專題38 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大類型）（原卷版）

模塊三重難點題型專項訓(xùn)練

專題38二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大壓軸類型）

考查類型一與線段有關(guān)的問題

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問題

考查類型三角度問題

考查類型考查類型四與特殊三角形判定有關(guān)的問題

考查類型五與特殊四邊形判定有關(guān)的問題

考查類型六與三角形全等、相似有關(guān)的問題

考查類型七與圓有關(guān)的運算

新題速遞

考查類型一與線段有關(guān)的問題

例1（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為

3

0,2，點B的坐標為4,2．若拋物線y(xh)2k（h、k為常數(shù)）與線段AB

2

1

交于C、D兩點，且CDAB，則k的值為_________．

2

1

例2（2020·山東濱州·中考真題）如圖，拋物線的頂點為A(h，－1)，與y軸交于點B(0,)，點F(2，1)

2

為其對稱軸上的一個定點．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知直線l是過點C(0，－3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線

上的任意一點P(m，n)到直線l的距離為d，求證：PF＝d；

（3）已知坐標平面內(nèi)的點D(4，3)，請在拋物線上找一點Q，使DFQ

的周長最小，并求此時DFQ周長的最小值及點Q的坐標．△

第1頁共24頁.

二次函數(shù)中求線段問題：

1.直接求解線段長度表達式型

2.線段轉(zhuǎn)化型

3.將軍飲馬問題、胡不歸問題、阿氏圓問題等

4.瓜豆原理最值問題，圓中的線段最值

【變式1】（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ芯胖拗袑W校考一模）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+m+1的圖象交x軸于點

A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，圖象的頂點為D．下列四個命題：

①當x＞0時，y＞0；

②若a＝﹣1，則b＝4；

③點C關(guān)于圖象對稱軸的對稱點為E，點M為x軸上的一個動點，當m＝2時，△MCE周長的最小值為210；

④圖象上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，

其中真命題的個數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【變式2】（2022·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y-x2+x6交x軸于A、B兩點(A在B的左側(cè))，交y

軸于點C，點D是線段AC的中點，點P是線段AB上一個動點，△APD沿DP折疊得△APD，則線段AB

的最小值是______．

第2頁共24頁.

2

【變式3】（2022·云南文山·統(tǒng)考三模）已知拋物線yax13ax3與x軸交于A、B兩點（點A在點B

左側(cè)），頂點坐標為點D1,m．

(1)求m的值；

(2)設(shè)點P在拋物線的對稱軸上，連接BP，求DP5BP的最小值．

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問題

例1（2021·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y2x28x6的圖象交x軸于A,B兩點．若其圖象

上有且只有三點滿足SSSm，則m的值是（）

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

3

A．1B．C．2D．4

2

第3頁共24頁.

例2（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點（點A在點B

4

的左側(cè)），頂點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

3

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥l于點N，當1＜m＜3時，求PM+PN的最大值；

(3)設(shè)直線AP，BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E，F(xiàn)，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關(guān)于x軸的對

稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，

說明理由．

解決二次函數(shù)動點面積問題，常用的方法有三種

方法一：鉛垂高法。

如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，鉛垂高穿過的線段兩端點的橫坐標之差叫

△ABC的水平寬(a)，中間的這條平行于y軸或垂直于x軸的直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的鉛垂高

(h).此時三角形面積的計算方法：即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半（s=1/2ah）

第4頁共24頁.

方法二，平行法。平行法最關(guān)鍵的知識點，是平行線之間高的問題，一般這種情況都是平移高到與坐標軸

交點處，最后用相似求值。

方法三，矩形覆蓋法。這是最容易想到的方法，但也是計算最麻煩的方法。利用面積的大減小去解決，一

般不太建議使用這種方法，龐大的計算量很容易出錯。

【變式1】（2022·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在ABC中，ACB90，BC邊在x軸上，A(1,4),B(7,0)．點

P是AB邊上一點，過點P分別作PEAC于點E，PDBC于點D，當四邊形CDPE的面積最大時，點P

的坐標為（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

【變式2】（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，拋物線yx24x1與y軸交于點P，其頂點是A，點P的坐標

是3,2，將該拋物線沿PP方向平移，使點P平移到點P，則平移過程中該拋物線上P、A兩點間的部

分所掃過的面積是______．

第5頁共24頁.

【變式3】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，拋物線y＝x2bxc經(jīng)過點A1，0，點B2,3，

與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當0x4時，y的取值范圍是________；

(3)拋物線上是否存在點P，使PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，點P的坐標；若不存在，請說

明理由．

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考查類型三角度問題

22

例1（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線ymxm3x(6m9)與x軸交于點A、B，

與y軸交于點C，已知B(3,0)．

（1）求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）P為拋物線上一點，若S△PBCS△ABC，請直接寫出點P的坐標；

（3）Q為拋物線上一點，若ACQ45，求點Q的坐標．

例2（2020·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A1,0，B3,0，

與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點P，使PABABC，若存在請直接寫出點P的坐標．若不存在，請說明理由．

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角度問題涵蓋的題型

1.角度相等問題

2.角度的和差倍分關(guān)系

3.特殊角問題

4.非特殊角問題

方法點評：由特殊角聯(lián)想到直接構(gòu)造等腰直角三角形，通過全等三角形，得到點的坐標，從而得到直線解

析式，聯(lián)立得到交點坐標.這個方法對于特殊角30度、60度90度都是適用的，是一種通用方法.

128

【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線yxx3與x軸交于點A和點B兩點，

33

與y軸交于點C，D點為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，當ACD2ABC180時，點D的坐標為（）

16

A．(8,3)B．(7,)C．(6,7)D．(5,8)

3

1

【變式2】（2020·江蘇無錫·無錫市南長實驗中學校考二模）如圖，一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象交x軸于點A，

2

1

交y軸于點B，二次函數(shù)y＝－x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一點C．若點M在拋物線

2

的對稱軸上，且∠AMB＝∠ACB，則所有滿足條件的點M的坐標為__________．

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【變式3】（2022·四川綿陽·東辰國際學校?？寄M預(yù)測）如圖，以ABC的邊AB和AB邊上高所在直線建

立平面直角坐標系，已知AB4，C0，3，tanCABtanCBA4，拋物線yax2bxc經(jīng)過A，B，

C三點．

(1)求拋物線解析式．

(2)點G是x軸上一動點，過點G作GHx軸交拋物線于點H，拋物線上有一點Q，若以C，G，Q，H為

頂點的四邊形為平行四邊形，求點G的坐標．

(3)點P是拋物線上的一點，當PCBACO時，求點P的坐標．

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考查類型四與特殊三角形判定有關(guān)的問題

例1（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線yax2bx3(a0)與x軸交于點A(1,0)，點B(3,0)，

與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；

(2)在對稱軸上找一點Q，使ACQ的周長最小，求點Q的坐標；

(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當△PMB是以PB為腰的等腰直角

三角形時，請直接寫出所有點M的坐標．

11

例2（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）拋物線yax2x6與x軸交于At,0，B8,0兩點，與y軸交

4

于點C，直線y＝kx－6經(jīng)過點B．點P在拋物線上，設(shè)點P的橫坐標為m．

(1)求拋物線的表達式和t，k的值；

(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標；

1

(3)如圖2，若點P在直線BC上方的拋物線上，過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQPQ的最大值．

2

第10頁共24頁.

【模型解讀】

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存

在性問題”．

【相似判定】

判定1：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3：有兩組角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ?/p>

法，解決問題．

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、

“雙動點”兩類問題．

【思路總結(jié)】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判

定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角．

然后再找：

思路1：兩相等角的兩邊對應(yīng)成比例；

思路2：還存在另一組角相等．

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考

慮思路1．

一、如何得到相等角？

二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個問題就可以了．

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【變式1】（2022·河北邢臺·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點B1,0，A4,0，與y軸交于點C0,2，

39

P為AC上的一個動點，則有以下結(jié)論：①拋物線的對稱軸為直線x；②拋物線的最大值為；

28

45

③ACB90；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（）

5

A．①②④B．①②C．①②③D．①③④

2

【變式2】（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)yax2ax4aa0圖象與y軸交于點A，點C在

二次函數(shù)的圖象上，且AC∥x軸，以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ABC，當?shù)妊苯侨切蜛BC的邊

與x軸有兩個公共點時a的取值范圍是______．

1

【變式3】（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測）如圖，已知拋物線yx2bx4與x軸相交于A、B

3

兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A2,0．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段BC所在直線的解析式；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點坐標；若不

存在，請說明理由．

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考查類型五與特殊四邊形判定有關(guān)的問題

例1（2021·廣西來賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點A(3,0)，B(1,0)，兩點C(3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2

上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對應(yīng)點分別為C，D￠，當四邊形ABCD的周長最小時，拋物線

的解析式為__________．

5

例2（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線yax2xc經(jīng)過B(3,0)，D2,兩點，與x軸的另一

2

個交點為A，與y軸相交于點C．

(1)求拋物線的解析式和點C的坐標；

(2)若點M在直線BC上方的拋物線上運動（與點B，C不重合），求使MBC面積最大時M點的坐標，并求

最大面積；（請在圖1中探索）

(3)設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足

條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）

第13頁共24頁.

掌握平行四邊形、矩形和菱形的判定方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決此類問題，但要注意分類討

論，核心在于把握確定的邊是特殊四邊形的邊長還是對角線即可；

【變式1】（2022·四川眉山·?？家荒＃┤鐖D，矩形OABC，點A的坐標為2,0，AB＝1．若拋物線y2x2c

與矩形OABC的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（）．

A．c＞8或c＜－1B．－1＜c＜8C．c＞1或c＜－8D．－8＜c＜1

3

【變式2】（2022·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2x與x軸正半軸交

2

于點A3,0．以O(shè)A為邊在x軸上方作正方形OABC，延長CB交拋物線于點D，再以BD為邊向上作正方形

BDEF．則點E的坐標是______．

【變式3】（2022·廣東佛山·校考三模）已知拋物線yax22ax3a(a0)交x軸于點A，B(A在B的左側(cè)），

交y軸于點C．

(1)求點A的坐標；

(2)若經(jīng)過點A的直線ykxk交拋物線于點D．

①當k0且a1時AD交線段BC于E，交y軸于點F，求SΔEBDSΔCEF的最大值；

②當k0且ka時，設(shè)P為拋物線對稱軸上一動點，點Q是拋物線上的動點，那么以A，D，P，Q為頂

點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標，若不能，請說明理由．

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考查類型六與三角形全等、相似有關(guān)的問題

例1（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點，交y軸于

點C(0，3)，頂點D的橫坐標為1．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在y軸的負半軸上是否存在點P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說

明理由；

(3)過點C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上

是否存在一點M，過點M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點為頂點的三角形與ΔADE相似？若存在，

請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由．

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例2（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線：y=-2x2+bx+c與x軸交于點A，B(2,0)（A

1

在B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸是直線x，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點．

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D為線段OC的中點，則POD能否是等邊三角形？請說明理由；

(3)過點P作x軸的垂線與線段BC交于點M，垂足為點H，若以P，M，C為頂點的三角形與VBMH相似，

求點P的坐標．

掌握三角形的全等判定方法和相似的判定方法，注意要分類討論；

2

【變式1】（2018·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）拋物線yax3axba0，設(shè)該拋物線與x軸的交點為A5,0

和B，與y軸的交點為C，若ACO∽CBO，則tanCAB的值為（）

331014

A．B．C．D．

3257

第16頁共24頁.

123

【變式2】（2020·浙江·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線yxx2與x軸交于A，B兩點，

22

與y軸交于點C，點D在該拋物線上，且位于直線AC的上方，過點D作DFAC于點F，連結(jié)CD，若△CFD

與AOC相似，則點D的坐標是________．

【變式3】（2022·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸的正半

1

軸上，點B的坐標為4，4．二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A，B，且x軸的交點為E，F(xiàn)．點P

6

在線段EF上運動，過點O作OHAP于點H．直線OH交直線BC于點D，連接AD．

(1)求b，c的值及點E和點F的坐標；

(2)在點P運動的過程中，當AOP與以A，B，D為頂點的三角形相似時，求點P的坐標；

(3)當點P運動到OC的中點時，能否將AOP繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)90后使得AOP的兩個頂點落在x軸上方

的拋物線上？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心M的坐標；若不能，請說明理由．

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考查類型七與圓有關(guān)的運算

例1（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，0），B（3，0），且

與y軸交于點C（0，﹣3）．

(1)求此二次函數(shù)的表達式及圖象頂點D的坐標；

(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點E的坐標，若不存在，請說明

理由；

(3)在平面直角坐標系中，存在點P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．

第18頁共24頁.

1

例2（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣2，

2

0)，B(4，0)兩點，交y軸于點C，點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

＝15

（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若S△PAC，求點P的坐標；

2

（3）如圖乙，過A，B，P三點作⊙M，過點P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點E．點P在運動過程

中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．

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例3（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習簿的橫線上取點O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，

描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律．

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖像上．

(1)【分析問題】

小明利用已學知識和經(jīng)驗，以圓心O為原點，過點O的橫線所在直線為x軸，過點O且垂直于橫線的直線為

y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示．當所描的點在半徑為5的同

心圓上時，其坐標為___________．

(2)【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立．

(3)【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點P0,m，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫M，是否存在所描的點在M上．若存在，

求m的值；若不存在，說明理由．

第20頁共24頁.

掌握圓的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象解決此類問題；

【變式1】（2021·山東濟南·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+8的圖象與x軸交于B，C兩點，點D平分BC，

若在x軸上側(cè)的A點為拋物線上的動點,且∠BAC為銳角，則AD的取值范圍是（）

A．3＜AD≤9B．3≤AD≤9C．4＜AD≤10D．3≤AD≤8

【變式2】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考一模）“一切為了U”是常山在趕考共同富裕道路上，最新確定的城市品牌．已

知線段AB，對于坐標平面內(nèi)的一個動點P，如果滿足APB30，則稱點P為線段AB的“U點”，如圖，

15

二次函數(shù)yx23x與x軸交于點A和點B．（1）線段AB的長度為__________；（2）若線段AB的“U”

22

點落在y軸的正半軸上，則該“U點”的坐標為_________．

【變式3】（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎魏瘮?shù)圖象的頂點坐標為A2,0，且與y軸交于點0,1，B

點坐標為2,2，點C為拋物線上一動點，以C為圓心，CB為半徑的圓交x軸于M，N兩點（M在N的左

側(cè)）．

(1)求此二次函數(shù)的表達式；

(2)當點C在拋物線上運動時，弦MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出弦MN

的長；

(3)當ABM與ABN相似時，求出M點的坐標．

第21頁共24頁.

【新題速遞】

1．（2022秋·陜西西安·九年級交大附中分校?？计谀┰谕黄矫嬷苯亲鴺讼抵校瑨佄锞€L：yx24xm

關(guān)于y軸對稱的拋物線記為L，且它們的頂點與原點的連線組成等邊三角形，已知L的頂點在第四象限，

則m的值為（）

A．23B．423C．4D．423

1

2．（2020秋·九年級統(tǒng)考期末）拋物線是由yx2平移得到，它經(jīng)過原點O，且交x軸正半軸于點D，A

4

為OD上一點，C為拋物線上一點，以O(shè)A，OC為邊構(gòu)造OABC，點B6,n恰好落在拋物線上，連接CD

交AB于點E，若CEDE，則n等于（）

A．22B．3C．6D．9

3．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，已知拋物線yx2pxq的對稱軸為x3，過其頂點M的

一條直線ykxb與該拋物線的另一個交點為N1,1．點P的坐標為0,1，則△PMN的面積為（）

A．2B．4C．5D．6

4．（2023·河北·九年級專題練習）如圖，在ABC中，ACB90，BC邊在x軸上，A(1,4),B(7,0)．點P

是AB邊上一點，過點P分別作PEAC于點E，PDBC于點D，當四邊形CDPE的面積最大時，點P

的坐標為（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

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