專題2.11 絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【八大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題2.11絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【八大題型】

【人教版2024】

【題型1根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】.......................................................................................................................1

【題型2根據(jù)字母的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值】...........................................................................................................3

【題型3利用絕對(duì)值的定義判斷結(jié)論正誤】...........................................................................................................5

【題型4利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】.....................................................................................................10

【題型5利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值】.................................................................................................................12

【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論問題】.....................................................................................................15

?

【題型7利用分類討論思想解決多絕對(duì)|?|值問題】.................................................................................................18

【題型8絕對(duì)值中最值問題】.................................................................................................................................24

知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值

（1）正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；

注意：絕對(duì)值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離；

（2）絕對(duì)值可表示為：

a(a0)

a0(a0)a(a0)

a

a(a0)或a(a0)；

aa

1a01a0

（3）a；a；

aa0

（4）是重要的非負(fù)數(shù)，即，非負(fù)性.

【題型1根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】

【例1】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）若，則．

20222022

【答案】2021?+2+2023??1=0?+?=

【分析】本1題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，由，可得，

20222022

，進(jìn)而由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到?，+2≥，0即?可?求1出≥、0的值2，02再1把?+、2的值≥代0入

2023??1≥0?+2=0??1=0????

第1頁共27頁.

代數(shù)式計(jì)算即可求解，掌握兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)均為是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵，，00

2022

∴?+2，≥0??1≥，0

2022

∵2021?+2≥02023??1，≥0

2022

∴2021?+，2+202，3??1=0

∴?+2=，0??，1=0

∴?=?2?=1，

20222022

故答?案+為?：．=?2+1=1

【變式1-1】1（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）若|a|+|b|=|a+b|，則a、b滿足的關(guān)系是．

【答案】a、b同號(hào)或a、b有一個(gè)為0或同時(shí)為0

【詳解】∵|a|+|b|=|a+b|，

∴a、b滿足的關(guān)系是a、b同號(hào)或a、b有一個(gè)為0，或同時(shí)為0，

故答案為a、b同號(hào)或a、b有一個(gè)為0，或同時(shí)為0．

【變式1-2】（23-24七年級(jí)·廣東汕頭·期末）已知，則．

1220192020

??2+(?+2)=0??=

【答案】

1

2

【分析】先利用絕對(duì)值和平方的非負(fù)性求得、b的值，然后將轉(zhuǎn)化為的形式可求得.

2019202020192019

【詳解】∵???(??)??

12

??2+(?+2)=0

∴－2=0，=0

1

??+2

解得：a=2，

1

?=?2

===

2019202020192019201911

??(??)??(?1)×(?2)2

故答案為：

1

2

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，解題關(guān)鍵是利用非負(fù)性，先得出、b的值.

【變式1-3】（23-24七年級(jí)·上海黃浦·期中）若，則a

11

|??1|+|???2|=0(?+1)(?+1)+(?+2)(?+2)+?+

=．

1

(?+2022)(?+2022)

【答案】

1011

2024

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入所求

第2頁共27頁.

式子中拆項(xiàng)后，抵消即可求出值是解本題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵，

2

∴，??1+，???2=0

解得??：1=0，???2=0

∴?=1?=2

111

?+1?+1+?+2?+2+…+?+2022?+2022

111

=++?+

2×33×42023×2024

111111

=?+?+?+?

233420232024

11

=?

2，2024

1011

=2024

故答案為：．

1011

2024

【題型2根據(jù)字母的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

【例2】（23-24七年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）若滿足方程，則等于（）

A．B．C?．2019??D=．2019+???2020

【答案】D??2020???2020?+2020??+2020

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分情況討論m的取值范圍即可解答.

【詳解】當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)?，≥20192019??=，?符?合20題19意；

當(dāng)?≤0201時(shí)9?，?=2019+?，不符合題意；

所以0<?<20192019??=2019??

?≤0

故?選?D2020=??+2020

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及有理數(shù)的加減，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式2-1】（23-24七年級(jí)·廣西貴港·期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則化簡(jiǎn)代數(shù)式

的結(jié)果是（）?,?,?????

?+?+???

A．B．C．D．

2???+?????+?????

第3頁共27頁.

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并同類

項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】解：由數(shù)軸可得a<0，b<0，c>0，且

∴a-b<0，a+b<0，b-c<0|?|<|?|<|?|

∴

=|???|?|?+?|+|???|

=?(???)+(?+?)?(???)

=??+?+?+???+?

故?選+C?

【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減、數(shù)軸、絕對(duì)值、有理數(shù)的大小比較，解答此題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算

方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式2-2】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，且都不為0，

．若，則???（用含，?的?式子?表示）．

??=2??2?+?=2??3????3?|2?+3?+3?|=??

【答案】/

【分析】本4?題+考4?查4的?是+4線?段的倍分關(guān)系，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算，由可得，結(jié)

合可得，，，再進(jìn)一步解?答?即=可2?．?3?=?+2?

【詳2解?】+解?：=2??3??，??3??<0?>0?+?>0

∵??=，2??

∴???=2(??，?)

∴3?=?+2?

2?+?=2??3????3?

=|2????2?|?|????2?|，

=|??|?，|?2?|，=|?|?|2?|，

∴2?<，0?>，02?+?，>0

∴?<0?>0，?+?>0

∴4?+4?>0．

∴|2?+3?+3?|=|2?+3?+?+2?|=|4?+4?|=4?+4?

第4頁共27頁.

故答案為：

4a+4b

【變式2-3】（23-24七年級(jí)·廣東湛江·期中）已知，，，化簡(jiǎn)

|?|

．?=???=?1?=?

【?答+案?】+???????=

【分析】本?題2?主要考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，熟練掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出，

得到，，，即可得到答案．?≤0,?<0,?≥0

【詳解?】+解?：<0???≤，0???，<0，

|?|

∵?=，???=?1?=?

∴?≤0,?<，0,?≥0，，

∴則?原+式?<0???≤0???<0．

故答案為=?：???．??+?+???=?2?

?2?

【題型3利用絕對(duì)值的定義判斷結(jié)論正誤】

【例3】（23-24七年級(jí)·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)表示的數(shù)分別為a，b，c則下列

結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①若，，則；②若，則B為AC的中點(diǎn)；③化簡(jiǎn)

；④?=若?數(shù)2軸?上=點(diǎn)3M到??A+，?B，?=C6距離之和?+最?小=，2則?點(diǎn)M與點(diǎn)B重合；⑤若??，?+??，???點(diǎn)?M?到=

A2?，B，C的距離之和為13，則點(diǎn)M表示的數(shù)為5；⑥若?=?2?=0?=4

，則最小值為12134．?+2+??1??2+??5??6+??

10=362020?+2021?+2022?

A．3B．4C．5D．6

【答案】A

【分析】①不知道表示的數(shù)字無法確定的值；②根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義，以及中點(diǎn)公式進(jìn)行判斷；

③根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上?的位置，化簡(jiǎn)絕對(duì)值?，?進(jìn)+行?判?斷；④根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，以及兩點(diǎn)之間線段最短，

進(jìn)行判斷；⑤根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，列方程計(jì)算進(jìn)行判斷；⑥根據(jù)

，得到?+2+??1??2+?，?推出

5??6+，??10=，36?，+2得到+當(dāng)??1=3,??2+?時(shí)?，5=3,??6+??10=有4最小值，

?進(jìn)2而≤求?出≤最1小值2≤即?可≤．56≤?≤10?=?2,?=2,?=62020?+2021?+2022?

【詳解】解：①不知道表示的數(shù)字無法確定的值，故①錯(cuò)誤；

???+??

第5頁共27頁.

②∵，

∴為?+?的=中2點(diǎn)?，故②正確；

③?由圖?可?知：，

∴＋?<?<?，故③錯(cuò)誤；

④∵??數(shù)?軸上點(diǎn)??M?到?A，??B，?C=距?離?之??和?最+小?，+???=0

∴點(diǎn)M與點(diǎn)B重合；故④正確；

⑤設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，

當(dāng)點(diǎn)在?點(diǎn)左邊時(shí)，?依題意有：，

解得：???2??+0??+4??=13

11

當(dāng)點(diǎn)在?點(diǎn)=?右3邊;時(shí)，依題意有：，

解得：??；?+2+??0+??4=13

?=5

綜上，點(diǎn)表示的數(shù)為或5，故⑤錯(cuò)誤；

11

⑥∵??3，

∴?+2+??1??2+??5??6+??10=36，

∴?+2+?，?1=3,?，?2+??5，=3,??6+??10=4

∴?當(dāng)2≤?≤12≤?≤5時(shí)：6≤?≤10有最小值為，故⑥正

確；?=?2,?=2,?=62020?+2021?+2022??4040+4042+12132=12134

綜上：正確的是②④⑥，共3個(gè)；

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，方程的應(yīng)用．熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，以及絕對(duì)值的意義和根據(jù)

數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷式子的符號(hào)，是解題的關(guān)鍵．

【變式3-1】（23-24七年級(jí)·重慶·期中）下列說法正確的有（）

①已知a，b，c是非零的有理數(shù)，且時(shí)，則的值為1或；

|???||?||?||?|

???=?1?+?+??3

②已知a，b，c是有理數(shù)，且，時(shí)，則的值為或3；

?+??+??+?

?+?+?=0???<0|?|+|?|+|?|?1

③已知時(shí)，那么的最大值為7，最小值為；

④若?≤4且?+，3則?式?子?4的值為；?7

2?+????1

2

?=?|???|=3?+110

第6頁共27頁.

⑤如果定義，當(dāng)，，時(shí)，，的值為．

?+?(?>?)

?,?=0?=???<0?+?<0?>?{??}???

A．2個(gè)?B?．?(3?個(gè)<?)C．4個(gè)D．5個(gè)

【答案】C

【分析】①由題意可得，，則，，中有一個(gè)或三個(gè)值為負(fù)數(shù)，討論求解即可；②由可得，，

中有一個(gè)值為負(fù)數(shù)，求?解??即<0可；③?根?據(jù)?化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后求解即可；④由題意可得???<0或??，?

分別求解即可；⑤根據(jù)題意可得，異?號(hào)≤，4分兩種情況求解即可．?=??=??

【詳解】解：①由可得??，，，中有一個(gè)或三個(gè)值為負(fù)數(shù)，

|???|

???=?1???<0???

當(dāng)，，時(shí)，

|?||?||?|

?<0?>0?>0?+?+?=?1+1+1=1

當(dāng)，，時(shí)，

|?||?||?|

故①?<正0確；?<0?<0?+?+?=?1?1?1=?3

②由和得，，中有一個(gè)值為負(fù)數(shù)，

∴???<0，?+?+?=0，???

∴?+?=???+?=???+，?=??

??????

故②|?|錯(cuò)+誤|?|；+|?|=1?1?1=?1

③當(dāng)時(shí)，，，

則?3≤?≤4??4≤0?+3≥0，此時(shí)最大值為7，最小值為

當(dāng)?+3?時(shí)，??4=?+，3+??4=2??1?7

則?<?3??4≤0?+3<0

故③?正+確3；???4=???3+??4=?7

④由可得或

當(dāng)?時(shí)=，??=?與?=??矛盾，舍去；

2

?=????=0|???|=3

當(dāng)時(shí)，，且

2

?=?????=?2??+?=02?=3

解得或

1111

?=3,?=?3?=?3,?=3

則，

121

??=?9?=9

第7頁共27頁.

1

?+????1

2=9=

1

故?④正+確1；+110

9

⑤由題意可得，異號(hào)，

當(dāng)，?時(shí)?，，，

由?<0?可>得0?，=即???=符?合題意，此時(shí)

則?，>???>??+?<0?<0<?

當(dāng){??，}=???時(shí)，，

由?>0?可<得0?，=即??=?，?與矛盾，舍去，

綜上?>，??>???+?>0?+?<0

故⑤{正?確?；}=???

正確的個(gè)數(shù)為4

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，新定義問題，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值

的式子．

【變式3-2】（23-24七年級(jí)·安徽滁州·期中）下列結(jié)論：

①若，則；

②若?=?3，則?=±3；

③若??=?，3則?=；3

④若?=?，則?=?；

?

?+?=0?=1

⑤已知、、均為非零有理數(shù)，若，，，則的值為2或．

??????

其中，正?確?的結(jié)?論是（填寫序?號(hào)<）0．?+?<0?+?+?<0?+?+??????2

【答案】①⑤/⑤①

【分析】本題主要考查了相反數(shù)，絕對(duì)值的意義．利用相反數(shù)的意義，絕對(duì)值的意義對(duì)每個(gè)說法進(jìn)行判斷，

錯(cuò)誤的舉出反例即可．

【詳解】解：①若，則，正確，不符合題意；

②若，?則=?3，原?結(jié)=論±不3正確，符合題意；

③若??=?，3則?=±，3原結(jié)論不正確，符合題意；

?=??=±?

第8頁共27頁.

④若，當(dāng)時(shí)，則，原結(jié)論不正確，符合題意；

?

?+?=0?≠0?=1

⑤∵a、b、c均為非零有理數(shù)，若，，，

∴a、b、c有四種情形：，?<，0?+或?<0，?+?+，?<0或，，或，，

，?<0?<0?<0?<0?>0?<0?<0?>0?>0?<0?<0

?當(dāng)>0，，時(shí)，原式；

當(dāng)?<0，?<0，?<0時(shí)，原式=?1?1?1??1=，?2

當(dāng)?<0，?>0，?<0時(shí)，原式=?1+1?1?1=?2，

當(dāng)?<0，?>0，?>0時(shí)，原式=?1+1+1??1=．2

?<0?<0?>0=?1?1+1?1=?2

綜上，已知a、b、c均為非零有理數(shù)，若，，，則的值為2

??????

或．正確，不符合題意；?<0?+?<0?+?+?<0?+?+?????

故答?2案為：①⑤．

【變式3-3】（23-24七年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）根據(jù)絕對(duì)值定義：可將表示為，故化簡(jiǎn)

??≥0

??=?+

可得，，或四種不同結(jié)果，給出下列說法：???<0

①?化簡(jiǎn)?+????一?共?有?8?種?不?同+的?結(jié)果；

②化簡(jiǎn)?+?+?一共有8種不同的結(jié)果；

③若?+??1，+?+2（為正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，．

以上說??法=中2正??確9的個(gè)?數(shù)?為=（?1+）?2+…+?????=916?=34

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

【答案】C

【分析】①由于、、的結(jié)果分別有2種，則的結(jié)果共有種；②根據(jù)的取

值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)|?值|可|?得|當(dāng)|?|時(shí)，|?|+|?|+|?|；當(dāng)2×2×?xí)r2，=8?

；當(dāng)?時(shí)≥1|?|+|??1|+|?+2|=；3當(dāng)?+1時(shí)0，≤?<1|?|+|??1|+|?+

2|；=則?+3?2≤?<0的|結(jié)?|果+共|?有?14|種+；|?③+根2據(jù)|=題?意?可?得1?<?2|?|+，再|(zhì)?由?1|+|?+2|=?3?+

22

3求出|?的|值+|即?可?1|+|?+2|??=16+(??4)16+(??4)=916

【詳解?】解：①的結(jié)果有兩種，的結(jié)果有兩種，的結(jié)果有兩種，

∴的|?結(jié)|果共有|?|種，故①說法|?正|確；

∴當(dāng)|?|+|?時(shí)|+，|?|2×2×2=8

?≥1|?|+|??1|+|?+2|

=?+??1+?+2

第9頁共27頁.

；

=當(dāng)3?+1時(shí)，

0≤?<1|?|+|??1|+|?+2|

=?+1；??+?+2

=當(dāng)?+3時(shí)，

?2≤?<0|?|+|??1|+|?+2|

=??+1??+??2

=???1

當(dāng)時(shí)，；

?<?2|?|+|??的1結(jié)|+果|?共+有2|4=種?情?況+，1?故?②?說?法+錯(cuò)2誤=；?3?+3

∴③|?|+|??1|+|??2|

∵??=|2??9|

∴??=?1+?2+…+??

=7+5+3+1+1+3+5+7+?+2??9

2

=16+(??4)

∵??=916

2

∴解1得6，+(??4)或=916（舍去）

?=34?=?26

∴故?③=說3法4正確，

∴正確的說法有2個(gè)，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)、一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵

【題型4利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】

【例4】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期中）若的值是一個(gè)定值，則a的取值范圍是（）

A．B．2?+C．4?5?+1?3?D．或

141414

?=03<?<53???53???5?=0

【答案】D

【分析】根據(jù)a的范圍，分情況利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，使其值為常數(shù)，即可得到a的范圍．

【詳解】解：當(dāng)a＜時(shí)，4-5a＞0，1-3a＞0，

1

3

第10頁共27頁.

原式=2a+4-5a+1-3a=-6a+5，當(dāng)a時(shí)不合題意；

≠0

當(dāng)≤a≤時(shí)，4-5a≥0，1-3a≤0，

14

35

原式=2a+4-5a+3a-1=3，符合題意；

當(dāng)a＞時(shí)，4-5a＜0，1-3a＜0，

4

5

原式=2a+5a-4+3a-1=10a-5，不合題意，

綜上，滿足題意a的范圍為或．

14

3???5?=0

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)以及整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（23-24七年級(jí)·上海徐匯·階段練習(xí)）已知：，則a的取值范圍是

【答案】???=0

【分析】利?≥用0絕對(duì)值的意義進(jìn)行求解即可得到答案

【詳解】解：因?yàn)椋?/p>

所以，???=0

因?yàn)橐?個(gè)=非?負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，

所以，a的取值范圍是，

故答案為：?≥0

【點(diǎn)睛】本題?考≥查0了絕對(duì)值的意義，解題關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；零的絕對(duì)值是零；一個(gè)負(fù)

數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．

【變式4-2】（23-24七年級(jí)·天津河西·期中）當(dāng)取最小值時(shí)，x的取值范圍是，最

小值是．|?+2|+|??3|

【答案】5

【分析】?2???3表示數(shù)軸上到-2與3的距離之和，可得出最小值以及x的取值范圍；

【詳解】?+2+??3表示數(shù)軸上到-2與3的距離之和，

當(dāng)x的取?值+范2圍+為??3時(shí)，取得最小值，

?2≤?≤3?+，2最+小值??為35；

∴?x+的2取+值?范?圍3為≥?+2??+時(shí)3有=最小5值，最小值為5.

故答案為?2；≤5?.≤3

【點(diǎn)睛】本?題2主≤要?≤考3查了絕對(duì)值的意義，掌握絕對(duì)值的意義在數(shù)軸上求最小值是解題的關(guān)鍵.

第11頁共27頁.

【變式4-3】（23-24七年級(jí)·四川綿陽·期中）若不等式對(duì)一切數(shù)x都

成立，則a的取值范圍是．??2+?+3+??1+?+1≥?

【答案】

【分析】根?≤據(jù)7絕對(duì)值的幾何意義，表示數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即可得到答案．

【詳解】解：由題意可得，???

表?示?點(diǎn)2+x到?+3，+?，?1，+四?點(diǎn)+1間距=離?的?和2，+??(?3)+??1+??(?1)

∴當(dāng)x在?和3之?1間是1距離2和最小，

最小值為?11，

∴,1?(?1)+2?(?3)=7

故答?≤案7為．

【點(diǎn)睛】本?題≤考7查絕對(duì)值的幾何意義：表示數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．

???

【題型5利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值】

【例5】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）已知有理數(shù)，，滿足，且，則

．????+?+?=?+????≠0?+???+

【2答?案?】?10=

【分析】當(dāng)?8.時(shí)，則結(jié)合已知條件得到，不合題意舍去，從而

＜可得?+?+?≥＜0再化簡(jiǎn)?+代?數(shù)+式?即=可?得+到?答+案?,．?=0?+?+?

【詳0解,】解?：+當(dāng)?=0,?0,時(shí)，則

?+?+?，≥0?+?+?=?+?+?,

∵?+?+?=?+???

∴?+?，+?=?+???,

∴?=0，所以不合題意舍去，

∵所?以≠0＜

?+?+?0,

∴?+?+?=?????，?,

∵?+?+?=?+???

∴?+???=??????,

∴?+?=0,

∴?=??,

第12頁共27頁.

＜

∴?0,

∴?+???+2???10=2?????10

=故答2?案?為+：??10=?8.

【點(diǎn)睛】本題?考8.查的是絕對(duì)值的含義，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，同時(shí)考查去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，掌握以上知識(shí)是解題

的關(guān)鍵．

【變式5-1】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期中）若a、b、c為整數(shù)，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，則|a－b|＋|b－c|

＋|c－a|＝．

【答案】2

【分析】因?yàn)椤?、都為整?shù)，而且，所以與只能是0或者1，于是

212021

進(jìn)行分類討論?即?可得?出．|???|+|???|=1|???||???|

【詳解】解：、、為整數(shù)，且，

212021

有∵?，??或|???|，+|???|，=1

∴①若|???|=1，|???|=0，|???|=0|???|=1

則|???|=，1|??，?|=0

???=±1?=?，

∴|???|=|???|=|???|=1，

∴②|???|+|?，??|+|???，|=1+1+0=2

則|???，|=0|???，|=1

?=????=±1，

∴|???|=|???|=|???|=1，

∴故|答??案?為|+：|2?．??|+|???|=0+1+1=2

【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握兩個(gè)相反數(shù)的絕對(duì)值相等是解題的重點(diǎn)，靈活對(duì)絕

對(duì)值的化簡(jiǎn)進(jìn)行變形．

【變式5-2】（23-24七年級(jí)·四川達(dá)州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且，則．

【答案】1?+?+?+?=1???=

【分析】本題考查了絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，以及采用分類討論的思想，根據(jù)絕對(duì)

值的非負(fù)性以及題意，可知當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，分類討論計(jì)

算即可．?+?=0?+?=1?+?=1?+?=0

第13頁共27頁.

【詳解】解：a、b、c是整數(shù)，

，∵是整數(shù)，

∴?+??+?，

又∵?+?+?+，?=1，

∵?+?≥0時(shí)，?則+?≥0或時(shí)，則，

∴當(dāng)?+?=0，?+時(shí)?，=1?+?=1?+?=0

∴則?+?，=0?+?，=1

?=???=1??；

∴當(dāng)???=?，??1+?=1時(shí)，

∴則?+?，=0?+?=，?1

?=???=?1??；

∴當(dāng)???=?，?+1+?=時(shí)1，

∴則?+?=1，?+?，=0

?=1???=??

∴當(dāng)???=1?，?+?=1時(shí)，

∴則?+?=?，1?+?，=0

?=?1???=??，

∴綜上??可?得=：?1??+?，=1

故答案為：1a．?c=1

【變式5-3】（23-24七年級(jí)·山東·課后作業(yè)）圖表示數(shù)在線四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系，且它們表示的數(shù)分別為p、q、

r、s.若|p－r|=10，|p－s|=12，|q－s|=9，則|q－r|=？（）

A．7B．9C．11D．13

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知p＜q＜r＜s，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得：p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，所以q-r=-7，根據(jù)絕

對(duì)值的性質(zhì)，得出|q-r|的值．

【詳解】觀察數(shù)軸可得，p＜q＜r＜s，

∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，

∴p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，

第14頁共27頁.

∴p=r-10，p=s-12，

∴r-10=s-12，

∴s=r+2，

∴q-s=q-r-2=-9，

∴q-r=-7，

∴|q-r|=7．

故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值性質(zhì)的運(yùn)用．解此類題的關(guān)鍵是：先利用條件判斷出絕對(duì)值符號(hào)里代數(shù)式的正

負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把絕對(duì)值符號(hào)去掉，將式子化簡(jiǎn)，即可求解．

【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論問題】

?

|?|

【例6】（23-24七年級(jí)·河南平頂山·階段練習(xí)）已知，且

．則的值為（）???<0?+?+?>0

?????????

?=|?|+|?|+|?|+|??|+|??|+|??|?

A．0B．0或1C．或或D．或或

【答案】A0?2101?6

【分析】由，，可得、、三個(gè)數(shù)中有一個(gè)負(fù)因數(shù)，且正因數(shù)絕對(duì)值的和大于負(fù)因數(shù)

的絕對(duì)值，?由??此<可0得?、+、?+的?符>號(hào)0有三種?情況?（?，，或，，或，，

），再根據(jù)絕對(duì)?值?的性?質(zhì)分三種情況求得?的<值0即?可>解0答．?>0?>0?<0?>0?>0?>0

【?詳<解0】∵，，?

∴、、?三?個(gè)?<數(shù)0中有?一+個(gè)?+負(fù)?因>數(shù)0，且正因數(shù)絕對(duì)值的和大于負(fù)因數(shù)的絕對(duì)值，

∴??，?，或，，或，，，

當(dāng)?<0，?>0，?>0時(shí)，?>0?，<0?>，0?>，0?>0?<0

∴?<0?>0?>0??<0??<0??>0

?????????

?=|?|+|?|+|?|+|??|+|??|+|??|

?????????

=??+?+?+???+???+??

=?；1+1+1?1?1+1

=當(dāng)0，，時(shí)，，，，

∴?>0?<0?>0??<0??>0??<0

?????????

?=?+?+?+??+??+??

第15頁共27頁.

?????????

=?+??+?+???+??+???

=?；1+1+1?1+1?1

=當(dāng)0，，時(shí)，，，，

∴?>0?>0?<0??>0??<0??<0

?????????

?=?+?+?+??+??+??

?????????

=?+?+??+??+???+???

=1+．1?1+1?1?1

綜=上0，當(dāng)，時(shí)，．

?????????

???<0?+?+?>0?=?+?+?+??+??+??=0

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算法則及絕對(duì)值的性質(zhì)，正確得到、、的符號(hào)有三種情況（，，

或，，或，，）是解決問題?的?關(guān)?鍵．?<0?>0

【?變>式06-1?】>（023?-2<4七0年?級(jí)>·浙0江?·期>末0）已?>知0a，?b<，0c為有理數(shù)，且，，則

???

的值為（）?+?+?=0???<0?+?+?

A．1B．或C．1或D．或3

【答案】A?1?3?3?1

【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘法法則推出：要使三個(gè)數(shù)的乘積為負(fù)，a，b，c中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)，進(jìn)而可將a，

b，c的符號(hào)分兩種情況：1負(fù)2正或3負(fù)；再根據(jù)加法法則：要使三個(gè)數(shù)的和為0，a，b，c的符號(hào)只能為

1負(fù)2正，然后化簡(jiǎn)即得．

【詳解】∵

∴a，b，c?中??應(yīng)<有0奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)

∴a，b，c的符號(hào)可以為：1負(fù)2正或3負(fù)

∵

∴a?，+b?，+c?的=符0號(hào)為1負(fù)2正

令，，

∴?<0?，>0?>，0

∴?=???=??=?

???

?+?+?=?1+1+1=1

第16頁共27頁.

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、乘法法則及加法法則，利用加法法則和乘法法則確定數(shù)的符號(hào)是解題關(guān)

鍵．

【變式6-2】（23-24七年級(jí)·江蘇無錫·期中）已知，則值為多少（）

?4???4|?|?|?|

|3???|=3?+|?|+?

A．1或﹣3B．1或﹣1C．﹣1或3D．3或﹣3

【答案】A

【詳解】試題分析：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)及連乘法則，可判斷出x、y、z的符號(hào)，再根據(jù)正負(fù)性即可求值.

解：∵，

?4???4

∴|3???，|=3

∴x?、??y<、0z的符號(hào)為三負(fù)或兩正一負(fù).

當(dāng)x、y、z均為負(fù)值時(shí)，

原式＝（－1）+（－1）+（－1）＝－3；

當(dāng)x、y、z為兩正一負(fù)時(shí)，

原式＝1+1+（－1）＝1；

∴值為1或－3.

|?|?|?|

?+|?|+?

故選A.

點(diǎn)睛：本題涉及的知識(shí)有絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法.解題的關(guān)鍵在于要利用已知條件結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)、有理

數(shù)連乘法則判斷出x、y、z的符號(hào)，同時(shí)要注意利用分類討論思想.

【變式6-3】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）如果p，q是非零實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程

始終存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的值為．||2023??2024|??|=??

?+????????

|?+?|+|???|+|??|+|?|+|?|

【答案】1

【分析】本題考查含絕對(duì)值的一元一次方程的解，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，能夠確定且是解題

的關(guān)鍵．?<0|?|>|?|

【詳解】解：方程，

，即∵|，|2023??2024|??|=??

∴??>0?<0或，

∴|2023??2024|??=?或|2023??2024|??=?，?

∴方|2程02始3?終?存2在02四4|個(gè)=不?同+的?實(shí)|2數(shù)0解23，??2024|=???

∵

第17頁共27頁.

，，

∴?+?>且0???，>0

∴?>0|?|>|?|，

?+????????

∴|?+?|+|???|+|??|+|?|+|?|=1+1?1+1?1=1

故答案為：1．

【題型7利用分類討論思想解決多絕對(duì)值問題】

【例7】（23-24七年級(jí)·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)、、所對(duì)應(yīng)的數(shù)、、都不為0，且

是的中點(diǎn)，如果?，?則原?點(diǎn)的大致