大學(xué)第三學(xué)期數(shù)學(xué)課件 線性規(guī)劃問題的的應(yīng)用舉例

第五章線性規(guī)劃5．5線性規(guī)劃問題的應(yīng)用舉例制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目如何投資，才能使可能的盈利最大？試建立線性規(guī)劃模型，并用圖解法求解.案例1

投資問題解決：解設(shè)投資人投資甲項(xiàng)目萬元，投資乙項(xiàng)目萬元.，滿足

目標(biāo)函數(shù)解決：畫出可行域，

解方程組

得點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，6）目標(biāo)函數(shù)取得最大值

答問題的最優(yōu)解為分別投資甲、乙兩項(xiàng)為4萬元和6萬元，其可能盈利最大為7萬元.案例2

生產(chǎn)安排問題一個(gè)毛紡廠用羊毛和滌綸生產(chǎn)

A

、

B

、

C

三種混紡面料，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品需要的原料如下表（表5.15）所示：產(chǎn)品原料羊毛滌綸A32B11C24這三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為4、1、5，每月可購(gòu)進(jìn)的原料限額為羊毛8000單位，滌綸為6000單位，問此毛紡廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)？請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型，并用表格法求解.表5.15.解決：解設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品

A為x1單位，產(chǎn)品

B為x2單位，產(chǎn)品C為x3單位,目標(biāo)函數(shù)

滿足

.解決：化標(biāo)準(zhǔn)型，引入松弛變量x4,x5.目標(biāo)函數(shù)

滿足

表格計(jì)算如下表（表5.16）1125000

j25010x35250001x143750000[]

j3000150001x35[2500]500010(2)x402000[5]14

j4000600010(4)12x504000800001213x40

ibix5x4x3x2x1XBCB100514cj表5.16得到最優(yōu)解:生產(chǎn)A為2500單位,B為0單位,C為250單位,最大利潤(rùn)為11250單位.案例3

環(huán)境保護(hù)問題某河流旁設(shè)置有甲、乙兩座化工廠，如圖5-11所示，已知流經(jīng)甲廠的河水日流量為500×104m3,在兩廠之間有一條河水日流量為200×104m3的支流.甲、乙兩廠每天生產(chǎn)工業(yè)污水分別為2×104m3和1.4×104m3

，甲廠排出的污水經(jīng)過主流和支流交叉點(diǎn)P后已有20%被自然凈化.按環(huán)保要求，河流中工業(yè)污水的含量不得超過0.2%，為此兩廠必須自行處理一部分工業(yè)污水，甲、乙兩廠處理每萬立方米污水的成本分別為1000元和800元.問：在滿足環(huán)保要求的條件下，各廠每天應(yīng)處理多少污水，才能使兩廠的總費(fèi)用最少？試建立規(guī)劃模型，并求解.

甲廠污水廠乙廠解設(shè)甲、乙兩廠每天分別處理污水量為x,y

（單位：104m3)目標(biāo)函數(shù)

在甲廠到P點(diǎn)之間，河水中污水含量不得超過0.2%，所以滿足≤在乙廠到P點(diǎn)之間，河水中污水含量不得超過0.2%，所以滿足≤流經(jīng)乙廠后，河水中污水含量不得超過0.2%，所以滿足≤目標(biāo)函數(shù)

滿足得到線性規(guī)劃模型：利用Excel軟件求解：結(jié)果為：x=1×104m3,y=0.8×104m3,總費(fèi)用最少為1640元.案例4

混合問題某養(yǎng)豬場(chǎng)所用的混合飼料由

A

、

B

、

C三種配料組成，表5.17給出1單位各種配料所含的營(yíng)養(yǎng)成分，單位成本以及1分混合飼料必須含有的各種營(yíng)養(yǎng)成分，問如何配制飼料時(shí)成本最小？配料營(yíng)養(yǎng)成分單位成本DEFA126B113C1121份飼料應(yīng)含量20610表5.17解設(shè)xj為混合飼料中第j種配料的含量，j=A,B,C目標(biāo)函數(shù)

滿足利用Excel軟件求解：結(jié)果為：xA=0,xB=4,xC=16總費(fèi)用最少為44.案例5

運(yùn)輸問題設(shè)有兩座鐵礦山A、B，另有三個(gè)煉鐵廠甲、乙、丙需要礦石，各礦日產(chǎn)量和各廠日需量及對(duì)應(yīng)的運(yùn)價(jià)（元）如表5.18給出，問怎樣調(diào)運(yùn)送礦石才能使總費(fèi)用最?。胯F礦山煉鐵廠產(chǎn)量甲乙丙A691260B13345礦石需求量503025105表5.18解設(shè)x1為從

A

運(yùn)到甲廠的運(yùn)量,x2為從

A運(yùn)到乙廠的運(yùn)量，

x3為從

A運(yùn)到丙廠的運(yùn)量,y1為從

B

到甲廠的運(yùn)量，

y2為從

B到乙廠的運(yùn)量，y3為從

B到丙廠的運(yùn)量，

根據(jù)表中給出的條件，建立線性規(guī)則模型如下：滿足利用Excel軟件求解：結(jié)果為：x1=50,x2=10,x3=0,

y1=0,y2=20,y3=0.總費(fèi)用最少為525.案例6下料問題將長(zhǎng)為5米的鋼管，分別截成0.98m和0.78m兩種規(guī)格的材料，長(zhǎng)0.98m的需1000根，長(zhǎng)0.78m的需2000根，問怎樣截法，才能使所用鋼管最少？解將長(zhǎng)為5米的鋼管，分別截成0.98m和0.78m兩種規(guī)格的材料，共有如表5.19所列可能截法.截法0.98m0.78m料頭（m）15根0根0.124根1根0.333根2根0.542根3根0.751根5根0.1260根6根0.32表5.19設(shè)采用第j種截法的鋼管數(shù)為xj根(j=1,2,…6).建立線性規(guī)劃模型：

目標(biāo)函數(shù)

滿足