人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊第四章4-2-1第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式課件

第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念整體感知[學習目標]

1．借助教材實例理解等差數(shù)列、等差中項的概念．(數(shù)學抽象)2．借助教材實例了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．(數(shù)學抽象)3．會求等差數(shù)列的通項公式．(數(shù)學運算)4．能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關問題．(數(shù)學運算、數(shù)學建模)(教師用書)彗星是指進入太陽系內(nèi)亮度和形狀會隨日距變化而變化的繞日運動的天體，星云霧狀的獨特外貌，其中最有名的當屬哈雷彗星了．在過去300多年里，人們記下了哈雷彗星出現(xiàn)的時間：1682，1758，1834，1910，1986.通過這一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律，你能預測哈雷彗星下一次出現(xiàn)的時間嗎？[討論交流]

問題1．等差數(shù)列的概念是什么？問題2．等差中項的定義是什么？問題3．等差數(shù)列的通項公式怎樣表示？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1等差數(shù)列的概念探究問題1觀察下列現(xiàn)實生活中的數(shù)列，回答下面的問題．(1)我國有用十二生肖紀年的習慣，例如，2017年是雞年，從2017年開始，雞年的年份為2017，2029，2041，2053，2065，2077，….(2)某個電影院設置了20排座位，這個電影院從第1排起各排的座位數(shù)組成數(shù)列：38，40，42，44，46，….(3)全國統(tǒng)一鞋號中，成年女鞋的各種尺碼(表示以cm為單位的鞋底的長度)由大到小可排列為25，24.5，24，23.5，23，22.5.以上三個問題中的數(shù)蘊含三個數(shù)列，你能找到它們的共同規(guī)律嗎？[提示]

以(1)為例，2029－2017＝12，2041－2029＝12，2053－2041＝12，2065－2053＝12，2077－2065＝12，…，后項與前項的差為同一個常數(shù)，這個規(guī)律也適用于(2)(3)．[新知生成]等差數(shù)列文字語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于________常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，公差通常用字母___表示符號語言在數(shù)列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，則稱數(shù)列{an}為等差數(shù)列，常數(shù)d稱為等差數(shù)列的公差遞推公式an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)同一個公差d【教用·微提醒】

(1)作差的起始項：“從第2項起”，因為第1項沒有前一項；(2)作差的順序：“每一項與它的前一項的差”，即作差的順序為后項減去它前面相鄰的一項，不可顛倒；(3)等差的含義：“同一個常數(shù)”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d；(4)公差d的取值范圍：可正、可負、也可為0(常數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列)，它是一個與n無關的常數(shù)，因此公差d的取值范圍為(－∞，＋∞)．[典例講評]

1．判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？如果是，寫出首項a1和公差d.(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；(3)1，2，4，6，8，10，…；(4)a，a，a，a，a.[解]

由等差數(shù)列的定義，得(1)(2)(4)為等差數(shù)列，(3)不是等差數(shù)列．(1)中a1＝9，d＝－2，(2)中a1＝－1，d＝12，(4)中a1＝a，d＝0.反思領悟

利用定義法判斷等差數(shù)列：從第2項起，檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數(shù)，若是同一個常數(shù)，則是等差數(shù)列，否則不是等差數(shù)列．[學以致用]

1．下列數(shù)列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，5，9，13；④0，1，2，3，….其中一定是等差數(shù)列的有________個．3

[①②③是等差數(shù)列，④只能說明前4項成等差數(shù)列．]3探究2等差中項探究問題2若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列嗎？反之，是不是也成立？[提示]

若a，b，c滿足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c為等差數(shù)列．反之，若a，b，c成等差數(shù)列，則有2b＝a＋c成立．[新知生成]由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的__________，且2A＝______．

等差中項a＋b[典例講評]

2．(1)已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是(

)A．2

B．3

C．6

D．9(2)已知1，x，y，10構成等差數(shù)列，則x，y的值分別為________．

√4，7發(fā)現(xiàn)規(guī)律

等差中項應用策略(1)求兩個數(shù)x，y的等差中項A，即根據(jù)等差中項的定義得A＝______．(2)證三個數(shù)成等差數(shù)列，只需證中間一個數(shù)為兩邊兩數(shù)的等差中項，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有___________；反之，若___________，則a，b，c成等差數(shù)列．

a＋c＝2b

0a＋c＝2b探究3等差數(shù)列的通項公式探究問題3你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？請結合等差數(shù)列的定義寫出其符號表達式．[提示]

設一個等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由等差數(shù)列的定義可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…歸納可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．當n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d＝a1.綜上，an＝a1＋(n－1)d.思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d，左右兩邊分別相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．當n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d＝a1.綜上，an＝a1＋(n－1)d.[新知生成]1．首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式是an＝_________________．2．等差數(shù)列和一次函數(shù)的關系若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；(2)這些點的橫坐標每增加1，縱坐標增加d.a1＋(n－1)d3．由等差數(shù)列和一次函數(shù)的關系可知，等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d的影響．(1)當d＞0時，數(shù)列為______數(shù)列，如圖1；(2)當d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖2；(3)當d＝0時，數(shù)列為常數(shù)列，如圖3.遞增【鏈接·教材例題】例1

(1)已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝5－2n，求{an}的公差和首項；(2)求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項．分析：(1)已知等差數(shù)列的通項公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由an－an－1＝d即可求出公差d；(2)可以先根據(jù)數(shù)列的兩個已知項求出通項公式，再利用通項公式求數(shù)列的第20項．[解]

(1)當n≥2時，由{an}的通項公式an＝5－2n，可得an－1＝5－2(n－1)＝7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.把n＝1代入通項公式an＝5－2n，得a1＝5－2×1＝3.所以，{an}的公差為－2，首項為3.(2)由已知條件，得d＝5－8＝－3.把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝8－3(n－1)＝11－3n.把n＝20代入上式，得a20＝11－3×20＝－49.所以，這個數(shù)列的第20項是－49.【鏈接·教材例題】例2－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項？如果是，是第幾項？分析：先求出數(shù)列的通項公式，它是一個關于n的方程，再看－401是否能使這個方程有正整數(shù)解．[解]

由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得這個數(shù)列的通項公式為an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.令－4n－1＝－401，解這個關于n的方程，得n＝100.所以，－401是這個數(shù)列的項，是第100項．

√√√10

反思領悟

1．等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．(2)等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．2．熟練掌握等差數(shù)列通項公式an＝dn＋(a1－d)＝kn＋b是關于n的一次函數(shù)型這一結構特征，并且公差d是一次項系數(shù)，它的符號決定了數(shù)列的單調(diào)性，d＞0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；d＝0時，數(shù)列{an}為常數(shù)列；d＜0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．[學以致用]

3．(1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a4＝15，a7＝27，則過點P(3，a3)，Q(5，a5)的直線的斜率為________．(2)在等差數(shù)列{an}中，①已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；②已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.4

[思路引導]先用an＋1表示bn＋1，再驗證bn＋1－bn為常數(shù)，最后可求出數(shù)列{an}的通項公式．

反思領悟

等差數(shù)列的三種判定方法(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(3)通項公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法．[學以致用]

4．(源自北師大版教材)判斷下面數(shù)列是否為等差數(shù)列．(1)an＝2n－1；(2)an＝(－1)n.[解]

(1)由an＝2n－1，得an＋1＝2(n＋1)－1，于是an＋1－an＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2.由n∈N*，知這個數(shù)列是等差數(shù)列．(2)a2－a1＝1－(－1)＝2，a3－a2＝－1－1＝－2.因為a2－a1≠a3－a2，所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列．243題號1應用遷移√1．等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＝8，則公差d＝(

)A．4 B．3C．－4 D．－3B

[∵等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＝8，∴a3＝a1＋2d＝8，∴d＝3.故選B.]23題號14

√D

[由2a＋1是a－1與4a－2的等差中項，得2×(2a＋1)＝a－1＋4a－2，解得a＝5.故選D.]23題號41√3．(多選)下列命題中，正確的是(

)A．數(shù)列6，4，2，0是公差為2的等差數(shù)列B．數(shù)列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數(shù)列C．等差數(shù)列的通項公式一定能寫成an＝kn＋b的形式(k，b為常數(shù))D．數(shù)列{2n＋1}(n∈N*)是等差數(shù)列BCD

[對于A，數(shù)列6，4，2，0的公差為－2，A錯誤；對于B，數(shù)列a，a－1，a－2，a－