2025蘇州中考數學二輪專題復習-圓的綜合應用-專項訓練【含答案】

2025蘇州中考數學二輪專題復習-圓的綜合應用-專項訓練一．解答題（共10小題）1．如圖，△ABC中，AB＝4，D為AB中點，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC＝，⊙O是△ACD的外接圓．（1）求BC的長；（2）求⊙O的半徑．2．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．

3．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是的中點，CD與AB交于點E．F是AB延長線上的一點，且CF＝EF．（1）求證：CF為⊙O的切線；（2）連接BD，取BD的中點G，連接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的長．4．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠1＝∠2，延長BC到點E，使得CE＝AB，連接ED．（1）求證：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．

5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D是弧BC的中點，BC與AD、OD分別交于點E、F．（1）求證：DO∥AC；（2）求證：DE?DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．6．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD垂直于過點C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E．延長DA交⊙O于點F，連接FC，FC與AB相交于點G，連接OC．（1）求證：CD＝CE；（2）若AE＝GE，求證：△CEO是等腰直角三角形．

7．如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是直徑，點D在⊙O上，OD∥BC，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接CD交OE邊于點F．（1）求證：△DOE∽△ABC；（2）求證：∠ODF＝∠BDE；（3）連接OC，設△DOE的面積為S1，四邊形BCOD的面積為S2，若＝，求sinA的值．8．如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．（1）證明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度數；（3）設DE交AB于點G，若DF＝4，cosB＝，E是的中點，求EG?ED的值．

9．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經過A、B、D三點．過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，連接ED．（1）求證：ED∥AC；（2）若BD＝2CD，設△EBD的面積為S1，△ADC的面積為S2，且﹣16S2+4＝0，求△ABC的面積．10．如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，＝，連接AB、AD、BD，弦AB不經過圓心O，延長AB到E，使BE＝AB，連接EC，F是EC的中點，連接BF．（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB＝120°，求劣弧的長；（2）求證：BF＝BD；（3）設G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG＝PF？并說明PB與AE的位置關系．

參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△BAC∽△BCD，∴，∵，D為AB中點，∴，∴BC2＝16，∴BC＝4；（2）過點A作AE⊥CD于點E，連接CO，并延長交⊙O于F，連接AF，∵在Rt△AED中，，，∴DE＝1，∴，∵△BAC∽△BCD，∴，設CD＝x，則AC＝x，CE＝x﹣1，∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，∴，即x2+2x﹣8＝0，解得x＝2，x＝﹣4（舍去），∴CD＝2，AC＝，∵∠AFC與∠ADC都是所對的圓周角，∴∠AFC＝∠ADC，∵CF為⊙O的直徑，∴∠CAF＝90°，∴，∴，即⊙O的半徑為．2．【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所對的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過點C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴CG是AF的垂直平分線，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝．3．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，OD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠OED＝∠FEC，∴∠OED＝∠FCE，∵AB是直徑，D是的中點，∴∠DOE＝90°，∴∠OED+∠ODC＝90°，∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，∵OC是半徑，∴CF是⊙O的切線．（2）解：過點G作GH⊥AB于點H．設OA＝OD＝OC＝OB＝r，則OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，∴r＝3，∵GH⊥AB，∴∠GHB＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠GHB＝∠DOE，∴GH∥DO，∴＝，∵G為BD的中點，∴BG＝BD，∴BH＝BO＝，GH＝OD＝，∴AH＝AB﹣BH＝6﹣＝，∴AG＝＝＝．4．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：過點D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM?tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．5．【解答】解：（1）因為點D是弧BC的中點，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE?DA；（3）∵tan∠CAD＝，連接BD，則BD＝CD，∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝，設：DE＝a，則CD＝2a，而CD2＝DE?DA，則AD＝4a，∴AE＝3a，∴＝3，而△AEC∽△DEF，即△AEC和△DEF的相似比為3，設：EF＝k，則CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD＝，∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA＝．6．【解答】證明：（1）連接AC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD＝CE；（2）證法一：連接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠ECA＝∠ECG，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG，∵∠D＝90°，∴∠DCF+∠F＝90°，∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，∴∠AOC＝2∠F＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形；證法二：設∠F＝x，則∠AOC＝2∠F＝2x，∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x，∴∠CGA＝∠OAF+∠F＝3x，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x，∵∠DAC+∠EAC+∠OAF＝180°，∴3x+3x+2x＝180°，x＝22.5°，∴∠AOC＝2x＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形．7．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°，∴∠DEO＝∠ACB，∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC，∴△DOE∽△ABC；（2）證明：∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE＝∠A，∵∠A和∠BDC是所對的圓周角，∴∠A＝∠BDC，∴∠ODE＝∠BDC，∴∠ODF＝∠BDE；（3）解：∵△DOE∽△ABC，∴，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，∵OA＝OB，∴，即S△BOC＝2S1，∵，∴，∴，即，∴sinA＝sin∠ODE＝＝．8．【解答】（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，∴∠AFD＝180°﹣∠E，又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；（3）解：連接OE，∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6，∵E是的中點，AB是⊙O的直徑，∴∠AOE＝90°，∵AO＝OE＝3，∴AE＝3，∵E是的中點，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴＝，即EG?ED＝AE2＝18．9．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠E＝∠BAD，∴∠E＝∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E＝∠EDA，∴∠EDA＝∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD＝∠ADC，∵∠E＝∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k＝，∴＝k2＝4，即s1＝4s2，∵﹣16S2+4＝0，∴16﹣16S2+4＝0，即＝0，∴S2＝，∵＝＝＝＝3，∴S△ABC＝．10．【解答】（1）解：連接OB，OD，∵∠DAB＝120°，∴所對圓心角的度數為240°，∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，∵⊙O的半徑為3，∴劣弧的長為：×π×3＝2π；（2）證明：連接AC，∵AB＝BE，∴點B為AE