專題12 多項式的因式分解 帶解析

2022-2023學年湘教版七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題12多項式的因式分解閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2023八上·安順期末）下列各式分解因式正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【規(guī)范解答】解：A、∵2a2-8b2＝2（a+2b）（a-2b），

∴A選項錯誤，不符合題意；

B、∵x2-6x+9＝（x-3）2，

∴B選項正確，符合題意；

C、∵2m2-4mn+9n2，不是完全平方公式，

∴C選項錯誤，不符合題意；

D、∵x（x-y）+y（y-x）＝（x-y）2，

∴D選項錯誤，不符合題意.

故答案為：B．【思路點撥】利用提取公因式法和公式法可對A選項作出判斷；利用公式法可對B選項和C選項作出判斷；利用提公因式法可對D選項作出判斷，據(jù)此即可解答.2．（2分）（2022八上·孝昌期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：A、從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．，屬于整式乘法，故本選項不符合題意；C．從左至右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D．等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故答案為：C．

【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義：將和差的形式轉換為乘積的形式求解即可。3．（2分）（2022七上·廬江月考）下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）A．； B．；C．； D．【答案】D【規(guī)范解答】解：A．從左到右不符合因式分解定義，故本選項不符合題意．B．從左到右不符合因式分解定義，故本選項不符合題意．C．從左到右不符合因式分解定義，故本選項不符合題意．D．從左到右符合因式分解定義，故本選項符合題意．故答案為：D．

【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義：將和差的形式轉換為乘積的形式求解即可。4．（2分）（2022八上·太原月考）下列各式從左到右的變形是因式分解，并因式分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：A．，故本選項不符合題意；B．從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C．，故本選項不符合題意；D．，故本選項符合題意；故答案為：D．

【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義：將和差的形式轉換為乘積的形式求解即可。5．（2分）（2022七上·楊浦期中）下列等式中，從左到右的變形是因式分解（）A． B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：A選項等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B選項從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C選項從左至右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D選項等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故答案為：C．【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義：將和差的形式轉換為乘積的形式求解即可。6．（2分）（2022八上·高昌期中）下列屬于因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】B【規(guī)范解答】解：A、結果未化成積的形式，不合題意；B、等式左右相等且結果為積的形式，符合題意；C、計算錯誤，不合題意；D、結果未化成積的形式，不合題意.故答案為：B.【思路點撥】把一個多項式化為幾個整式的乘積形式的恒等變形就是因式分解，據(jù)此一一判斷得出答案.7．（2分）（2022七下·任丘期末）下列各式從左到右變形是因式分解，并分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：A、，從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；B、，從左到右的變形是整式的乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C、，原式從左到右的變形錯誤，故本選項不符合題意；D、兩邊不相等，從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故答案為：A

【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義及分解因式的方法逐項判斷即可。8．（2分）（2022八下·滕州期末）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2C．2a﹣1＝a（2﹣） D．x2+6x+8＝x（x+6）+8【答案】B【規(guī)范解答】解：A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，原變形是整式乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，原變形是因式分解，故此選項符合題意；C.2a﹣1＝a（2﹣），等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；D．x2+6x+8＝x（x+6）+8，等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；故答案為：B．【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義：將和差的形式變成乘積的形式逐項判斷即可。9．（2分）（2022八下·寶安期末）下列各式由左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）B．a（m＋n）＝am＋anC．（a＋b）2＝a2＋b2D．x2﹣16＋6x＝（x＋4）（x﹣4）＋6x【答案】A【規(guī)范解答】解：A、符合因式分解的定義，故本選項符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；C、等號左右兩邊式子不相等，故本選項不符合題意；D、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意．故答案為：A．

【思路點撥】A、符合因式分解的定義；B、單項式乘多項式，不是因式分解；C、完全平方公式錯誤；D、等式右邊不是乘積的形式．10．（2分）（2022七下·平谷期末）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：A、，不是因式分解，故A不符合題意；B、，不是因式分解，故B不符合題意；C、，不是因式分解，故C不符合題意；D、是因式分解，故D符合題意；故答案為：D

【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義可得答案。閱卷人二、填空題(共10題；每空2分，共24分)得分11．（2分）（2019七下·句容期中）若關于x的多項式x2﹣mx+n能因式分解為：（x﹣2）（x+3），則m+n＝【答案】-7【規(guī)范解答】解：∵多項式x2﹣mx+n能因式分解為（x﹣2）（x+3），∴x2﹣mx+n＝x2+x﹣6，∴m＝﹣1，n＝﹣6，∴m+n＝﹣1﹣6＝﹣7．故答案是：﹣7．【思路點撥】化簡因式分解的式子，然后可以求出m和n的值，即可求出m+n的值.12．（4分）若x2﹣ax﹣1可以分解為（x﹣2）（x+b），則a=，b=【答案】1；【規(guī)范解答】解：∵x2﹣ax﹣1=（x﹣2）（x+b）=x2+（b﹣2）x﹣2b，∴﹣2b=﹣1，b﹣2=﹣a，∴b=，a=1．故答案為：1，．【思路點撥】根據(jù)多項式的乘法運算，把（x﹣2）（x+b）展開，再根據(jù)對應項的系數(shù)相等進行求解即可.13．（2分）甲、乙兩個同學分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結果為（x+2）（x+4）；乙看錯了a，分解結果為（x+1）（x+9），則a+b=【答案】15【規(guī)范解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看錯了b，但a是正確的，他分解結果為（x+2）（x+4）=x2+6x+8，∴a=6，同理：乙看錯了a，分解結果為（x+1）（x+9）=x2+10x+9，∴b=9，因此a+b=15．故答案為：15．【思路點撥】由題意分析a，b是相互獨立的，互不影響的，在因式分解中，b決定因式的常數(shù)項，a決定因式含x的一次項系數(shù)；利用多項式相乘的法則展開，再根據(jù)對應項系數(shù)相等即可求出a、b的值.14．（2分）（2018八上·九臺期末）因式分解：=．【答案】y（x-2）（x+2）【規(guī)范解答】因式分解是把一個多項式化為幾個因式積的形式．根據(jù)因式分解的一般步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三檢查（徹底分解），因此=y（x2-4）=y（x+2）（x-2）．【思路點撥】因式分解是把一個多項式化為幾個因式積的形式．根據(jù)因式分解的一般步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式、完全平方公式）、三檢查（徹底分解）。15．（2分）（2022·馬鞍山模擬）因式分解：.【答案】【規(guī)范解答】解：原式＝2x（x2?4y2）＝2x（x＋2y）（x?2y），故答案為2x（x＋2y）（x?2y）

【思路點撥】先提取公因式2x，在用平方差公式進一步因式分解16．（2分）（2020七下·徐州期中）給出下列多項式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中能夠因式分解的是：（填上序號）.【答案】②④⑤⑥【規(guī)范解答】①，不符合公式，也沒有公因式，故無法因式分解；②，故可以因式分解；③，不符合公式，也沒有公因式，故無法因式分解；④，故可以因式分解；⑤，故可以因式分解；⑥，故可以因式分解；綜上所述，②④⑤⑥可以因式分解，故答案為：②④⑤⑥.【思路點撥】根據(jù)提公因式法以及公式法對各個多項式依次加以分析進行判斷求解即可.17．（2分）多項式x2﹣x+k有一個因式為x﹣2，則k=【答案】﹣2【規(guī)范解答】解：把x=2代入方程x2﹣x+k=0中得4﹣2+k=0，解得：k=﹣2．故答案為：﹣2．【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式分解為幾個整式的乘積形式，就是因式分解；從而可以設x2﹣x+k=（x﹣2）A，另x﹣2=0，則x=2，把x=2代入方程x2﹣x+k=0即可得出一個關于k的方程，求解即可得出k的值。18．（2分）（2017七下·灤南期末）若多項式能用完全平方公式進行因式分解，則=【答案】【規(guī)范解答】中間一項為加上或減去x和4積的2倍，故m=±8，解得m=±8，故答案為：±8.【思路點撥】注意此題可以用完全平方差公式也可以用完全平方和公式，mx前面的“-"是迷惑同學的，所以用兩個答案。19．（2分）（2018七上·襄州期末）若x2+mx+n分解因式的結果是（x+2）（x﹣1），則m+n的值為．【答案】﹣1【規(guī)范解答】∵x2+mx+n分解因式的結果是（x+2）（x-1），∴x2+mx+n=x2+x-2，∴m=1，n=-2，∴m+n=1-2=-1，故答案為-1．

【思路點撥】由于分解因式是整式的一種恒等變形，從而得出x2+mx+n=（x+2）（x﹣1），將等式的右邊去括號再合并同類項，根據(jù)整式的性質即可得出m,n的值，再代入代數(shù)式即可算出答案。20．（4分）如果把多項式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m=，n=．【答案】﹣2；2【規(guī)范解答】解：x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得x2﹣3x+n=x2+（m﹣1）x﹣m．m﹣1=﹣3，n=﹣m．解得m=﹣2，n=2，故答案為：﹣2，2．【思路點撥】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，可得m、n的值．閱卷人三、解答題(共6題；共55分)得分21．（10分）下列由左到右的變形中，哪些是分解因式?哪些不是?請說出理由.①a（x+y）=ax+ay；②x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y+1）（y-1）；③ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；④x2+2+=⑤2a3＝2a·a·a.【答案】解：因為①②的右邊都不是整式的積的形式，所以它們不是分解因式；④中，都不是整式，⑤中的2a3不是多項式，所以它們也不是分解因式．只有③的左邊是多項式，右邊是整式的積的形式，所以③是分解因式.【思路點撥】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做分解因式?；喓蟮慕Y果為幾個整式的乘積，所以可以判斷①②選項錯誤；在④中，分母中含有字母，所以不是整式，不符合題意；在⑤中，2a3為單項式，不符合題意；在③中，左側為多項式，右側為幾個整式的積，所以符合題意。22．（8分）（2017七下·湖州月考）仔細閱讀下面例題．解答問題：例題：已知二次三項式，x2-4x+m分解因式后有一個因式是(x+3)．求另一個因式以及m的值．解：方法一：設另一個因式為(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．則x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴，解得，∴另一個因式為(x-7)，m的值為-21.方法二：設x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，當x=-3時，左邊-9+12+m，右邊=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，將x2-4x-21分解因式，得另一個因式為(x-7).仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三項式8x2-14x-a分解因式后有一個因式是(2x-3)．求另一個因式以及a的值．【答案】解：參照方法一解答：∵二次項系數(shù)為8，一個因式（2x-3）的一次項系數(shù)是2，則另一個因式的一次項系數(shù)為8÷2=4，則可設另一個因式為(4x+b)，得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，∴，解得，則另一個因式為（4x-1），a=-3.參照方法二解答：設8x2-14x-a=k(2x-3)(k≠0)，當x=時，左邊=18-21-a,右邊=0，則18-21-a=0，解得a=-3.則另一個因式為（4x-1）.【思路點撥】根據(jù)因式分解的定義可知，等號兩邊只是形式不一樣，但結果相等.23．（8分）先閱讀第（1）題的解答過程，然后再解第（2）題．（1）已知多項式2x3﹣x2+m有一個因式是2x+1，求m的值．解法一：設2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），則：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比較系數(shù)得，解得，∴解法二：設2x3﹣x2+m=A?（2x+1）（A為整式）由于上式為恒等式，為方便計算了取，2×，故．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．【答案】解：設x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A為整式），取x=1，得1+m+n﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20．【思路點撥】設x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），對x進行兩次賦值，可得出兩個關于m、n的方程，聯(lián)立求解可得出m、n的值．24．（9分）（2021八上·玉州期末）仔細閱讀下面例題，并解答問題：例題：已知二次三項式有一個因式為，求另一個因式以及的值.解：設另一個因式為，由題意得，即，則有，解得，所以另一個因式為，的值是.問題：請仿照上述方法解答下面問題，（1）（2分）若，則，；（2）（5分）已知二次三項式有一個因式為，求另一個因式以及的值.【答案】（1）2；-3（2）設另一個因式為，由題意得：，即，則有，解得所以另一個因式為，的值是.【規(guī)范解答】解：（1）∵，∴，，故答案為：，；【思路點撥】（1）利用多項式乘以多項式法則：用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加可得結果；

（2）設另一個因式為，由多項式乘以多項式可得結果，再根據(jù)等號左邊的式子可得待定系數(shù).25．（10分）（2019七上·寬城期中）仔細閱讀下面例題，解答問題.（例題）已知關于的多項式有一個因式是，求另一個因式及的值.解：設另一個因式為，則，即.解得∴另一個因式為，的值為.（問題）仿照以上方法解答下面問題：（1）（5分）已知關于的多項式有一個因式是，求另一個因式及的值.（2）（5分）已知關于的多項式有一個因式是，求的值.【答案】（1）解：設另一個因式為則，即.∴解得∴另一個因式為，的值為.（2）解：設另一個因式為，則，即.∴解得∴的值為20.【思路點撥】（1）按照例題的解法，設另一個因式為，則，展開后對應系數(shù)