專題39 幾何探究題（6大類型）（原卷版）

模塊三重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題39幾何探究題（6大類型）

考查類型一非動點(diǎn)探究題

考查類型二動點(diǎn)探究題

考查類型三平移探究題

考查類型

考查類型四旋轉(zhuǎn)探究題

考查類型五折疊探究題

考查類型六類比探究題

新題速遞

考查類型一非動點(diǎn)探究題

例1（2022·寧夏·中考真題）綜合與實(shí)踐

知識再現(xiàn)

如圖1，RtABC中，ACB90，分別以BC、CA、AB為邊向外作的正方形的面積為S1、S2、S3．當(dāng)S136，

S3100時(shí)，S2______．

問題探究

如圖，RtABC中，ACB90．

（1）如圖2，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之

間的數(shù)量關(guān)系是______．

（2）如圖3，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為S4、S5、S6，試猜想S4、S5、S6之

第1頁共29頁.

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

實(shí)踐應(yīng)用

（1）如圖4，將圖3中的BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至BGH，ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至

AMN，GH、MN相交于點(diǎn)P．求證：SPHNS四邊形PMFG；

（2）如圖5，分別以圖3中RtABC的邊BC、CA、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，

BC、CA、AB為直徑的半圓柱的體積分別為V1、V2、V3．若AB4，柱體的高h(yuǎn)8，直接寫出V1V2的

值．

第2頁共29頁.

例2（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝

120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延長CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC

＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明ADE≌ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整

的證明過程．

(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四

邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD的長．

各地的中考數(shù)學(xué)試題中,最后一道壓軸題以代數(shù)和幾何的綜合性問題最為常見,而非動點(diǎn)坐標(biāo)系圖

形探究問題,更是近年的重點(diǎn)與難點(diǎn),這類問題往往自成一系,解法有規(guī)律可循.非動點(diǎn)坐標(biāo)系圖形探究

問題,是指以坐標(biāo)系中的特殊圖形如特殊三角形,特殊四邊形,相似圖形或特殊直線等為探究對象,以初

中代數(shù)和幾何難點(diǎn)內(nèi)容相結(jié)合為背景,以數(shù)形結(jié)合為研究方法的題型.通過圖形之間的特殊位置關(guān)系和

一些特殊的值,建立方程或函數(shù)模型去求解,是解決這類問題的關(guān)鍵.

第3頁共29頁.

【變式1】（2022·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是對角線上一點(diǎn)，連接AE并延長交CD于

點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AE交BC于點(diǎn)G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，則AE＝（）

417617717817

A．B．C．D．

5555

【變式2】（2022·四川綿陽·東辰國際學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB2，AD3，

ABC60，AEBC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，DE與BF相交于點(diǎn)P，則BP的長為______．

【變式3】（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)?？级＃﹩栴}提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，

求三角形的面積．

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究．

探究一：如圖1，在ABC中，ABC90，ACb，BCa，C，求ABC的面積．

在Rt△ABC中，ABC90，

AB

sin

AC

ABbsin．

11

SBCABabsin．

ABC22

探究二：如圖2，ABC中，ABACb，BCa，B，求ABC的面積（用含a、b、代數(shù)式

表示），寫出探究過程．

探究三：如圖3，ABC中，ABb，BCa，B，求ABC的面積（用a、b、表示）寫出探究

過程．

問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯?/p>

問題應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形ABCD中，ABb，BCa，B，求平行四邊形ABCD的面積（用

第4頁共29頁.

a、b、表示）寫出解題過程．

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用a、b、c、d、、表示），

其中ABb，BCc，CDd，ADa，A，C．

考查類型二動點(diǎn)探究題

例1（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）已知，四邊形ABCD是正方形，DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DEAB），

EDF90，DEDF，連接AE，CF．

(1)如圖1，求證：VADE≌CDF；

(2)直線AE與CF相交于點(diǎn)G．

①如圖2，BMAG于點(diǎn)M，BNCF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3，連接BG，若AB4，DE2，直接寫出在DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．

第5頁共29頁.

例2（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，AB4，ADBD13，點(diǎn)M為邊AB的

中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ADDB以每秒13個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連結(jié)PM．作點(diǎn)

A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A，連結(jié)AP、AM．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．

(1)點(diǎn)D到邊AB的距離為__________；

(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；

(3)連結(jié)AD，當(dāng)線段AD最短時(shí)，求△DPA的面積；

(4)當(dāng)M、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．

從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖象等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研

究手段和方法，來探索及發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的

幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力為意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能

力，圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理

的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決“動點(diǎn)”探究題的基本思路.

第6頁共29頁.

【變式1】（2021·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊

AB上的兩個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上的一個(gè)動點(diǎn)，DE＝3，則CD+EF的最小值為()

3313

A．﹣B．3﹣C．1+3D．3

222

【變式2】（2023·陜西西安·交大附中分校?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB23，AD2，點(diǎn)E為

線段CD的中點(diǎn)，動點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿CBA的方向在CB和BA上運(yùn)動，將矩形沿EF折疊，點(diǎn)C的

對應(yīng)點(diǎn)為C，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在矩形的對角線上時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動的距離為________.

【變式3】（2022·廣東云浮·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx2bxc與x軸交

于A，B4,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D3,4在拋物線上，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；

第7頁共29頁.

(2)如圖1，連接OD，若OP平分COD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，連接AC，BC，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使CBPACO45？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

考查類型三平移探究題

例1（2019·天津·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（6,0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

ABO30．矩形CODE的頂點(diǎn)D，E，C分別在OA，AB，OB上，OD=2.．

（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（Ⅱ）將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形CODE，點(diǎn)C，O，D，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為C，O，D，E．設(shè)

OOt，矩形CODE與ΔABO重疊部分的面積為S．

①如圖②，當(dāng)矩形CODE與ΔABO重疊部分為五邊形時(shí)，CE，ED分別與AB相交于點(diǎn)M，F(xiàn)，試用含

有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；

②當(dāng)3?S?53時(shí)，求t的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．

第8頁共29頁.

例2（2012·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2）、點(diǎn)B（－2，0），過點(diǎn)B

和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

（1）填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）.

（2）若拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過A、D、E三點(diǎn)，求該拋物線的解析式；

（3）若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)E落

在y軸上時(shí)，正方形和拋物線均停止運(yùn)動；

①在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于平移時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出相應(yīng)自變量t的取值范圍；

②運(yùn)動停止時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

第9頁共29頁.

平移類幾何探究題，需要注意平移的概念，同時(shí)觀察平移的狀態(tài)，找到對應(yīng)的概念；

【變式1】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖，YABCD的頂點(diǎn)B，C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,23．將

43

YABCD沿x軸向右平移得到ABCD，使點(diǎn)A落在函數(shù)y的圖象上．若線段BC掃過的面積為9，

x

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A．23,3B．3,3C．22,22D．3,23

3

【變式2】（2021·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線l:yx3分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，直線

14

y

l2:yxm分別與x軸，軸交于點(diǎn)C，D，直線l1，l2相交于點(diǎn)E，將ABO向右平移5個(gè)單位得到ABO，

若點(diǎn)B好落在直線l2上，則DE:BC______．

第10頁共29頁.

264

【變式3】（2021·四川德陽·二模）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線F:ya(x)2與x軸交

1515

6

于點(diǎn)A(,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．

5

（1）求拋物線F1的表達(dá)式；

（2）如圖2，將拋物線F1先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線F2，若拋物線F1與拋物

線F2相交于點(diǎn)D，連接BD，CD，BC．

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②判斷△BCD的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，拋物線F2上是否存在點(diǎn)P，使得△BDP為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第11頁共29頁.

考查類型四旋轉(zhuǎn)探究題

例1（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在ABC中，ABC45,ADBC于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)

E，使DEDC，連接BE、CE．

(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

(2)如圖2，將BED繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到△BED（點(diǎn)B，E分別與點(diǎn)B，E對應(yīng)），連接CE、AB，在BED

旋轉(zhuǎn)的過程中CE與AB的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請說明理由；

(3)如圖3，當(dāng)BED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線CE與AD、AB分別交于點(diǎn)G、F，若CGFG,DC3，

求AB的長．

第12頁共29頁.

例2（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，ABAC25,BC4，D，E，F(xiàn)分別為AC,AB,BC

的中點(diǎn)，連接DE,DF．

5

(1)如圖1，求證：DFDE；

2

(2)如圖2，將EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點(diǎn)G，射線DQ交BC于

點(diǎn)N時(shí)，連接FE并延長交射線DP于點(diǎn)M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DPAB時(shí)，求DN的長．

考察點(diǎn)1：手拉手模型

手拉手模型，亦稱為共頂點(diǎn)等腰型，一定會出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)型全等。

其衍生模型有等腰對補(bǔ)角模型和等腰旁等角模型

考察點(diǎn)2：”腳拉腳”模型。構(gòu)造輔助線思路是先中線倍長，再證明旋轉(zhuǎn)全等。

半角模型加強(qiáng)

原題呈現(xiàn)：

半角模型，又稱為夾半角模型，半角旋轉(zhuǎn)模型。常用輔助線做法，旋轉(zhuǎn)或折疊。其中核心處理思路是通過

幾何變換把圖形條件轉(zhuǎn)化和集中，從而找到問題的突破口

第13頁共29頁.

【變式1】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC按如圖

所示擺放在第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3m,m，將矩形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（090），得到

矩形OABC．直線OA、BC與直線BC相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E，有下列說法：

3

①當(dāng)m1,30時(shí)，矩形OABC與矩形OABC重疊部分的面積為；

2

10

②當(dāng)m1，且B落到y(tǒng)軸的正半軸上時(shí)，DE的長為；

3

4

③當(dāng)點(diǎn)D為線段BE的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m；

3

24

④當(dāng)點(diǎn)D是線段BE的三等分點(diǎn)時(shí)，sin的值為或．

55

其中，說法正確的是（）

A．①②B．③④C．①②③D．①②④

【變式2】（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA6，PB2，

PC22，則這個(gè)等邊三角形ABC的邊長為________．

第14頁共29頁.

【變式3】（2022·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D1，正方形ABCD對角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別為正

方形ABCD邊AB、AD上的點(diǎn)，EFAC交于點(diǎn)M，且MEMF，N為BF中點(diǎn)．

(1)請直接寫出ON與OM的數(shù)量關(guān)系

(2)若將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立請證明；若不成立，請說明

理由；

(3)若AB8，E為AB中點(diǎn)，△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)C的最大距離______．

第15頁共29頁.

考查類型五折疊探究題

例1（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A2,0、B8,0兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,4，連接AC、BC．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)將ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為D，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．并求出四邊形

OADC的面積；

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)PCBABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第16頁共29頁.

例2（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如

圖①，矩形ABCD為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中AD2AB．他先

將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為AF；再沿過點(diǎn)F的直線

折疊，使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，

發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想△ADG≌△AFG．

【問題解決】

(1)小亮對上面△ADG≌△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形ABCD是矩形，

∴BADBCD90．

1

由折疊可知，BAFBAD45，BFAEFA．

2

∴EFABFA45．

∴AF2ABAD．

請你補(bǔ)全余下的證明過程．

【結(jié)論應(yīng)用】

FG

(2)DAG的度數(shù)為________度，的值為_________；

AF

1

(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段AF上，且APAB，點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②，設(shè)AB=a，

2

則FQPQ的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）

第17頁共29頁.

折疊類的幾何探究題，需要注意對應(yīng)邊、對應(yīng)角的相等關(guān)系，再利用幾何圖形的性質(zhì)可求解；

【變式1】（2022·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？级＃┮阎喝鐖D，在RtABC中，∠A=90°，AB=8，

3

tan∠ABC=，點(diǎn)N是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線BC上的一動點(diǎn)（不與B，C△重合），連接MN，將CMN

2

沿MN翻折得EMN，連接BE，CE，當(dāng)線段BE的長取最大值時(shí)，sin∠NCE的值為（）△

△

352325

A．B．C．D．

5555

【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB11，AD4，O分別與邊AD，AB，CD

相切，點(diǎn)M，N分別在AB，CD上，CN1，將四邊形BCNM沿著MN翻折，使點(diǎn)B、C分別落在B、C

處，若射線MB恰好與O相切，切點(diǎn)為G，則線段MB的長為__．

【變式3】（2022·福建寧德·統(tǒng)考二模）在YABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上．將四邊形ABEF

沿EF折疊，得到四邊形ABEF．

(1)利用圖1，求證：BC∥EF；

(2)如圖2，連接BD，若AB52，BD17，ABD45，當(dāng)點(diǎn)B落在BD上時(shí)，求EF的長；

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)A恰好落在線段CD上時(shí)，求證：直線AB與直線CD重合．

考查類型六類比探究題

第18頁共29頁.

例1（2020·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直

線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．

【問題解決】

（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；

【類比探究】

（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明

理由．

何為類比？

類比結(jié)構(gòu)構(gòu)造，是幾何壓軸題的一類模型，在中考數(shù)學(xué)壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)。

那么，什么是類比構(gòu)造呢？

在初一學(xué)習(xí)平行線的時(shí)候，我們就接觸過類比結(jié)構(gòu)的題型，比如：拐角模型（也有部分老師細(xì)分成豬蹄模

型、鉛筆模型等）。

下圖是經(jīng)典的拐角模型范例：（1）當(dāng)拐角在兩平行線內(nèi)部時(shí)（內(nèi)拐、外拐）；（2）當(dāng)拐角在兩平行線外部時(shí)

（上拐、下拐）；（3）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)拐角時(shí)。

何為類比？

類比結(jié)構(gòu)構(gòu)造，是幾何壓軸題的一類模型，在中考數(shù)學(xué)壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)。

那么，什么是類比構(gòu)造呢？

在初一學(xué)習(xí)平行線的時(shí)候，我們就接觸過類比結(jié)構(gòu)的題型，比如：拐角模型（也有部分老師細(xì)分成豬蹄模

型、鉛筆模型等）。

第19頁共29頁.

下圖是經(jīng)典的拐角模型范例：（1）當(dāng)拐角在兩平行線內(nèi)部時(shí)（內(nèi)拐、外拐）；（2）當(dāng)拐角在兩平行線外部時(shí)

（上拐、下拐）；（3）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)拐角時(shí)。

何為類比？

類比結(jié)構(gòu)構(gòu)造，是幾何壓軸題的一類模型，在中考數(shù)學(xué)壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)。

那么，什么是類比構(gòu)造呢？

在初一學(xué)習(xí)平行線的時(shí)候，我們就接觸過類比結(jié)構(gòu)的題型，比如：拐角模型（也有部分老師細(xì)分成豬蹄模

型、鉛筆模型等）。

下圖是經(jīng)典的拐角模型范例：（1）當(dāng)拐角在兩平行線內(nèi)部時(shí)（內(nèi)拐、外拐）；（2）當(dāng)拐角在兩平行線外部時(shí)

（上拐、下拐）；（3）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)拐角時(shí)。

【變式1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）【探究發(fā)現(xiàn)】

在ABC中，ACB90，ACBC，M是邊AC上一點(diǎn)，將ABM沿BM折疊得到NBM．如圖1，若BN

與線段AC相交，連接AN、CN，在BM上取一點(diǎn)P，使BCPACN，CP交BN于點(diǎn)Q，①證明：

NACMBC；②探究CP與CN的數(shù)量關(guān)系，并寫出探究過程；

【類比學(xué)習(xí)】

如圖2，在ABC中，ACB90，tanBACn，M是邊AC上一點(diǎn)，將ABM沿BM折疊得到NBM，

CP

若BN與線段AC相交，連接AN、CN，在BM上取一點(diǎn)P，使BCPACN，CP交BN于點(diǎn)Q，

CN

（用含n的式子表示）；

【拓展應(yīng)用】

2

在前面的發(fā)現(xiàn)和探究的經(jīng)驗(yàn)下，當(dāng)n時(shí)，M是AC的中點(diǎn)時(shí)，若ANNQ12，求CP的長．

2

第20頁共29頁.

【變式2】（2022·江蘇揚(yáng)州·?？既＃┰诰匦蜛BCD中，AB6,BC8，

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1，E為邊DC上的一個(gè)點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作BE的垂線交AD于點(diǎn)F，試猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)

系并說明理由．

【類比探究】

(2)如圖2，G為邊AB上的一個(gè)點(diǎn)，E為邊CD延長線上的一個(gè)點(diǎn)，連接GE交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作GE的

垂線交AD于點(diǎn)F，試猜想GE與CF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

【拓展延伸】

(3)如圖3，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC運(yùn)動，連接AE，過點(diǎn)B作AE的垂線交射線CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作BF

的平行線，過點(diǎn)F作BC的平行線，兩平行線交于點(diǎn)H，連接DH，在點(diǎn)E的運(yùn)動的路程中，線段DH的長

度是否存在最小值？若存在，求出線段DH長度的最小值；若不存在，請說明理由．

第21頁共29頁.

【變式3】（2022·廣東深圳·深圳市大鵬新區(qū)華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）【問題背景】如圖1，四邊形ABCD是

正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，EF＝AE，∠AEF＝90°，點(diǎn)G是射線BC上一點(diǎn)，求證：tan∠FCG＝1；

證明思路：取AB的中點(diǎn)K，連接EK，證明△AKE≌ECF，所以∠ECF＝∠AKE，又可證BK＝BE，所以

∠BKE＝45°，可證∠FCG＝45°，從而結(jié)論成立；

(1)【類比證明】在上例中，如圖2，如果點(diǎn)E是邊BC上與點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，其余條件不變，上述

結(jié)論仍成立嗎？如果成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(2)【深入探究】如圖3，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上與B不重合的任意一點(diǎn)，AB＝kAD，AE＝kEF，

∠AEF＝90°，點(diǎn)G是射線BC上一點(diǎn)，則tan∠FCG＝；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖4，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是邊AC上與A不重合的任意一點(diǎn)，AB＝kAC，

BE＝kEF，∠BEF＝∠BAC，AE＝3，EC＝2，點(diǎn)G是射線AC上一點(diǎn)，若CF∥EB，請直接寫出此時(shí)k的值．

第22頁共29頁.

【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交

2

于點(diǎn)M．則下列結(jié)論：①AME90，②BAFEDB，③AMMF，④MEMF2MB．其中正

3

確結(jié)論的有（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

2．（2022·重慶·重慶八中?？寄M預(yù)測）如圖，邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD,AD上，

連接BE,BF,EF，且有EBF45．將EDF沿EF翻折，若點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在BF上，則EF的長為

（）

4343204383

A．4-B．4+C．D．8

33333

3．（2022·廣東深圳·校考二模）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，點(diǎn)D6,2在直線l：

y＝kx＋8上．直線l分別交x軸，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)．將正方形ABCD沿x軸向左平移m個(gè)單位長度后，點(diǎn)B

恰好落在直線l上．則m的值為（）

A．2B．4C．6D．8

4．（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？寄M預(yù)測）如圖，直線y=2x+5與x軸、y軸分別交于A、

k

B兩點(diǎn)，與反比例y(y0)交于C、D兩點(diǎn)，直線OD交反比例于點(diǎn)E，連接CE交y軸于點(diǎn)F，若CF：

x

EF=1：4，則△DCE的面積為（）

第23頁共29頁.

A．8B．5C．7.5D．6

5．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測）如圖，已知在等腰RtABC中，∠ACB＝90°，AD為BC邊的中線，過點(diǎn)C

作CE⊥AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．若AC＝2，則線段△EF的長為（）

345252

A．B．C．D．

515153

6．（2022·廣東深圳·深圳市海濱中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖①，已知Rt△ABC的斜邊BC和正方形DEFG的邊

DE都在直線l上（BC＜DE），且點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，△ABC沿直線l向右勻速平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，

△ABC停止運(yùn)動，設(shè)DG被△ABC截得的線段長y與△ABC平移的距離x之間的函數(shù)圖像如圖②，則當(dāng)x

＝3時(shí)，△ABC和正方形DEFG重合部分的面積為（）

711

A．3B．3C．3D．23

66

7．（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是AB邊上一動點(diǎn)，連接ED，

將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（）

A．45B．43C．52D．213

第24頁共29頁.

8．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E是AB邊上一動點(diǎn)，連接ED，將

ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到EF，連接DF,CF，則當(dāng)DFCF之和取最小值時(shí)，DCF的周長為（）

A．353B．433C．523D．2133

9．（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在CD邊上，連接BE，ABE60，

F在BE上，AFCE，BAFCBE，若AD7，AB6，則BF___________．

10．（2022·四川綿陽·東辰國際學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)E為對角線BD上

一點(diǎn)，EFAE，交BC邊于點(diǎn)F，連接AF交BD于點(diǎn)G，若BAF30，則△AEG的面積為______．

11．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB11，AD4，O分別與邊AD，AB，CD相切，

點(diǎn)M，N分別在AB，CD上，CN1，將四邊形BCNM沿著MN翻折，使點(diǎn)B、C分別落在B、C處，若

射線MB恰好與O相切，切點(diǎn)為G，則線段MB的長為__．

12．（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在RtABC中，ACB90，ACBC6，D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在

BC上，連接CD，AE交于點(diǎn)F，若CFE45，BD2AD，則CE＝__________．

第25頁共29頁.

13．（2023·廣西玉林·一模）如圖，在菱形ABCD中，A60，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且CEDF，

BF與DE交于點(diǎn)G，若BG3，DG5，則四邊形ABGD的面積為______．

14．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考三模）如圖，若點(diǎn)O是正方形ABCD外一點(diǎn)，OD22，OC1，BO10，

則CDO的正切值是_________．

15．（2022·山東菏澤·菏澤一中校考模擬預(yù)測）如圖①，在ABC中，A90，ABAC，點(diǎn)D，E分別

在邊AB，AC上，且ADAE．則CEBD．現(xiàn)將VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

0180．如圖②，連接CE，BD．

(1)如圖②，請直接寫出CE與BD的數(shù)量關(guān)系．

(2)將VADE旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時(shí)，請判斷CE