專(zhuān)題14 全等三角形（5大考點(diǎn)）（原卷版）

第四部分三角形

專(zhuān)題14全等三角形（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一全等三角形的判定

核心考點(diǎn)二全等三角形的性質(zhì)

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型

核心考點(diǎn)四全等三角形中的旋轉(zhuǎn)模型

核心考點(diǎn)五全等三角形綜合問(wèn)題

新題速遞

核心考點(diǎn)一全等三角形的判定

例1（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是

（）

A．24B．22C．20D．18

例2（2022·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線

上，且BEDF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)A作ANEF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE5，

CN8，則線段AN的長(zhǎng)為_(kāi)________

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例3（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直

平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥AD．

(1)求證：△ABE≌△FMN；

(2)若AB8，AE6，求ON的長(zhǎng)．

知識(shí)點(diǎn)、全等三角形的判定

一、全等三角形判定1——“邊邊邊”

定理1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝鐖D，如果A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC，則△ABC≌△A'B'C'.

二、全等三角形判定2——“邊角邊”

定理2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）.

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要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝鐖D，如果AB＝A'B'，∠A＝∠A'，AC＝A'C'，則△ABC≌△A'B'C'.

注意：1.這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.

2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故

不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

三、全等三角形判定3——“角邊角”

定理3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝鐖D，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，則△ABC≌△A'B'C'.

四、全等三角形判定4——“角角邊”

定理4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）

要點(diǎn)詮釋?zhuān)河扇切蔚膬?nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定

兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.

2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△

ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

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要點(diǎn)三、判定方法的選擇

1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見(jiàn)下表：

已知條件可選擇的判定方法

一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA

兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS

兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS

2.如何選擇三角形證全等

（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可

以證這兩個(gè)三角形全等；

（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；

（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋?/p>

（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

3.三角形證全等思路

找?jiàn)A角SAS

已知兩邊找直角HL

找另一邊SSS

邊為角的對(duì)邊找任一角AAS

找?jiàn)A角的另一邊SAS

已知一邊一角

邊為角的鄰邊找?jiàn)A邊的另一角ASA

找邊的對(duì)角AAS

找?jiàn)A邊ASA

已知兩角

找任一邊AAS

五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”

定理5：在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”）.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的

形狀和大小就確定了.

（2）判定兩個(gè)直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.

（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書(shū)寫(xiě)時(shí)必須在

兩個(gè)三角形前加上“Rt”.

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3

【變式1】（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，ACB90，BC6，cosB，

4

AE平分∠BAC，且AECE于點(diǎn)E，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE的長(zhǎng)為（）

7

A．2B．47C．27D．2

2

【變式2】（2022·重慶長(zhǎng)壽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點(diǎn)D在邊BC上，且

CD＝3DB，點(diǎn)E是邊OA上一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'恰好落在邊

OC上，則OE的長(zhǎng)為（）

3394

A．B．C．D．

4243

【變式3】（2022·河南鄭州·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知Rt△ABC中，ABC90，以斜邊

AC為邊向外作正方形ACDE，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接OB．已知BC9，AB6，則OB________．

【變式4】（2021·四川眉山·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝2DE，

將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；

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12

②G為BC的中點(diǎn)；③CF∥AG；④S△，其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______．

EFC5

【變式5】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖①，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，E為ABC內(nèi)一

點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)到F，使得EDDF，連接AF、CF．

(1)求證：BE∥CF；

1

(2)若EBDBAC，求證：AF2AB2BE2；

2

(3)如圖②，探索當(dāng)BEC與BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，ACAF，并說(shuō)明理由．

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核心考點(diǎn)二全等三角形的性質(zhì)

例1（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，ABAC，將ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到VADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①△AFE△DFC；②DA平分BDE；

③CDFBAD，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

例2（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB8cm，AD12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，

以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD邊向

點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D停止，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)v為_(kāi)____時(shí)，

ABP與△PCQ全等．

例3（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若VOAB≌VOCD，則點(diǎn)

O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．

(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；

(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD42，OA5，BC12，

連接AC，求AC的長(zhǎng)；

OF

(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求的值．

OG

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知識(shí)點(diǎn)、全等三角形的性質(zhì)

①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝热切螌?duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)

是今后研究其它全等圖形的重要工具.

全等變換：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

【變式1】（2022·重慶·校聯(lián)考一模）如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使B與C重合，CD，AE相交

S1S2

于F，已知BD＝4AD，設(shè)△ABC的面積為S，△CEF的面積為S1，△ADF的面積為S2，則的值為（）

S

1132

A．B．C．D．

105105

【變式2】（2021·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ACB90，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DEC，

使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的

是（）

A．ACDEB．BCEFC．AEFDD．ABDF

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【變式3】（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，AB=5，AC=4，以點(diǎn)

A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、AC于D和E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于二分之一DE為

半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，GH⊥AC于H，GH=2，則△ABG的面積為_(kāi)_______．

【變式4】（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知ABC≌△DCE≌△HEF，三條對(duì)應(yīng)邊BC、CE、EF在同

一條直線上，連接BH，分別交AC、DC、DE于點(diǎn)△P、Q、K，其中SPQC＝1，則圖中三個(gè)陰影部分的面

積和為_(kāi)__________．△

【變式5】（2022·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABDE中，AB//DE，ACDE，ABCDCE90，

點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上．

(1)求證：ABC≌DCE；

(2)當(dāng)BC8，AC15時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

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核心考點(diǎn)三全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型

例1（2021·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，ABBD，AB5，BD4，CD3，

點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為（）．

5

A．2B．C．5D．3

2

例2（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AB4，BAC135，D為邊BC的中點(diǎn)，若AD1.5，

則AC的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．

例3（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)

點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．

（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫(xiě)出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系

是________．

（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，

若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否

依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若COD60，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．

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延長(zhǎng)三角形的中線，使得延長(zhǎng)后的線段是原中線的兩倍，這樣做的目的是構(gòu)造一對(duì)對(duì)頂角，相等的全

等三角形能夠把已知的邊或角轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形當(dāng)中進(jìn)行求解相關(guān)的邊或角相等。

也就是說(shuō)倍長(zhǎng)中線的模型是當(dāng)題目當(dāng)中出現(xiàn)中線或中點(diǎn)時(shí)，可嘗試?yán)帽堕L(zhǎng)中線法來(lái)構(gòu)造全等三角形，

證明線段間的數(shù)量關(guān)系。該類(lèi)型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起進(jìn)行綜合使用，所以在做遇到中線的題型時(shí)，我

們考慮的方向主要有被長(zhǎng)中線定理以及三角形的中位線定理，看在實(shí)際的運(yùn)用當(dāng)中符合哪種類(lèi)型再做選擇。

【變式1】（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，在ABC中，AC6，BC8，ACB120，D是AB的中

點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)是（）

A．3B．13C．5D．前三個(gè)答案都不對(duì)

【變式2】（2021秋·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，ABC中，AD為中線，ADAC，BAD30，

AB3，則AC長(zhǎng)（）

A．2.5B．2C．1D．1.5

【變式3】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上一

點(diǎn)，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，則∠EBD的度數(shù)為_(kāi)_________________．

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【變式4】（2022·湖北荊州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，

EAF60．若AE3，AF4，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【變式5】（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：已知，

如圖1，ABC中，若AC5，BC3，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，求AB邊上的中線CD的取值范圍．

經(jīng)過(guò)小組合作交流，找到了解決方法：“倍長(zhǎng)中線法”．

(1)請(qǐng)按照上面的思維框圖，完成證明．

【探究應(yīng)用】

(2)已知：如圖2，ABCCACB中，CD是AB邊上的中線，E在BC邊上，連接AE交CD于F，且

AFBC．求證：AFDBCD；

【拓展延伸】

(3)如圖3，若ABC90，AB3，BC4，AD是BC邊上的中線，E是AB上一點(diǎn)，連接CE交AD于點(diǎn)

F，且CFAB3，求AE的長(zhǎng)．

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核心考點(diǎn)四全等三角形中的旋轉(zhuǎn)模型

例1（四川遂寧·中考真題）已知如圖，在正方形ABCD中，AD=4，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的一點(diǎn)，且

∠EAF=45°，EC=1，將△ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與△ABG重合，連接EF，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AG，

43032

交AF于點(diǎn)M，則以下結(jié)論：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④SMEF=中正確的是()

77175

△

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

例2（2021·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC、BDE都是等腰直角三角形，BABC，BDBE，

AC4，DE22．將BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得BD'E'，當(dāng)點(diǎn)E'恰好落在線段AD'上時(shí)，則

CE'______．

例3（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題．

如圖，已知ABC中，AB=AC=m，BC=n，BAC0180，點(diǎn)P為平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任

意一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a，得線段PD，E、F分別是CB、CD的中點(diǎn)，設(shè)直線AP與直線

EF

EF相交所成的較小角為β，探究的值和的度數(shù)與m、n、α的關(guān)系，請(qǐng)你參與學(xué)習(xí)小組的探究過(guò)程，并

AP

完成以下任務(wù)：

（1）填空：

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

EF

小明研究了60時(shí)，如圖1，求出了___________，___________；

PA

第13頁(yè)共26頁(yè).

EF

小紅研究了90時(shí)，如圖2，求出了___________，___________；

PA

【類(lèi)比探究】

EF

他們又共同研究了α=120°時(shí)，如圖3，也求出了；

PA

【歸納總結(jié)】

EF

最后他們終于共同探究得出規(guī)律：__________(用含m、n的式子表示)；___________(用含α的式

PA

子表示)．

EF

（2）求出120時(shí)的值和的度數(shù)．

PA

模型不共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型

【模型特征】此模型是通過(guò)將三角形繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180°后，再進(jìn)行平移而得到，注意運(yùn)用線段的和差找

出相等線段.

共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型(手拉手模型)

【模型特征】此模型可看成是將兩個(gè)三角形（或正方形等圖形）繞著某一個(gè)公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度所構(gòu)

成的.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)三角形無(wú)重疊或有重疊，運(yùn)用角的和差得到等角.

第14頁(yè)共26頁(yè).

【變式1】（2022·山東日照·校考二模）如圖，O是正ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA3，OB4，OC5．將線段BO

以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．點(diǎn)O與O的距離為4B．AOB150

C．S四邊形AOBO′643D．S△AOBS△AOC343

【變式2】（2021·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，ACB90，AC2，AB4，

將ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度得到DEC，使得A點(diǎn)恰好落在DE上，則線段BD的長(zhǎng)為（）

A．23B．5C．27D．33

【變式3】（2022·湖北黃岡·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)P的坐

標(biāo)是（0，3），把線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段PQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是__________．

【變式4】（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，若點(diǎn)M是AB的

中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線CB上，將MD繞點(diǎn)M順時(shí)針△旋轉(zhuǎn)90°得到MN，連接AN，則AN+MN的最小值為_(kāi)____．

第15頁(yè)共26頁(yè).

【變式5】（·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖1，在等腰RtABC中，A90，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，

ADAE，連接，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；

(2)探究證明：把VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，判斷PMN的形狀，并說(shuō)

明理由；

(3)拓展延伸：把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD4，AB10，求PMN面積的最大值．

第16頁(yè)共26頁(yè).

核心考點(diǎn)五全等三角形的綜合問(wèn)題

例1（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，

BFEF，CE1，則AF的長(zhǎng)是（）

345

A．22B．2C．2D．2

234

例2（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，

AEAF,EAF30，則AEB___________；若△AEF的面積等于1，則AB的值是___________．

例3（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊DA的延長(zhǎng)線上，連接CE

交AB于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BMCE，垂足為點(diǎn)M，BM的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．

（1）如圖1，求證：CEBH；

（2）如圖2，若AEAB，連接CF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的四個(gè)三角形（AEG

除外），使寫(xiě)出的每個(gè)三角形都與AEG全等，

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隨著素質(zhì)教育不斷深入，新課程標(biāo)準(zhǔn)的全面實(shí)施，關(guān)于三角形全等問(wèn)題的中考題，已不在是課本上的

封閉的單一的證明題型一統(tǒng)天下了，出現(xiàn)了許多新題型，這類(lèi)題更能考查同學(xué)們的靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和

創(chuàng)新精神及實(shí)踐能力；

全等三角形的綜合問(wèn)題主要靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形的輔助線添加方法：

倍長(zhǎng)中線模型、旋轉(zhuǎn)模型、垂線模型等，再結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用，尤其是近幾年?？嫉念?lèi)比探究題型，

要循序漸進(jìn)、由簡(jiǎn)入難，不斷深入探究才能解決問(wèn)題.

【變式1】（2023·重慶·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC上的

210

點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，線段GH與EF的夾角為45，GH．則EF（）

3

21025

A．5B．C．D．7

33

【變式2】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形紙片ABCD中，點(diǎn)E為正方形CD邊

上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，EF交BC于

點(diǎn)H，折痕為GM，連接AE、AH，AH交GM于點(diǎn)K.下列結(jié)論：①△AME是等腰三角形；②AEMG；

③AE平分DEF；④AEAH；⑤EAH45，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

第18頁(yè)共26頁(yè).

【變式3】（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)校考三模）在Rt△ABC中，BAC90，D是BC的中點(diǎn)，E是

AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB8，四邊形ADBF的面積為40．則

AC______．

【變式4】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中,點(diǎn)G為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)H為CD邊上的

動(dòng)點(diǎn),且滿足BGDHHG,連接AH,AG分別交正方形ABCD的對(duì)角線BD于F，E兩點(diǎn),則下列結(jié)論中正確

的有___________．（填序號(hào)即可）．

①DHAGHA②AFAHAEAG③BEDFEF④AH2AE

【變式5】（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線DE

上，且BDABACAEC90，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱(chēng)為

“一線三等角“模型．

應(yīng)用：

(1)如圖2，Rt△ABC中，ACB90，CBCA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作ADED于點(diǎn)D，過(guò)B作BEED

于點(diǎn)E．求證：BEC≌CDA．

(2)如圖3，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，CAD90，ACAD，

DBADAB，AB23，求點(diǎn)C到AB邊的距離．

第19頁(yè)共26頁(yè).

(3)如圖4，在YABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的一點(diǎn)．若

EF

DEFB，AB10，BE6，求的值．

DE

【新題速遞】

AC

1．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，用尺規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，

2

兩弧相交于點(diǎn)M和N．作直線MN交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE．則下列結(jié)論不一定正確的是

（）

A．ABAEB．ADCDC．AECED．ADECDE

2．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l上有三個(gè)正方形A，B，C，若A，C的邊長(zhǎng)分別為3和4，

則正方形B的面積為（）

A．5B．25C．24D．無(wú)法確定

第20頁(yè)共26頁(yè).

3．（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，C90，BD平分ABC交AC于D，DE

是AB的垂直平分線，若AD3，則AC等于（）

A．4B．4.5C．5D．6

4．（2022·四川綿陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AD是ABC的中線，CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AB5，

AC7，則AD的取值不可能是（）

A．3B．4C．5D．6

5．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，將邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)BC，若

CCD90，CC2，則線段BC的長(zhǎng)度為（）

5

A．2B．C．6D．5

2

6．（2022·新疆烏魯木齊·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，C90，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)

1

弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N，為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于

2

點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上．若AC6，CD2，AB7，當(dāng)DE最小時(shí)，BDE的面

積是（）

A．2B．1C．6D．7

第21頁(yè)共26頁(yè).

1

7．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，ABC中，AB＝AC35，BC6，分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于BC

2

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE，在射線AE上任取一點(diǎn)D，連接DC．若CD5，則AD的長(zhǎng)

為（）

A．10B．11C．12D．65

8．（2022·廣東揭陽(yáng)·校考二模）如圖，已知點(diǎn)A(3,0)，B(0,4)，C是y軸上位于點(diǎn)B上方的一點(diǎn)，AD平分OAB，

k

BE平分ABC，直線BE交AD于點(diǎn)D．若反比例函數(shù)y(x0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則k的值是（）

x

A．8B．9C．10D．12

9．（2023·湖南衡陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中ABC30），OMAB于

點(diǎn)M，ONBC于點(diǎn)N，若OMON，則ABO_______度．

10．（2022·山東菏澤·菏澤一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知ABC，A90，ABAC，直線l過(guò)直角頂點(diǎn)A，分

別過(guò)點(diǎn)B、C向直線l作垂線，垂足分別為E、F，BE7，CF5，則EF______．

11．（2020·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABE中，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，∠E＝30°，且AB

＝CE，則∠BAE的度數(shù)為_(kāi)____．

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12．（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）已知BAC90，AC6，AB10.若平面上存在點(diǎn)D使ADB90，

當(dāng)DCDA時(shí)，