專題38 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大類型）（原卷版）

模塊三重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題38二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大壓軸類型）

考查類型一與線段有關(guān)的問(wèn)題

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問(wèn)題

考查類型三角度問(wèn)題

考查類型考查類型四與特殊三角形判定有關(guān)的問(wèn)題

考查類型五與特殊四邊形判定有關(guān)的問(wèn)題

考查類型六與三角形全等、相似有關(guān)的問(wèn)題

考查類型七與圓有關(guān)的運(yùn)算

新題速遞

考查類型一與線段有關(guān)的問(wèn)題

例1（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

3

0,2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,2．若拋物線y(xh)2k（h、k為常數(shù)）與線段AB

2

1

交于C、D兩點(diǎn)，且CDAB，則k的值為_(kāi)________．

2

1

例2（2020·山東濱州·中考真題）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(h，－1)，與y軸交于點(diǎn)B(0,)，點(diǎn)F(2，1)

2

為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知直線l是過(guò)點(diǎn)C(0，－3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線

上的任意一點(diǎn)P(m，n)到直線l的距離為d，求證：PF＝d；

（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D(4，3)，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使DFQ

的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)DFQ周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．△

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二次函數(shù)中求線段問(wèn)題：

1.直接求解線段長(zhǎng)度表達(dá)式型

2.線段轉(zhuǎn)化型

3.將軍飲馬問(wèn)題、胡不歸問(wèn)題、阿氏圓問(wèn)題等

4.瓜豆原理最值問(wèn)題，圓中的線段最值

【變式1】（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ芯胖拗袑W(xué)校考一模）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+m+1的圖象交x軸于點(diǎn)

A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，圖象的頂點(diǎn)為D．下列四個(gè)命題：

①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；

②若a＝﹣1，則b＝4；

③點(diǎn)C關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)M為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)m＝2時(shí)，△MCE周長(zhǎng)的最小值為210；

④圖象上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，

其中真命題的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【變式2】（2022·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y-x2+x6交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，交y

軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△APD沿DP折疊得△APD，則線段AB

的最小值是______．

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2

【變式3】（2022·云南文山·統(tǒng)考三模）已知拋物線yax13ax3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

左側(cè)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)D1,m．

(1)求m的值；

(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，連接BP，求DP5BP的最小值．

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問(wèn)題

例1（2021·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y2x28x6的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn)．若其圖象

上有且只有三點(diǎn)滿足SSSm，則m的值是（）

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

3

A．1B．C．2D．4

2

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例2（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

4

的左側(cè)），頂點(diǎn)D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

3

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥l于點(diǎn)N，當(dāng)1＜m＜3時(shí)，求PM+PN的最大值；

(3)設(shè)直線AP，BP與拋物線的對(duì)稱軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)）為頂點(diǎn)的四邊形面積是否隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，若不變，求出這個(gè)四邊形的面積；若變化，

說(shuō)明理由．

解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)面積問(wèn)題，常用的方法有三種

方法一：鉛垂高法。

如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，鉛垂高穿過(guò)的線段兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差叫

△ABC的水平寬(a)，中間的這條平行于y軸或垂直于x軸的直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的鉛垂高

(h).此時(shí)三角形面積的計(jì)算方法：即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半（s=1/2ah）

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方法二，平行法。平行法最關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)，是平行線之間高的問(wèn)題，一般這種情況都是平移高到與坐標(biāo)軸

交點(diǎn)處，最后用相似求值。

方法三，矩形覆蓋法。這是最容易想到的方法，但也是計(jì)算最麻煩的方法。利用面積的大減小去解決，一

般不太建議使用這種方法，龐大的計(jì)算量很容易出錯(cuò)。

【變式1】（2022·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在ABC中，ACB90，BC邊在x軸上，A(1,4),B(7,0)．點(diǎn)

P是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PEAC于點(diǎn)E，PDBC于點(diǎn)D，當(dāng)四邊形CDPE的面積最大時(shí)，點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

【變式2】（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，拋物線yx24x1與y軸交于點(diǎn)P，其頂點(diǎn)是A，點(diǎn)P的坐標(biāo)

是3,2，將該拋物線沿PP方向平移，使點(diǎn)P平移到點(diǎn)P，則平移過(guò)程中該拋物線上P、A兩點(diǎn)間的部

分所掃過(guò)的面積是______．

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【變式3】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，拋物線y＝x2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，0，點(diǎn)B2,3，

與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0x4時(shí)，y的取值范圍是________；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由．

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考查類型三角度問(wèn)題

22

例1（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線ymxm3x(6m9)與x軸交于點(diǎn)A、B，

與y軸交于點(diǎn)C，已知B(3,0)．

（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBCS△ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若ACQ45，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

例2（2020·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,0，B3,0，

與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PABABC，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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角度問(wèn)題涵蓋的題型

1.角度相等問(wèn)題

2.角度的和差倍分關(guān)系

3.特殊角問(wèn)題

4.非特殊角問(wèn)題

方法點(diǎn)評(píng)：由特殊角聯(lián)想到直接構(gòu)造等腰直角三角形，通過(guò)全等三角形，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到直線解

析式，聯(lián)立得到交點(diǎn)坐標(biāo).這個(gè)方法對(duì)于特殊角30度、60度90度都是適用的，是一種通用方法.

128

【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，拋物線yxx3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B兩點(diǎn)，

33

與y軸交于點(diǎn)C，D點(diǎn)為拋物線上第三象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ACD2ABC180時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

16

A．(8,3)B．(7,)C．(6,7)D．(5,8)

3

1

【變式2】（2020·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市南長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象交x軸于點(diǎn)A，

2

1

交y軸于點(diǎn)B，二次函數(shù)y＝－x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C．若點(diǎn)M在拋物線

2

的對(duì)稱軸上，且∠AMB＝∠ACB，則所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_________．

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【變式3】（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，以ABC的邊AB和AB邊上高所在直線建

立平面直角坐標(biāo)系，已知AB4，C0，3，tanCABtanCBA4，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A，B，

C三點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式．

(2)點(diǎn)G是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GHx軸交拋物線于點(diǎn)H，拋物線上有一點(diǎn)Q，若以C，G，Q，H為

頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)PCBACO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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考查類型四與特殊三角形判定有關(guān)的問(wèn)題

例1（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線yax2bx3(a0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(3,0)，

與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角

三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．

11

例2（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）拋物線yax2x6與x軸交于At,0，B8,0兩點(diǎn)，與y軸交

4

于點(diǎn)C，直線y＝kx－6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

(1)求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；

(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

1

(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQPQ的最大值．

2

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【模型解讀】

在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)，使得由該點(diǎn)及其他點(diǎn)構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存

在性問(wèn)題”．

【相似判定】

判定1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形；

判定2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形是相似三角形；

判定3：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐標(biāo)系中相似三角形存在性問(wèn)題的方法來(lái)源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ?/p>

法，解決問(wèn)題．

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個(gè)是已知的，而另一三角形中有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即可分為“單動(dòng)點(diǎn)”類、

“雙動(dòng)點(diǎn)”兩類問(wèn)題．

【思路總結(jié)】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會(huì)用的，這里也一樣不怎么用，對(duì)比判

定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個(gè)三角形必然有相等角，關(guān)鍵點(diǎn)也是先找到一組相等角．

然后再找：

思路1：兩相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；

思路2：還存在另一組角相等．

事實(shí)上，坐標(biāo)系中在已知點(diǎn)的情況下，線段長(zhǎng)度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考

慮思路1．

一、如何得到相等角？

二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個(gè)問(wèn)題就可以了．

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【變式1】（2022·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1,0，A4,0，與y軸交于點(diǎn)C0,2，

39

P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸為直線x；②拋物線的最大值為；

28

45

③ACB90；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（）

5

A．①②④B．①②C．①②③D．①③④

2

【變式2】（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)yax2ax4aa0圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)C在

二次函數(shù)的圖象上，且AC∥x軸，以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ABC，當(dāng)?shù)妊苯侨切蜛BC的邊

與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍是______．

1

【變式3】（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線yx2bx4與x軸相交于A、B

3

兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A2,0．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段BC所在直線的解析式；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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考查類型五與特殊四邊形判定有關(guān)的問(wèn)題

例1（2021·廣西來(lái)賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)A(3,0)，B(1,0)，兩點(diǎn)C(3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2

上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，D￠，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線

的解析式為_(kāi)_________．

5

例2（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線yax2xc經(jīng)過(guò)B(3,0)，D2,兩點(diǎn)，與x軸的另一

2

個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B，C不重合），求使MBC面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求

最大面積；（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）

(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）

第13頁(yè)共24頁(yè).

掌握平行四邊形、矩形和菱形的判定方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決此類問(wèn)題，但要注意分類討

論，核心在于把握確定的邊是特殊四邊形的邊長(zhǎng)還是對(duì)角線即可；

【變式1】（2022·四川眉山·校考一模）如圖，矩形OABC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，AB＝1．若拋物線y2x2c

與矩形OABC的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）．

A．c＞8或c＜－1B．－1＜c＜8C．c＞1或c＜－8D．－8＜c＜1

3

【變式2】（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2x與x軸正半軸交

2

于點(diǎn)A3,0．以O(shè)A為邊在x軸上方作正方形OABC，延長(zhǎng)CB交拋物線于點(diǎn)D，再以BD為邊向上作正方形

BDEF．則點(diǎn)E的坐標(biāo)是______．

【變式3】（2022·廣東佛山·?？既＃┮阎獟佄锞€yax22ax3a(a0)交x軸于點(diǎn)A，B(A在B的左側(cè)），

交y軸于點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線ykxk交拋物線于點(diǎn)D．

①當(dāng)k0且a1時(shí)AD交線段BC于E，交y軸于點(diǎn)F，求SΔEBDSΔCEF的最大值；

②當(dāng)k0且ka時(shí)，設(shè)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，那么以A，D，P，Q為頂

點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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考查類型六與三角形全等、相似有關(guān)的問(wèn)題

例1（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上

是否存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似？若存在，

請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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例2（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線：y=-2x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B(2,0)（A

1

在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D為線段OC的中點(diǎn)，則POD能否是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與VBMH相似，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

掌握三角形的全等判定方法和相似的判定方法，注意要分類討論；

2

【變式1】（2018·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）拋物線yax3axba0，設(shè)該拋物線與x軸的交點(diǎn)為A5,0

和B，與y軸的交點(diǎn)為C，若ACO∽CBO，則tanCAB的值為（）

331014

A．B．C．D．

3257

第16頁(yè)共24頁(yè).

123

【變式2】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yxx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，

22

與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在該拋物線上，且位于直線AC的上方，過(guò)點(diǎn)D作DFAC于點(diǎn)F，連結(jié)CD，若△CFD

與AOC相似，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________．

【變式3】（2022·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸的正半

1

軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為4，4．二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且x軸的交點(diǎn)為E，F(xiàn)．點(diǎn)P

6

在線段EF上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作OHAP于點(diǎn)H．直線OH交直線BC于點(diǎn)D，連接AD．

(1)求b，c的值及點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)AOP與以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)時(shí)，能否將AOP繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90后使得AOP的兩個(gè)頂點(diǎn)落在x軸上方

的拋物線上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第17頁(yè)共24頁(yè).

考查類型七與圓有關(guān)的運(yùn)算

例1（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且

與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．

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1

例2（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣2，

2

0)，B(4，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

＝15

（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若S△PAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

（3）如圖乙，過(guò)A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中線段DE的長(zhǎng)是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長(zhǎng)．

第19頁(yè)共24頁(yè).

例3（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫(huà)圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫(huà)同心圓，

描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．

【提出問(wèn)題】

小明通過(guò)觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫(huà)圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖像上．

(1)【分析問(wèn)題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為

y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同

心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為_(kāi)__________．

(2)【解決問(wèn)題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．

(3)【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P0,m，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫(huà)M，是否存在所描的點(diǎn)在M上．若存在，

求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

第20頁(yè)共24頁(yè).

掌握?qǐng)A的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象解決此類問(wèn)題；

【變式1】（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+8的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)D平分BC，

若在x軸上側(cè)的A點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且∠BAC為銳角，則AD的取值范圍是（）

A．3＜AD≤9B．3≤AD≤9C．4＜AD≤10D．3≤AD≤8

【變式2】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考一模）“一切為了U”是常山在趕考共同富裕道路上，最新確定的城市品牌．已

知線段AB，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，如果滿足APB30，則稱點(diǎn)P為線段AB的“U點(diǎn)”，如圖，

15

二次函數(shù)yx23x與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）線段AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_________；（2）若線段AB的“U”

22

點(diǎn)落在y軸的正半軸上，則該“U點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)________．

【變式3】（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎魏瘮?shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A2,0，且與y軸交于點(diǎn)0,1，B

點(diǎn)坐標(biāo)為2,2，點(diǎn)C為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心，CB為半徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)（M在N的左

側(cè)）．

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，求出弦MN

的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)ABM與ABN相似時(shí)，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

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【新題速遞】

1．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)交大附中分校?？计谀┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，拋物線L：yx24xm

關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記為L(zhǎng)，且它們的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的連線組成等邊三角形，已知L的頂點(diǎn)在第四象限，

則m的值為（）

A．23B．423C．4D．423

1

2．（2020秋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線是由yx2平移得到，它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且交x軸正半軸于點(diǎn)D，A

4

為OD上一點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊構(gòu)造OABC，點(diǎn)B6,n恰好落在拋物線上，連接CD

交AB于點(diǎn)E，若CEDE，則n等于（）

A．22B．3C．6D．9

3．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線yx2pxq的對(duì)稱軸為x3，過(guò)其頂點(diǎn)M的

一條直線ykxb與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N1,1．點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,1，則△PMN的面積為（）

A．2B．4C．5D．6

4．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在ABC中，ACB90，BC邊在x軸上，A(1,4),B(7,0)．點(diǎn)P

是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PEAC于點(diǎn)E，PDBC于點(diǎn)D，當(dāng)四邊形CDPE的面積最大時(shí)，點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

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