四川省綿陽市綿陽中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

綿陽中學(xué)高2022級高三上期第三學(xué)月月考數(shù)學(xué)試題命題人：李五強審題人：游婷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，故.故選：B.2.已知，是兩個虛數(shù)，則“，均為純虛數(shù)”是“為實數(shù)”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則，結(jié)合充分性、必要性、線虛數(shù)的定義進行判斷即可.【詳解】當(dāng)，均為純虛數(shù)時，設(shè)，，則有，當(dāng)時，顯然，但是，都不是純虛數(shù)”，因此“，均為純虛數(shù)”是“為實數(shù)”的充分不必要條件，故選：A3.已知是空間的一個基底，向量，，，若能作為基底，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的定義，結(jié)合共面向量定理進行求解即可.【詳解】若共面，由共面向量定理知，存在實數(shù)x，y，使得，即．因為，，不共面，所以，，，解得，，，即當(dāng)時，，此時不能作為基底，所以若能作為基底，則實數(shù)滿足的條件是．故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用兩角和的正弦、余弦公式化簡可得，再根據(jù)二倍角余弦公式求解.【詳解】由，可得，即，即得，.故選：B.5.設(shè)是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則下列說法對的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，，，，只有直線與相交時，可得，所以A不正確；對于B中，由，，，則與平行、相交或異面，所以B錯誤；對于C中，由，，，則，所以C錯誤；對于D中，由，，可得，又因為，所以，所以D正確.故選：D.6.已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為.則該正四棱錐體積值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，取的中點，設(shè)點在側(cè)面上的投影為點，則點在上，利用求出球心到四棱錐頂點的距離，再由棱錐的體積公式計算可得答案.【詳解】設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點，連接，設(shè)點在側(cè)面上的投影為點，則點在上，且，，球心到四棱錐頂點的距離為，所以，，解得，所以.故選：A.7.函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用參變分類可得和的圖象有兩個交點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論后者的性質(zhì)后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，則問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個交點，而，令h′x>0，解得，令h′故hx在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，的圖象有兩個交點；當(dāng)時，的圖象有兩個交點；hx結(jié)合圖象可知，的取值范圍是，故選：D8.斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)為斐波那契數(shù)列，，，，其通項公式為，設(shè)是的正整數(shù)解，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)將化為，結(jié)合，得到，根據(jù)遞增，得到也是遞增數(shù)列，得，即可求解.【詳解】由題知是的正整數(shù)解，故，取指數(shù)得，同除得，，故，即，根據(jù)是遞增數(shù)列可以得到也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉(zhuǎn)化為.由斐波那契數(shù)列可得，，，，可以得到滿足要求的的最大值為，故A正確.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用對數(shù)的運算將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的表達式得到，從而求解的最大值.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】分析】由基本不等式及其使用條件，即可判斷各選項.【詳解】對于選項A：因為，當(dāng)時，，故選項A錯誤；對于選項B：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”，所以函數(shù)最小值為4，故選項B正確；對于選項C：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，即或時取“=”，所以函數(shù)最小值為4，故選項C正確；對于選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取“=”，所以函數(shù)最小值為4，故選項D正確.故選：BCD.10.已知變量和變量的一組成對樣本數(shù)據(jù)的散點落在一條直線附近，，，相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程為，則（）參考公式：，A.當(dāng)時，B.當(dāng)越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強C.，時，成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)滿足D.，時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程滿足【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的正負、絕對值大小與變量相關(guān)性之間關(guān)系可知AB正誤；根據(jù)，，代入相關(guān)系數(shù)和最小二乘法公式中，可知CD正誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，變量和變量正相關(guān)，則，A正確；對于B，當(dāng)越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當(dāng)，時，對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強，B錯誤；對于C，當(dāng)，時，不變且，，C正確；對于D，當(dāng)，時，不變且，，D正確.故選：ACD.11.對任意，，函數(shù)，都滿足，則（）A. B.C.的極小值點為 D.是奇函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】賦值法即可判斷選項A，根據(jù)題意，不妨設(shè)，求出，即可判斷選項BD，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷選項C.【詳解】A中，令，，則有，故A正確；B中，因為，所以，對任意，均成立，設(shè)，則有，，令，則，解得，故B錯誤；C中，由B選項的分析，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故C正確；D中，由上述知，，所以不一定是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，滿足，，且在上的投影向量為，則為______.【答案】【解析】【分析】表示出投影向量，即可求得，進而利用求得結(jié)果.【詳解】由題知，在上的投影向量為，即，則，，所以.故答案為：13.已知正實數(shù)滿足，則______.【答案】##【解析】【分析】對等式兩邊取對數(shù)后構(gòu)造關(guān)于的方程，求出其解后可求的值.【詳解】因為，易知a>0且，故，故，即，故，故答案為：.14.在中，若，，三點分別在邊，，上（均不在端點上），則，，的外接圓交于一點O，稱為密克點.在梯形ABCD中，，，M為CD的中點，動點P在BC邊上（不包含端點），與的外接圓交于點Q（異于點P），則的最小值為______.【答案】##-1+7【解析】【分析】延長，交于點E得為正三角形，且得、、的外接圓有唯一公共點為密克點Q，接著由題給條件推出是直角三角形，進而得其外接圓半徑，再在中由余弦定理求出即可得的最小值.【詳解】延長，交于點E，則由題可知為正三角形，由題設(shè)結(jié)論，，的外接圓有唯一公共點，該公共點即為題中的點Q，故點Q在的外接圓上，如上圖，又由題，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圓半徑，在中，由余弦定理，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題得關(guān)鍵是正確作出輔助線，從而創(chuàng)造密克環(huán)境找到并明確點位置，從而結(jié)合已知條件得出是直角三角形且其外接圓半徑以及是點B與外接圓上點的距離，于是求出即可求出.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知遞增數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，且，，，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用基本量法可求數(shù)列的通項；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，累乘后可證原不等式.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，其中，由題意得：，所以，所以（舍）或，代入原方程后可得，于是得到數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由題可得，由于時，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.所以.16.已知函數(shù)，在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式可得，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解，（2）根據(jù)余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由可得，由得，故或，解得或，，結(jié)合為銳角，故【小問2詳解】，由于為銳角三角形，由余弦定理可得，即，故，令，則對稱軸為，故當(dāng)時，取最小值，，故17.已知函數(shù)，（1）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，試求；（2）證明；（3）設(shè)是的根，則證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線.【答案】（1）.（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由，得，再利用換元法求；（2）分區(qū)間討論各因式的符號或利用導(dǎo)數(shù)證明；（3）取曲線上的一點，設(shè)在處的切線即是在處的切線，證明直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率即可.【小問1詳解】因為的圖象與的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，所以.又因為，所以，令，則，所以，因此.【小問2詳解】證明：解法1：當(dāng)時，且，此時；當(dāng)時，且，此時，故綜上.解法2：，令，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，；當(dāng)；因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.【小問3詳解】證明：不妨取曲線上的一點，設(shè)在處的切線即是在處的切線，則，得，則的坐標(biāo)，由于，所以，則有，綜上可知，直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率，所以直線AB既是曲線在點處的切線也是曲線的切線.18.如圖所示，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，是與BD的交點，.（1）記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；（2）設(shè)點在線段上，且存在一個正整數(shù)，使得，若已知平面與平面的夾角的正弦值為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓柱以及棱錐的體積公式，即可求得答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，利用空間角的向量求法，結(jié)合平面與平面的夾角的正弦值，即可求得答案.【小問1詳解】在底面中，因為是底面直徑，所以，又，故≌，所以.因為是圓柱的母線，所以面，所以，,因此；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，以為軸正方向，在底面內(nèi)過點C作平面的垂直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為，所以≌，故，所以，，因此，，因為，所以，則設(shè)平面和平面的法向量分別為，則有:，，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以有：，整理得，（無解，舍），由于k為正整數(shù)，解得.19.已知有限集，若，則稱為“完全集”.（1）判斷集合是否為“完全集”，并說明理由；（2）若集合為“完全集”，且，均大于，證明：，中至少有一個大于；（3）若為“完全集”，且，求.【答案】（1）是，理由見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由“完全集”的定義判斷即可；（2）由“完全集”的定義，結(jié)合集合的運算，以及一元二次方程的性質(zhì)進行求解即可；（3）設(shè)，得到，分類討論求解即可.小問1詳解】由，，所以，故集合是“完全集”.【小問2詳解】由題設(shè)，令，則，