高考理科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)試卷及其答案+概率與統(tǒng)計(jì)+概率統(tǒng)計(jì)專題練習(xí)題

高考理科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

試卷及其答案+概率與統(tǒng)計(jì)+概率統(tǒng)計(jì)專題練習(xí)題

高考理科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)試卷題目（附參考答案）

第一部分選擇題（40分）

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1.已知命題p:對(duì)任意的xwR,有l(wèi)nx>l,則「p是()

A.存在XoCR,有IHXQVIB.對(duì)任意的xwA,有Inxvl

C.存在XOGK，有l(wèi)n%o<lD.對(duì)任意的xwR,有InxKl

2.已知外|2x-3|<1,q：x（x-3）<0,則夕是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.集合A={），|y=2',x￡R},8={-2,—1,0,1,2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.A8=(0,+oo)B.(5A)UB=(—,()]

C.(3)1B={-2,-l,0}D.(?A)I5={1,2}

4.已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)P(-4〃,3A)(Z<0),則2sin0+cos0的值是)

22

A.-B.--

55

C.1或D.隨著A的取值不同其值不同

5.函數(shù)y=Jl-x+Jx-l是)

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)I）.非奇非偶函數(shù)

6.已知/（x）是R上的減函數(shù)，則滿足/（2）>/（1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

)

A.(—oo,l)B.(l,+oo)

c.y,o)(0,1)D.y,o)(i,+oo)

7.將函數(shù)）=以%（1-7T巴）的圖象上所有點(diǎn)向右平T移T乙單位，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)是（）

36

A.y=cosxB.y=sinx

C.y=-cosxD.y=-sinx

8.在股票買賣過(guò)程中，經(jīng)常用到兩種曲線，一種是即時(shí)價(jià)格曲線尸f(x),一種是平均價(jià)

格曲線y=g(>)(如f(2)=3表示開(kāi)始交易后第2小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元；g(2)=4表示

開(kāi)始交易后兩個(gè)小時(shí)內(nèi)所有成交股票的平均價(jià)格為4元).下面所給出的四個(gè)圖象中，實(shí)

線表示y=f(￥)，虛線表示其中可能正確的是

()

第二部分非選擇題(110分)

二、填空題(每小題5分，共30分)

9.「|1+2歐=___*_____.

J-4

10.已知a>人>0,全集I=R,M={x\b<x<a^］?N={x|Vx?a},

貝ljMAN=*

兀3

11.已知sin(——x)=-,則sin2x的值為*.

45

12.若XNO,y>0,且x+2y=l,則2x+3y?的最小值是*.

13.在A4BC中，乙4、/B、NC所對(duì)的邊分別為。、b、c,若A=60°,b、c分別

是方程/-71+11=0的兩個(gè)根，則。等于

14.已知定義在區(qū)間［0,1］上的函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示，對(duì)于滿足的任

三、解答題(共6大題，共80分)

15.(本題滿分12分)

52，、x<\

設(shè)函數(shù)/(x)=(-----

4-7^1x>\

(1)求/"(0)］；

(2)若/'(x)=1,求x值.

16.(本題滿分12分)

XX

函數(shù)/(x)=cos(-5)+sin(;r-：),xeR。

(1)求f(x)的周期：

(2)若/(a)=2^^,a€(0,,求tan(a+；)的值。

17.(本題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=4sin2?x+(p)(J>0,(o>0,0<(p<y)，且y=/(x)的最大值為

2,其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,并過(guò)點(diǎn)(1,2).

(1)求(p；

⑵計(jì)算〃1)+/(2)+...+/(2011).

18.(本題滿分14分)

圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)

示意圖，其中四邊形力仍9是矩形，弧07〃是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4.

已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為G,設(shè)AB=2x,BC=y。

(1)寫出y關(guān)于工函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；

(2)求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.

19.（本題滿分14分）

已知命題p：方程//+or-2=0在上有■解；

命題夕：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式V+W+ZaWO；

若命題“〃或夕”是真命題，而命題“p且q”是假命題，且F是真命題,

求。的取值范圍.

20.（本題滿分14分）

x+2a+l

已知函數(shù)/（X）=1Og2

x-3a+l

（1）求函數(shù)f（x）的定義域;

（2）若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，試討論它的奇偶性和單調(diào)性;

（3）在（2）的條件下，記廣U）為了（X）的反函數(shù)，若關(guān)于x的方程

/一|。）=5h2'-5%有解，求左的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1.C解析：答案：C

2.A解析：,:p：Kx<2,q：0<x<3:.p=>g選兒

3.C解析：4=（0,+8）=>（。418={-2,-1,0}。故選C.

4.B解析:

k<0,2sin0+cos0=2x---------+---------=--------=——，

敢-4幻2+(3幻2J/(_4&)2+(3&)25|々|5

答案：B

5.D解析：函數(shù)f(x)=O,x￡{l}不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，選D

|1

6.D解析：/(—)>/(I)=一<1=--->0<=>x>l或x<0.選

XXX

71TT71

7.B解析：y=cos(x-§)=sin(x+%?)的圖象向右平移,單位后得到的函數(shù)是y=sinx

的圖象，選B

8.C解析：本題考查函數(shù)及其圖像的基本思想和方法，考查學(xué)生看圖識(shí)圖及理論聯(lián)系實(shí)際

的能力.剛開(kāi)始交易時(shí)，即時(shí)價(jià)格和平均價(jià)格應(yīng)該相等，/錯(cuò)誤；開(kāi)始交易后，平均價(jià)

格應(yīng)該跟隨即使價(jià)格變動(dòng)，在任何時(shí)刻其變化幅度應(yīng)該小于即時(shí)價(jià)格變化幅度，氏D

均錯(cuò)誤.

答案：C

9.解析：x+2kZv=-(x+

=-(；/+2x)|1+(g%2+2x)1、二號(hào)

10.{x\y[abWx<.："}解析：,:a>b>0,:.a>">yfab>b,

/..l/nN={x\y^abWx<"}

乙

7兀n1_

11.云解析：sin2x=cos(--x)=1-2sin2(--x)=25

0.75解析：x=l-2y,2x+3y2=3丁2-4)，+2,0工丁￡工答案：0.75

12.

2

.222

13.4.解析：cos4=+''—,且b+c=7,bc=ll,可得。=±4,a>0,則行4.

2bc

14.②③解析：利用斜率的集合意義及凸函數(shù)概念.

三、解答題(共6大題，共80分)

15.解析：(1)1,/(0)=1------------3'

???/[/(0)]=4----------------------5'

(2)當(dāng)xVl時(shí)，F(xiàn)(x)=l=(田1)2=10尸一2或尸0,

/?x=0.8

當(dāng)才21時(shí)，f(x)=1^4-Vx-l=l<=>7X-1=3<=>A=10.-----------11'

綜上，知自變量產(chǎn)1或產(chǎn)10--------12'

16.解析：(1)/(x)=cos^—)+sin(^--—)=sin—+cos—=V2sin(—+—)-----2

/(幻的周期丁=7=4；1.............4分

2

小，/、2M出?aa2M

(2)由/(a)=-------,得sin—Feos—=--------,

5225

14-sintz=—,Asina=----------------------6

55

XaG(0,—),cosa=71-sin2a=Jl------=-,---------------8

2V255

,sina3,八、

..tana-------=—,-------------------1o

cosa4

兀3

tana+tan——+1

/.tan(a+—)=--------------=4=7.............12分

4i兀?3

1-tanatan—1——

44

AA

17.解：(1)j=Asin2(^yx+^)=---cos(2(wx+2^).

AA

y=f(x)的最大值為2,A>0..-.y+y=2M=2............................2分

1o

又其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,6?>0,)=2,6；=-...........4分

2234

22Ji

「?f(x)=-----cos(—x+29)—1—cos(—x+2。).

>=/(工)過(guò)(1,2)點(diǎn)，/.85(/+2/)=-1.

:.—+2(p=2k冗+冗、keZ、：.2(p=2k7r+—,keZ,:.(p=k7t——,kwZ、

224

CC兀兀c八

又()<9<］，,*=不..............................................8分

7T

(2)v/(x)=l+sin-x

,-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=2+1+0+1=4.--------10'

又y=f(x)的周期為4,2011=502x4+3,----------12'

/./(I)+/(2)+...+/(2011)=4x502+2+1+0=2011-----------……14分

18.解析：（1）易知半圓。7。的半徑為X,故半圓的弧長(zhǎng)為乃X.

所以4=X42

-----------------------------2分

得"4-(2+%)x

2

3分

依題意知：0<xvy

4

得0<x<-------

4+乃

所以)

----------------------------6分

(2)依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T,橫截面的面積為S,則有

2

T=y/3S=j3(2xy-^-)----------------------------------8分

=G(2x"(2+m_江)

22

=x/3[4x-(2+—)x2]

2

有(4+3乃)__4y?86

—'-4+3，)+4+3/

44

因?yàn)?<--------<——，

4+3乃4+4

所以，當(dāng)％一時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.----------------------13

4+3乃

分

4

答：當(dāng)”=「一時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.--------------14分

4+3%

19.解析：對(duì)于命題p：由A?/+改一2=0在上有解,

當(dāng)。=0時(shí)，不符合題意；-------2'

當(dāng)。工0時(shí)，方程可化為：(仆+2)(以-1)=0,

91

解得：x=一一或x=------------------5'

aa

91

*.*XG[—1,1]，—1?—W1或—1K—21,-------5

aa

解得：a>l^a<-l------------------8'

對(duì)于命題q：由只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式f+lax+la<0,

得拋物線y=/+2ar+2a與>軸只有一個(gè)交點(diǎn),

2

/.△=4々—=0./.a=0或2,------------------10

又因命題“〃或4”是真命題，而命題“〃且4”是假命題，且/是真命題,

則命題"是真命題，命題。是假命題，-----------12'

所以a的取值范圍為(-00,-1]U[1,2)U12,+oo)-------------14'

20.解析：(1)--------＞0,

工一3。+1

所以當(dāng)。＞00由定義域?yàn)?F,—2a-1)U(3?-l,4oo)；

當(dāng)。＜0時(shí)，定義域?yàn)?一8,3。一13(一2々-1,+8)；

當(dāng)。=0時(shí)，定義域?yàn)?-8,-1)11(7,+8)……4分

(2)函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

當(dāng)且僅當(dāng)-2々-1=一(3。-1)0。=2,

x+5

此時(shí)，/(x)=log2^j.6分

x-5

對(duì)于定義域2(—00,-5)1_)(5,+8)內(nèi)任意“，-xeD,

f(-x)=\g-^=1g—=-1g—=f(x),所以/(x)為奇函數(shù)；……8分

-x-5x+5x-5

當(dāng)%￡(5,+8),在(5,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

由于7。)為奇函數(shù)，所以在(-8,-5)內(nèi)單調(diào)遞減；……10分

(3)尸(幻=5(1+1),/A?！?2分

2'-1

7r4-1t+]

方程廣匕)=522-5攵即工令2、=，，得人，

V

2-1(1)2

r+1

又e(0,-HX))，所以當(dāng)左>0時(shí)方程(x)=5k-2x-5k有解.14分

("I)?

概率與統(tǒng)計(jì)(附參考答案)

一、考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)1.求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(4)=絲型①=上；

card(J)n

(2)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率：P/+B)=尸H)+?(8);

特例：對(duì)立事件的概率：尸(4)+尸(,)=P(4+,)=1.

(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A-B)=P(A)-P(B);

特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：B(k)=CpA(l-p)x.其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生

的概率，此式為二項(xiàng)式［(1-P)+PF展開(kāi)的第k+1項(xiàng).

考點(diǎn)2、離散型隨機(jī)變量的分布列

L隨機(jī)變量及相關(guān)概念

①隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希臘字母8、n

等表示.

②隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

③隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的?切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

①離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)

一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量g可能取的值為修，“2，……，七，……取每一個(gè)值再?(i=1，

（1）Pt>0，Z=l?2,…；（2）q+E+…=1.

②常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列：

(1)二項(xiàng)分布

〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)4是一個(gè)隨機(jī)變量，其所芍可能的取值為0,1,

2,…n,并且P*=Pe=2)=C：P，i，其中0“。，q=l—p，隨機(jī)變量g的分布列如下：

g01???k…n

???C：pkq-n

pdC：Pq°

稱這樣隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布，記作彳?B(〃，p)，其中〃、p為參數(shù)，并記:

C：P、i=b（k;n、p）?

(2)幾何分布

在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)4是一個(gè)取值為正整數(shù)的離

散型隨機(jī)變量，“4=女”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.

隨機(jī)變量4的概率分布為:

e123…k…

……

ppqp夕I

考點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的期望與方差

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差

⑴離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：琦=%出+/2+…；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平.

⑵離散型隨機(jī)變量的方差：以=（%-電）”+（必一￡鄉(xiāng)2"2+…+…；

方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.

⑶基本性質(zhì)：E[a4+b）=aE^+b：D（a^+b）=a2D^.

（4）若§?B（n,p）,則=np；Dg=npq（這里q=1-p）;

如果隨機(jī)變量J服從幾何分布，尸&=Q=g氏p）,則將=>!>，DJ=*其中q=1-p.

PP2

考點(diǎn)4抽樣方法與總體分布的估計(jì)

抽樣方法

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每

次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表

法.

2.系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)

則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）.

3.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分

所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.

總體分布的估計(jì)

由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布，?般地，樣

本容量越大，這種估計(jì)就越精確.

總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.

當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表

示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.

當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布.

總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)

限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.

考點(diǎn)5正態(tài)分布與線性回歸

1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)

(1)正態(tài)分布的概念

如果連續(xù)型隨機(jī)變量4的概率密度函數(shù)為/*)=1e^,xwR其中外〃為常數(shù),

J2*

并且。>0,則稱《服從正態(tài)分布，記為“N(〃，<T2).

⑵期望Eg=U,方差

(3)正態(tài)分布的性質(zhì)

正態(tài)曲線具有下列性質(zhì)：

①曲線在x軸卜方,并且關(guān)于直線x=u對(duì)稱.

②曲線在x=u時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低.

③曲線的對(duì)稱軸位置由口確定；曲線的形狀由。確定，o■越大，曲線越“矮胖”；反之越“高

瘦”.

(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

當(dāng)"=0,。=1時(shí)g服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作V?N(0,1)

(5)兩個(gè)重要的公式

①。(一x)=1-"(x)，②P(a<^<b)=-。(.)?

(6)N(〃Q2)與N(0,l)二者聯(lián)系.

①若。?汽("。2)，則〃=IZ￡~M0,1)；

b

②若J?N3b2)，則p(a<“0)=次"￡)_以佇4?

ab

2.線性回歸

簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.

變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確

定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)

計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.

具體說(shuō)來(lái)，對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)(%,?),(占,必)，…，(/，”)，其回歸直線方程，或經(jīng)驗(yàn)公

式為：9=瓜淇中或交二!巴Q元，其中只予分別為|w|、|巾的平均數(shù)?

儲(chǔ),2-〃（斤

二、例題講解

例1（1）.在五個(gè)數(shù)字1,2,3,4,5中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概

率是（結(jié)果用數(shù)值表示）.

［解答過(guò)程］0.3提示:尸二C二3二3

C~；5Sxv411i0n'

F

（2）.一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5

的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.

例2（2008年高考廣東卷理3）某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表.已知在

全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取

64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）

A.24B.18C.16D.12

分析：根據(jù)給出的概率先求出1的值，這樣就

可以知道三年級(jí)的學(xué)生人生377370z數(shù)，問(wèn)題就解決了.

解析：C二年級(jí)女生占全校學(xué)生總數(shù)的19%,

即1=2000x0.19=380,這樣一年級(jí)和二年級(jí)學(xué)生的總數(shù)是

373+377+380+370=1500,三年級(jí)學(xué)生有500人，用分層抽樣抽取的三年級(jí)學(xué)生應(yīng)是

64

----x500=16.答案C.

例3.（2009江蘇泰州期末第2題）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了l（XXX）人,

并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、

職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在

［2500,3500）（元）月收入段應(yīng)抽出人.

頻率/組距

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001月收入(元)

-------->

1000150020002500300035004000

分析：實(shí)際上是每100人抽取一人，只要把區(qū)間內(nèi)的人數(shù)找出來(lái)即可.

解析：根據(jù)圖可以看出月收入在［2500,3500)的人數(shù)的頻率是

(0.0005+0.0003)x500=0.4,故月收入在[2500,3500)人數(shù)是1(XX)()x().4=4000,

故抽取25人.

例4.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苜，至少有3人出現(xiàn)發(fā)

熱反應(yīng)的概率為.(精確到0.01)

［解答提示］至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為

?0.803.0.2()2+C0.8040.20+Cj-0.805=0.94.故填0.94.

例5(11天津，文)(本小題滿分13分)

編號(hào)為A，4,…,Am的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下:

運(yùn)動(dòng)員編號(hào)

44A3%A444

得分1535212825361834

運(yùn)動(dòng)員編號(hào)

4AoAiA2A3A4As

得分1726253322123138

(I)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格;

區(qū)間

[10,20)[20JO)[30,40]

人數(shù)

(II)從得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人,

(i)用運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；

(ii)求這2人得分之和大于50的概

解析(I)解：4,6,6

(ID(i)解：得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為4,4,A，Ao,Ai，?從中隨機(jī)

抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有：

{4,A4},{4,4},{A'Ao},{4,Ai},{4,A3},{,4},{ApAo}'

{A*,A1},{Ai,A3},{4'Ao[,{A'A1},{4,A3},{Ao,A1},{4o,A3},{A",A3}‘共

15種。

（ii）解：“從得分在區(qū)間［20,30）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于50”

（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：｛a，A｝,｛4，Ao｝，｛A4，AJ,｛A，Ao｝，｛Ao，AJ，

共5種。

所以P（B）=9二L

153

例6.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：”取出的2

件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（4）=0.96.

（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件8：”取出的2件產(chǎn)品中至少有一

件二等品”的概率P（8）.

［解答過(guò)程］（1）記4表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，

A表示事件”取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”.

則4,A互斥，且A=4+A，故

l2

產(chǎn)(A)=P(4+A)=P(4)+P(A)=(1-")2+c2p(\-p)=\-p.

于是0.96=l-p2.

解得,=。2p2=-0.2(舍去).

（2）記綜表示事件”取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，則8=瓦.

若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其中二等品有100x0.2=20件，故P（B）=豆=辿

°?。?95

—316179

P(B)=P(BO)=1-P(BO)=1--=—

例7.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2

個(gè)紅球，n個(gè)白球.由甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球.

（I）若n=3,求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；（II）若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概

率為3,求n.

4

［考查目的］本題主要考行排列組合、概率等基本知識(shí)，同時(shí)考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能

力.

［標(biāo)準(zhǔn)解答］(|)記"取到的4個(gè)球全是紅球”為事件A.

以八C；C~111

P(A)=TT=-----—.

C；C161060

(II)記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件8,“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事

件印，”取到的4個(gè)球全是白球”為事件打.

由題意,得p(8)=］_3=_L.

GGc；GGC_2/

P⑻一丁五寶丁一3(〃+2)(,”‘

P(B的工=…)：

c：C365+2)5+1)

所以，P(B)=P(BJ+P(B,)=——+加7」，

'35+2)(〃+1)6(〃+2)5+1)4

化簡(jiǎn)，得加2_11〃一6=0,解得〃=2,或八=_3(舍去)，

7

故n=2.

例8.某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買.根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧

客采用一次性付款的概率是0.6,經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)

200元：若顧客采用分期付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)250元.

(I)求3位購(gòu)買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；

(H)求3位顧客每人購(gòu)買1件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元的概率.

［解答過(guò)程］(I)記A表示事件：“3位顧客中至少1位采用一次性付款”，則川表示事件:

“3位顧客中無(wú)人采用一次性付款

P(A)=(1-0.6)2=0.064，P(A)=1-P(A)=1-0.064=0.936?

(II)記B表示事件：“3位顧客每人購(gòu)買1件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元”.

為表示事件：“購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用分期付款”.

用表示事件：“購(gòu)買該商品的3位顧客中恰有1位采用分期付款”.

則8=穌+4.

P（BJ=0.63=0.216＞「（與）=C；x06x0.4=0.432.

P(B)=P(B0+B,)=P(凡)+P(與)=0.216+0.432=0.648.

例9(10山東，理)(本小題滿分12分)

某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有A氏。,。四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：

①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題A8,。,。分別加1分、2分、3分、

6分，答錯(cuò)任一題減2分；

②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)

累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足

14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一

輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；

③每位參加者按問(wèn)題順序作答，直至答題結(jié)束.

假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題AB,C,?；卮鹫_的概率依次為巳3,一1,1一1,一，且各題回答正確與否相互

4234

之間沒(méi)有影響.

(I)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；

(II)用彳表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求J的分布列和數(shù)學(xué)的

、解：設(shè)A1,C,。分別為第一、二、三、四個(gè)問(wèn)題.用加?=1,2,3,4)表示甲同學(xué)

第i個(gè)問(wèn)題回答正確，用=2,3,4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則也與

M是對(duì)立事件(i=l,2,3,4).由題意得

3111

P(M,)=-,P(^2)=-,P(M3)=-,P(M4)=-,

所以

1123

P(NJ=『P(N?)=亍P(M)=1P(NJ=.....

(I)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q,

則

Q=%此％+NMM3M4+?。セ?弧峪

由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，因此二法》'

尸（°）=尸（峪%％+縱M峪峪+M超必峪+%%峪圾+%％孤峪）

=?（弧死%）+區(qū)網(wǎng)M2峪4+P（MIMM脛J+P（脛1%M3M）

+P（跖％區(qū)峪）

=尸（陷）尸（%）尸（%）+氏咐尸（死）尸（峪）產(chǎn)+p（M*（M）尸（峪）尸（圾）

+P（峪）尸（狙）尸（%）尸（峪）+P（附尸（圾）尸（憶"（峪）

317111131113121

=-X—X-4--X-X-X—+-X—X-X—+—X—X—X—

423423442344234

1121

4--X—X—X—

4234

-4

（II）由題意，隨機(jī)變量J的可能取值為：2,3,4.

由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，

所以

尸?=2）=產(chǎn)（M%）=尸（網(wǎng)）尸（抽）=；

O

尸?=3）=F（峪％峪）+尸（峪必帆）

=尸（陷）尸（此）尸（%）+尸（陷）尸（超）尸網(wǎng)）

311312

=—X—X—+—XX—

423423

_3

=-?

8

P?=4）=l-P?=2）-P（i=3）

131

--=

-8-8-2

??-

因此隨機(jī)變量J的分布列為

234

g

p31

882

所以

ic1c3,127

F<^=2x-+3x—+4x—=—.

8828

例10.（2008高考山東文18）現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A，4,&通曉口語(yǔ)，

與，修，用通曉俄語(yǔ)，G，G通曉韓語(yǔ).從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名，

組成一個(gè)小組.

（I）求A被選中的概率；

（2）求用和G不全被選中的概率.

分析：枚舉的方法找出基本事件的總數(shù)，結(jié)合著隨機(jī)事件、對(duì)立事件的概率，用古典概型的

計(jì)算公式解決.

解析：（1）從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事

件空間

c=｛（A，弟G）,（A，G），（A，%G）,（4,用，C2）,（A，/c,）,

（A，ByC2）,（&，BpG），（4，4C2）?（A,,B2,G）,（覆層，C2）,

（A,,ByCJ,（A,,ByC）,（&B[,G）,（&CJ,

2C2）,（AJ,BV

（AJ,B?,C2）,（AJ,ByG>（4,BytG）｝

由18個(gè)基本事件組成.由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的發(fā)生

是等可能的.

用M表示“A恰被選中”這一事件，則

M=｛（A，與，C]）,（A，4，G），（A，G），

（%C2MA，Bycj,（A，/c）｝

B2,2

事件M由6個(gè)基本事件組成，因而P（M）=2=J.

183

（2）用N表示“用，￡不全被選中”這一事件，則其對(duì)立事件后表示“耳￡全被選中〃這

一事件，

由于W=｛（A，用，c,）,（A，旦，G）,（4,G）｝,事件后有3個(gè)基本事件組成，

—31—15

所以P（N）===一，由對(duì)立事件的概率公式得P（N）=1-P（N）=l--=y.

18666

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率、對(duì)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論、“正難則反”

等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

例11.（浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第9題）由0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成的

無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列伍〃｝，則《9=

A.2014B.2034C.1432D.1430

分析：按照千位的數(shù)字尋找規(guī)律.

解析：千位是1的四位偶數(shù)有C；A；=18,故第19和是千位數(shù)字為2的四位偶數(shù)中最小的一

個(gè),即2014,答案A.

例12.

廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí),商家按合同規(guī)定也需

隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn),以決定是否接收這批產(chǎn)品.

（I）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少

有1件是合格的概率：

（II）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2

件.都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品.否則拒收，求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品

數(shù)J的分布列及期望E＜，并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.

［解答過(guò)程］（I）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事件A

用對(duì)立事件A來(lái)算,有尸⑷=1-P⑷=1-0.24=0.9984

（IDJ可能的取值為0,1,2.

上=0）=理=監(jiān)

'）或190

尸（尸1）一誓1—4

v190

P（^=2）=-^-=—

7G,190

4012

136513

P

麗190190

51c33

E^=0x—+lx----F2x

190190----190Io

記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B,則商家拒收這批產(chǎn)品的概率

尸=1一尸（8）=1—四=2?

'719095

所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為衛(wèi).

95

例13.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，

否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為3、3、2,且各

555

輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.

（I）求該選手被淘汰的概率；

（II）該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為求隨機(jī)變量J的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）

［解答過(guò)程］解法一：（I）記“該選手能正確回答第，輪的問(wèn)題”的事件為A（i=123），則

432

尸（%）=鼠尸（&）=晨2⑷=整

該選手被淘汰的概率

尸=尸（4+A反+4A2否=P（A）+P（A）尸（川）+尸（A）P（&）P（4）

142433101

=—+-X—+-X—X—=