人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章2.5.2圓與圓的位置關(guān)系課件

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系第二章直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解圓與圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判定方法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能利用圓與圓的位置關(guān)系解決有關(guān)問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日．日食只在月球與太陽呈現(xiàn)合的狀態(tài)時(shí)發(fā)生．日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食．我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關(guān)系是怎樣的？前面我們運(yùn)用直線的方程、圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過定量計(jì)算研究圓與圓的位置關(guān)系．[討論交流]

問題1．圓與圓之間有怎樣的位置關(guān)系，如何判定？問題2．圓與圓相交時(shí)，半徑、公共弦、圓心距之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1兩圓位置關(guān)系的判斷探究問題觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關(guān)系？(1)圓與圓之間有幾種位置關(guān)系？(2)能否借助圓的方程來研究圓與圓的位置關(guān)系？[提示]

(1)5種．(2)可以，借助圓的方程可以通過代數(shù)法和幾何法兩種途徑．[新知生成]1．幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系__________________|r1－r2|<d<________________________d>r1＋r2d＝r1＋r2r1＋r2d<|r1－r2|d＝|r1－r2|

方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_個(gè)_個(gè)_個(gè)兩圓的位置關(guān)系________或________或____210相交外切內(nèi)切外離內(nèi)含【教用·微提醒】

(1)利用代數(shù)法判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)，當(dāng)方程無解或一解時(shí)，無法判斷兩圓的位置關(guān)系．(2)在判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，優(yōu)先使用幾何法．(3)兩圓外離時(shí)有四條公切線，當(dāng)兩圓外切時(shí)有三條公切線，當(dāng)兩圓相交時(shí)有兩條公切線，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)只有一條公切線，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)無公切線．【鏈接·教材例題】例5已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系．[分析]

思路1：圓C1與圓C2的位置關(guān)系由它們有幾個(gè)公共點(diǎn)確定，而它們有幾個(gè)公共點(diǎn)又由它們的方程所組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；思路2：借助圖形，可以依據(jù)圓心距與兩半徑的和r1＋r2或兩半徑的差的絕對(duì)值|r1－r2|的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系．

[典例講評(píng)]

1．已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a(chǎn)為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切？(2)相交？(3)外離？(4)內(nèi)含？

(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時(shí)，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|＞5，即a＞5時(shí)，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|＜3，即0＜a＜3時(shí)，兩圓內(nèi)含．發(fā)現(xiàn)規(guī)律

試總結(jié)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的步驟．[提示]

(1)將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑．(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d．(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可數(shù)形結(jié)合．[學(xué)以致用]

1．已知圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，則圓C1與C2的位置關(guān)系是(

)A．相交

B．外離

C．外切

D．內(nèi)含B

[法一：畫出兩圓，如圖所示，由圖可直觀得出兩圓外離．

√

探究2相交弦及圓系方程問題[典例講評(píng)]

2．已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0．(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．

[母題探究]

1．本例條件不變，求兩圓公共弦所在直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦長(zhǎng)．

2．本例條件不變，求過兩圓的交點(diǎn)且半徑最小的圓的方程．

反思領(lǐng)悟

1．兩圓的公共弦問題(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．(2)公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．2．過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．

√√

探究3圓與圓的綜合問題[典例講評(píng)]

3．求圓C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1與C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切線的方程．

反思領(lǐng)悟

1．處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟(1)定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．2．合理運(yùn)用代數(shù)法與幾何法處理直線與圓、圓與圓的問題，建立模型，利用方程思想或數(shù)形結(jié)合思想求解．[學(xué)以致用]

4．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切線有(

)A．1條

B．2條

C．3條

D．4條C

[由圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6y＋5＝0，可得圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－3)2＝4，圓心坐標(biāo)為(0，3)，半徑為2．圓C1與圓C2的圓心距為3，等于兩個(gè)圓的半徑之和，所以圓C1與圓C2外切，故圓C1與圓C2的公切線有3條．故選C．]√5．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是_______________________________________．

(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36

[分析]

我們可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從而得到點(diǎn)M的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個(gè)軌跡與圓O的位置關(guān)系．

應(yīng)用遷移23題號(hào)411．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4與圓C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為(

)A．相交

B．外切

C．內(nèi)切

D．內(nèi)含√

23題號(hào)412．圓x2＋y2－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直線的方程為(

)A．4x－1＝0

B．4y－1＝0C．x＋y－1＝0

D．x－y－1＝0√A

[兩圓方程相減，消去二次項(xiàng)得4x－1＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．]23題號(hào)413．若圓C1：x2＋y2－2x－m＝0與圓C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2條公切線，則m的取值范圍為(

)A．(0，4)

B．(－1，4)

C．(－1，0)

D．[0，4)√

23題號(hào)414．過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程為_________________________．

x2＋y2－3x＋y－1＝01．知識(shí)鏈：(1)兩圓的位置關(guān)系．(2)兩圓的公共弦．(3)圓系方程．(4)圓與圓的綜合問題．2．方法鏈：幾何法、代數(shù)法、待定系數(shù)法．3．警示牌：易混淆內(nèi)切和外切．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．判斷兩圓的位置關(guān)系有哪些方法？[提示]

(1)幾何法：利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較，得到兩圓的位置關(guān)系；(2)代數(shù)法：把兩圓位置關(guān)系的判定完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程組的解的組數(shù)問題．2．兩圓相切時(shí)，圓心距和兩圓半徑有怎樣的關(guān)系？[提示]

圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，兩圓外切時(shí)，|O1O2|＝r1＋r2；兩圓內(nèi)切時(shí)，|O1O2|＝|r1－r2|．3．兩圓相交時(shí)，如何求兩圓的公共弦長(zhǎng)？[提示]

求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解．課時(shí)分層作業(yè)(二十四)圓與圓的位置關(guān)系題號(hào)135246879101112131415一、選擇題1．圓x2＋2x＋y2＋8y－8＝0和圓x2－4x＋y2－4y－2＝0的位置關(guān)系是(

)A．相交

B．相切

C．相離

D．內(nèi)含√

題號(hào)135246879101112131415題號(hào)135246879101112131415

√

題號(hào)352468791011121314151

√√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151二、填空題6．已知圓C1：(x－a)2＋y2＝36與圓C2：x2＋(y－b)2＝4只有一條公切線，則a2＋b2＝________．

16

題號(hào)3524687910111213141517．已知圓C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1與圓C2：x2＋y2＝3交于A，B兩點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為60°，則|AB|＝________．

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√√√BCD

[對(duì)于A，由點(diǎn)(1，1)在圓C1的內(nèi)部，得1＋1＋2m－10＋m2＜0，解得－4＜m＜2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m＝2，則圓C1：x2＋y2＋4x－10y＋4＝0，將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是4x－14y＋9＝0，故B正確；對(duì)于C，圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－5)2＝25，圓心為C1(－m，5)，半徑r1＝5，圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋2)2＝9，圓心為C2(0，－2)，半徑r2＝3，題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415112．若圓C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－2mx＝0(m＞0)的公共弦長(zhǎng)為2，則m的值為_______