專題10 用尺規(guī)作三角形 帶解析

2022-2023學年北師大七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題10用尺規(guī)作三角形一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021春?西安期末）已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB．①畫射線OC即為所求；②以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；③分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C，則上面作法的合理順序為（）A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③解：②以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；③分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C，①畫射線OC即為所求，故選：A．2．（2分）（2022春?六盤水期末）如圖，已知∠AOB＝72°，以點O為圓心、任意長為半徑作弧、交OA、OB于點D、E，分別以D、E為圓心、以大于DE長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點C，作射線OC．則∠AOC的度數(shù)是（）A．32° B．34° C．36° D．38°解：由題意知，OC為∠AOB的平分線，∴∠AOC＝∠AOB＝36°．故選：C．3．（2分）（2022?深圳模擬）下列尺規(guī)作圖，能確定AD＝BD的是（）A． B． C． D．解：根據(jù)作圖方法可得B選項中AD＝BD，故選：B．4．（2分）（2021春?織金縣期末）下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角尺放法正確的是（）A． B． C． D．解：過點P畫AB的垂線CD，則P點在CD上，CD⊥AB，所以三角尺放法正確的為．故選：C．5．（2分）（2021?平頂山模擬）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α的度數(shù)為（）A．68° B．56° C．45° D．54°解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．由作法可知，AF是∠DAC的平分線，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故選：B．6．（2分）（2021秋?興隆臺區(qū)校級期末）如圖，點C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排亂的作圖過程：則正確的作圖順序是（）①以C為圓心，OE長為半徑畫，交OB于點M．②作射線CD，則∠BCD＝∠AOB．③以M為圓心，EF長為半徑畫弧，交于點D．④以O為圓心，任意長為半徑畫，分別交OA，OB于點E，F(xiàn)．A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②解：根據(jù)作一個角等于已知角的過程可知：④以O為圓心，任意長為半徑畫，分別交OA，OB于點E，F(xiàn)．①以C為圓心，OE長為半徑畫，交OB于點M．③以M為圓心，EF長為半徑畫弧，交于點D．②作射線CD，則∠BCD＝∠AOB．故選：C．7．（2分）（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，已知點D，E分別在∠CAB的邊AB，AC上，若PA＝12，∠CAB＝60°，由作圖痕跡可得，PE的最小值是（）A．2 B．3 C．6 D．12解：根據(jù)作圖痕跡可知：AP是∠BAC的平分線，∵∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠PAB＝30°，當PE⊥AC時，PE最小，∵PA＝12，∠PAB＝30°，∴P到AC的最小值是：×12＝6．故選：C．8．（2分）（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤的是（）A．DE＝DC B．AE＝AC C．AD＝BD D．∠BDE＝∠BAC解：由作圖可知，AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ACD＝∠AED＝90°，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴DC＝DE，AC＝AE，∵∠B+∠CAB＝∠B+∠EDB＝90°，∴∠CAB＝∠BDE，故選項A，B，D正確．故選：C．9．（2分）（2022?長春模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．用無刻度的直尺和圓規(guī)在AB邊上找一點D，使∠BCD＝∠A，則符合要求的作圖是（）A． B． C． D．解：A．由作圖可知，CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，故本選項不符合題意；B．由作圖可知，CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠BCD，故本選項不符合題意；C．由作圖可知，CD⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ACD，故本選項符合題意；D．由作圖可知，所作圖形是線段AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD，故本選項不符合題意；故選：C．10．（2分）（2021?通遼）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分線，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分線，故不能證明∠BAD＝∠B，綜上所述：A，C，D不符合題意，B符合題意，故選：B．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）11．（2分）（2022春?蓮湖區(qū)期中）如圖，若∠α＝29°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則∠AOB的度數(shù)為58°．解：由作法得∠AOB＝2∠α＝2×29°＝58°．故答案為：58°．12．（2分）（2019春?蘭州期末）如右圖，以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交橫軸于點M，交縱軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P．若點P到橫軸和縱軸的距離分別為2a﹣1、a+2，則a＝3．解：由作法得OP為第二象限的角平分線，所以點P到兩坐標軸的距離相等，所以2a﹣1＝a+2，解得a＝3．故答案為3．13．（2分）（2020?遼寧）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，交AB于點M，交AC于點N．分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內部相交于點G，作射線AG，交BC于點D，點F在AC邊上，AF＝AB，連接DF，則△CDF的周長為12．解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，由作圖方法可得：AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AFD中，∴△ABD≌△AFD（SAS），∴BD＝DF，∴△DFC的周長為：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．故答案為：12．14．（2分）（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理順序是②③①．①作射線OC；②在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD＝OE；③分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧交于C．解：已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB：步驟：a、在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD＝OE；b、分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧交于C．c、作射線OC；故答案為②③①．15．（2分）（2021春?通川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，BC＝9，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AB、AC于點M、N，再分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內部交于點G，作射線AG交BC于點D，點F在AC上且AF＝AB，連接DF，則△CDF的周長為11．解：∵AB＝6，AC＝8，AF＝AB，∴FC＝AC﹣AF＝8﹣6＝2，由作圖方法可得：AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AFD中，∴△ABD≌△AFD（SAS），∴BD＝DF，∴△DFC的周長為：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+2＝11．故答案為：11．16．（2分）（2018春?羅平縣期末）如圖，以A點為圓心，以相同的長為半徑作弧，分別與射線AM，AN交于B，C兩點，連接BC，再分別以B，C為圓心，以相同長（大于BC）為半徑作弧，兩弧相交于點D，連接AD，BD，CD．若∠MBD＝40°，則∠NCD的度數(shù)為40°．解：∵AB＝AC，DB＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠MBD＝∠NCD＝40°，故答案為：40°17．（2分）（2017?河北）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α＝56°．解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故答案為：56．18．（2分）（2020春?海淀區(qū)校級期末）為作∠AOB的平分線OM，小齊利用尺規(guī)作圖，作法如下：①以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于點P、Q；②分別以點P、Q為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點M．則射線OM為∠AOB的平分線．OM為∠AOB的平分線的原理是SSS．解：如圖，連接PM，PQ．∵OP＝OQ，PM＝QM，OM＝OM，∴△POM≌△QOM（SSS），∴∠POM＝∠QOM，即OM是∠AOB的角平分線．故答案為SSS．三．解答題（共11小題，滿分64分）19．（4分）（2022春?神木市期末）已知∠α，線段a，b，求作：△ABC，使∠B＝∠α，AB＝2a，BC＝b．（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法及證明）解：如圖，△ABC為所作．20．（6分）（2022春?華州區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)在AD的右側作∠DCP＝∠DAB（不寫作法，只需保留作圖痕跡）．解：如圖，∠DCP為所作．21．（6分）（2022春?西安期末）如圖，點D在△ABC的邊BC的延長線上，請用尺規(guī)作圖法作∠ACD的平分線CP．（保留作圖痕跡，不寫作法）解：如圖所示，射線CP即為所求．22．（6分）（2022春?介休市期中）作圖題如圖，點C，E均在直線AB上，∠BCD＝45°．（1）在圖中作∠FEB，使∠BEF＝∠DCB（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）請直接寫出直線EF與直線CD的位置關系．解：（1）如圖所示，∠BEF即為所求：（2）當射線EF與射線CD在直線AB的同側時，由∠BEF＝∠BCD知直線EF與直線CD平行；當射線EF與射線CD在直線AB的兩側時，延長DC交EF于點G，∵∠BEF＝∠BCD＝∠ECG＝45°，∴∠EGC＝90°，∴EF⊥CD．23．（6分）（2022春?清鎮(zhèn)市期中）如圖，利用尺規(guī)，在△ABC的邊AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射線AE上截取AD＝BC，連接CD，并證明：∠EDC＝∠DCB．（尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）解：如圖所示．證明：∵∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB．24．（6分）（2022?肅州區(qū)模擬）如圖，已知點D在△ABC的邊AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關系，并寫出證明過程．解：（1）如圖所示，DE即為所求．（2）DE∥AC．理由如下：因為AD＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，因為DE平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．25．（6分）（2022春?夏縣期中）如圖，點A是∠OBC的邊BO上一點，請完成以下問題．（1）以A為頂點，射線AO為一邊在∠OBC的內部用尺規(guī)再作一個角∠OAD，使其等于∠ABC；（2）判斷AD與BC的位置關系，并說出理由．解：（1）如圖，∠OAD即為所求；（2）結論：AD∥BC．理由：∵∠OAD＝∠ABC，∴AD∥BC．26．（6分）（2022春?銅仁市期末）如圖，在同一平面上有A，B，C三個點，按要求作圖：（1）作直線AC，射線BC，連接AB；（2）延長AB到點D，使得BD＝AB；（3）直接寫出∠ABC+∠CBD＝180°．解：（1）如圖，直線AC，射線BC，線段AB即為所求；（2）如圖線段BD即為所求；（3）∠ABC+∠CBD＝180°，故答案為：180°．27．（6分）（2022春?西城區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC．請你按下列步驟畫圖：（用三角板、量角器等工具畫圖，不寫畫法，只保留畫圖痕跡）①畫∠BAC的平分線交線段BC于點D；②過點C畫AB的平行線交射線AD于點E；③過點E作AC的垂線段，垂足是F．解：①如圖，射線AD即為所求；②如圖，直線CE即為所求；③如圖，線段EF即為所求．28．（6分）（2022春?杏花嶺區(qū)校級期中）如圖，OD平分∠AOB，點P為OA上一點．（1）尺規(guī)作圖：以P為頂點，作∠APQ＝∠AOB，交OD于點Q（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若∠AOB＝60°，求∠DQP的度數(shù)．解：（1）如圖所示：∠APQ即為所作的角；