《工程力學(xué)》課件第10章

項目十輪軸類零件的強度設(shè)計10.1任務(wù)引入

10.2解決任務(wù)的方法

10.3相關(guān)知識點介紹

10.4知識拓展——減速器中輸出軸直徑的設(shè)計

【教學(xué)提示】本項目介紹空間力系平衡問題的平面解法和彎扭組合變形桿件的強度計算。在教學(xué)中可結(jié)合實例讓學(xué)生掌握常見輪軸類零件強度設(shè)計方法和思路。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握桿件彎扭組合變形強度計算的全過程，初步學(xué)會編寫計算說明書。

軸類零件的主要作用是支承軸上所安裝的旋轉(zhuǎn)零件，例如帶輪、齒輪、聯(lián)軸器和離合器等，如圖10-1所示的齒輪傳動軸和圖10-2所示的帶輪傳動軸。那么工程上是怎樣設(shè)計軸類零件的呢？10.1任務(wù)引入

圖10-1齒輪傳動軸

圖10-2帶輪傳動軸

這里通過觀察上述兩圖的軸類零件的受力發(fā)現(xiàn)：它們所受力的作用線并不在同一平面內(nèi)，這樣的一群力所構(gòu)成的力系稱為空間力系。對于空間力系的外力，采用平面解析法將空間力系轉(zhuǎn)化為平面力系，利用前面所學(xué)知識去求解。對于彎扭組合變形的強度計算，仍采用疊加法。10.2解決任務(wù)的方法

模塊一空間力系平衡問題的平面解法

當(dāng)空間任意力系平衡時，它在任意平面上的投影組成的平面任意力系也是平衡的。據(jù)此，在工程實際中計算輪軸類零件的平衡問題時，將零件上受到的所有力(主動力、約束反力)分別投影到相互垂直的3個坐標(biāo)平面上，得到3個平面平衡力系，分別列出它們的平衡方程，解出未知量。這種將空間任意力系的平衡問題轉(zhuǎn)化為3個坐標(biāo)平面內(nèi)的平面力系的平衡問題的方法，稱為空間平衡問題的平面解法。這種方法的優(yōu)點是圖形簡明，幾何關(guān)系清楚，因此在工程中常常采用。10.3相關(guān)知識點介紹

下面通過圖10-3來說明這種方法的應(yīng)用。

如圖10-3(a)所示裝有帶輪和齒輪的軸AB，以軸AB為研究對象畫出空間受力圖10-3(b)，將空間力系分別向3個坐標(biāo)平面投影，得到圖10-3(c)、(d)、(e)所示的平面力系，列平衡方程。

(1)Ayz(見圖10-3(c))：

∑Fz＝FAz＋FBz－Fr－(F1＋F2)＝0

∑MA(F)＝－Fr·a＋FBz·2a－(F2＋F1)·(2a＋b)＝0

(2)Axy(見圖10-3(d))：

∑Fx＝FAx＋FBx＋Ft＝0

∑MA(F)＝－Ft·a－FBx·2a＝0

(3)Axz(見圖10-3(e))：

根據(jù)相應(yīng)方程可以求解未知量。

圖10-3空間力系在坐標(biāo)平面上的投影模塊二彎扭組合變形的強度計算

彎扭組合變形與前面討論過的幾類組合變形有所不同。在拉(壓)和彎曲組合時，桿件危險截面上的危險點往往處于單向應(yīng)力狀態(tài)，因而，在進(jìn)行強度計算時，只需先求出桿件中出現(xiàn)的最大拉應(yīng)力或最大壓應(yīng)力，然后再將與材料的允許應(yīng)力進(jìn)行比較即可。而在彎扭組合變形時，桿件中的危險點則是處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，因此在進(jìn)行強度計算時，需要首先對危險截面上危險點處的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，再運用有關(guān)的強度理論建立強度條件。

(一)內(nèi)力分析

在圖10-4(a)中，外力P作用線與軸線是交叉位置關(guān)系。根據(jù)力的平移定理，將P向A點平移，得到圖10-4(b)。轉(zhuǎn)矩TA使桿件受扭，各截面上的扭矩為常量，桿件的扭矩圖如圖10-4(d)所示；外力P使桿件發(fā)生平面彎曲，彎矩圖如圖10-4(c)所示；由于剪力FQ的影響一般都比較小，可不予考慮。由扭矩圖和彎矩圖可知，右側(cè)的固定端截面為危險截面。

圖10-4圓軸的彎扭組合變形的應(yīng)力分析

(二)強度分析

現(xiàn)在分析圖10-4危險截面上危險點的位置以及危險點的應(yīng)力狀態(tài)。

在右側(cè)固定端截面上，由扭矩引起的剪應(yīng)力為

截面上剪應(yīng)力

的分布規(guī)律如圖10-4(e)所示。最大剪應(yīng)力

max發(fā)生在截面周邊各點處，方向與周邊相切，其值為

在右側(cè)固定端截面上，由彎矩引起的正應(yīng)力為

正應(yīng)力

沿截面高度的分布規(guī)律如圖10-4(e)所示。最大的拉、壓應(yīng)力發(fā)生在截面的上、下邊緣處，其值為

由危險截面上

和

的分布規(guī)律可知，在截面上、下邊緣的a、b兩點處，剪應(yīng)力和正應(yīng)力都達(dá)到最大值，因此a、b兩點為危險點(兩點的危險程度相同)。從a點處截取出一微元體，其上的應(yīng)力情況如圖10-4(f)所示?？芍猘點存在兩個主應(yīng)力，為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在進(jìn)行強度計算時，必須應(yīng)用強度理論。

第三強度理論的強度條件是

(10-1)

第四強度理論的強度條件是

(10-2)

對于圓形截面,有

將上面關(guān)系代入式(10-1)和式(10-2)中，得

(10-3)

(10-4)

式(10-1)與式(10-2)或式(10-3)與式(10-4)就是處在彎扭組合變形情況下的桿件分別按第三、第四強度理論建立的強度條件。

在式(10-3)和式(10-4)中，M是危險截面上的彎矩，T是危險截面上的扭矩。應(yīng)注意：式(10-3)和式(10-4)是對圓截面導(dǎo)出的，所以只適用于圓截面桿的彎扭組合變形的強度計算。

例10-1

圖10-2所示傳動軸AB由電動機帶動。已知電機通過聯(lián)軸器作用在截面A上的扭力偶矩為M1＝1kN·m，膠帶緊邊與松邊的張力分別為FT1與F'T2，且FT1＝2FN，軸承C與B之間的距離l＝200mm，膠帶輪的直徑D＝300mm，軸用鋼制成，許用應(yīng)力［

］＝160MPa。試按第四強度理論確定軸AB的直徑。

解

(1)外力分析。將膠帶張力FT1與FT2向軸AB的軸線簡化，得到作用在點E的橫向力F與力偶矩M2(見圖10-5(a))，其值分別為

F＝FT1＋FT2＝2FT2＋FT2＝3FT2

圖10-5傳動軸AB平面計算簡圖

如上所述，作用在截面A上的扭力偶矩為M1，所以，由平衡方程

得

(2)內(nèi)力分析。繪制傳動軸的彎矩圖和扭矩圖，分別如圖10-5(b)、(c)所示。橫截面E左側(cè)為危險截面，該截面的彎矩與扭矩分別為

T＝M1＝1×103N·m

(3)設(shè)計軸徑。按第四強度理論，由式(10-4)

得軸AB的直徑為

取軸的直徑為d＝44mm。

例10-2

如圖10-6(a)所示傳動軸，已知：F1＝5kN，F(xiàn)2＝2kN，a＝200mm，b＝60mm，d0＝100mm，D＝160mm，［

］＝80MPa。按第三強度理論設(shè)計軸的直徑。

解

(1)外力簡化。畫出軸的受力簡圖如圖10-6(b)所示。

(2)空間力系平面解析法。

xy平面如圖10-6(c)所示，畫出彎矩圖如圖10-6(d)所示。 求得

MCz＝35N·m

MBz＝420N·m

圖10-6傳動軸AB平面計算簡圖

xz平面如圖10-6(e)所示，畫出彎矩圖如圖10-6(f)所示。 求得

MCy＝480N·m

(3)扭矩圖如圖10-6(h)所示。求得

T＝240N·m

(4)危險點為C點，求得

TC＝T＝240N·m

(5)設(shè)計軸徑。 由第三強度理論得

取d＝42mm。

必須指出，上述軸的計算是按靜載荷情況來考慮的。這樣處理在軸的初步設(shè)計或估算時是經(jīng)常采用的。實際上，由于軸的轉(zhuǎn)動，軸是在交變應(yīng)力下工作的，因此有時還須進(jìn)一步校核交變應(yīng)力作用下的疲勞強度。

組合變形分析步驟的小結(jié)如下：

(1)載荷的簡化和分解，把物件上的外力轉(zhuǎn)化成幾組靜力等效載荷，其中每一組載荷對應(yīng)著一種基本變形。

(2)分別計算每一基本變形各自引起的內(nèi)力、應(yīng)力應(yīng)變和位移，然后將所得結(jié)果疊加。

(3)疊加法建立在疊加原理的基礎(chǔ)上，即材料服從胡克定律，在小變形前提下力與變形成線性關(guān)系。

工程上軸類零件的設(shè)計步驟如下：

第一步，按扭矩或按彎扭組合初算某一截面的直徑。

第二步，軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計，考慮軸上零件的安裝位置和工藝要求，確定分成幾個階梯段并確定各段的長度和直徑。

第三步，校核軸的強度。

工程力學(xué)中進(jìn)行的是第一步和第三步的計算，最終確定軸的設(shè)計是否符合要求。10.4知識拓展——減速器中輸出軸直徑的設(shè)計

例10-3

試計算某減速器輸出軸(見圖10-7(a))危險截面的直徑。已知作用在齒輪上的圓周力Ft＝17400N，徑向力Fr＝6410N，軸向力Fa＝2860N，齒輪分度圓直徑d2＝146mm，作用在軸右端帶輪上外力F＝4500N(方向未定)，L＝193mm，K＝206mm。

解

(1)求垂直面的支承反力(見圖10-7(b))。

圖10-7減速器輸出軸平面計算簡圖

(2)求水平面的支承反力(見圖10-7(c))。

(3)求F力在支點產(chǎn)生的反力(見圖10-7(d))。

F2F＝F＋F1F＝4500＋4803＝9303N

外力F的作用方向與帶傳動的布置有關(guān)，在具體布置尚未確定前，可按最不利的情況考慮。

(4)繪垂直面的彎矩圖(見圖10-7(b))。

(5)繪水平面的彎矩圖(見圖10-7(c))。

(6)繪F力產(chǎn)生的彎矩圖(見圖10-7(d))。

M2F＝F·K＝4500×0.206＝927N·m

a—a截面F力產(chǎn)生的彎矩為

(7)求合成彎矩圖(見圖10-7(e))。考慮到最不利的情況，把MaF與

直接相加，得

(8)求軸傳遞的轉(zhuǎn)矩(見圖10-