人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件

2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第二章直線和圓的方程2.4圓的方程整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)古人崇拜、敬畏月亮，在文學(xué)作品中也大量描寫、吟詠月亮．有詩道：“明月四時(shí)有，何事喜中秋？瑤臺寶鑒，宜掛玉宇最高頭；放出白豪千丈，散作太虛一色．萬象入吾眸，星斗避光彩，風(fēng)露助清幽．”如果把天空看作一個(gè)平面，在上面建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，那么月亮的坐標(biāo)方程如何表示？[討論交流]

問題1．在平面直角坐標(biāo)系中確定一個(gè)圓需要幾個(gè)條件？問題2．若圓的方程為(x＋x0)2＋(y＋y0)2＝a2(a≠0)，那么圓的圓心、半徑分別是什么？問題3．在平面直角坐標(biāo)系中如何判斷一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)圓的位置關(guān)系？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究問題1圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？[提示]

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為圓的半徑．確定圓的要素：圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．探究問題2已知圓心為A(a，b)，半徑為r，你能推導(dǎo)出圓的方程嗎？

[新知生成]確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個(gè)條件：圓心坐標(biāo)與半徑．(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2【教用·微提醒】

(1)當(dāng)圓心在原點(diǎn)(0，0)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2．(2)當(dāng)圓心在原點(diǎn)(0，0)，半徑長r＝1時(shí)，方程為x2＋y2＝1，稱為單位圓．(3)相同的圓，建立坐標(biāo)系不同時(shí)，圓心坐標(biāo)不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．[典例講評]

1．(源自北師大版教材)已知兩點(diǎn)A(1，2)和B(3，－2)．(1)求以點(diǎn)A為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)B的圓的方程；(2)求以AB為直徑的圓的方程．[解]

(1)根據(jù)已知條件，設(shè)圓A的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝r2．由圓A經(jīng)過點(diǎn)B(3，－2)，得(3－1)2＋(－2－2)2＝r2．解得r2＝20．所以圓A的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝20．

反思領(lǐng)悟直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的策略確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等．[學(xué)以致用]

1．求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是(4，0)，且過點(diǎn)(2，2)；(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(diǎn)(3，－4)．[解]

(1)r2＝(4－2)2＋(0－2)2＝8，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝8．(2)設(shè)圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圓心為(0，0)或(0，－8)，又r＝5，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．探究2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系探究問題3平面內(nèi)的點(diǎn)M(a，b)與圓O：x2＋y2＝r2有幾種位置關(guān)系？如何判定？[提示]

3種，分別是M在圓O內(nèi)，在圓O上，在圓O外，可以用|OM|與r作比較來判定．

位置關(guān)系d與r的大小點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r__________________________點(diǎn)在圓上d＝r__________________________點(diǎn)在圓內(nèi)d<r__________________________(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r2【教用·微提醒】

由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍時(shí)，可以根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系將方程中的等號變?yōu)椤埃肌薄埃尽被颉埃健?，還可以用點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來求解．【鏈接·教材例題】例1求圓心為A(2，－3)，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在這個(gè)圓上．[分析]

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程的關(guān)系，只要判斷一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足圓的方程，就可以得到這個(gè)點(diǎn)是否在圓上．[解]

圓心為A(2，－3)，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25．把點(diǎn)M1(5，－7)的坐標(biāo)代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右兩邊相等，點(diǎn)M1的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)M1在這個(gè)圓上．把點(diǎn)M2(－2，－1)的坐標(biāo)代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左邊，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右兩邊不相等，點(diǎn)M2的坐標(biāo)不滿足圓的方程，所以點(diǎn)M2不在這個(gè)圓上(圖2.4-2)．[典例講評]

2．(多選)已知圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25，則下列說法正確的是(

)A．圓M的圓心為(4，－3)B．點(diǎn)(1，0)在圓內(nèi)C．圓M的半徑為5D．點(diǎn)(－3，1)在圓內(nèi)√√√ABC

[根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其圓心為(4，－3)，A正確；對于B，由于(1－4)2＋(0＋3)2＜25，點(diǎn)(1，0)在圓內(nèi)，B正確；對于C，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其半徑為5，C正確；對于D，由于(－3－4)2＋(1＋3)2＞25，點(diǎn)(－3，1)在圓外，D錯(cuò)誤．故選ABC．]發(fā)現(xiàn)規(guī)律

試總結(jié)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法．[提示]

(1)幾何法：比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小；(2)代數(shù)法：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊，比較與r2的大?。?/p>

－2或－6

(－∞，－6)∪(－2，＋∞)

【鏈接·教材例題】例2

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[分析]

不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．顯然已知的三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上．只要確定了a，b，r，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就確定了．探究3求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【鏈接·教材例題】例3已知圓心為C的圓經(jīng)過A(1，1)，B(2，－2)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[分析]

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)．由已知條件可知，|CA|＝|CB|，且a－b＋1＝0．由此可求出圓心坐標(biāo)和半徑．另外，因?yàn)榫€段AB是圓的一條弦，根據(jù)平面幾何知識，AB的中點(diǎn)與圓心C的連線垂直于AB，由此可得到另一種解法．

[典例講評]

3．求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的方程．

[母題探究]求過A(2，－3)，B(－2，－5)兩點(diǎn)，面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

反思領(lǐng)悟

求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)幾何法：利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程，解方程組得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[學(xué)以致用]

3．若圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，B(4，3)，且圓心在直線l：3x－y－3＝0上，則圓C的方程為(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝4B．(x－2)2＋(y－3)2＝8C．(x－3)2＋(y－6)2＝2D．(x－3)2＋(y－6)2＝10√

應(yīng)用遷移23題號41

√

23題號41

√

23題號413．(多選)已知圓的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，則下列坐標(biāo)表示點(diǎn)在圓外的有(

)A．(－3，2)

B．(3，2)C．(1，4)

D．(1，1)√AD

[因?yàn)?－3－2)2＋(2－3)2＝26＞4，所以點(diǎn)(－3，2)在圓外．因?yàn)?3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以點(diǎn)(3，2)在圓內(nèi)．因?yàn)?1－2)2＋(4－3)2＝2＜4，所以點(diǎn)(1，4)在圓內(nèi)．因?yàn)?1－2)2＋(1－3)2＝5＞4，所以點(diǎn)(3，2)在圓外．故選AD．]√23題號414．以C(1，1)為圓心，且經(jīng)過M(2，3)的圓的方程是___________________．

(x－1)2＋(y－1)2＝5

1．知識鏈：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2．方法鏈：直接法、幾何法、待定系數(shù)法．3．警示牌：幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出現(xiàn)漏解情況．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．試寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[提示]

圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．如何求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？[提示]

確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組求a，b，r或直接求出圓心(a，b)和半徑r．3．如何判斷點(diǎn)P(x0，y0)和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系？[提示]

法一(代數(shù)法)：點(diǎn)P在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；點(diǎn)P在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；點(diǎn)P在圓內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．法二(幾何法)：判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大?。n時(shí)分層作業(yè)(二十)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題號135246879101112131415

√

題號135246879101112131415題號1352468791011121314152．在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓經(jīng)過點(diǎn)(－2，－1)；乙：該圓的圓心為(2，－3)；丙：該圓的半徑為5；?。涸搱A經(jīng)過點(diǎn)(5，1)．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是(

)A．甲

B．乙

C．丙

D．丁√題號135246879101112131415A

[若乙、丙正確，則圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25，又(5－2)2＋(1＋3)2＝25，即丁正確，又(－2－2)2＋(－1＋3)2≠25，即甲錯(cuò)誤，即如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是甲．故選A．]題號352468791011121314151

√D

[依題意得x≥0，將方程兩邊同時(shí)平方得x2＋y2＝1，由此確定表示的圖形為半圓，故選D．]題號3524687910111213141514．(多選)以直線2x＋y－4＝0與兩坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)為圓心，且過另一個(gè)交點(diǎn)的圓的方程可能為(

)A．x2＋(y－4)2＝20

B．(x－4)2＋y2＝20C．x2＋(y－2)2＝20

D．(x－2)2＋y2＝20√

√題號3524687910111213141515．已知直線(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒過定點(diǎn)P，則與圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圓心且過點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．圓心為C(2，1)，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________________．(x－2)2＋(y－1)2＝1

[∵該圓的圓心C(2，1)，且與x軸相切，∴圓心C(2，1)到x軸的距離等于半徑，則該圓的半徑為r＝1，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1．](x－2)2＋(y－1)2＝1

題號3524687910111213141517．圓(x－1)2＋(y＋2)2＝9關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______________．

(x－3)2＋y2＝9

題號3524687910111213141518．若圓C與x軸和y軸均相切，且過點(diǎn)(1，2)，則圓C的半徑長為________．1或5

[根據(jù)題意，若圓C與x軸和y軸均相切，則圓心C在直線y＝x或y＝－x上，當(dāng)圓心C在直線y＝x上時(shí)，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，a)，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2，將(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此時(shí)圓的半徑長為1或5；1或5

題號352468791011121314151當(dāng)圓心C在直線y＝－x上時(shí)，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，－a)，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，將(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程無解，綜上所述，圓的半徑長為1或5．]題號352468791011121314151三、解答題9．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知P(a，1)在圓C外，求a的取值范圍．題號352468791011121314151

題號3524687910111213141