式方程并求出點(diǎn),由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可以求出,將其代入雙曲線方程即可求解.【詳解】由題意知直線的方程為,令,得,所以.又因?yàn)?,不妨設(shè),所以有,解得,所以,將其代入雙曲線方程,化簡得,解得或(舍去),所以的離心率.故選:D.【變式5-2】設(shè),是雙曲線C:的左、右焦點(diǎn),過的直線與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M在x軸上,,平分,則C的離心率為(

)A.B.C.D.【答案】C【分析】由題意,結(jié)合雙曲線的定義以及角平分線定理可得,,,,,,在,中,由余弦定理結(jié)合,計(jì)算可得答案.【詳解】

可知,,得,設(shè),則,由雙曲線的定義可知:.因?yàn)槠椒郑?,故,又,即有,,,,,在,中,由余弦定理可得,,,由,可?故選:C.考點(diǎn)06求雙曲線離心率的取值范圍【例6】已知點(diǎn)F是雙曲線()的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(

)A.B.C.D.【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性結(jié)合題意可得為等腰三角形,由此可得,進(jìn)而得到關(guān)于的齊次式,即可求解離心率.【詳解】由題意可知即為等腰三角形,

故是銳角三角形,只需,將代入可得,故在中,,,則,化簡整理,得,∴,∴,又,∴,故選:B.【變式6-1】已知雙曲線的左、右焦-1點(diǎn)分別為,,若在上存在點(diǎn)不是頂點(diǎn),使得,則的離心率的取值范圍為(

)A.B.C.D.【答案】A【分析】由題意判斷P點(diǎn)在雙曲線右支上,推出,可得,從而利用在中求出,再結(jié)合三角形內(nèi)角和推出,繼而推出,由此可得答案.【詳解】設(shè)與y軸交于Q點(diǎn),連接,則,

因?yàn)?,故P點(diǎn)在雙曲線右支上,且,故,而,故,在中,,即,故,由,且三角形內(nèi)角和為,故,則,即,即,所以的離心率的取值范圍為,故選:A【變式6-2】已知雙曲線為左焦點(diǎn),分別為左?左頂點(diǎn),為右支上的點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).若直線與以線段為直徑的圓相交,則的離心率的取值范圍為(

)A.B.C.D.【答案】D【分析】由題意可推出,設(shè),由勾股定理可得,結(jié)合直線與以線段為直徑的圓相交可得,由此結(jié)合的根的分布,列不等式即可求得答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,則,則,

為右支上的點(diǎn),取的中點(diǎn)為B,連接,則,設(shè),則,則,在中,,即,又直線與以線段為直徑的圓相交,故,設(shè),則,則需使,解得,即雙曲線離心率的范圍為,即的離心率的取值范圍為,故選:D考點(diǎn)07雙曲線的漸近線【例7】已知雙曲線C:的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn),則C的方程為(

)A.B.C.D.【答案】D【分析】由題意可得,結(jié)合漸近線方程列式求,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為,由橢圓可得,由題意可得,解得,所以雙曲線C:,即.故選:D.【變式7-1】過雙曲線的左焦點(diǎn)F作C的其中一條漸近線的垂線l,垂足為M,l與C的另一條漸近線交于點(diǎn)N,且,則C的漸近線方程為(

)A.B.C.D.【答案】B【分析】根據(jù)題意及圖形可求出漸進(jìn)線的傾斜角,即可得答案.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為,OM,ON為雙曲線的兩條漸進(jìn)線.由題意可知,,又,則M為FN中點(diǎn),則為等腰三角形,則,又,則.所以雙曲線的漸進(jìn)線方程為:.故選:B

【變式7-2】已知,分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在x軸上,,平分,則雙曲線的漸近線方程為(

)A.B.C.D.【答案】D【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì),結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理、雙曲線的漸近線方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋浴祝O(shè),則,設(shè),則,.因?yàn)槠椒?,由角平分線定理可知,,所以,所以.由雙曲線定義知,即,解得.又由,得,所以,即是等腰三角形.由余弦定理知,即,化簡得,所以,則雙曲線的漸近線方程為.

故選:D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是利用角平分線性質(zhì)和共線向量的性質(zhì).考點(diǎn)08雙曲線的弦長問題【例8】已知雙曲線C:的漸近線方程為,左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn),若的周長為36,則雙曲線C的方程為(

)A.B.C.D.【答案】D【分析】由題意可得,則直線為,代入雙曲線方程中,利用弦長公式求出,再由雙曲線的定義和的周長為36,可求出,從而可求出雙曲線的方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以,則雙曲線方程為,,,所以直線為,設(shè),由,得,則,所以,因?yàn)?,,所以,因?yàn)榈闹荛L為36,所以,所以,得,所以雙曲線方程為,故選:D【變式8-1】設(shè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)到直線的距離的比值為,記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交曲線于兩點(diǎn),求的面積.【答案】(1);(2)【分析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合距離公式列出方程,整理即可得到曲線的方程;(2)聯(lián)立方程組,設(shè),利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合三角形的面積公式,即可求解.【詳解】(1)解:由動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離和到直線:的距離的比值為,可得,整理得,即曲線的方程為.(2)解:聯(lián)立方程組,整理得,設(shè),,可得,,所以,又由點(diǎn)到直線的距離,所以的面積.考點(diǎn)9雙曲線的中點(diǎn)弦問題【例9】已知雙曲線C:,若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為,則這條弦所在直線的斜率為(

)A.B.C.1D.【答案】D【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)該弦為,設(shè),則有,兩式相減,得,因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為,所以,因此由,即這條弦所在直線的斜率為,方程為,代入雙曲線方程中,得,因?yàn)椋栽撓掖嬖?,故選:D【變式9-1】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),且它的一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于、兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求此雙曲線的方程.【答案】【分析】設(shè)雙曲線的方程為,利用點(diǎn)差法求出的關(guān)系,再結(jié)合,求出,即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,由直線與其相交于、兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,得的中點(diǎn)為,則,由且,兩式相減得,則,即,所以,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.考點(diǎn)10直線與雙曲線的綜合問題【例10】已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),直線與相交于.求證:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1);(2)證明見解析【分析】(1)利用可整理得到軌跡方程;(2)設(shè),,表示出直線的方程,聯(lián)立后可整理得到,聯(lián)立與雙曲線方程可得韋達(dá)定理的結(jié)論,利用可整理得到所求定直線.【詳解】(1),,,整理可得:,又,曲線的方程為:.(2)

由題意知:直線斜率不為,則可設(shè),設(shè),則直線,直線,由得:,由得:,則,即,,,,,解得:,即點(diǎn)在定直線上.【變式10-1】如圖,已知點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上,雙曲線的左頂點(diǎn)為,過點(diǎn)且不與軸重合的直線與雙曲線交于,兩點(diǎn),直線,與圓分別交于,兩點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線,的斜率分別為,,求的值;(3)證明:直線過定點(diǎn).【答案】(1);(2);(3)直線過定點(diǎn),證明見解析.【分析】(1)根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解即可;(3)利用聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理求得的坐標(biāo),猜想過定點(diǎn),并用三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系證明求解.【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上,所以,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題可知,直線的斜率不等于零,故可設(shè)直線的方程為,設(shè),聯(lián)立,整理得,若,即,直線的斜率為,與漸近線平行,此時(shí)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn),不滿足題意,所以,所以,,因?yàn)?所以,所以.(3)(i)當(dāng)軸時(shí),且,所以,則,聯(lián)立,整理得,即,解得或,當(dāng)時(shí),,所以,由于對(duì)稱性,,此時(shí)直線過定點(diǎn);(ii)當(dāng)不垂直于軸時(shí),以下證明直線仍過定點(diǎn)設(shè)為,因?yàn)椋月?lián)立,即,所以,解得或,當(dāng)時(shí),,所以,同理,將上述過程中替換為可得,所以,,因?yàn)椋?,所以,所以三點(diǎn)共線,即此時(shí)直線恒過定點(diǎn),綜上直線過定點(diǎn).雙曲線方程及其性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.已知雙曲線與雙曲線,則兩雙曲線的(

)A.實(shí)軸長相等 B.虛軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【分析】通過的范圍,結(jié)合曲線,求解焦距,實(shí)半軸長,虛半軸長,判斷選項(xiàng)即可.【詳解】的實(shí)半軸的長為5,虛半軸的長為3,實(shí)數(shù)滿足,曲線是雙曲線,實(shí)半軸的長為,虛半軸的長為,顯然兩條曲線的實(shí)軸的長與虛軸的長不相等,所以A、B均不正確;焦距為:,焦距相等,所以D正確;離心率為:和,不相等,所以C不正確.故選:D.2.(多選)若方程所表示的曲線為,則下面四個(gè)說法中正確的是(

)A.若,則為橢圓B.若為橢圓,且焦點(diǎn)在軸上,則C.曲線可能是圓D.若為雙曲線,則【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓,圓,雙曲線方程的特征,列不等式求解,即可判斷選項(xiàng).【詳解】方程所表示的曲線為.A.當(dāng),取時(shí),方程為,表示圓,錯(cuò)誤;B.若為橢圓,且焦點(diǎn)在y軸上,則,即,所以B正確;C.時(shí),方程為,表示圓,所以C正確;.若為雙曲線,可得,解得或,所以D錯(cuò)誤.故選:BC3.雙曲線C:的右頂點(diǎn)為,點(diǎn)均在C上,且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AM,AN的斜率之積為,則的離心率為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列方程,化簡求得,進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意,設(shè),則,且,而,,,所以.故選:A4.已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)P滿足,當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時(shí),額點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.【答案】【分析】首先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,再求點(diǎn)的坐標(biāo),即可求的值.【詳解】由題意可知,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,其中,,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是

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