山東省萊州一中2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省萊州一中2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．2．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．3．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．5．為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．9．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內(nèi)角為，若對任意的恒成立，則實數(shù)（）.A．6 B．5 C．4 D．310．已知數(shù)列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．11．設(shè)，則關(guān)于的方程所表示的曲線是（）A．長軸在軸上的橢圓 B．長軸在軸上的橢圓C．實軸在軸上的雙曲線 D．實軸在軸上的雙曲線12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）．A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)全集，集合，，則集合______.14．在中，角所對的邊分別為，為的面積，若，，則的形狀為__________，的大小為__________．15．在中，為定長，，若的面積的最大值為，則邊的長為____________．16．已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.18．（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足∥，寬度為．圓為江中的一個半徑為的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線，．現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護小島，段設(shè)計成與圓相切．設(shè)．（1）試將通道的長表示成的函數(shù)，并指出定義域；（2）若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角中，E是邊PD上一點，且.（1）求證：平面ACE；（2）當PA的長為何值時，AC與平面PCD所成的角為？20．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當時，有兩個零點，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)21．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）設(shè)函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

作出約束條件的可行域，在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值，作，平移直線即可求解.【詳解】作出實數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分）令，則，作出，平移直線，當直線經(jīng)過點時，截距最小，故，即的最小值為.故選：B【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標函數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結(jié)合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.4、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.5、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.6、A【解析】

設(shè)E為BD中點，連接AE、CE，過A作于點O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進而求得其正弦值，得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過A作于點O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點O與點C重合，此時有平面，過C作與點F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，，故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.7、B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個零點，即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題，難度不大.8、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為，其關(guān)于原點對稱，因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.9、C【解析】

若對任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知，，又三角形有一個內(nèi)角為，所以，，解得或（舍），故，當時，取得最大值，所以.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最值問題，考查學(xué)生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識.11、C【解析】

根據(jù)條件，方程．即，結(jié)合雙曲線的標準方程的特征判斷曲線的類型．【詳解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示實軸在y軸上的雙曲線，

故選C．【點睛】本題考查雙曲線的標準方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵．12、B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，由此知在上單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為，解絕對值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域為，，為偶函數(shù)，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由得：，解得：或，的取值范圍為.故選：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進而化簡不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：【點睛】本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎(chǔ)題.14、等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得，即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案為等腰三角形，15、【解析】

設(shè)，以為原點，為軸建系，則，，設(shè)，，，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進一步求出的值即為所求.【詳解】解：設(shè)，以為原點，為軸建系，則，，設(shè)，，則，即，由，可得.則.故答案為：.【點睛】本題考查向量模的計算，建系是關(guān)鍵，屬于難題.16、【解析】

先求得時；再由可得時,兩式作差可得,進而求解.【詳解】當時,,解得；由,可知當時,,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點睛】本題考查由與的關(guān)系求通項公式,考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）或【解析】

（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為，圓的圓心為，設(shè)，所以，則由，即為點軌跡的極坐標方程.（2）曲線的極坐標方程為，將與曲線的極坐標方程聯(lián)立得，，設(shè)，所以，，由，即，令，上述方程可化為，解得.由，所以，即或.【點睛】此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.18、（1），定義域是．（2）百萬【解析】

（1）以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)，利用直線與圓相切得到，再代入這一關(guān)系中，即可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；【詳解】以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系．設(shè)，則，，．因為，所以直線的方程為，即，因為圓與相切，所以，即，從而得，在直線的方程中，令，得，所以，所以當時，，設(shè)銳角滿足，則，所以關(guān)于的函數(shù)是，定義域是．（2）要使建造此通道費用最少，只要通道的長度即最?。?，得，設(shè)銳角，滿足，得．列表：0減極小值增所以時，，所以建造此通道的最少費用至少為百萬元．【點睛】本題考查三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.19、（1）證明見解析；（2）當時，AC與平面PCD所成的角為.【解析】

（1）連接交于，由相似三角形可得，結(jié)合得出，故而平面；（2）過作，可證平面，根據(jù)計算，得出的大小，再計算的長．【詳解】（1）證明：連接BD交AC于點O，連接OE，，，又平面ACE，平面ACE，平面ACE.（2），，平面PAD作，F(xiàn)為垂足，連接CF平面PAD，平面PAD.，有，，平面就是AC與平面PCD所成的角，，，，，，時，AC與平面PCD所成的角為.【點睛】本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與線面角的計算，屬于中檔題．20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域為，，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且.當時，對任意的，，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當時，令，得.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（2）當時，，定義域為，，當時，；當時，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點、且，，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.【點睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參