高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題29《定義法或幾何法求空間角》講義及答案

專題29定義法或幾何法求空間角

一、單選題

1.在長方形A8CO中，AB=2AD,過A。，BC分別作異于平面ABC。的平面a,/3,若二口戶=/,則/

與8。所成角的正切值是（）

A.—B.1C.2D.4

2

2.在正方體E為棱4A的中點(diǎn)，則異面直線EG與AD所成角的正切值為（）

A.—B.在C.@D.—

2222

a

3.已知三棱柱qG的側(cè)棱與底面垂直，體積為一，底面是邊長為"的正三角形，若P為底面

4

A8C的中心，則P4與平面A8C所成角的大小為（）

5左八冗「兀c九

A.—B.—C.-D.一

12346

4.空間四邊形ABC。中，AB、BC、8的中點(diǎn)分別是P、Q、R,且PQ=3,QR=5,PR=7,那么異面直線

AC和瓦）所成的角是（）

A.30°B.60C.120°D.150°

5.如氨，正三棱柱的九條棱都相等，三個側(cè)面都是正方形，M、N分別是BC和AG的中點(diǎn)，則MV與

A用所成角的余弦值為（）

6.如圖在四面體QA3C中，PC_L平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么直線AP和C8所成角的余

弦值：）

7.如圖所示，點(diǎn)P是二面角a-A3-夕楂上的一點(diǎn)，分別在a、4平面內(nèi)引射線PM、PN,若

/BPM=NBPN=45°,/MPN="、那么二面角。一48一夕的大小為（）

A.60B.70°C.80D.90

8.如圖，是正方體，4g=。6=：4片，則8耳與。耳所成角的余弦值是（）

9.在長方體ABC。—AgGR中，AA.=AD=\,AB=2,P、。分別為上底面的邊A。、CO的中

點(diǎn)，過P、Q的平面與底面交于R、s兩點(diǎn)，R、s分別在下底面的邊用G、4與上，4s=g,

平面PSR。與棱AA交于點(diǎn)T，則直線燈與側(cè)面4ROA所成角的正切值為（）.

5

A.-

2

B.2

C.6

D,或

2

10.如圖，在正四棱錐P—A8CD中，設(shè)直線與直線OC、平面43CD所成的角分別為。、夕，二

面角「一8一"的大小為貝（）

A.a>p,y>pB.a>p,y<p

C.a<P，y>。D.a<p,y<p

11.己知在正方體48co—A4G。中，M，N分別為AQ,AC上的點(diǎn)，且滿足AO=3MO,

AN=2NC,則異面直線MN與GA所成角的余弦值為（）

A.柜B.立C.在D.正

5534

12.如圖所示，已知正方體ABC。-A4GR,則直線GA與平面A3C所成的角為（）

DiG

A.30。B.45°C.60°D.90°

13.如圖，四棱錐尸一ABC。中，ABC。為矩形，平面PAO_L平面ABC。，PA=PD,。是線段PC上

的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.設(shè)AQ與所成的角為AQ與平面ABC。所成的角為夕，二面角Q-AB-C的平

面角為/,則（）

A.a<p<yB.P<a<yC.y<p<aD.p<y<a

14.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉瞞.在鱉嚅A3CD中,

ABJL平面BCQ,且48=3。=CO,則異面直線AC與3短所成角的余弦值為（）

x/3

rV3

V-.----.~T

15.已知長方體4?。。-4片6口的高兒4=2,47=2遙，44=乂4。=丁，則當(dāng)工+》最大時，二面

角A一qA—G的余弦值為（）

<15c.正

—

二、多選題

16.在正方體ABQ>4SGa中，E,F,G分別為BC,CG,8囪的中點(diǎn)，則（）

A.DDA.AF

B.BG〃平面AEF

C.異面直線4G與政所成角的余弦值為巫

D.點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)。到平面AM的距離的2倍

17.在棱長為1的正方體中中，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動，則下列命題正確的是（）

A.異面直線C|P和C4所成的角為定值

B.直線。。和平面BPG平行

C.三棱錐8PG的體積為定值

D.直線CP和平面A所成的角為定值

18.20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人

工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及他們的過渡形態(tài).

其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個頂點(diǎn)，14個面（6個正方形、8個正三角形），它是將立方

體“切”去8個“角”后得到的幾何體.已知一個立方八面體的棱長為1,則（）

它的所有頂點(diǎn)均在同一個球面上，且該球的直徑為2

它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直

它的體積為逆

3

D.它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等

三、解答題

19.如圖，在四棱錐/M8CO中，平面PBC_L平面4BCDN8OC=90。，BC=T,BP=5PC=2.

（1）求證：CO_L平面PBD；

（2）若與底面PBC所成的角為:，求二面角B-PC-。的正切值.

20.如圖所示，平面A8E凡L平面ABC,四邊形A8E/是矩形，AB=2,AF=20，△ABC是以A為直角

的等腰直角三角形，點(diǎn)P是線段8尸上的一點(diǎn)，P尸=3.

Pi

A

B

(1)證明：AC_LBF；

(2)求直線BC與平面布。所成角的正切值.

21.如圖AB=BD,NA8力=60。，平面88_L平面ABD,E、F、G分別為棱AC、CD、A。中點(diǎn).

(1)證明：E/LL平面3CG；

(2)若8。=4,且二面角A—8尸一O的正切值為遙，求三棱錐G—8E尸體雙.(注意：本題用向量法求解

不得分)

22.公ABC中,AB=AC=y/5>BC=2,E,F分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且EF7/BC,AHLBC

于〃，A/n￡F=O,將上“沿折起，點(diǎn)A到達(dá)A',此時滿足面4巴尸_1_面呂CF石.

AP5

(1)若一=-,求直線48與面BCfE所成角大小;

EB3

（2）若E,尸分別為AB,AC中點(diǎn)，求銳二面角A—8后一。的余弦值；

（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)△到面A'CF的距離.

23.在四棱錐P—ABCO中，AD//BC.BCtCD,ZABC=120°,A￡>=4,5c=3,AB=2,

CD=6CE，APA-ED.

（1）求證：。石_1_面莊〃：

（2）已知點(diǎn)尸為A3中點(diǎn)，點(diǎn)尸在底面ABC。上的射影為點(diǎn)Q,直線4P與平面A8CQ所成角的余弦值

為立，當(dāng)三棱錐尸的體積最大時，求異面直線尸8與。尸所成角的余弦值.

3

24.如圖，已知四棱錐A—BCDE1中，8C_L平面ADC,乙48=45°，DE//BC,AC=BC=2DE,

EA=EB，?是AB的中點(diǎn).

（I）求證：EF〃平面ACO；

（II）求直線A8與平面88七所成角的正弦值.

25.如圖，在矩形A6CD中，AB=35BC=3,沿對角線8。把折起，使點(diǎn)C移到點(diǎn)（7,且

C在平面ABD內(nèi)的射影O恰好落在AB上.

oA

(1)求證：AD1BC；

(2)求證：平面DBC1.平面ADC；

(3)求二面角C—AO—B的余弦值.

26.如圖，已知三棱錐P-ABC中，AB=AC=PA=PB=2,BC=2丘,。為8c的中點(diǎn).

P

(1)求證：PD.LAB；

⑵若PD=B求PO與平面PAC所成角的正弦值.

27.如圖，三棱柱ABC-A4G中，44_1_平面ACCA，ZOL4)=60°,AB=A4,=1,AC=2.

(I)證明：例_LBC；

(II)求直線A片與平面ABC所成角的正弦值.

28.如圖，在平面四邊形4ABe中，NC43=NC4'A=90。，AfA=A'C.AB=AM=MC,A4ZC繞

AC旋轉(zhuǎn).

（1）若AA'AC所在平面與AABC所在平面垂直，求證：AC_L平面AA5.

（2）若二面角A'—AC—8大小為60。，求直線43與平面ABC所成角的正切值.

29.如圖，多面體48coE/中，四邊形A8CO是菱形，ZABC=60%F4_L平面ABC。,

FA/皿AB=FA=2ED=2.

（1）求二面角FBCA的大小的正切值；

（2）求點(diǎn)E到平面AR7的距離；

（3）求直線AC與平面A3F所成的角的正弦值.

30.如圖，三棱臺ABC—Z）斯中，/ABC=90'，AC=2AB=2DF,四邊形ACFD為等腰梯形,

ZACF=45,平面A8EO_L平面4CFD.

(I)求證：ABLCF；

(ID求直線與平面48c所成角的正弦值.

專題29定義法或幾何法求空間角

一、單選題

1.在長方形A8CO中，AB=2ADf過A。，BC分別作異于平面ABC。的平面a,。,若二口戶=/,則/

與8。所成角的正切值是()

A.—B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】

將異面直線平移到同一平面ABC。中即有/與8。所成角為NAD3,即可求其正切值.

【詳解】

由4Q〃8c及線面平行的判定定理，得ADH。,

再由線面平行的性質(zhì)定理，得AD//1.

所以/與所成角是NADB，從而tanNA￡>8=2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過京移直線，把異面直線的問題

化歸為共面直線問題來解決：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩關(guān)到同一平面內(nèi)；

(2)認(rèn)定：確定異面直線所成的平面角；

jr

(3)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,耳］,當(dāng)角為鈍角時，應(yīng)取補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的

角.

2.在正方體48co—4⑸GA，￡為棱AA的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為()

BTC-TD-T

【答案】c

【分析】

利用正方體A8CO—44GR中，B,C,；MD,將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線EQ與&G所成角的正切值,

在VGgE中進(jìn)行計算即可.

【詳解】

在正方體ABC。-A旦GR中，BCJ/AD,所以異面直線EG與AO所成角為NEC￡,

如圖設(shè)正方體邊長為2a，則由E為棱AA的中點(diǎn)，可得AE=〃，所以4七=扇,

B[E_\/5a_岳

則tanNECM=鬲一五一彳

故選:C.

【點(diǎn)睛】

求異由直線所成角主要有以下兩種方法：

幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的

三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角.

向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余弦取

絕對值即為直線所成角的余弦值.

Q

3.已知三棱柱ABC-A,qG的側(cè)棱與底面垂直，體積為；，底面是邊長為Q的正三角形，若尸為底面

4

A4G的中心，則R4與平面48c所成角的大小為（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)三棱柱ABC-44G的體積公式，求得。p二石，結(jié)合線面角的定義，即可求解.

【詳解】

如圖所示，底面是邊長為百的正三角形，可得S&^c=」xGxGxsin60〉=乎，

設(shè)。點(diǎn)是AABC的中心，所以匕鏟A.=50記-0尸=3叵?。尸=2,解得OP=JL

又由0A=xx—=1,

23

在直角△O4P中，可得tan/OAP=2C=Y>=石，

OA1

式71

又0</。4。<一,所以/。4尸二一.

23

故選：B.

4點(diǎn)?力——7\B

G

4.空間四邊形ABC。中，AB、BC、CO的中點(diǎn)分別是P、。、R,且PQ=3,QR=5,PR=L那么異面直線

AC和6。所成的角是（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】B

【分析】

由異面直線所成角的定義確定異面直線所成的角，然后在三角形中由余弦定理計算.

【詳解】

???AB、BC、CD的中點(diǎn)分別是P、Q、R,：,PQ//AC.QR//BD,

工異面直線AC和BD所成的角是/PQR（或其補(bǔ)角）,

PQ'QR-P居_32+52_72__j_

△PQR中cos/PQR=,NPQR=120。，

2PQQR--2x3x5~~2

???異面直線AC和BD所成的角為60°.

故選：B.

5.如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個側(cè)面都是正方形,M、N分別是BC和AG的中點(diǎn)，則MN與

L?——

5105。?嚕

【答案】D

【分析】

取AK的中點(diǎn)連接PN、PB，設(shè)P3C1A四=Q,證明出四邊形8MNP為平行四邊形，可知異面直

線MN與A片所成的角為NAQ3或其補(bǔ)角，設(shè)43=2,計算出△ABQ三邊邊長，利用余弦定理計算出

cosNAQB,即可得解.

【詳解】

取44的中點(diǎn)尸，連接PN、PB，設(shè)尸BnA4=Q,設(shè)AB=2,

???P、N分別為4與、AG的中點(diǎn)，則PN〃B￡且PN=gBG，

在正三棱柱ABC-AQG中，BC〃與G且旦G，

???M為8C的中點(diǎn)，所以，BM//PN且BM=PN,

則四邊形BMN尸為平行四邊形，所以，MNHPB,

所以，異面直線MV與A耳所成的角為NAQ8或其補(bǔ)角,

=2近,PB=小PB；+BB；=岳,

?.?A4〃AB,嗤嚼嚼=；..AQ=|明呼,BQ1PB=*

由余蘢定理可得cosNAQB=AQ十頌,

2AQBQ10

因此，MN與A與所成角的余弦值為巫.

10

故選：D.

【點(diǎn)睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面

直線問題來解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩袋,作出異面直線所成的角；

（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；

I八TC

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是［0,耳，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面

直線所成的角.

6.如圖在四面體BA8C中，PC_L平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么直線AP和CB所成角的余

弦值（）

【答案】A

【分析】

設(shè)AB=8C=C4=PC=2,分別取43,AC,PC的中點(diǎn)連接DE,EF,DF,CD,則

DE//BC,EF//AP,所以/DEF（或其撲角）就是直線AP和C3所成的角，根據(jù)三角形的余弦定理可求

得選項(xiàng).

【詳解】

設(shè)AB=BC=C4=?C=2,分別取48,4。，尸。的中點(diǎn)。,瓦尸，連接DE,EF,DF,CD,

則DE〃BC,E尸〃AP,所以NDEF（或其補(bǔ)角）就是直線AP和C5所成的角，

又PC_L平面ABC,DCu平面A8C,所以尸C_LDC,所以0尸={FC?+DC?=,產(chǎn)+=2,

又OE=，8C=1,FE=-AP=y/2f所以在△7）瓦'中，

22

。爐+律―。尸2_產(chǎn)+（閭-2?72

cos/.DEF=

2DExEF2x1x754

所以直線AP和CB所成角的余弦值為—.

本題考查求異面直角所成的角，平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線,

把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩務(wù)，作出異面直線所成的角;

(2)認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,5,當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面

直線所成的角.

7.如圖所示，點(diǎn)P是二面角-萬棱上的一點(diǎn)，分別在。、4平面內(nèi)引射線PM、PN,若

NBPM=NBPN=45，NMPN=60'那么二面角。一43一夕的大小為()

A.60B.70C.80D.90

【答案】D

【分析】

過48上一點(diǎn)。分別在。、/內(nèi)做A8的垂線，交PM、PN于點(diǎn)M、N,則NMQN即為二面角

一夕的平面角，設(shè)尸Q=a,通過解三角形即可求出答案.

【詳解】

解：過A8上一點(diǎn)。分別在1、夕內(nèi)做AB的垂線，交PM、PN于點(diǎn)M、N,

則NMQN即為二面角。一43-尸的平面角，如下圖所示：

設(shè)PQ=a,NQPN=NQPM=45,

：,QN=QM=a,PN=PM=回，

又?：NMPN=&y,工LMPN為等邊三角形,則MV二缶，

222

?9?QN+QM=MNf

???NA1QN=90,

故選：D.

8.如圖，48。。一4片￡。|是正方體，4耳=。6=；44，則B居與所成角的余弦值是（

)

D,正

2

【答案】A

【分析】

通過平移直線求得異面直線所成的角，再由余弦定理即可得解.

【詳解】

過點(diǎn)A在平面A844內(nèi)作AfV/Of；,再過點(diǎn)用在平面4內(nèi)作&E//A/，如圖,

則ZBE.E或其補(bǔ)角即為8巴與DF｝所成的角,

因?yàn)锳BC?！狝耳是正方體，不妨設(shè)4G==4A4=1，

4

2

則BE=—AB=2,BE]=EE1=>/4+1=VF7?

BE；+EE-BE?17+17-415

所以在△§￡￡：中,cosNBE[E=

2xVF7xVF7-17,

故選：A.

9.在長方體—中，AAi-AD-I,AB=2,"、。分別為上底面的邊A。、8的中

點(diǎn)，過P、。的平面與底面4媯G。交于R、S兩點(diǎn)，R、S分別在下底面的邊用0、4⑸上，B1S=g,

平面尸SR。與棱A4交于點(diǎn)丁，則直線7S與側(cè)面AROA所成角的正切值為（）.

B.2

C.6

D.6

2

【答案】A

【分析】

4S

根據(jù)題意畫出圖形，通過分析可知，直線7S與側(cè)面ARD4所成角為幺75,則tan/4/S=六，然后

根據(jù)圖形中的幾何條件分析計算出AT及AS的長度即可解得答案.

【詳解】

延長P7和SR交于點(diǎn)E,連接QR,AG，

???PQU平面ABCD，平面ABC?！ㄆ矫鍭B￡D1,

：.尸?！ㄆ矫鍭BCQ,

又尸Qu平面PQRS,且PQRSflABCR=RS,

APQ//RS,乂PQ〃AG

???&s〃AG，?,?%JR=3J,

A81--2-4

又B￡=AD=l,：.BiR=—,

AA,ESsAB、RS,

1

As空s2-

==-33

AE-4R-1=2,且AS=A4_B1S=p,???AE=G，

4-

APA.E11

丁AAPTsAA[ET,,且==不，

A/A/22

3

.V_A^_4_3

,?---~-又AT+AT=A^=1,

ATAP2

2

根據(jù)線面夾角的概念可知，直線0與側(cè)面4RD4所成角為幺方，

3

則tanZVS=^=]=|

5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面夾角的計算問題，利用定義法求解線面夾角時，一般步驟如下：

(1)找出斜線在平面內(nèi)的投影，或根據(jù)題目條件通過作輔助線找到投影，找到所求角;

(2)根據(jù)幾何條件計算所求角所在三角形的各邊長；

(3)根據(jù)解三角形的方法計算所求角的三角函數(shù)值.

10.如圖，在正四棱錐P—A5c。中，設(shè)直線與直線DC、平面ABC。所成的角分別為a、4，二

面角P—CO—8的大小為了，則()

A.?>/?,/>/?B.a>P，y<P

C.a<p,y>pD.a<P，y<fi

【答案】A

【分析】

連接AC、B力交于。，連尸O,取CO的中點(diǎn)E,連OE、PE,根據(jù)正棱錐的性質(zhì)可知，4PCE=a,

4PC0=。，/PEO=y,再比較三個角的正弦值可得結(jié)果.

【詳解】

連接AC、BD交于0,連PO,取CO的中點(diǎn)E,連OE,PE,如圖:

因?yàn)锳3//CD,所以NP84=a,又因?yàn)樗睦忮FP—A3CD為正四棱錐，所以/PCE=a,

由正四棱錐的性質(zhì)可知，PO_L平面A68,所以NPCO=〃，

易得。E_LCZ),PELCD,所以NPEO=y,

PFpc

因?yàn)閟ina=正，sinp=,且PE>PO,所以sin。>sin/7,又a,￡都是銳角，所以a>￡,

POPO

因?yàn)閟in/=—,sin〃=——,且PC>PE,所以sin/>sin￡,因?yàn)椤?7都是銳角，所以

PEPC

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，利用異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義得到

這三個角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

11.已知在正方體ABCD-AHGD中，M，N分別為A。，AC上的點(diǎn)，且滿足AO=3MO,

AN=2NC,則異面直線MN與GA所成角的余弦值為（）

A.還TD邛

5-5

【答案】A

【分析】

取線段AOI二一點(diǎn)￡，使AE=2E￡＞，連接ME，NE,證明4/NE（或其補(bǔ)角）為異面直線MV與GR

所成的角，在△“可￡中求出此角的余弦艮」可.

【詳解】

取線段A。上一點(diǎn)￡，使AE=2ED，連接ME,NE,如圖所示,

MDCNDE1

因?yàn)锳。=3MD,2NC,所以而二萬~AD~3

所以NE//CD,ME//AA,,

又CDUC\D\,所以易知/MAE（或其補(bǔ)角）為異面直線MN與GA所成的角?

正方體中A%J_平面ABC。，NEu平面ABCD,所以AAJ.NE,所以MELNE

21

設(shè)該正方體的棱長為3〃，則EN=§C￡>=2。，ME=-AAl=a,

所以在孜△MNE中，MN=dME、EN2='/+（㈤2=&,

EN_2a_2x/5

所以cos/MN￡=

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，解題時需根據(jù)定義作出異面直線所的角，并證明，然后再計算.

12.如圖所示，已知正方體,則直線G"與平面43c所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

把G4與平面48C所成的角轉(zhuǎn)化為A冉與平面48。所成的角，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得Aq

平面ABC,得到N旦AO為4片與平面A3C所成的角，在直角△Ago中，即可求解.

【詳解】

由題意，在正方體ABC?！?8cA中，可得A8J/G。，

所以直線與平面A8C所成的角，即為A4與平面A/C所成的角,

連接交A出于點(diǎn)。，可得

又由6C_L平面ABgA,因?yàn)锳B|U平面A3片A，可得8C_LA用

由線面垂直判定定理，可得44_L平面ABC,

所以N與A0為A片與平面\BC所成的角，

設(shè)正方體—的棱長為1,可得片0=孝，

在直角2^4耳。中，sinNgA,O=W=立，

AB、2

因?yàn)?用4。￡（0。,90）,所以/&40=45°.

故選：B.

13.如圖，四棱錐尸一ABC￡＞中，ABC。為矩形，平面Q4D_L平面ABC。，PA=PD,。是線段PC上

的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.設(shè)AQ與8C所成的角為。，AQ與平面A8CO所成的角為夕，二面角。一AB-C的平

面角為/，則（)

A.a<p<yB.P<a<yC.y</3<aD.P<y<a

【答案】D

【分析】

根據(jù)空間角的定義作出異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角，歸結(jié)在直角三角形中

計算正弦值、余弦值，然后可得角大小.

【詳解】

如圖，取A。中點(diǎn)E,連接尸石，:Q4二尸Z）,???PE_LAD，而平面BADJ_平面ABC。，平面24。門

平面ABC。=AO,???PE_L平面A8CZ），

連接EC,作。?！ㄋ籈C于。，則。O_L平面ABC。，

??,AD//BC，:.ND4Q為直線AQ與BC所成的角，即ND4Q=a，作QNJ_AO于七，二sina=第,

QA

連接A。，則NQAO是宜線4。與平面ABC。所成的角，即/。4。=夕，顯然Q0_LQ4,

???而加絲，

AO

作0M〃8C交AB于M，則QM_L48,連接QM,由OQ_L平面A8CD得Q。，AB,

QOC|OM=O,??.A8_L平面AQM,???A8_LQM,???NQM。是二面角Q—A8—C的平面角，即

NQMO=y,同樣。OJ_OM,sin/=-^-,

OM

由圖可知OQ<QN,??.sina>sin〃，a>P（a,〃都是銳角），

OM<AO,Asin^<sin/,p<y（/也是銳角），

NAOM

又cosau^,cos/=——,根據(jù)上面作圖過程知OMAN是矩形，OM=AN,Acosa<cos/,

QAQM

cc>y,

綜上/</<a.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間角：異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，解題關(guān)鍵是根據(jù)它們的定義作出這

些角（平面上的角），然后利用二角函數(shù)值比較它們的大小.

14.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.在鱉膈ABCQ中,

AB_L平面BCD,且45=8C=C￡>,則異面直線AC與3。所成角的余弦值為（）

D.且

23

【答案】A

【分析】

如圖所示，分別取A8,AD，BC,8。的中點(diǎn)E,F,G,0,則EF//3Q,EG//AC,FOtOG,

/FEG為異面直線AC與BO所成角.

【詳解】

解：如圖所示，分別取AB,AD，BC,BD的中點(diǎn)E,F,G,0,則EF//BD,EG//AC,FO1.OG，

：.NFEG為異面直線AC與BO所成角.

設(shè)A3=2a，則EG=EF=&。，F(xiàn)G=d$/=&，

ZFEG=60°,

，異面直線AC與8。所成角的余弦值為g,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面

直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,g,當(dāng)所作的角為鈍角時,

應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直

線所成的角.

15.已知長方體ABC?！狝4GR的高刈=2,AC=2幾，4用=x,AD,二y,則當(dāng)x+y最大時，二面

角4-旦。一G的余弦值為（）

A.叵B.一巫C.—D.-2

5555

【答窠】B

【分析】

先由基本不等式得確定當(dāng)且僅當(dāng)X=y=4時，x+y取得最大值8,接著求出a=b=2^3fABl=ADl=4f

4A=AC=2?,再取用。的中點(diǎn)丁，連接ar，CJ，AG，并確定NA『G就是二面角A—40—G

的平面角，最后在三角形ACJ中由余弦定理求得cosNATG解題.

【詳解】

解：設(shè)AB=a,BC=b,

則由題意得:/”2=（2拘2,1+22=了2,從+22=y2,

所以V+y2=32,由基本不等式得：（x+yfvZC?+V,nM,

當(dāng)且僅當(dāng)冗=y=4時，x+）取得最大值8,此時々=8=26，A4=A〃=4,

所以修R=AC=2屈.

取qA的中點(diǎn)丁，連接AT，C,T,AG，如圖，

則AT_L4A，C】T上BR,則NATG就是二面角A—gR—G的平面角，

在等腰三角形中，因?yàn)锳q=A〃=4,4A=2"，所以AT=Ji6，

在等腰三角形4A中，因?yàn)镚4=GA=2g,B°=2?所以CJ=&,

在長方體ABCD-ABCiD，求得AG=2近，

故在三角形4CJ中，由余弦定理得cos乙47G二=一半，

4Z"1JL*JIv?iJ

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題主要考查二面角的余弦值的求解，是中檔題.求二面角的常用方法:

（1）找（確定二面角的平面角）

①點(diǎn)〔定義法）：再一面角的棱上找一個特殊點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直與棱的射線：

②線：三垂線定理）：過二面角的一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可

找到二面角的平面角或其補(bǔ)角；

③面：垂面法）：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的

角即是二面角的平面角.

（2）求（求二面角的平面角的余弦值或E弦值）

①在三角形中，利用余弦定理求值；

②射影面積公式求值；

③利用公式法求值.

還可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值.

二、多選題

16.在正方體A8CQ-4SG。中，E,F,G分別為BC,CCi,83的中點(diǎn)，則（）

A.DDA.AF

B.4G〃平面力￡小

C.異面直線4G與所所成角的余弦值為巫

10

D.點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)。到平面AM的距離的2倍

【答案】BCD

【分析】

利用正方體的性質(zhì)，平移異面直線得到它們的平面角進(jìn)而證OQ、4尸是否垂直及求直線4G與E尸所成角

的余蘢值即可，利用等體積法可求G到平面AEF的距離與點(diǎn)C到平面4EF的距離的數(shù)量關(guān)系，利用線面平

行的判定即可判斷4G、平面4EP是否平行.

【詳解】

4選項(xiàng)，由皿〃CC「即CG與A廠并不垂直，所以。D_LA尸錯誤.

8選項(xiàng)，如下圖，延長FE、G5交于G'連接/G'、G凡有GF//BE又E,F,G分別為8C,CCi,BBi的中

點(diǎn)，所以GG'=B81=AA，而A4//GG,即AG//AG'；又因?yàn)槊鍭8gA0面4砂=46,且46?

面AE/L46(=面48片4，所以4G“平面AE尸，故正確.

。選項(xiàng)，取qG中點(diǎn)”，連接GH,由題意知GH與瓦'平行且相等，所以異面直線AiG與七戶所成角的

平面角為“GH,若正方體棱長為2,則有G”=J5，AG=A〃=W，即在AAG”中有

。選項(xiàng)，如下圖若設(shè)G到平面4E尸的距離、C到平面AEr的距離分別為4、力2,則由

=

匕-GEF=§,A8?SGEF=VG.AEF,SAEF且^A-CEF~-SCEF==]也。SAEF,知

凱:2,故正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：求異面直線所成角時平移線段，將它們置于同一個平面，而證明線面平行主要應(yīng)用線面平行的

判定、線面垂直的性質(zhì)證明.

1、平移：將異面直線置于同一平面且有一個公共點(diǎn)，結(jié)合其角度范圍為（0,3].

2、線面平行判定：由直線平行該直線所在的一平面與對應(yīng)平面的交線即可證線面平行.

3、由匕_GEF=^G-AEF'匕-CEF=^C-AEF即可求G、C到平面AEF的距離比.

17.在棱長為1的正方體中A8CO—44G。中，點(diǎn)p在線段上運(yùn)動，則下列命題正確的是（）

A.異面直線Cf和C5所成的角為定值

B.直線CO和平面BPG平行

c.三棱錐O-BPG的體積為定值

D.直線CP和平面A8G。所成的角為定值

【答案】ABC

【分析】

4由正方體的性質(zhì)判斷8c，平面ABCR,得出8C_LC7,異面直線C尸與Cq所成的角為90。：B：

由CD〃43,證明〃平面ABC；。，即得?！ㄆ矫?PG；C：三棱錐D—BPC；的體積等于三棱錐的

體積P-O3G的體積，判斷三棱錐。-8尸￡的體積為定值；D：找出直線CP和平面ABC；。所成的角，

可知其不是定值.

【詳解】

解：對于A,因?yàn)樵谡襟wA8CO—A4Gp中，

8clBQ,B.CLC.D,,

又BqnCR=C，BC],GRu平面A3GA，

所以B|CJ_平面ABGR,

而CJu平面所以gCJ_C/,

故這兩個異面直線所成的角為定值90。，所以A正確；

對于3,因?yàn)槠矫鍮PG與面A8GR是同一平面，

DC//AB,ABi面ABGR,。。仁平面A8GR,

故CZ)〃平面ABGP，即CD〃平面8PG，故B正確；

對于C,三棱錐。-BPG的體積等于三梭錐尸-。5G的體積，

而平面DBCI為固定平面，且△DBC1大小一定,

又因?yàn)镻sAQ,

因?yàn)锳A//8G，4。仁平面6￡)C],8C|U平面8。a，

所以AR〃平面DBG，

所以點(diǎn)A到平面DBG的距離即為點(diǎn)尸到該平面的距離，為定值,

所以三棱錐。-8PG的體積為定值，故c正確：

對于由線面夾角的定義，令8G與BC的交點(diǎn)為a

所以4C_L平面48GR,

可得Z.CP0即為直線CP與平面A8GA所成的角，

當(dāng)P移動時這個角是變化的，故D錯誤.

故選：ABC.

【分析】

本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定及性質(zhì)，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，空間中的

距離，屬于較難題.

18.20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人

工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及他們的過渡形態(tài).

其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個頂點(diǎn)，14個面（6個正方形、8個正三角形），它是將立方

體“切”去8個“角”后得到的兒何體.已知一個立方八面體的棱長為1,則（）

A.它的所有頂點(diǎn)均在同一個球面上，且該球的直徑為2

B.它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直

C.它的體積為述

3

D.它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等

【答案】ACD

【分析】

利用立方八面體與正方體之間的關(guān)系計算出正方體的棱長，可判斷A、C選項(xiàng)的正誤；計算出不共面的棱所

成角的大小可判斷B選項(xiàng)的正誤，計算相鄰的兩個面所成二面角的大小可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

如下圖所示，由題意可知，立方八面體的頂點(diǎn)為正方體各棱的中點(diǎn)，

故立方八面體的棱為正方體ABC。-A4GA相鄰兩條棱的中點(diǎn)的連線，

故正方體的校長為戶7=五,

由對稱性可知，立方八面體的外接球球心為正方體ABC?！狝4cA的中心，

外接球的直徑為正方體的面對角線長2,該球