專題02 有理數(shù)的運(yùn)算（考點(diǎn)清單10個(gè)考點(diǎn)清單+10種題型解讀）-七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教版）

PAGE1專題02有理數(shù)的運(yùn)算（考點(diǎn)清單，10個(gè)考點(diǎn)清單+10種題型解讀）【清單01】有理數(shù)加法運(yùn)算1.加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．有理數(shù)加法運(yùn)算的步驟2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎炯臃ń粨Q律兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變a＋b=b＋a加法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變(a＋b)＋c=a＋(b＋c)3.加法運(yùn)算律的運(yùn)用技巧(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；(2)符號(hào)相同的數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；(3)整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)、分母相同(或分母成倍數(shù)關(guān)系易化成同分母)的數(shù)先相加——“同形結(jié)合法”；(4)幾個(gè)相加得整數(shù)的數(shù)先相加——“湊整法”；(5)帶分?jǐn)?shù)相加時(shí)，可先拆成整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，再分別相加——“拆項(xiàng)結(jié)合法”.【清單02】有理數(shù)減法運(yùn)算1.減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．2.兩數(shù)相減差的符號(hào)(1)較大的數(shù)－較小的數(shù)=正數(shù)，即若a>b，則a－b>0.(2)較小的數(shù)－較大的數(shù)=負(fù)數(shù)，即若a<b，則a－b<0.(3)相等的兩個(gè)數(shù)的差為0，即若a=b，則a－b=0.特別解讀減法轉(zhuǎn)化為加法過程中，應(yīng)注意“兩變一不變”.“兩變”是指運(yùn)算符號(hào)“－”號(hào)變成“＋”號(hào)，減數(shù)變成它的相反數(shù)；“一不變”是指被減數(shù)和減數(shù)的位置不變.【清單03】有理數(shù)加減混合運(yùn)算1.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法(1)運(yùn)用減法法則，將有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法，轉(zhuǎn)化為加法后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式.(2)運(yùn)用加法交換律，加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算，使運(yùn)算簡便.如：(＋7)－(＋10)＋(－3)－(－8)=(＋7)＋(－10)＋(－3)＋8=(7＋8)＋[(－10)＋(－3)]=15＋(－13)=2.2.省略和式中的括號(hào)和加號(hào)將有理數(shù)的加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算時(shí)，在和式里可以把加號(hào)及加數(shù)的括號(hào)省略不寫，以簡化書寫形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以寫成－20－3＋2－5.這個(gè)式子有兩種讀法：(1)按加法的結(jié)果來讀：負(fù)20、負(fù)3、正2、負(fù)5的和；(2)按運(yùn)算來讀：負(fù)20減3加2減5.【清單04】有理數(shù)乘法運(yùn)算1.有理數(shù)的乘法法則(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且積的絕對(duì)值等于乘數(shù)的絕對(duì)值的積.(2)任何數(shù)與0相乘，都得0.2.有理數(shù)乘法的符號(hào)法則a

與b

乘積的符號(hào)a

與b

的符號(hào)正同號(hào)，即a>0，b>0

或a<0，b<0負(fù)同號(hào)，即a>0，b>0

或a<0，b<00至少一個(gè)為0，即a=0

或b=03.倒數(shù)定義乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).倒數(shù)與相反數(shù)之間的關(guān)系不同點(diǎn)相同點(diǎn)定義表示性質(zhì)判定倒數(shù)乘積是1

的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)a(a

≠

0)的倒數(shù)是若a

，

b

互為倒數(shù)，

則a·b=1若a·b=1，則a，b

互為倒數(shù)都成對(duì)出現(xiàn)相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫作互為相反數(shù)a

的相反數(shù)是－a若a，b

互為相反數(shù)，

則a＋b=0若a＋b=0，則a，b

互為相反數(shù)4.乘法運(yùn)算律運(yùn)算律文字表示用字母表示乘法交換律兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變ab=ba乘法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變(ab)c=a(bc)分配律一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加a(b＋c)=ab＋ac【清單05】有理數(shù)除法運(yùn)算除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．2.有理數(shù)除法法則二兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值的商.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.方法點(diǎn)撥：除法法則的選用原則3.分?jǐn)?shù)的化簡（1）實(shí)質(zhì)分?jǐn)?shù)的化簡，即利用有理數(shù)除法法則，用分?jǐn)?shù)的分子除以分母的運(yùn)算過程.（2）分?jǐn)?shù)的符號(hào)法則分?jǐn)?shù)的分子、分母及分?jǐn)?shù)本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分?jǐn)?shù)的值不變.【清單06】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序在運(yùn)算時(shí)要注意按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如果有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的.在同級(jí)運(yùn)算中，要按從左到右的順序來計(jì)算，并合理運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算.【清單07】有理數(shù)乘方運(yùn)算1.乘方運(yùn)算的意義概念示例乘方求n

個(gè)相同乘數(shù)的積的運(yùn)算，叫作乘方讀作“a

的n

次方”冪乘方的結(jié)果叫作冪底數(shù)和指數(shù)an

中，a

叫作底數(shù)，n叫作指數(shù)an，－an和(－a)n的聯(lián)系與區(qū)別知識(shí)拓展：(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；(2)乘方運(yùn)算中,當(dāng)?shù)讛?shù)有“－”號(hào)時(shí),底數(shù)要加括號(hào)；(3)當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時(shí),它們的奇次冪也互為相反數(shù),偶次冪相等.3.乘方的運(yùn)算法則(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；(3)0的任何正整數(shù)次冪都是0.【清單08】有理數(shù)混合運(yùn)算有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．【清單09】科學(xué)記數(shù)法1.定義：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中1≤，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．2.科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的步驟3.還原科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)4.方法點(diǎn)撥：比較用科學(xué)記數(shù)法表示的兩個(gè)數(shù)大小的方法【清單10】近似數(shù)1.準(zhǔn)確數(shù)：與實(shí)際完全符合的數(shù)，稱為準(zhǔn)確數(shù).2.近似數(shù)：許多實(shí)際情況中，較難取得準(zhǔn)確數(shù)，把接近準(zhǔn)確數(shù)但不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)稱為近似數(shù).3.近似數(shù)的精確度：近似數(shù)的精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.近似數(shù)的精確度的表述方法：(1)用數(shù)位表示，如精確到千位，精確到千分位等；(2)用小數(shù)表示，如精確到0.1，精確到0.01等；(3)對(duì)帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到1kg，精確到1m等.4.取近似數(shù)的方法：通常用四舍五入法；特殊情況下使用去尾法、進(jìn)一法.【考點(diǎn)題型一】有理數(shù)的加法（共3題）1．（2023秋?瀘縣校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則進(jìn)行解題即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的加法，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?合江縣校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】先把加法寫成省略加號(hào)、括號(hào)和的形式，再利用加法的交換律、結(jié)合律求解．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握加法的運(yùn)算法則、運(yùn)算律是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021秋?涼山州期末）數(shù)學(xué)張老師在多媒體上列出了如下的材料：計(jì)算：．解：原式．上述這種方法叫做拆項(xiàng)法．請(qǐng)仿照上面的方式計(jì)算：．【分析】根據(jù)題目所提供的計(jì)算方法，寫成幾個(gè)整數(shù)的和以及幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的加法，掌握有理數(shù)加法的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型二】有理數(shù)的減法（共4題）1．（2023秋?濟(jì)南期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?太湖縣期末）．【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算的法則：在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號(hào)的和的形式計(jì)算即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算的法則，解題時(shí)牢記法則是關(guān)鍵．3．（2023秋?敘永縣校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】先根據(jù)有理數(shù)的減法法則把減法化成加法，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，寫成省略加號(hào)和的形式，再進(jìn)行簡便計(jì)算即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加減法則．4．（2023秋?商南縣校級(jí)期末）小蟲從某點(diǎn)出發(fā)在一條直線上來回爬行，假設(shè)向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬行的路程依次為（單位：，，，，，，．（1）小蟲離開出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)是厘米．（2）小蟲是否回到了原點(diǎn)？（3）在爬行過程中，如果每爬行獎(jiǎng)勵(lì)一粒芝麻，則小蟲共可得到多少粒芝麻？【分析】（1）分別計(jì)算每次距地的距離，進(jìn)行比較即可；（2）直接將所有數(shù)據(jù)相加得出答案；（3）所有記錄數(shù)的絕對(duì)值的和，即可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，第一次距點(diǎn)；第二次距點(diǎn)；第三次距點(diǎn)；第四次距點(diǎn)；第五次距點(diǎn)；第六次距點(diǎn)；第七次距點(diǎn)；所以在第三次小蟲距點(diǎn)最遠(yuǎn)，為；故答案為：12；（2），故小蟲最后回到出發(fā)點(diǎn)；（3）由題意可得：，（粒，則小蟲一共可以得到54粒芝麻．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【考點(diǎn)題型三】有理數(shù)的乘除（共6題）1．（2023秋?淥口區(qū)期末）已知，，且，求的值．【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出、的值，然后根據(jù)進(jìn)一步確定、的值，從而求出的值．【解答】解：，，，，，，或，，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；綜上所述，的值為40或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法、加法，絕對(duì)值，得出，或，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?昌邑區(qū)校級(jí)期末）．【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，再根據(jù)乘法分配律，可得計(jì)算結(jié)果．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的除法，先把除法變成乘法，再根據(jù)乘法分配律相乘，把所得的積相加，注意運(yùn)算符號(hào)．3．（2023秋?中原區(qū)期末）學(xué)了有理數(shù)的運(yùn)算后，老師給同學(xué)們出了一題．計(jì)算：，下面是兩位同學(xué)的解法：小方：原式；小楊：原式．（1）兩位同學(xué)的解法中，誰的解法較好？（2）請(qǐng)你寫出另一種更好的解法．【分析】（1）根據(jù)計(jì)算，小楊利用了乘法分配律計(jì)算更簡便；（2）把寫成，然后利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算更加簡便．【解答】解：（1）小楊的解法較好；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，主要訓(xùn)練了利用運(yùn)算定律簡便運(yùn)算，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?綏陽縣期末）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算”：小華的解法：．大白的解法：原式的倒數(shù)為第一步，第二步，第三步，第四步．所以分析兩位同學(xué)的解法，請(qǐng)你回答下列問題：（1）兩位同學(xué)的解法中，同學(xué)的解答正確；（2）大白解法中，第二步到第三步的運(yùn)算依據(jù)是．（3）用一種你喜歡的方法計(jì)算：．【分析】（1）根據(jù)題目中的解答過程可知，大白的解答正確；（2）根據(jù)題目中的解答過程可知大白解法中，第二步到第三步的運(yùn)算依據(jù)是乘法分配律；（3）根據(jù)大白的解法，可以先求所求式子的倒數(shù)，然后即可得到所求式子的值，【解答】解：（1）由題目中的解答過程可知：兩位同學(xué)的解法中，大白同學(xué)的解答正確，故答案為：大白；（2）大白解法中，第二步到第三步的運(yùn)算依據(jù)是乘法分配律，故答案為：乘法分配律；（3）因?yàn)樵降牡箶?shù)為：，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋?射陽縣期末）已知：，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出、的值，然后確定出、的對(duì)應(yīng)情況，再相乘即可得解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出、的值，然后根據(jù)異號(hào)得負(fù)確定出、的對(duì)應(yīng)情況，再代入解答即可．【解答】解：（1），，，，，時(shí)，，，時(shí)，，，綜上所述，的值是；（2），，，，，時(shí)，，，時(shí)，，，綜上所述，的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘法，絕對(duì)值，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的減法，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，找到符合題意的相應(yīng)的，的值．6．（2023秋?淮北期末）閱讀理解：計(jì)算時(shí)，若把與分別各看作一個(gè)整體，再利用分配律進(jìn)行運(yùn)算，可以大大簡化難度．過程如下：解：設(shè)為，為，則原式．請(qǐng)用上面方法計(jì)算：①②．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)為，為，原式變形后計(jì)算即可求出值；（2）根據(jù)題意設(shè)為，為，原式變形后計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）設(shè)為，為，原式；（2）設(shè)為，為，原式．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握閱讀理解中的解題方法是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型四】有理數(shù)的乘方（共8題）1．（2023秋?曲靖期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型來表示．即：，，，，，，請(qǐng)你推算的個(gè)位數(shù)字是A．6 B．4 C．2 D．8【分析】根據(jù)尾數(shù)的循環(huán)性得出結(jié)論即可．【解答】解：由題意知，個(gè)位數(shù)字每四個(gè)數(shù)按2，4，8，6循環(huán)出現(xiàn)，，的個(gè)位數(shù)字與相同，為6，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)尾數(shù)的循環(huán)得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?德城區(qū)期末）觀察下列等式：，，，，，，，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是．【分析】先根據(jù)題目中所給運(yùn)算結(jié)果歸納出尾數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律，再運(yùn)用該規(guī)律進(jìn)行求解．【解答】解：，，，，，，，尾數(shù)按1，7，9，3，四次一循環(huán)周期的規(guī)律出現(xiàn)，且，，，即的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并通過觀察、計(jì)算、歸納進(jìn)行求解．3．（2023秋?龍湖區(qū)期末）已知，都是有理數(shù)，若，則．【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)，進(jìn)而得出，的值，即可得出答案．【解答】解：，，，解得：，，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．4．（2023秋?合肥期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)混合運(yùn)算法則，先算乘方，再算絕對(duì)值符號(hào)里面的，最后算乘除即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則．5．（2023秋?隆回縣期末）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）先計(jì)算乘方和絕對(duì)值，再計(jì)算乘法，繼而計(jì)算減法即可；（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算和乘方，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加法即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．6．（2023秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）已知，滿足，求的值．【分析】根據(jù)絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性求出、，再根據(jù)有理數(shù)的乘方法則計(jì)算即可．【解答】解：，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記絕對(duì)值、偶次方具有非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?射陽縣期末）閱讀理解：根據(jù)乘方的意義，可得：．請(qǐng)你試一試，完成以下題目：（1）；（2）歸納、概括：；（3）如果，，運(yùn)用以上的結(jié)論，計(jì)算：．【分析】①直接利用已知計(jì)算得出答案；②利用①中所求進(jìn)而得出答案；③利用②中所求，將原式變形進(jìn)而得出答案．【解答】解：①；②歸納、概括：；③如果，，運(yùn)用以上的結(jié)論，計(jì)算：．故答案為：，，100．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法，正確得出運(yùn)算規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．（2023秋?東城區(qū)期末）小明設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的數(shù)值轉(zhuǎn)換程序．（1）當(dāng)輸入，時(shí)，求輸出的值為多少？（2）若，的值大于4，直接寫出一個(gè)符合條件的的值．【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)值轉(zhuǎn)換程序，可以計(jì)算出，時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值；（2）根據(jù)圖形中的信息和題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后即可寫出一個(gè)符合要求的的值．【解答】解：（1），，，；（2）當(dāng)時(shí)，令，得或，，此種情況不符合實(shí)際；當(dāng)時(shí)，令，得，，可以為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型五】科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字（共5題）1．（2023秋?長壽區(qū)期末）用四舍五入法按要求對(duì)0.05019分別取近似值，其中錯(cuò)誤的是A．0.1（精確到 B．0.05（精確到百分位） C．0.05（精確到千分位） D．0.0502（精確到【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：、（精確到，所以此選項(xiàng)正確，故不符合題意；、（精確到百分位），所以此選項(xiàng)正確，故不符合題意；、（精確到千分位），所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故符合題意；、（精確到，所以此選項(xiàng)正確，故不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)，掌握近似數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?蓬江區(qū)期末）用四舍五入法把數(shù)25.862精確到十分位，所得的近似數(shù)是A．25.8 B．25.9 C．25.86 D．25.87【分析】根據(jù)一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)數(shù)的精確度在哪一位，進(jìn)行解答即可．【解答】解：用四舍五入法把數(shù)25.862精確到十分位，所得的近似數(shù)是25.9．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查近似數(shù)，掌握一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)數(shù)的精確度在哪一位是關(guān)鍵．3．（2023秋?惠城區(qū)期末）是第五代移動(dòng)通信技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達(dá)到每秒以上．用科學(xué)記數(shù)法表示1300000是A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值1時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．4．（2023秋?羅湖區(qū)期末）2023年2月10號(hào)，神舟十五號(hào)航天員乘組圓滿完成了他們的首次出艙任務(wù)，飛船的速度約為每小時(shí)28000千米，28000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．5．（2023秋?龍華區(qū)期末）紅樹林、海草床和濱海鹽沼組成三大濱?！八{(lán)碳”生態(tài)系統(tǒng)．相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，按全球平均值估算，我國三大濱?！八{(lán)碳”生態(tài)系統(tǒng)的年碳匯量最高可達(dá)約3080000噸二氧化碳．將3080000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．【考點(diǎn)題型六】有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用（共4題）1．（2023秋?萬州區(qū)期末）張阿姨水果店以每箱200元的價(jià)格從水果批發(fā)市場購進(jìn)20箱櫻桃，若以每箱凈重10千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱重的記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）0箱數(shù)143453（1）這20箱櫻桃的總質(zhì)量是多少千克？（2）張阿姨水果店購進(jìn)這批櫻桃需要付運(yùn)費(fèi)100元，計(jì)劃把這些櫻桃全部以零售的形式賣掉，按照全部銷售完后獲得的利潤為成本的作為銷售目標(biāo)，并制定零售價(jià)為30元千克，在實(shí)際銷售時(shí)，第一天水果店以該零售價(jià)售出了總質(zhì)量的，第二天因害怕剩余的櫻桃腐爛，把剩余的櫻桃按原零售價(jià)的七折售完．（提示：成本總進(jìn)價(jià)運(yùn)費(fèi)）計(jì)算該水果店在實(shí)際銷售這批櫻桃的過程中共盈利多少元？是否達(dá)成原定銷售目標(biāo)？【分析】（1）用標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值之和加上標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量即可求出答案；（2）根據(jù)題意分別求出第一天和第二天的銷售額，再計(jì)算出總銷售額，根據(jù)利潤總銷售額成本即可求出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，（千克），20箱櫻桃的總質(zhì)量是（千克）．答：這20箱櫻桃的總質(zhì)量是205千克；（2）第一天水果店以該零售價(jià)售出了總質(zhì)量的，銷售額為（元，第二天按原零售價(jià)的七折出售，則每千克的售價(jià)為（元，第二天銷售額為（元，這批櫻桃的總銷售額為（元，實(shí)際利潤為（元，所以，該水果店在實(shí)際銷售這批櫻桃的過程中共盈利1312元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．2．（2023秋?安溪縣期末）某水果店以每箱180元的價(jià)格從水果批發(fā)市場購進(jìn)20箱草莓，若以每箱凈重10千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱重的記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)重量的差值（單位：千克）00.250.30.5箱數(shù)233552（1）求這20箱草莓的總重量；（2）若水果店打算以每千克25元銷售這批草莓，則全部售出可獲利多少元？【分析】（1）根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義列式計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）中所求列式計(jì)算即可．【解答】解：（1）（千克），即這20箱草莓的總重量為202千克；（2）（元，即全部售出可獲利1450元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)及有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?蓮都區(qū)期末）如圖1是1個(gè)紙杯和6個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，量得1個(gè)紙杯的高為，6個(gè)疊放在一起的紙杯的高為．（1）問2個(gè)疊放在一起的紙杯的高是多少？（2）若一批這樣的紙杯按照?qǐng)D2的方式疊放，測得總高度為，求紙杯個(gè)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)求出兩個(gè)疊的紙杯放在一起的高度即可；（2）根據(jù)總高度求出紙杯的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，則2個(gè)疊放在一起的紙杯的高是；（2）根據(jù)題意得：（個(gè)，則紙杯個(gè)數(shù)為101個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋?襄城縣期末）小華有5張寫著不同數(shù)的卡片如圖，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列各題：（1）從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)乘積最大，最大值是；（2）從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)相除的商最小，最小值是；（3）從中抽出4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法使結(jié)果為30，寫出運(yùn)算式子（至少寫出兩種）．【分析】（1）觀察這五個(gè)數(shù)，要找乘積最大的就要找符號(hào)相同且乘積數(shù)值最大的數(shù)，所以選和；（2）2張卡片上數(shù)字相除的商最小就要找符號(hào)不同，且分母的絕對(duì)值越小越好，分子的絕對(duì)值越小大越好，所以就要選和3，且為分子；（3）從中取出4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，使結(jié)果為30，方法不唯一，用加減乘除只要結(jié)果是30即可，如：抽取、、0、，則；再如：抽取、、、，則．【解答】解：（1），故答案為：24；（2），故答案為：；（3）方法不唯一，如：抽取、、0、，則，如：抽取、、、，則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】有理數(shù)的新定義運(yùn)算（共7題）1．（2023秋?郟縣期末）規(guī)定一種新運(yùn)算“※”，兩數(shù)，通過“※”運(yùn)算得，即※，例如：3※，根據(jù)上面規(guī)定解答下題：（1）求7※的值；（2）7※與※7的值相等嗎？【分析】（1）把所給定義式中的換成7、換成代入計(jì)算即可．（2）根據(jù)（1）中所給的定義先分別計(jì)算出7※與※7的值，然后比較計(jì)算結(jié)果即可．【解答】解：（1）7※（2）不相等．理由是：※，※，即：※與※7的值不相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解所給運(yùn)算的意義、運(yùn)算順序．2．（2023秋?江州區(qū)期末）新定義運(yùn)算：如果，，，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，例如：因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以．?）填空：，；（2）如果，求的值；（3）若，求的值．【分析】（1）根據(jù)“如果，，，則”進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)新定義的運(yùn)算，得出，再根據(jù)絕對(duì)值的定義求出答案即可；（3）根據(jù)新定義的運(yùn)算求出，，進(jìn)而得到，再根據(jù)新定義運(yùn)算求出結(jié)果即可．【解答】解：（1），，又，而，，故答案為：1，4；（2），，解得或，答：的值為29或；（3），，，，即，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方，掌握有理數(shù)乘方的計(jì)算方法以及絕對(duì)值的定義是正確解答的關(guān)鍵．3．（2023秋?成都期末）【初探】從這九個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)不同數(shù)字，分別記為，，由這兩個(gè)數(shù)字可以組成兩個(gè)兩位數(shù)，再用這兩個(gè)兩位數(shù)相加的和除以11，所得的商記為．如：，，可以組成12，21，它們的和為33，因?yàn)?，所以．?）；（2）一定是整數(shù)嗎？請(qǐng)說明理由；【拓廣】從這九個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)不同數(shù)字，記為，，，由這三個(gè)數(shù)字組成六個(gè)不同的兩位數(shù)，再用這六個(gè)兩位數(shù)相加的和除以22，所得的商記為，，．（3）若，，，且，求的值．【分析】（1）根據(jù)已知條件中的新定義，直接列出算式，求出的值即可；（2）根據(jù)已知條件中的新定義，列出算式，進(jìn)行化簡即可；（3）根據(jù)定義，列出代數(shù)式，進(jìn)行化簡，求出，，的值，再根據(jù)題意，列出方程，進(jìn)行代換即可．【解答】解：（1），故答案為：9；（2）一定是整數(shù)，理由如下：由題意得：，，都是整數(shù)，也是整數(shù)，一定是整數(shù)；（3）由題意得：，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清題意，根據(jù)題意．列出算式．4．（2023秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）【思考】定義一種新運(yùn)算“※”，觀察下面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？3※，※※，3※3※，※【歸納】（1）兩數(shù)進(jìn)行“※”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加任何數(shù)同0進(jìn)行“※”運(yùn)算，都得．【運(yùn)用】（2）計(jì)算：※※；（3）化簡：※．（提示：對(duì)于運(yùn)算“※”，如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．【分析】（1）觀察表格可得答案；（2）根據(jù)新定義計(jì)算；（3）分三種情況討論即可．【解答】解：（1）兩數(shù)進(jìn)行“※”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加，任何數(shù)同0進(jìn)行“※”運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；故答案為：絕對(duì)值相加；這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；（2）※※※4；（3）當(dāng)時(shí)，※；當(dāng)時(shí)，※；當(dāng)時(shí)，※．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義．5．（2023秋?輝縣市期末）觀察下列兩個(gè)等式：，給出定義如下：我們稱使等式成立的一對(duì)有理數(shù)“，”為“共生有理數(shù)對(duì)”，記為，如：數(shù)對(duì)，都是“共生有理數(shù)對(duì)”．（1）通過計(jì)算判斷數(shù)對(duì)是不是“共生有理數(shù)對(duì)”；（2）若是“共生有理數(shù)對(duì)”，則“共生有理數(shù)對(duì)”（填“是”或“不是”；（3）如果是“共生有理數(shù)對(duì)”，且，求的值．【分析】（1）根據(jù)“共生有理數(shù)對(duì)”的定義，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)“共生有理數(shù)對(duì)”的定義，進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)“共生有理數(shù)對(duì)”的定義求出的值，代入求解即可．【解答】解：（1），，，數(shù)對(duì)不是“共生有理數(shù)對(duì)”；（2）是“共生有理數(shù)對(duì)”，，，是“共生有理數(shù)對(duì)”，故答案為：是；（3）是“共生有理數(shù)對(duì)”，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“共生有理數(shù)對(duì)”的定義．6．（2023秋?梁山縣期末）有理數(shù)和分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)，定義為數(shù)、的中點(diǎn)數(shù)，定義為點(diǎn)、之間的距離，其中表示數(shù)、的差的絕對(duì)值．例如：數(shù)和3的中點(diǎn)數(shù)是，數(shù)軸上表示數(shù)和3的點(diǎn)之間的距離是．請(qǐng)閱讀以上材料，完成下列問題：（1），；（2）已知，，，求的值；（3）當(dāng)，，時(shí)，求的值．【分析】（1）根據(jù)的定義，的定義即可求解；（2）先根據(jù)新定義得出關(guān)于的方程求得，進(jìn)一步根據(jù)的定義即可求解；（3）先根據(jù)新定義得出關(guān)于的方程求得，進(jìn)一步根據(jù)的定義即可求解．【解答】解：（1），．故答案為：3，2；（2），，，，解得，則，，；（3），，，，解得或8，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握的定義，的定義是解題關(guān)鍵．7．（2023秋?大荔縣期末）“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若到的距離剛好是3，則點(diǎn)叫做的“幸福點(diǎn)”；若到、的距離之和為6，則叫做和的“幸福中心”．（1）若點(diǎn)表示的數(shù)為，則的幸福點(diǎn)所表示的數(shù)應(yīng)該是；（2）如圖，、為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為4，點(diǎn)所表示的數(shù)為，若點(diǎn)就是和的幸福中心，則所表示的所有數(shù)中，整數(shù)之和是多少？【分析】（1）根據(jù)“幸福點(diǎn)”定義可得的幸福點(diǎn)所表示的數(shù)即可；（2）根據(jù)題意列出絕對(duì)值方程，分類討論符合條件的值，最后相加即可．【解答】解：（1）根據(jù)幸福點(diǎn)的定義可知：的幸福點(diǎn)所表示的數(shù)應(yīng)該是：和1；故答案為：和1．（2）設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，由題意得：丨丨丨丨，丨丨丨丨，當(dāng)時(shí)，丨丨丨丨，不符合題意；當(dāng)時(shí)，丨丨丨丨，符合題意；當(dāng)時(shí)，丨丨丨丨，不符合題意；當(dāng)時(shí)，丨丨丨丨，若點(diǎn)就是和的幸福中心，則所表示的所有數(shù)中整數(shù)有：，，0，1，2，3，4．滿足條件的整數(shù)之和為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加法，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】與絕對(duì)值有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)、最值綜合問題（共4題）1．（2023秋?太和縣期末）已知：是最大的負(fù)整數(shù)，且、、滿足，（1）直接寫出，，．（2），，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，若點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒3個(gè)單位長度和6個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．①當(dāng)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，且時(shí)，請(qǐng)問：的值是否隨著時(shí)間的變化而變化．②當(dāng)?shù)闹挡浑S著時(shí)間的變化而變化，求的值．【分析】（1）根據(jù)是最大的負(fù)整數(shù)，即可確定的值，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每個(gè)數(shù)是0，即可求得，，的值；（2）①表示出秒鐘過后，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，得出，，求出的值即可；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，分別求出的值即可．【解答】解：（1）是最大的負(fù)整數(shù)，，，，，解得：，，故答案為：；1；6．（2）①的值不變；理由如下：秒鐘過后，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，的值保持不變；②當(dāng)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，的值不隨著時(shí)間的變化而變化，，解得：，，不符合題意舍去；當(dāng)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，的值不隨著時(shí)間的變化而變化，，解得：；綜上分析可知，當(dāng)?shù)闹挡浑S著時(shí)間的變化而變化時(shí)，的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式加減的應(yīng)用，數(shù)軸與絕對(duì)值，通過數(shù)軸把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．2．（2023秋?贛州期末）【閱讀】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如，表示3與1差的絕對(duì)值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以轉(zhuǎn)化為，表示3與的差的絕對(duì)值，也可理解為3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．【探索】（1）；（2）利用數(shù)軸，解決下列問題：①若，則；②若，請(qǐng)直接寫出所有的整數(shù)：；③是否存在有理數(shù)，使得式子有最大值？如果存在，寫出一個(gè)符合條件的的值及式子的最大值；如果不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和絕對(duì)值的定義可以解答本題；（2）①根據(jù)絕對(duì)值的定義可以解答本題；②根據(jù)絕對(duì)值的定義可以解答本題；③根據(jù)絕對(duì)值的定義和分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．【解答】解：（1），故答案為：4；（2）①，或，解得：或，故答案為：2或；②，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），由上可得符合要求的整數(shù)是，，0，1，2，3，故答案為：，，0，1，2，3．③存在，要使有最大值，則可知為與3之間的距離，即最大值為，此時(shí)的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸、絕對(duì)值，有理數(shù)及有理數(shù)的加法，解答本題的關(guān)鍵是明確絕對(duì)值的定義，利用絕對(duì)值的知識(shí)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．3．（2023秋?成都期末）已知：是最小的正整數(shù)，且、滿足，請(qǐng)回答問題（1）請(qǐng)直接寫出、、的值．，，（2）、、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、、，點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)在0到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），請(qǐng)化簡式子：（請(qǐng)寫出化簡過程）（3）在（1）（2）的條件下，點(diǎn)、、開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒2個(gè)單位長度和5個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．請(qǐng)問：的值是否隨著時(shí)間的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．【分析】（1）根據(jù)是最小的正整數(shù)，即可確定的值，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每個(gè)數(shù)是0，即可求得，，的值；（2）根據(jù)的范圍，確定，，的符號(hào)，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義即可化簡；（3）先求出，，從而得出．【解答】解：（1）是最小的正整數(shù)，．根據(jù)題意得：且，，，．故答案為：；1；5；（2）當(dāng)時(shí)，，，，則：；當(dāng)時(shí)，，，．；（3）不變．理由如下：秒時(shí)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．，，，即的值不隨著時(shí)間的變化而改變．（另解）點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，、之間的距離每秒鐘增加3個(gè)單位長度；點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒2個(gè)單位長度和5個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，、之間的距離每秒鐘增加3個(gè)單位長度．又，的值不隨著時(shí)間的變化而改變．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸與絕對(duì)值，通過數(shù)軸把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．4．（2023秋?鳳翔區(qū)期末）【數(shù)學(xué)概念】如圖，、為數(shù)軸上不重合的兩個(gè)點(diǎn)，為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，我們比較線段和的長度，將較短線段的長度定義為點(diǎn)到線段的“靠近距離”．特別地，若線段和的長度相等，則將線段或的長度定義為點(diǎn)到線段的“靠近距離”．【概念理解】如圖①，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是2．（1）若點(diǎn)表示的數(shù)是，則點(diǎn)到線段的“靠近距離”為；（2）若點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)到線段的“靠近距離”為3，則的值為（寫出所有結(jié)果）；【概念應(yīng)用】（3）如圖②，在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是2．點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，當(dāng)點(diǎn)到線段的“靠近距離”為2時(shí)，求的值．【分析】（1）由“靠近距離”的定義，可得答案；（2）點(diǎn)到線段的“靠近距離”為3時(shí)，分情況列出方程即可；（3）按照和分類討論計(jì)算即可．【解答】解：（1）點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是2，若點(diǎn)表示的數(shù)是，，，則點(diǎn)到線段的“靠近距離”為2，故答案為：2；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可得，，，當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，解得或，故的值為或或5；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，，，當(dāng)時(shí)，解得或0.5，當(dāng)時(shí)，解得或6，綜上，的值為2.5或0.5或10或6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程在數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并分類討論，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型九】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)綜合問題（共4題）1．（2023秋?廣州期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)距離原點(diǎn)12個(gè)單位長度，點(diǎn)距離原點(diǎn)2個(gè)單位長度．（1）點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，兩點(diǎn)之間的距離為；（2）若點(diǎn)為數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的值；（3）若點(diǎn)、、同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是每秒6個(gè)單位長度，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是每秒8個(gè)單位長度，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長度．運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等時(shí)，求這時(shí)三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)各是多少？【分析】（1）先由點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，距離原點(diǎn)12個(gè)單位長度確定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，同理可得點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)右邊的數(shù)左邊的數(shù)兩點(diǎn)的距離可得，兩點(diǎn)的距離；（2）分點(diǎn)在點(diǎn)的左邊和右邊，根據(jù)線段的和差可得的長；（3）設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為秒，分別表示三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，表示的數(shù)，分四種情況討論，列等式可解答．【解答】解：（1）點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，距離原點(diǎn)12個(gè)單位長度，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，同理可得點(diǎn)表示的數(shù)為2，，兩點(diǎn)之間的距離為：，故答案為：，2，14；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，；綜上，的值是16或12；（3）設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為秒，則動(dòng)點(diǎn)，，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，，分三種情況：①點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，，，此時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：．②點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，，（舍，③點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)的速度小，所以此種情況不存在．④與重合時(shí)，，，；這時(shí)三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)各是：，，．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查解一元一次方程，列一元一次方程解應(yīng)用題，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題的求解等知識(shí)與方法，正確地用代數(shù)式表示移動(dòng)過程中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?泰興市期末）已知點(diǎn)、、、在數(shù)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)分別為、2，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且，．（1）直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)分別為：、；（2）若線段沿著數(shù)軸向右以2個(gè)單位長度秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段沿著數(shù)軸向左以1個(gè)單位長度秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒，．①若和重合，則的值為，若和重合，則的值為；②若線段和線段重疊部分為1個(gè)單位長度，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；③當(dāng)時(shí)，下面兩個(gè)式子：①；②中有一個(gè)式子的值是定值，你認(rèn)為是定值的式子是（填寫序號(hào)），并求這個(gè)定值．【分析】（1）點(diǎn)表示的數(shù)為，且，得到點(diǎn)表示的數(shù)；點(diǎn)表示的數(shù)為2，，得到點(diǎn)表示的數(shù)．（2）①由和重合，得，可求，由和重合，得，可求．②當(dāng)點(diǎn)超過點(diǎn)1個(gè)單位長度時(shí)，可得，可求，當(dāng)點(diǎn)超過點(diǎn)3個(gè)單位長度時(shí)，可得，可求．③根據(jù)和時(shí)，求出點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)的范圍，同理求出點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)的范圍，再判斷定值即可．【解答】解：（1）點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為2，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：，4．（2）①若和重合，則，；若和重合，則，；故答案為：，．②當(dāng)點(diǎn)超過點(diǎn)1個(gè)單位長度時(shí)，此時(shí)，線段和線段重疊部分為1個(gè)單位長度，，；當(dāng)點(diǎn)超過點(diǎn)3個(gè)單位長度時(shí)，此時(shí)，線段和線段重疊部分為1個(gè)單位長度，，；故答案為：分鐘或分鐘；③答：①是定值，定值是6．解：當(dāng)和時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為和，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)在和之間；當(dāng)和時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為和，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)在和之間，；當(dāng)和時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為和，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)在和之間；當(dāng)和時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為和，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)在和之間，；，故答案為：①，6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸的知識(shí)，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．3．（2023秋?臺(tái)江區(qū)期末）數(shù)軸上兩點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是、，、滿足．若有一動(dòng)點(diǎn)從數(shù)軸上點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著數(shù)軸向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1），，并在數(shù)軸上面標(biāo)出、兩點(diǎn)；（2）【解決問題】①當(dāng)秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)是，所表示的數(shù)；②問點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒與點(diǎn)相距3個(gè)單位長度？【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)列等式，進(jìn)而求出，的值，再在數(shù)軸上標(biāo)出，兩點(diǎn)即可；（2）【解決問題】①當(dāng)秒時(shí)，根據(jù)，和點(diǎn)和的運(yùn)動(dòng)方式即可求出點(diǎn)，的值；②根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，先表示出和，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，分別計(jì)算即可．【解答】解：（1），，，，，故答案為：8，，在數(shù)軸上面標(biāo)出、兩點(diǎn)，如圖：；（2）①當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)從數(shù)軸上點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著數(shù)軸向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：5，；②運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，根據(jù)，的運(yùn)動(dòng)，則，，，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒或3秒時(shí)與點(diǎn)相距3個(gè)單位長度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，分情況討論．4．（2023秋?高新區(qū)校級(jí)期末）已知數(shù)軸上的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，，且，點(diǎn)為數(shù)軸上從原點(diǎn)出發(fā)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，速度為30單位長度秒．（1）求點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離；（2）若點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，速度為10單位長度秒，點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為20單位長度秒，點(diǎn)，和三點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)先向右運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)后立即掉后向左運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)再立即掉頭向右運(yùn)動(dòng)，如此往返，當(dāng)，兩點(diǎn)相距30個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)點(diǎn)移動(dòng)的路程為多少個(gè)單位長度？（3）若點(diǎn)，，三個(gè)點(diǎn)都向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，的速度分別為10單位長度秒，20單位長度秒，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，在運(yùn)動(dòng)過程中①的值不變；②的值不變，可以證明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，的值，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離；（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，兩點(diǎn)相距30個(gè)單位長度，依此列出方程，解方程求出的值，再根據(jù)路程速度時(shí)間即可求解；（3）先求出運(yùn)動(dòng)秒后、、三點(diǎn)所表示的數(shù)為，，，再利用利用中點(diǎn)的定義得出表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，進(jìn)而求解即可．【解答】解：（1）、、（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，兩點(diǎn)相距30個(gè)單位長度．由題意得，解得，則此時(shí)點(diǎn)移動(dòng)的路程為．答：走的路程為270；（3）運(yùn)動(dòng)秒后、、三點(diǎn)所表示的數(shù)為，，，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．【考點(diǎn)題型十】數(shù)軸上的中點(diǎn)、分點(diǎn)綜合問題（共3題）1．（2023秋?雙流區(qū)期末）點(diǎn)在線段上，在線段，，中，若有一條線段的長度恰好是另一條線段長度的一半，則稱點(diǎn)為線段的“半分點(diǎn)”．（1）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)線段的“半分點(diǎn)”（填“是”或“不是”；（2）已知，若點(diǎn)為線段的“半分點(diǎn)”，求線段的長度；（3）已知點(diǎn)，，是數(shù)軸上互不重合的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，若存在這三個(gè)點(diǎn)中，一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“半分點(diǎn)”，求點(diǎn)表示的數(shù)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）．【分析】（1）根據(jù)“半分點(diǎn)”的定義即可解答；（2）分三種情況：①，②，③，分別列式計(jì)算即可解答；（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且時(shí)取最大值，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，且時(shí)取最小值，以此列出代數(shù)式求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，根據(jù)“半分點(diǎn)”的定義，點(diǎn)為線段的“半分點(diǎn)”，故答案為：是；（2）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線段的“半分點(diǎn)”，，，②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線段的“半分點(diǎn)”，則，，．③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線段的“半分點(diǎn)”，則，，．綜上，的長為或或；（3）點(diǎn)表示的數(shù)的最大值與最小值的差為，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且時(shí)取最大值，點(diǎn)表示的數(shù)是，，即點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且時(shí)取最小值，點(diǎn)表示的數(shù)是，，即點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)的最大值與最小值的差為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)軸、列代