福建省莆田市第二十四中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）

絕密★啟用前20172018學(xué)年度下學(xué)期莆田第二十四中學(xué)期中考試卷高二數(shù)學(xué)（理）考試時(shí)間：120分鐘；注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、選擇題（每小題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)）1、集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{y|y＝x2}，則下列關(guān)系中正確的是()A.PQB.P＝QC.PQD.PQ2、已知全集U=R，集合A={x|x2＞4}，B={x|≤0}，則（UA）∩B等于（）A.{x|2≤x＜1}B.{x|3≤x＜2}C.{x|2≤x＜2}D.{x|3≤x≤2}3、已知，那么()A.B.C.D.4、已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（）A.3B.-1C.15、若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則6、已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8、《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何.”其意思是：有一水池一丈見(jiàn)方，池中生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊嬉怀?，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問(wèn)水有多深，該植物有多長(zhǎng)？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為（）A.B.C.D.9、為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為，已知，該某班學(xué)生的腳長(zhǎng)為，據(jù)此估計(jì)其身高為（）A.B.C.D.10、歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限11、從5位男實(shí)習(xí)教師和4位女實(shí)習(xí)教師中選出3位教師派到3個(gè)班實(shí)習(xí)班主任工作，每班派一名，要求這3位實(shí)習(xí)教師中男女都要有，則不同的選派方案共有()A．210 B．420 C．630 D．84012、已知函數(shù)f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，則下列不等式中正確的是（）A.x1＞x2B.x1＜x2C.x1+x2＞0D.x1+x2＜二、填空題（注釋）13、命題“x∈R，x2＋2ax＋a≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．14、設(shè)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)_________________15、二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則___．16、某次市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的直方圖如圖所示（由于人數(shù)眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布），科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小三、解答題（注釋）17、已知函數(shù)，，.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1，2)處的切線方程．18、（本小題滿分12分）某高校自主招生選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某同學(xué)能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響。（I）求該同學(xué)被淘汰的概率；（Ⅱ）該同學(xué)在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．19、如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，且，為中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦.20、戶外運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng)，某單位為了了解員工喜歡戶外運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)本單位的50名員工進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：喜歡戶外運(yùn)動(dòng)不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性5女性10合計(jì)50已知在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）是否有99．5﹪的把握認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說(shuō)明你的理由；（3）經(jīng)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10名女性員工中，有4人還喜歡瑜伽．若從喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10位女性員工中任選3人，記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．下面的臨界值表僅供參考：0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828（）21、函數(shù).（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求的最大值；（2）若對(duì)任意的，都有，求的取值.請(qǐng)考生在第（22）、（23）兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目22、已知圓的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)直線與圓交于點(diǎn)、.（1）寫出圓的直角坐標(biāo)方程；（2）求的值.23、已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題1、【答案】D2、【答案】A3、【答案】D4、【答案】C5、【答案】A6、【答案】A7、【答案】C8、【答案】B9、【答案】C10、【答案】B11、【答案】B12、【答案】C二、填空題13、【答案】14、【答案】x(1)15、【答案】16、【答案】甲三、解答題17、【答案】(1)f′(x)＝2ax－a.由已知得解得∴f(x)＝x2－2x＋.(2)函數(shù)f(x)在(1，2)處的切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.18、【答案】：（Ⅰ）記“該同學(xué)能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，，，所以該同學(xué)被淘汰的概率為：．……………6分（Ⅱ）的可能值為1,2,3，，，．所以的分布列為：123P數(shù)學(xué)期望為.…………12分19、【答案】(1)見(jiàn)解析,(2)二面角的大小為.試題分析：（1）由題意及正方形的特點(diǎn)，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，進(jìn)而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到線面垂直；（2）由題意及圖形，利用三垂線定理得到二面角的平面角，并在三角形中解出即可；（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，∴，又，∴平面，∴.同理，∴平面．（Ⅱ）解：設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，又為中點(diǎn)，可得，從而底面．過(guò)作的垂線，垂足為,連結(jié)．由三垂線定理有，∴為二面角的平面角.在中，可求得∴．cosEMN=∴二面角的大小為．20、【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）有；（3）分布列見(jiàn)解析，期望為．21、【答案】(1)(2)試題分析：(1)求出，由求得，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，從而可得的最大值；（2）對(duì)任意的，都有等價(jià)于函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，分兩種情況討論，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值利用不等式恒成立列不等式求解即可.試題解析：（1）由，得，令，則，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）由題意可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知它在上單調(diào)遞增，故，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)己知斜率求切點(diǎn)求參數(shù)即解方程；(3)巳知切線過(guò)某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.22、【答案】（1）；（2）.試題分析：（1）在極坐標(biāo)方程的兩邊同時(shí)乘以，然后由，即可得到圓的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，消去、得到有關(guān)的參數(shù)方程，然后利用韋達(dá)定理求出的值.（1）由，得，，即，即圓的直角坐標(biāo)方程為；（2）由點(diǎn)的極坐標(biāo)得點(diǎn)直角坐標(biāo)為，將代入消去、，整理得，設(shè)、為方程的兩個(gè)根，則，所以.考點(diǎn)：1.圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化；2.韋達(dá)定理23、【答案】(1)；(2).試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，由題意得，兩邊平方，即可求解不等式的解集；（2）由得，令，分類討論取絕對(duì)值，得出分段函數(shù)，作出圖象，即可求解函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，由得，兩邊平方整理得，解得所以原不等式的解集為（2）由得，令，則，作出函數(shù)的圖像，得從而實(shí)數(shù)的