2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷（附答案）

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2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分,每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。

1.12分）（2021?北京）如圖是某幾何體的開放圖，該幾何體是（）

A.長(zhǎng)方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

2.（2分）（2021?北京）黨的十八大以來(lái)，堅(jiān)持把教育扶貧作為脫貧攻堅(jiān)的優(yōu)先任務(wù).2014

-2018年，中心財(cái)政累計(jì)投入“全面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)校根本辦學(xué)條件”專

項(xiàng)補(bǔ)助資金1692億元，將16920000000（）用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X1011D.16.92X1010

3.（2分）（2021?北京）如圖，點(diǎn)O在直線上，OCYOD.假設(shè)400=120。，則

5.（2分）［2021?北京）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖，以下結(jié)論中正確的選

項(xiàng)是（）

III.aII1b.1I1Ij1

?5Y?3?2012345

A.a>-2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

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6.（2分）（2021?北京）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面對(duì)上、一枚硬幣反

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面對(duì)上的概率是（)

1112

A.-B.-C.—D.一

4323

7.12分）（2021?北京）432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.假設(shè)〃為整數(shù)且

n<V2021<n+l,則八的值為（）

A.43B.44C.45D.46

8.（2分）［2021?北京）如圖，用繩子圍成周長(zhǎng)為10m的矩形，記矩形的一邊長(zhǎng)為xm,它

的鄰邊長(zhǎng)為ym,矩形的面積為Sm2.當(dāng)x在肯定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而

變化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

二、填空題（共16分，每題2分）

9.12分）（2021?北京）假期二7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_______.

10.（2分）（2021?北京）分解因式：5x2-5y2=.

21

11.（2分）（2021?北京）方程一=解為

x3x--------.

b

12.（2分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系x如中，假設(shè)反比例函數(shù)（AW0）的圖象經(jīng)

過(guò)點(diǎn)力（1,2）和點(diǎn)B（-1,.7：）,則m的值為.

13.（2分）（2021?北京）如圖，PA,P8是。。的切線，A,B是切點(diǎn).假設(shè)NP=50°,則N

AOB=.

14.12分）（2021?北京）如圖，在矩形48co中，點(diǎn)E,尸分別在8C,4。上，AF=EC.只

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立一根桿.取CA的中點(diǎn)D,那么直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上?的影子所在直線及點(diǎn)4B,C的位置如下圖.使用直尺

（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向.依據(jù)南北方向與東西方向相互

垂直，可以推斷直線G4表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明.

證明：在中，BA=_______,0是以的中點(diǎn)，

：.CA±DB（）（填推理的依據(jù)）.

?.?直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，

，直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?

21.（6分）（2021?北京）關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）假設(shè)m>0,且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2,求m的值.

22.（6分）（2021?北京）如圖，在四邊形48C。中，NAC8=/C4D=90°,點(diǎn)E在BC

上，AE//DC,EF±AB,垂足為F.

（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；

4

（2）假設(shè)力E平分NB4C,BE=5,COSB可，求BF和力D的長(zhǎng).

23.（5分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)》=依+8MW0）的圖象由函

數(shù)y=上的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)x>-2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=mx（mWO）的值大于一次函數(shù)y=依+b

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的值，直接寫出m的取值范圍.

24.（6分）（2021?北京）如圖，00是△A5C的外接圓，AO是。0的直徑，AO_LBC于點(diǎn)

E.

（1）求證：ZBAD=ZCAD；

連接80并延長(zhǎng)，交4C于點(diǎn)F,交。。于點(diǎn)G,連接GC.假設(shè)。0的半徑為5,

0E

25.（5分）（2021?北京）為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的狀況，從這兩座

城市的郵政企業(yè)中，各隨機(jī)抽取了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入（單位：百萬(wàn)

元）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)展整理、描述和分析.下面給出了局部信息.

a甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)捱分成5組：6WxV8,

8WxV10,10WxV12,12WxV14,14WxW16）：

b甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10^x<12這一組的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)

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中城市10.8m

乙城市11.011.5

依據(jù)以上信息，答復(fù)以下問(wèn)題：

（1）寫出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)

為pi.在乙城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)

數(shù)為P2.比較小，P2的大小，并說(shuō)明理由；

（3）假設(shè)乙城市共有200家郵政企業(yè)，估量乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入（直接寫出

結(jié)果

26.（6分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)（1,m）和點(diǎn)（3,n）在拋物線y

=ax2+bx[a>0）上.

（1）假設(shè)m=3,n=15,求該拋物線的對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)（-1,%），[2,y2）t[4,y3）在該拋物線上.假設(shè)mn<0,比較必，及，出

的大小，并說(shuō)明理由.

27.（7分）（2021?北京）如圖，在△48C中，AB=AC,ZBAC=a,M為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)

。在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE,DE.

（1）比較N84E與/CAD的大??；用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明；

（2）過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，井

28.（7分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為1.對(duì)于點(diǎn)4和線段BC,

給出如下定義：假設(shè)將線段繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到的弦?C（B1,C分別是

。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是0。的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

（1）如圖，點(diǎn)A,CvB2,。2,/，C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段B/i，82c2，

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B3c3中，0)0的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是

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（2）ZXABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)A（0,f）,其中fWO.假設(shè)是OO的以點(diǎn)

A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求f的值；

（3）在△ABC中，AB=1,AC=2.假設(shè)BC是。0的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直

接寫出QA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng).

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2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。

1.（2分）（2021?北京）如圖是某幾何體的開放圖，該幾何體是（）

A.長(zhǎng)方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

【分析】開放圖為兩個(gè)圓，一人長(zhǎng)方形，易得是圓柱的開放圖.

【解答】解：???圓柱的開放圖為兩個(gè)圓和一個(gè)長(zhǎng)方形，

，開放圖可得此幾何體為圓

柱.應(yīng)選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了由開放圖得幾何體，關(guān)鍵是考察同學(xué)們的空間想象力量.

2.12分）（2021?北京）黨的十八大以來(lái)，堅(jiān)持把教育扶貧作為脫貧攻堅(jiān)的優(yōu)先任務(wù).2014

-2018年，中心財(cái)政累計(jì)投入“全面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)校根本辦學(xué)條件”專

項(xiàng)補(bǔ)助資金1692億元，將169200000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X10"D.16.92X101。

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIOn的形式，其中1W|Q|V10,n為整數(shù).確定n

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成Q時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n確實(shí)定值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)一

樣.當(dāng)原數(shù)確定值210時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)確實(shí)定值VI時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【解答】解：將169200000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為

1.692X10??.應(yīng)選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及n的值.

3.（2分）（2021?北京）如圖，點(diǎn)。在直線4B上，OC±OD,假設(shè)4OC=120°,貝ij

N80D的大小為（）

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【分析】依據(jù)平角的意義求出NBOC的度數(shù)，再依據(jù)垂直的意義求出答案.

【解答】解：???/40C+N80C=180°,/40C=120°,

ZBOC=ISO°-120°=60°,

又???OC_LO。,

：.ZCOD=90°，

；?NBOD=/COD-NBOC=90°-60°=30°,

應(yīng)選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察平角及垂直的意義，理解相互垂直的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.12分)(2021?北京)以下多邊形中，內(nèi)角和最大的是()

【分析】依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可.

【解答】解：A.三角形的內(nèi)角和為1XCT；

B.四邊形的內(nèi)角和為360°；

C.五邊形的內(nèi)角和為：(5-2)X180°=540°；

D.六邊形的內(nèi)角和為：(6-2)X1800=720°；

應(yīng)選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

5.(2分)(2021?北京)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖，以下結(jié)論中正確的選

項(xiàng)是()

ab

III1個(gè)|III1.

?5口?3?2?1012345

A.a>-2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

【分析】依據(jù)圖象逐項(xiàng)推斷對(duì)錯(cuò).

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【解答】解：4由圖象可得點(diǎn)A在-2左側(cè)，

???aV-2,A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

B.Va到0的距離大于b到0的距離，

：,\a\>b,B選項(xiàng)正確,符合題意.

C.*：\a\>b,QVO,

，-a>b,

???a+bVO,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

D.??”>Q,

A5-a>0,。選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題

意.應(yīng)選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察數(shù)軸與確定值，解題關(guān)鍵是把握數(shù)軸上點(diǎn)的意義及確定值的含義.

6.（2分）12021?北京）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面對(duì)上、一枚硬幣反

面對(duì)上的概率是（）

1112

A.-B."C.一D.一

4323

【分析】畫樹狀圖，共4種等可能的結(jié)果，一枚硬幣正面對(duì)上，一枚硬幣反面對(duì)上的有2

種結(jié)果，再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹形圖得：

開始

正反正反

由樹形圖可知共4種等可能的結(jié)果，一枚硬幣正面對(duì)上，?一枚硬幣反面對(duì)上的有2種結(jié)

果，

???一枚硬幣正面對(duì)上，一枚硬行反面對(duì)上的的概率為2_1,

4-2

應(yīng)選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了求隨機(jī)大事的概率，用到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況

數(shù)之比.得到所求的狀況數(shù)是解決此題的關(guān)鍵.

7.（2分）（2021?北京）432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.假設(shè)〃為整數(shù)

且〃〈質(zhì)五V〃+l,則"的值為（）

A.43B.44C.45D.46

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【分析】先寫出2021所住的范圍，再寫心。21的范圍，即可得到n的值.

【解答】解：71936<2021<2025,

r.44<V2021<45,

An=44,

應(yīng)選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

8.(2分)(2021?北京)如圖，用繩子圍成周長(zhǎng)為10m的矩形，記矩形的一邊長(zhǎng)為xm,它

的鄰邊長(zhǎng)為ym,矩形的面積為S*當(dāng)x在肯定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而

變化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是()

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

【分析】矩形的周長(zhǎng)為2(x+y)=10,可用x來(lái)表示y,代入S=v中，可得S關(guān)于x

的困數(shù)關(guān)系式，代簡(jiǎn)即可得出答案.

【解答】解：由題意得，

2(x+y)=10,

.*.x+y=5>

?\y=5-x,

即y與X是一次函數(shù)關(guān)系.

*.*S=xy

=x(5-x)

=-X2+5X,

???矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S=-X2+5X,

即滿足二次函數(shù)關(guān)系，

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應(yīng)選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并嫻熟把握二

次函數(shù)的解析式形式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(共16分，每題2分)

9.(2分)(2021?北京)假設(shè)衣二7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x27.

【分析】依據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式，得到答案.

【解答】解；由題意得：x-7》0,

解得：x》7,

故答案為：x27.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是二次根式有意義的條件，把握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解

題的關(guān)鍵.

10.(2分)(2021?北京)分解因式：5*-[2=5(x+y)(x-y).

【分析】提公因式后再利用平方差公式即可.

【解答】解：原式=532_川)=5(x+y)(x-y),

故答案為：5(x+y)(x-y).

【點(diǎn)評(píng)】此題考察提公因式法、公式法分解因式，把握平方差公式的構(gòu)造特征是正確應(yīng)

用的前提.

21

11.12分)12021?北爾)方程---=—的解為x=3

x3x--------.

【分析】先將分式化為整數(shù)，然后求解并檢驗(yàn).

【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以x(x+3)得：

2x=x+3,

解得x=3,

檢驗(yàn)：x=3時(shí)，x(x+3)#0,

???方程的解為x=

3.故答案為：x-3.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察解分式方程，解題關(guān)鍵是先將分式方程化為整式方程求解，然后檢驗(yàn)

增根狀況.

12.(2分)(2021?北京)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，假設(shè)反比例函數(shù)y1c1AW0)的圖象經(jīng)

過(guò)點(diǎn)4(1,2)和點(diǎn)8(-1,,71),則m的值為-2.

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【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到-m=1X2,然后解關(guān)于m的方程即

可.

【解答】解：???反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)411,2）和點(diǎn)B（-1,m）,

/.-m=1X2,解得m=-2,

即m的值為-2.

故答案為-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)々￡（A為常數(shù)，

0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x,8的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.

13.（2分）（2021?北京）如圖，PA,P8是的切線，A,8是切點(diǎn).假設(shè)NP=50°，則/

【分析】先依據(jù)切線的性質(zhì)得到尸=NO8P=90”，然后依據(jù)四邊形的內(nèi)角和計(jì)算

乙4OB的度數(shù).

【解答】解：:弘，PB是。。的切線，A,B是切點(diǎn)，

：.OALPA,OBA.PB,

：.ZOAP=ZOBP=90C,

???NO/P+乙4OB+NOBP+N尸=360°,

???N4OB=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案為130。.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

14.（2分）（2021?北京）如圖，在矩形49co中，點(diǎn)、E,尸分別在BCAD上，AF=EC.只

需添加一個(gè)條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個(gè)條件可以是獨(dú)=4五（寫出一

個(gè)即可）.

第13頁(yè)共29頁(yè)

第頁(yè)共29頁(yè)

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)得到有?！˙C,即/尸〃CE,推出四邊形力BQ是平行四邊形,

依據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：這個(gè)條件可以是產(chǎn)，

理由：???四邊形/BCD是矩形，

：.AD//BC,

即AF//CE,

'：AF=EC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

'：AE=AF,

???四邊形/Eb是菱形，

故答案為：AE=AF.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，嫻熟把握菱

形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

15.(2分)(2021?北京)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如下表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，2,$2,則$2>$2(填“>”，"V”或“=

甲乙甲乙

【分析】依據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式求出甲和乙的平均數(shù)，再依據(jù)方差公式進(jìn)展計(jì)算即可得

出答案.

【解答】解：-=lx(11+12+13+14+15)=13,

甲5

$2=；(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)4=2,

甲5

L=2X(12+12+13+14+14)=13,

乙5

$2=J[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]=0.8,

乙5

???2>0.8,

第14頁(yè)共29頁(yè)

第頁(yè)共29頁(yè)

:?S2As2.

甲乙

故答案為：》.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察方差的定義：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，xi,X2,的平均數(shù)為五則方差

5=1[々一短2+僅一公2+…+(x—4斗它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，

2n12n

波動(dòng)性越大，反之也成立.

16.(2分)(2021?北京)某企業(yè)有48兩條加工一樣原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi)，A生產(chǎn)

線共加工Q噸原材料，加工時(shí)間為(4a+1)小時(shí)；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工b噸原材

料，加工時(shí)間為(2b+3)小時(shí).第一天，該企業(yè)將5噸原材料安排到A,B兩條生產(chǎn)線，

兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間一樣，則安排到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與安排

到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為其次天開工前，該企業(yè)按第一天的安排結(jié)果安排了

5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線安排了m噸原材料，給B生產(chǎn)線安排了n噸原材料.假設(shè)兩

m

條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自安排到的全部原材料，且加工時(shí)間一樣，則f值為

n

1

7-'

【分析】設(shè)安排到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則安排到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為(5-x)噸，依題

意可得4x+1=2(5-x)+3,然后求解即可，由題意可得其次天開工時(shí)，由上一問(wèn)可得方

程為4(2+m)+1==2(3+n)+3,進(jìn)而求解即可得出答案.

【解答】解：設(shè)安排到生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則安排到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為(5-x)噸，

依題意可得：

4x+1=2(5-x)+3,

解得：x=2,

，安排到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5-2=3(噸)，

???安排到生產(chǎn)線的噸數(shù)與安排到生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3；

???其次天開工時(shí)，給生產(chǎn)線安排了(2+m)噸原材料，給生產(chǎn)線安排了(3+n)噸原材

料，

???加工時(shí)間一樣，

/.4〔2+m[+1==2[3+n)+3,

解得：m=齊，

m1

?——

?n?一2c9

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第頁(yè)共29頁(yè)

1

故答案為：2：3；—.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察一元一次方程、二元一次方程的應(yīng)用及比例的根本性質(zhì)，嫻熟把

握一元一次方程的應(yīng)用及比例的根本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題,每題6分，第23題5分，第

24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解同意寫出文字說(shuō)明、

演算步驟或證明過(guò)程。

17.（5分）（2021?北京）計(jì)算：2sin60°+V12+\-5|-（TT+^2）

【分析】直接利用零指數(shù)察的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、確定值的性質(zhì)、特別角的三角函

數(shù)值，分別化簡(jiǎn)得出答案.

【解答】解：原式=2x亨+20+5-1

=V3+2V3+5-1

=373+4.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了零指數(shù)累的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、確定，直的性質(zhì)、特別角的

三角函數(shù)值等學(xué)問(wèn)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

4x—5>x+1

18.（5分）（2021?北京）解不等式組：｛3工一4）.

~2~〈4

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，依據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式4x-5>x+l,得：n>2,

3%—4

解不等式一^~V-得：x<4,

則不等式組的解集為2<x<4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是根底，熟知

“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

分）?北京）求代數(shù)式ta-by2+b（2a+b）的值.

19.（5（2021a2+2^2-i=o,

【分析】依據(jù)完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把等式變形，代入即

可.

【解答】解：原式-2azM?力2+2而+從

=a2+2h2,

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??72+24-1=0,

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第頁(yè)共29頁(yè)

.??。2+2屏=1,

原式=1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是整式的化簡(jiǎn)求值，敏捷運(yùn)用整體思想、把握整式的混合運(yùn)算法則

是解題的關(guān)鍵.

20.（5分）（2021?北京）《淮南子天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：

日出時(shí)，在地面上點(diǎn)4處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)&使B,A

兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)B處立一根桿；日落時(shí)，在地

面上沿著點(diǎn)B處的桿的影子的方向取一點(diǎn)C,使C,B兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)C處立

一根桿.取CA的中點(diǎn)D,那么直線D8表示的方向?yàn)闁|西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)48,C的位置如下圖.使用直尺

（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向.依據(jù)南北方向與東西方向相互

垂直，可以推斷直線。表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明.

證明：在△4BC中，BA=BC＞。是。的中點(diǎn)，

：.CAVDB（三線合一）〔填推理的依據(jù)）.

???直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，

???直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?

【分析】⑴作BDL4c于D即可.

（2）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

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第頁(yè)共29頁(yè)

(2)在△48C中，BA=BC,D是C4的中點(diǎn),

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第頁(yè)共29頁(yè)

.'.CAA.DB(三線合一)，

???直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，

???直線C4表示的方向?yàn)槟媳狈?/p>

向.故答案為：BC,三線合一.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是理

解題意，學(xué)會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.

21.(6分)(2021?北京)關(guān)于x的一元二次方程*4mx+3m2=Q.

(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)假設(shè)m>0,且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2,求m的值.

【分析】(1)依據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出△=4m2,利用偶次方的非負(fù)性可

得出4m2》0,即△》(),再利用“當(dāng)△》()時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”即可證出結(jié)論；

(2)利用因式分解法求出xi=m,X2=3m.由題意得出m的方程，解方程則可得出答案.

(1)證明：*/a=1,b=-4m,c=3m2.

/.A=Z)2-4ac=(-4m)2-4X1X3m2=4/n2.

???無(wú)論m取何值時(shí)，4m22o,即△》(),

???原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)解：?4mx+3m2=0,即(x-m)(x-3m)=0,

=X2=3m.

Vm>0,且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2,

/.3m-m=2,

m=1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了根的判別式、偶次方的非負(fù)性以及因式分解法解一元二次方程，解題

的關(guān)鍵是：(1)牢記“當(dāng)△》()時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；(2)利用因式分解法求出方程的解.

22.(6分)(2021?北京)如圖，在四邊形48co中，NC4D=90°,點(diǎn)E在BC

上，AE//DC,EFA.AB,垂足為F.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；

4

(2)假設(shè)平分N84C,BE=5,cosB)，求8尸和AD的長(zhǎng).

第18頁(yè)共29頁(yè)

第頁(yè)共29頁(yè)

【分析】⑴證AD//CE,再由AE//DC,即可得出結(jié)論；

(2)先由銳角三角函數(shù)定義求出BF=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分線的

性質(zhì)得EC=EF=3,最終由平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【解答】(1)證明：???N4；B=NG4D=90°,

：.AD//CE,

*：AE//DC,

???四邊形4ECD是平行四邊形；

(2)解：*：EF±AB,

：.ZBFE=90°,

..4BF

?c°sn8=g=而

4A

：,BF=BE=x5=4,

55

：.EF=>/BE2-BFi=V5z-42=3,

??NE平分NB4C,EFVAB,/4CE=90°,

AEC—EF—3,

由(1)得：四邊形AECD是平行四邊形，

.\AD=EC=3.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、角平分線的性質(zhì)以

及勾股定理等學(xué)問(wèn)；嫻熟把握銳角三角函數(shù)定義，證明四邊形AECD為平行四邊形是解

題的關(guān)鍵.

23.(5分)(2021?北京)在平面直角坐標(biāo)系x0中，一次函數(shù)(k#0)的圖象由函

1

數(shù)歹二全的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)x>-2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)(m#0)的值大于一次函數(shù)y=Ax+b

的值，直接寫出m的取值范圍.

第19頁(yè)共29頁(yè)

第頁(yè)共29頁(yè)

【分析】（1）依據(jù)平移的規(guī)律即可求得.

（2）依據(jù)點(diǎn)（-2,-2）結(jié)合圖象即可求得.

【解答】解（1）函數(shù)'的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到產(chǎn)1-1,

22

???一次函數(shù)）=菽+3"W0）的圖象由函數(shù)尸%的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，

???這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為尸*1.

（2）把x=-2代入求得J=?2,

，函數(shù)（加WO）與一次函數(shù)尸今-1的交點(diǎn)為（-2,-2）,

把點(diǎn)（-2,-2）代入j=zwc,求得w=1,

???當(dāng)尤＞?2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)尸心（加W0）的值大于一次函數(shù)j=^-1

的值，

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解

題的關(guān)鍵.

24.（6分）（2021?北京）如圖，00是△/BC的外接圓，/D是00的直徑，/D_LBC于點(diǎn)

E.

（1）求證：ZBAD=ZCAD；

（2）連接BO并延長(zhǎng)，交力C于點(diǎn)F,交OO于點(diǎn)G,連接GC.假設(shè)0O的半徑為5,OE

=3,求GC和OF的長(zhǎng).

第20頁(yè)共29頁(yè)

第頁(yè)共29頁(yè)

【分析】(1)依據(jù)垂徑定理得至3=力，依據(jù)圓周角定理證明結(jié)論；

(2)依據(jù)勾股定理求出BE,依據(jù)垂徑定理求出BG依據(jù)圓周角定理得到NBCG=90°,

依據(jù)勾股定理求出GC,證明△/FOS/XCFG,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)求出OF.

【解答】(1)證明：???力。是00的直徑，AD±BC,

.\B)=M

：.ZBAD=ZCAD；

(2)解：在Rt2XBO￡中，0B=5,OE=3,

：.BE=V0B2-0E2=4,

T/。是。O的直徑，ADYBC,

，BC=2BE=8,

TSG是00的直徑，

AZBCG=90°,

.?.GC=y/BG2-FC2=6,

ADIBC,NBCG=90°,

：.AE//GC,

:.小AFOS^CPG,

OAOF5OF

?一=~；口廠=

?'GCFG65-OF'

解得：0「=輕2s

第21頁(yè)共29頁(yè)

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【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是圓周角定理、垂徑定理、相像三角形的判定和性質(zhì)，把握相像三

角形的判定定理和性質(zhì)定理、星徑定理是解題的關(guān)鍵.

25.（5分）（2021?北京）為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份攻入的狀況，從這兩座

城市的郵政企業(yè)中，各隨機(jī)抽取了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入（單位：百萬(wàn)

元）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)展整理、描述和分析.下面給出了局部信息.

a甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：6<xV8,

8WXV10,10^x<12,12WXV14,14Wx近16）：

b甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10<x<12這一組的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

依據(jù)以上信息，答復(fù)以下問(wèn)題：

<1）寫出表中的值；

（2）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)

第22頁(yè)共29頁(yè)

第頁(yè)共29頁(yè)

為pi.在乙城由抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)

數(shù)為P2.比較〃，P2的大小，并說(shuō)明理由；

（3）假設(shè)乙城市共有200家郵政企業(yè)，估量乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入（直接寫出

結(jié)果）.

【分析】（1）依據(jù)中位數(shù)的意義，求出甲城市抽樣25家郵政企業(yè)4月份的營(yíng)業(yè)額從小到

大排列，得出處在第13位的數(shù)據(jù)即可；

（2）依據(jù)pi,p2所表示的意義，結(jié)合兩個(gè)城市抽取的郵政企業(yè)4月份的營(yíng)業(yè)額的具體

數(shù)據(jù)，得出答案；

（3）依據(jù)乙城市郵政企業(yè)4月份營(yíng)業(yè)額的平均數(shù)以及企業(yè)的數(shù)量進(jìn)展計(jì)算即可.

【解答】解（1）將甲城市抽取的25家郵政企業(yè)4月份的營(yíng)業(yè)額從小到大排列，處在中

間位置的一個(gè)數(shù)是10.1,

因此中位數(shù)是10.1,即m=10.1；

（2）由題意得加=5+3+4=121家），

由于乙城市抽取的25家郵政企業(yè)4月份的營(yíng)業(yè)額的平均數(shù)是11.0,中位數(shù)是11.5,

因此所抽取的25家郵政企業(yè)4月份營(yíng)業(yè)額在11.5及以上的占一半，

也就是P2的值要大于12,

.*.p1<p2；

（3）11.0X200=2200（百萬(wàn)元），

答：乙城市200家郵政企業(yè)4月份的總收入約為2200百萬(wàn)元.

【點(diǎn)評(píng)】此題考察頻數(shù)分布直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)，把握平均數(shù)、中位數(shù)的意義是正

確解答的前提.

26.（6分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系x勿中，點(diǎn)（1,m）和點(diǎn)（3,n）在拋物線y

=ax2+bx（tz>0）上.

（1）假設(shè)m=3,n=15,求該拋物線的對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)（-1,%），（2,及），（4,y3）在該拋物線上.假設(shè)mnVO,比較必，及，為

的大小，并說(shuō)明理由.

【分析】（1）將點(diǎn)（1,3）,13,15）代入解析式求解.

31

（2）分類爭(zhēng)論b的正負(fù)狀況，依據(jù)mn<Q可得對(duì)稱軸在與直線之間，再依據(jù)

22

各點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離推斷y值大小.

第23頁(yè)共29頁(yè)

第頁(yè)共29頁(yè)

【解答】解(1)Vm=3,n=15,

，點(diǎn)(1,3),(3,15)在拋物線上，

將(1,3),(3,15)代入y=Qx2+bx得：

(3=Q+b

[15=9a+3b'

解得仁:

.\y=x2+2x=(x+1)2-1,

???拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1,

(2)\*y=ax2+bx(a>0),

???拋物線開口向上且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，x>0時(shí)y隨x增大而增大，〃>m>0不滿足題意，

當(dāng)b>0時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，同理，〃>m>0不滿足題意，

/.6<0,拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，x=1時(shí)m<0,x=3時(shí)n>0,

???拋物線對(duì)稱軸在直線x=③與宣線x=1之間，

22

BP￡<-L<L

22a2

??.2?-b_-(-1)>：,

2a22a2

【點(diǎn)評(píng)】此題考察二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是嫻熟把握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及依

據(jù)數(shù)形結(jié)合求解.

27.[7分)(2021?北京)如圖，在中，AB=AC,ZBAC=a,M為的中點(diǎn)，點(diǎn)

。在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE,DE.

(1)比較NB4E與/以。的大?。挥玫仁奖硎揪€段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明：

(2)過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

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【分析】11)由ND4E=/BZC可得/B“E=NC4D,然后SXS證Zk4BEgaZCD即可；

(2)作EH_LXB交BC于H,可證△BHWZiBH尸得BF=BH,再證MH=A/D,再借助

MN〃HF,由平行線分線段成比例即可證出.

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【解答】解(1)ZDAE