2025屆江西省上饒市民?？荚嚶?lián)盟高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆江西省上饒市民?？荚嚶?lián)盟高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．2．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．140 D．1203．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．54．（）A． B． C．1 D．5．某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒，則無(wú)理數(shù)的估計(jì)值是（）A． B． C． D．6．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．7．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．8．雙曲線的左右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．29．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．10．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．12．陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂(lè)工具之一，但陀螺這個(gè)名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書(shū)中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，粗線畫(huà)出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則.14．已知是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．15．從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）16．已知平面向量，的夾角為，且，則=____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.18．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，且點(diǎn)F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若，求直線AB的方程.19．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，過(guò)頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn)（不在棱的端點(diǎn)處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求長(zhǎng).20．（12分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)（注：當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)）.22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達(dá)，即，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問(wèn)題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.2、C【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為，故自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為，故選C.考點(diǎn)：頻率分布直方圖及其應(yīng)用．3、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點(diǎn)睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點(diǎn)，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過(guò)可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.7、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時(shí)，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到，得到離心率.【詳解】設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，所以，，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，，所以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時(shí)，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；③若，則，則，此時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，考查推理能力，屬于中等題.10、A【解析】

若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．11、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡(jiǎn)即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題12、C【解析】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成，由此計(jì)算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，下面圓錐的母線長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，沒(méi)被擋住的部分面積為，中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過(guò)程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.14、【解析】

由題意求出圓的對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，求出對(duì)稱(chēng)圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設(shè)，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.15、【解析】

依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計(jì)算即可?！驹斀狻俊叭稳蓚€(gè)數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個(gè)，所以任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。16、1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡(jiǎn)并代入即可求得.【詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量模的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)通過(guò)討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對(duì)值將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，即或或解之得或，即不等式的解集為.（2）由題意得：當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，綜上所述：使恒成立的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查不等式恒成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、（1）；（2）或.【解析】

（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值，確定左焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)F到直線l：的距離為4，求出即可；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求直線的方程.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，，直線，點(diǎn)F到直線l的距離為，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）依題意斜率不為0，又過(guò)點(diǎn)，設(shè)方程為，聯(lián)立，消去得，，，設(shè)，，，，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q，所以橫坐標(biāo)為3，，，，平方整理得，解得或（舍去），，所求的直線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、相交弦長(zhǎng)公式，合理運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】

（1）由平面與平面沒(méi)有交點(diǎn)，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（2）由四邊形是平行四邊形，且，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）先證，可得為的中點(diǎn)，從而得出是的中點(diǎn)，可得.【詳解】（1）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn)，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（2）因?yàn)?，兩點(diǎn)不在棱的端點(diǎn)處，所以，又四邊形是平行四邊形，，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若四邊形為菱形，則，易證，所以，即為的中點(diǎn)，因此，且，所以是的中位線，則是的中點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問(wèn)題，和線段長(zhǎng)的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數(shù)列為遞增數(shù)列可得，，令，可證明為遞增數(shù)列，即，即得解【詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即．令，即．∴為遞增數(shù)列，∴，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列綜合問(wèn)題，考查了項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，數(shù)列的單調(diào)性，最值等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.21、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調(diào)性即可得證；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實(shí)數(shù)解，對(duì)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【詳解】；令，則恒成立；，；的取值范