人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章4-1第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課件

第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．借助實(shí)例了解數(shù)列的相關(guān)概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意項(xiàng)．(邏輯推理)3．理解數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)(教師用書)某種樹木的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，你能預(yù)計(jì)到第6年時(shí)，樹木的分枝數(shù)是多少嗎？年份123456分枝數(shù)11235？[討論交流]

問題1．?dāng)?shù)列的概念是什么？問題2．什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式？問題3．?dāng)?shù)列與函數(shù)之間有什么關(guān)系？[自我感知]經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1數(shù)列的概念與分類探究問題1觀察以下幾列數(shù)：(1)古埃及“阿默斯”畫了一個(gè)階梯，上面的數(shù)字依次為：7，49，343，2401，16807；(2)從學(xué)號(hào)1開始，記下本班的每一個(gè)同學(xué)參加高考的時(shí)間：2025，2025，…，2025；(3)小明為了記住剛設(shè)置的手機(jī)密碼，只聽他不停地說：7，0，2，5，7，0，2，5，…；(4)－2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)：－2，4，－8，16，….你能找到上述例子中的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？[提示]

共同點(diǎn)：都是按照確定的順序進(jìn)行排列的．不同點(diǎn)：從項(xiàng)數(shù)上來看：(1)(2)項(xiàng)數(shù)有限，(3)(4)項(xiàng)數(shù)無限；從項(xiàng)的變化上來看：(1)每一項(xiàng)在依次變大，(2)項(xiàng)沒有發(fā)生變化，(3)項(xiàng)呈現(xiàn)周期性的變化，(4)項(xiàng)的大小交替變化．[新知生成]1．?dāng)?shù)列的概念(1)一般地，我們把按照____________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的____．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第____項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第____項(xiàng)，用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用____表示．其中第1項(xiàng)也叫做______．(2)數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡(jiǎn)記為________．確定的順序項(xiàng)12an首項(xiàng){an}2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列有限無限分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都______它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都______它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都______的數(shù)列周期數(shù)列項(xiàng)呈現(xiàn)周期性變化擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)______它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)______它的前一項(xiàng)大于小于相等大于小于【教用·微提醒】

(1)數(shù)列不同于集合，其中的項(xiàng)既有順序，又可重復(fù)．(2){an}表示一個(gè)數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，小寫字母a也可以換成其他小寫字母．(3)遞增(減)數(shù)列要確保從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)均大于(小于)前一項(xiàng)，不能有例外．

(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(5)(2)(6)(1)(6)

(2)(3)(4)(5)

(1)(5)

(2)

(6)

[(1)是有窮數(shù)列且是遞增數(shù)列；(2)是無窮、遞減數(shù)列；(3)是無窮數(shù)列；(4)是無窮數(shù)列；(5)是遞增數(shù)列且是無窮數(shù)列；(6)是有窮數(shù)列且是常數(shù)列．]反思領(lǐng)悟

數(shù)列的判定方法及其分類(1)判斷所給的對(duì)象是否為數(shù)列，關(guān)鍵看它們是不是按一定次序排列的數(shù)；(2)判斷所給的數(shù)列是遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列，要從項(xiàng)的變化趨勢(shì)來分析；而有窮還是無窮數(shù)列，則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)是有限的還是無限的．

(1)(3)(2)(4)(5)(6)(1)(3)(5)(2)(6)(1)(3)

(2)(4)(5)(6)

(1)(3)(5)

(2)

(6)

[根據(jù)數(shù)列的分類，容易得到，(1)(3)為有窮數(shù)列，(2)(4)(5)(6)為無窮數(shù)列，(1)(3)(5)為遞增數(shù)列，(2)為遞減數(shù)列，(6)為常數(shù)列．]探究2數(shù)列的通項(xiàng)公式探究問題2我們發(fā)現(xiàn)探究問題1中的(1)(2)(4)，項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？

[新知生成]如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的_______之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．表達(dá)形式為an＝f(n)．【教用·微提醒】

數(shù)列的通項(xiàng)公式可能有多個(gè)，也可能不存在．序號(hào)n

[母題探究]

(1)根據(jù)本例中的第(2)題，試寫出前4項(xiàng)為3，33，333，3333的一個(gè)通項(xiàng)公式．(2)試寫出前4項(xiàng)為0.9，0.99，0.999，0.9999的一個(gè)通項(xiàng)公式．

反思領(lǐng)悟

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式的方法(1)先統(tǒng)一各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等．(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)解析式．(3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(－1)n或(－1)n+1調(diào)整．(4)對(duì)于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．

探究3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系探究問題3回顧函數(shù)的表示方法：列表、圖象、解析法，并思考：數(shù)列可以用上面的方法表示嗎？[提示]

可以．但是對(duì)于解析法來說，數(shù)列不同于連續(xù)函數(shù)的表示，需要重新作定義．[新知生成]從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如表：定義域_____________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量從1開始，按照________________________時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)________；(3)________正整數(shù)集N*從小到大的順序依次取值列表法圖象法

[解]

(1)當(dāng)通項(xiàng)公式中的n＝1，2，3，4，5時(shí)，數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為1，3，6，10，15.圖象如圖4.1－2(1)所示．(2)當(dāng)通項(xiàng)公式中的n＝1，2，3，4，5時(shí)，數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為1，0，－1，0，1.圖象如圖4.1－2(2)所示．[典例講評(píng)]

3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n2＋13n(n∈N*)，畫出它在x軸上方的圖象，根據(jù)圖象求出an的最大值，并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝－2x2＋13x的圖象，根據(jù)圖象求出f(x)的最大值，并與an的最大值比較．若用函數(shù)來求an＝－2n2＋13n的最大值，應(yīng)如何處理？

【教用·備選題】已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)＝－2n.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)討論數(shù)列{an}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

√

探究4數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用【鏈接·教材例題】例3如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋2n，那么120是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？分析：要判斷120是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，就是要回答是否存在正整數(shù)n，使得n2＋2n＝120.也就是判斷上述關(guān)于n的方程是否有正整數(shù)解．[解]

令n2＋2n＝120，解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n＝－12(舍去)，或n＝10.所以，120是數(shù)列{an}的項(xiàng)，是第10項(xiàng)．[典例講評(píng)]

4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；(2)－49是不是該數(shù)列的一項(xiàng)？如果是，是哪一項(xiàng)？68是不是該數(shù)列的一項(xiàng)呢？(3)數(shù)列{an}中有多少個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)？[思路引導(dǎo)]

(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，將n＝4，n＝6分別代入通項(xiàng)公式可求得a4和a6的值．(2)假設(shè)－49與68是數(shù)列中的項(xiàng)．建立n的方程，求出結(jié)果觀察n是否為正整數(shù)即可．(3)令an＜0，解出n的范圍，進(jìn)而求n.

反思領(lǐng)悟

求項(xiàng)或判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng)的方法(1)如果已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么只要將相應(yīng)序號(hào)代入通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列中的指定項(xiàng)．(2)判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng)，只需將此數(shù)代入數(shù)列的通項(xiàng)公式中，求出n的值．若求出的n為正整數(shù)，則該數(shù)是數(shù)列的項(xiàng)，否則該數(shù)不是數(shù)列的項(xiàng)．

√243題號(hào)1應(yīng)用遷移√

C

[A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．]23題號(hào)14

√

23題號(hào)41√3．(多選)下面四個(gè)結(jié)論中正確的是(

)A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到實(shí)數(shù)集上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)C．?dāng)?shù)列2，4，6，8可表示為{2，4，6，8}D．對(duì)所有的n∈N*，都有an＋3＝an，則數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列ABD

[{2，4，6，8}表示一個(gè)集合，不是數(shù)列，C項(xiàng)錯(cuò)誤；ABD正確．故選ABD.]√√243題號(hào)1

201．知識(shí)鏈：(1)數(shù)列的概念與分類．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．2．方法鏈：觀察法、歸納法、聯(lián)想轉(zhuǎn)化法．3．警示牌：(1)歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)歸納不全面．(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1進(jìn)行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成