向量基本定理及坐標(biāo)表示（十三大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）能解釋正交分解的含義，會舉出正交分解的實例，（1）理解平面向量基本定理及其意義.

能分析平面向量正交分解與平面向量基本定理的內(nèi)在（2）會運用平面向量基本定理解決簡單平

聯(lián)系.面幾何問題.

（2）能在平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，得出平面向量的（3）借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量

和、差、數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示，并進(jìn)行相關(guān)的計算.的正交分解及坐標(biāo)表示.

（3）能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量枳，會進(jìn)行坐標(biāo)表示（4）會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運算

下的平面向量數(shù)量積的運算；能描述兩個平面向量夾角與數(shù)乘運算.

的含義，會用坐標(biāo)表示向量的模與夾角.（5）能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積和兩

（4）能用坐標(biāo)表示向量共線的條件，并會用其判斷兩個個平面向量的夾角.

向展是否共線；能用坐標(biāo)表示向最垂直的條件，并會用（6）能用坐標(biāo)表示平面向后共線、垂直的

其判斷兩個向量是否垂直；體會數(shù)形結(jié)合的思想.條件.

（5）在探究平面向量基本定理和坐標(biāo)表示的過程中，感

悟聯(lián)系的觀點，體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想，能說出用向量

法解決幾何問題的基本路徑，體會用向量語言、向量方

法表述和解決問題的簡捷性.

思維導(dǎo)圖

第1頁共44頁

平面向量基本定理

平面向量基本定理基底

向星的正交分菖

向量的坐標(biāo)表示

一向量加法

向量的坐標(biāo)運算向量減法

向量基本定理及向量數(shù)乘

坐標(biāo)表示

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

向量的模

向量的夾角

向量平行的坐標(biāo)表示

知識清單

知識點01平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果不g是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量。，有且只有一對實數(shù)4,4,

使〃=4弓+462，稱為。1，?2的線性組合.

①其中不與叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底：

第2頁共44頁

②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量外出的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.

這說明如果a=+4電且〃=4%+4g，那么4=4'，4=4’?

③當(dāng)基底4,小是兩個互相垂直的單位向最時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向最基本定理實際

上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

知識點詮釋：

平面向最基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對應(yīng)

的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量.

2、如何使用平面向量基本定理

平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意?個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合.

（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解

答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達(dá)到解題的目的.

（2）在解具體問題時，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示.選擇了不共線的兩個向量

6、%,平面上的任何一個向量。都可以用4、G唯一表示為。=44+不/，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)

問題，轉(zhuǎn)化為只含有《、g的代數(shù)運算.

【即學(xué)即練1】（2024?河南省直轄縣級單位?高一河南省濟源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在工BC中，

AD=\DC,尸是線段BD上一點，若=+則實數(shù)〃?的值為（）

【答案】A

【解析】?：AD=^DC,：.AC=^AD^

J

12

又AP=〃iA8+—AC,AP=mAB+—AD,

63

2|

?:B,P,。三點共線，Aw+-=l,?./?=-.

故選:A.

知識點02平面向量的坐標(biāo)表示

1、正交分解

第3頁共44頁

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

知識點詮釋：

如果基底的兩個基向量6、Q互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正

交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.

2^平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與工軸、軸方向相同的兩個單位向量i、，作為基底，對于平面

上的一個向量4,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)X,），，使得。=刀+q.這樣，平面內(nèi)的任一

向量。都可由X），唯一確定，我們把有序數(shù)對（X,），）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作〃=（用力，X叫做。在

x軸上的坐標(biāo)，y叫做。在），軸上的坐標(biāo).把。=（%,），）叫做向量的坐標(biāo)表示.給出了平面向量的直角坐標(biāo)表

示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，

為向量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系.

y

.二/

。丁工

知識點詮釋：

（1）由向量的坐標(biāo)定義知，內(nèi)向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即〃%=W且y=%，其

中a=（M，y）,b=（x2,y2）.

（2）要把點的坐標(biāo).與向量坐標(biāo)區(qū)別開來.相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點、終點的坐標(biāo)可以不同.比

如，若A（2,3）,8（5,8）,則人8=[3,5）；若C（T,3）,D（-l,8）,則CQ=（3,5）,AB=CD,顯然A、B、。、

。四點坐標(biāo)各不相同.

（3）（x,y）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，乂可以表示一個向量.

【即學(xué)即練2]（2024.全國?高一隨堂練習(xí)）如圖，設(shè)｛仃｝為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，用這組標(biāo)準(zhǔn)正交基分別表示

向量”，〃，c，d，并求出它們的坐標(biāo).

第4頁共44頁

【解析】由圖可知：

a=2i+3j,對應(yīng)坐標(biāo)為(2,3)；

b=-2i+3j,對應(yīng)坐標(biāo)為(一2,3)；

c=-2/-3j?對應(yīng)坐標(biāo)為(-2,-3)；

d=2i-3j,對應(yīng)坐標(biāo)為(2,-3).

知識點03平面向量的坐標(biāo)運算

1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運算

運算坐標(biāo)語言

記OA=(%,y),OB=(x2,y2)

加法與減法

OA+OB=O]+x2,x+%)，OB-OA=(x2-玉，y2-y)

實數(shù)與向量的乘機記。=(x,y),則Xa=(2x,Ay)

2、如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運算

在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運算時，應(yīng)先將平:面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運算法

則進(jìn)行計算.在求?個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運用終點坐標(biāo)減去起點坐

標(biāo)得到該向最的坐標(biāo).求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo).但同時注意

以下幾個問題：

(1)點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點、終點坐標(biāo)有關(guān)，只有起點

在原點時，平面向量的坐標(biāo)與終點的坐標(biāo)才相等.

(2)進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運算時，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點、終點的關(guān)系.

(3)要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的.

(4)要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān).

【即學(xué)即練3](2024.山西運城.高一統(tǒng)考期末)已知M(-2,5),N(10,-1),點P是線段MN的一個三等分

點且靠近點M,則點P的坐標(biāo)為.

【答案】(2,3)

【解析】由題可知MN=3MP，

設(shè)P(x,y),則MN=(12,-6),

MP=(x+2,y-5),3MP=(3.r+6,3>'-15),

.3x+6=12x=2

..3y-15=-6=>=>P(2,3).

)'=3

故答案為:(2,3).

知識點()4平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示

第5頁共44頁

1、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示

設(shè)非零向量〃=（3,%）,/?=（工2，＞2），則4〃匕=（4凹）=/億,丁2），即，",或玉）、-My=O.

1凹=%為

知識點詮釋：

若則不能表示成工=工，因為分母有可能為。?

&H

2、三點共線的判斷方法

判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知

A（x1,y\）,B（X2,y2）,C（x3,y3）,,4B=（x2-xpy2-yj,AC=（七一',%-），J,

若（七一寸）（必一凹）一（七一內(nèi)）（、2-y）=0,則A，B,C三點共線.

【即學(xué)即練4】（2024?江蘇無錫?高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量0A=（Z/2）,尸8=（4,5）,

PC=（10次）,若A,B,C三點共線，則攵的值為（）

A.-2或11B.2或11C.-2或-IID.2或一11

【答案】A

【解析】由幺=化［2）,*（45）,PC=（1（U）,

得A8=P8-E4=（4-Z,-7）,AC=PC-PA=（\0-kyk-\2）f

又A,B,C三點共線，

則4B=/MC，

4-A=/l（IOd）,{k=~2=

即|一』（12）：解得“6味=7，

故選:A.

知識點05向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1、已知兩個非零向量a=（5，y）,b=（x2,y2）,a-b=x}xr+y\y2

2、設(shè)。=（x,y）,則|?『=設(shè)+,2或?々|=舊+，

3、如果表示向量”的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為（西,凹）、（S'M），那么

|a|=J（內(nèi)一七）2+（X一）’2）2（平面內(nèi)兩點間的距離公式）.

【即學(xué)即練5］（2024.全國?高一隨堂練習(xí)）已知AC=（2/），AB=（1J）,且人。相=3,貝打=.

【答案】1

【解析】AC?/W=2+/=3,解得，=1，

故答案為:1.

第6頁共44頁

題型精講

用

題型一：平面向量基本定理的理解

【例1】（2024?高一課時練習(xí)）已知q,&是不共線的非零向晟，則以下向量可以作為基底的是（）

A.〃=0,6=q+6B.。=%]+%，方=q+6

111tl一一一111tl

C.a=e}-2e2,h=ex+e2D.a=et-2e2,b=2e1-4e2

【答案】C

【解析】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；

對于B：因為。=%]+他，b=e{+e2,所以。=3力，所以此兩個向量不可以作為基底；

對于C：設(shè)〃=勸，即弓-2S=/1卜+62），則所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一

一乙—人

組基底;

第7頁共44頁

對于D：設(shè)）=之-2?b=2e/4e2,所以。彳〃，所以此兩個向量不可以作為基底;

故選：C.

【變式1?1】（2024?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┰O(shè),4}是平面內(nèi)所有向量的一個基

底，則下列不能作為基底的是（）

A.6和弓+/B.q和q-q

C.2G4c2和qi2c2D.c}l2c2木口2qie2

【答案】C

/?=0

【解析】對于A,令02=加,+4），則，加不存在，「.J,q+e2不共線，可以作為基底，A錯

m=1

誤；

對于B,令4=〃,一《2）,則,；］:，〃不存在，「.e；,馬一.不共線，可以作為基底，B錯誤;

對于C,V2q-46=_2(_q+2e2],

...2q—44和—4+26共線，不能作為?組基底，C正確；

對于D,令6+2%=（2q+0），則I，不存在，.?.4+2/，2q+e；不共線，可以作為基底，D錯

誤.

故選：C.

【變式1?2】（2024.高一課時練習(xí)）設(shè)外為是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基

底的是（）

A.q+/和q-/B.3q—46和6e1-Se2

C.et+2e2和2e,+e2D.4和q+e2

【答案】B

【解析】卬馬是平面內(nèi)所有向最的一組基底，所以0型2不共線；

所以e}+e2和q-e2不共線，e}+%和2e、+e2不共線，q和e1+e2不共線；

所以選項A,C,D都可以作為基底；

B中，6q-&2=20弓-46）,

所以30-把和6e「8e?共線，不能作為基底.

故選:B

【變式1?3】（2024?山西?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如果,勺}表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四

第8頁共44頁

組向量，不能作為一個基底的是（）

A.e2、q-2^,B.q+羽、e2+2e]

C.et-3e2、6e2-2etD.e,-e2、et-3e2

【答案】C

【解析】對于A選項，設(shè)q-2/=%/（%￡R），

一一[1=0

因為《、。，不共線，則r，顯然不成立，A中的兩個向量可作一個基底:

Z=-2

對于B選項,設(shè)q+%=4（2q+e2j=22et+2e2（2eR）,

[22=1

因為q、與不共線，則】，顯然不成立，B中的兩個向量可作一個基底；

對于C選項，因為6，-24=-2（4-36）,C中的兩個向量不能作?個基底：

對干D選項，設(shè)q=義（《—6）=4弓一^.（awR），

Z=1

因為,、與不共線，則，釬顯然不成立，D中的兩個向量可作一個基底.

—X=-3

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線.此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面

上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來.

題型二：用基底表示向量

【例2】（2024?全國?高一假期作業(yè)）如圖，在平行四邊形A8CO中，E是。。的中點，AE和6。相交于點

F.記AB=a,AD=b>M（）

C.CF=—a——bD.CF=-a+—b

3333

【答案】A

【解析】在平行四邊形ABC。中A8//CO,AE和友）相交于點尸,

所以小ABFS&EDF,乂E是。。的中點，

所以箓=I所以。尸=:。8=:（44-4可，

BFAB233'/

第9頁共44頁

i\01

所以C77=CO+O/=-AB+-（AB—A￡））=-￡AB--AD=--a--b.

33333

故選：A

【變式2?1】（2024.陜西?高一校聯(lián)考期中）如圖，在..A8C中，設(shè)人8=a,AC=b，BD=2DC，

AE=4ED^則BE:（）

2』

B.

315

C.D.-L+&

3151515

【答案】D

4441

【解析】由題意8￡：二4E-48:14。一〃二弓（48+8。）-0=18。一S〃

5351551515

故選:D.

【變式2?2】（2024?安徽蕪湖?高一安徽省無為襄安中學(xué)校考期中）在.ABC中，力。為邊上的中線，E

為A。的中點，則EC等于（）

31|33I13

A.-AB——ACB.——AB+-ACC.--AB+-ACD.-AB--AC

44444444

【答案】B

【解析】因為AO=g（A8+ACb

所以或="-卻）=衣-#8+n）=-：44+（心

【方法技巧與總結(jié)】

平面向量基本定理的作用以及注意點

第10頁共44頁

（1）根據(jù)平面向量基本定理，任何一個基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，實質(zhì)上是利用三

角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運算.

（2）基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程求出要表示的向量.

題型三：平面向量基本定理的應(yīng)用

【例3】（2024?全國?高一隨堂練習(xí)）如圖所示，中，A。為邊8c的中線，AP=SQ,MP=xMN，

AM=AAB^4N=〃AC,其中/>0,x>0,A>0,〃>0.

⑴當(dāng)/=g時，用向量八8,AC表示AP；

(2)證明：,為定值.

/I〃

【解析】(1)當(dāng)/=!時，AP=：AQ,

JJ

因為AQ為邊的中線，

所以AQ=/W+AQ=人8+；/昭="+#。一")=3"+3心

所以4戶=

66

(2)由(1)可知AQ='A8+LAC,

22

所以”=/AQ/(A8+4C).

2

而MP=xMN，AM=AABAN="AC,

所以MP=AP-AM=xAN-xAM，

(A8+AC)—2AB=xpAC-xXAB,

整理可得——A+x/lAB=^A7/——AC,

1=2-

而AB，AC是不共線向品，所以，/+9=邛，-《=0=]

~2-=2x

兩式相加可得：+工=2,是定值，證畢.

2〃

第11頁共44頁

【變式3.1】（2024?海南?高一?？计谀┤鐖D，在.A8C中，A。是8c邊上的中線，E為AO的中點.

⑴用A8，表示AO：

（2）用A8，AC表示仍.

【解析】（1）因為AO是8c邊上的中線，

所以4O=AB+B/）=

2

（2）因為E為A。的中點，

所以￡3=E4+A4=—；AO+43=-gx；（A4+AC）+A8=；4〃—；AC.

【變式3-2］（2024?河北邢臺?高一邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，點

(1)以人8，A。為基底，分別表示向量AE，BFx

(2)以AE，4『為基底，表示向量AC.

【脩析】(1)因為E為。C中點，則AE=AO+￡^=AO+gA8,

F為AO中點，WlJBF=BA+AF=-AD-ABi

2

(2)注意到AC=A3+AO，

又E為DC中點、,則A￡=AO+DE=A￡>+」A3,

2

b為A。中點，貝IJB/=BA+AF=-AD-AB,

2

I574

則2+4E=/AOnAD=-BF+-AE,

2455

10—?5.■2.4.

一AE—BF=-ABnAB=一AE——BF,

2455

則AC=AB+AD|>4E-|BF.

【變式3-3](2024?廣西欽州?高一?？计谀?如圖，在一ABC中，BC=4BD,AC=3CE,4￡與人。相交

第12頁共44頁

于點M.

(2)若+,求"?+〃的值.

【解析】(I)因為BC=4BD,所以BO=」8C=L(AC-A8)=L4C-LA8,

44、744

1131

所以AO=AB+/?O=48+±AC—±AB=2/W+±AC.

4444

-2

因為AC=3CE,所以AE=§AC,

所以8E=AE-48=gAC-48.

miniur笫um;iiu

(2)因為A,M,/)三點共線，所以AM=/IAO=—A8+-AC.

44

32

m=一

4

因為AM=〃L48+〃AC，所以，.,即〃?=3〃.

n=-

4

uiuurnnuia.nrZil-k)1111r

因為8,M,E三點共線，所以AM=J4B+(l-k)AE=148+A』AC.

in=k

因為AM=〃LAB+〃/1C，所以《2(I-Q.

n=-------

3

07

因為〃?=3〃，所以&=3x：(l-&),解得2=9,

22R

從而〃l=g,〃=§,故加+〃=§.

【變式3?4】(2024?高一?？紗卧獪y試)如圖所示，已知點G是.A8O的重心.

O

AB

第13頁共44頁

⑴求G4+GB+GO；

⑵若PQ過&ABO的重心G,且OA=a，OB=b,OP=ma，OQ=nb,求證：—i—=3.

inn

【解析】（1）如圖所示，延長0G交A3于例點，則M是A4的中點，

:?GA+GB=-2MG，

??，G是的重心，:.GO=-2GM，，GA+G8+GO=0;

（2）是A3邊的中點，???OM=；（QA+O8）=g（a+b）,

又G是^ABO的重心,??.OG==；（。+。），

PG=0G-OP=+-ma=^-m〃+g匕>

而PQ=OQ-OP=nb-ma,

???P、G、。三點共線，，有且只有一個實數(shù)丸，使得PG=A尸Q,

:.（g-〃?）4+g〃=Anb-Ama,/,（g-m+a+（g-4〃/?=0,

,?,"與〃不共線，.,?!一+且2—2〃=。消去4，得‘+,=3.

33mn

【方法技巧與總結(jié)】

若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用

已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量（一般需建立兩個不同的向量表達(dá)式），再利用待定

系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得.

題型四：平面向量的坐標(biāo)表示

【例4】（2024?全國?高一課堂例題）如圖"，與是夾角為120。的兩個單位向量，卜2逐，且

（哂）=30。,住e>90。.求04在基,，斗下的坐標(biāo).

Oei

【解析】如圖,

第14頁共44頁

作平行四邊形O84C,則OA=OB+OC.

因為NOAC=Z4O8=30。，|。$=26,

所以，在RlaOAC中，|。。|=2JC$=4.

所以網(wǎng)=同=4,即OA=4q+羽.

因此OA在基,?｝下的坐標(biāo)為（42）.

【變式4?1】（2024?全國?高一課堂例題）如圖，設(shè)。（0,0）,￡；（L0）,￡,（0J）,P（x,y）是平面直角坐標(biāo)

系中的4個點，且q=。鳥，e2=OE2.求OP在基｛%%｝下的坐標(biāo).

【解析】q=0E，S=OE2分別是大軸和軸上的單位向量，并且相互垂直，因此不共線，則6，6組成

平面上的一組基.

在1軸上取與P（x,y）橫坐標(biāo)相同的點4（x,0），則片P與y軸平行或共線.

在y軸上取與p（x,y）縱坐標(biāo)相同的點6（0,），），則鳥尸與X軸平行或共線.

因此OP=O4+O4.

由A，6的坐標(biāo)可知OR=咫，0P?=ye?,

因此OPfq+y。，即OP在基｛。勺｝下的坐標(biāo)為（x，＞）.

【變式4?2】（2024?高一課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系宜力中，向量〃、）、c的方向和長度如圖所示，分別求

它們的坐標(biāo).

第15頁共44頁

1c|=3,

b=(\h\cos(30°+90°),|/>|sin(30°+90°))=(一^,孚).

c=(|c|cos(-30°),|c|sin(-30°))=(乎|)；

【方法技巧與總結(jié)】

在表示點、向量的坐標(biāo)時，可利用向量的相等、加減法運算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、點的坐標(biāo)定義

求坐標(biāo).

題型五：平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示

【例5】(2024?全國?高一隨堂練習(xí))已知”=(-1,2),。=(1,-2),求〃+0，2a_3〃的生標(biāo).

【解析】由題意,?+Z>=(-l,2)+(1,-2)=(0,0),

?-/?=(-1,2)-(1,-2)=(-2,4),

2?-3Z?=2x(-1,2)-3x(l,-2)=(-2,4)-(3,-6)=(-5,10).

【變式5」】(2024?全國?高一隨堂練習(xí))已知：=(2,4),〃=(-■),求2a-3b，4a+2b的坐標(biāo).

【解析】因為:=(2,4),〃二(一1,1),則%-3〃=2(2,4)-3(-1,1)=(7,5),

4。+2〃=4(2,4)+2(-1,1)=(6,18).

【變式5?2】(2024.全國?高一隨堂練習(xí))已知向量〃、b的坐標(biāo)，求〃+八叱8的坐標(biāo).

(l)a=(-2,4),力=(2,3)；

⑵a=(4,3),。=(-2,8)；

⑶n=(2,3),^=(-2,-3)；

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(4)a=(2,4),Z>=(0,3).

【解析】(1)因為〃=(一2,4),5=(2,3),則辦。=(-2,4)+(2,3)=(0,7),

~=(-2,4)-(2,3)=(<1).

(2)因為〃=(4,3),。二(一2,8),則〃+力=(4,3)+(-2,8)=(2[1),

。-〃=(4,3)-(-2,8)=(6,-5).

(3)因為：/=(2,3),〃一(一2,一3),貝口十方一(2,3)十(一2,一3)—(0.0),

。-〃=(2,3)-(-2,-3)=(4,6).

(4)因為;/=(2,4),人=(0,3),則〃+6=(2,4)+(0,3)=(2,7),

a-^=(2,4)-(0,3)=(2,1).

【變式5?3】(2024?新疆?高一?？计谀?。=(2,1)4=(-3,4),求為+434a-勸的坐標(biāo).

【解析】因為a=(2,1),5=(-3,4).

所以3。+4〃=3(2,1)+4(-3,4)=(-6,19).

4a-2)=4(2,1)-2(-3,4)=(141).

【方法技巧與總結(jié)】

平面向量坐標(biāo)運算的技巧

(I)若已知向最的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差的運算法則進(jìn)行.

(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算.

題型六；平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示

【例6】(2024?高一單元測試)已知點42,3),A(5,4),C(7,10),AP=AB+AACR),試求當(dāng)點?在第三

象限時，4的取值范圍.

【答案】(華,-1)

【解析】設(shè)P(X，A，

???A(2,3),8(5,4)07,10),

二"二(x-2,)，-3),AA=(3,l),4C=(5,7),

?/AP=AB+AAC^/.(-r-2,y-3)=(3,l)+/l(5,7)=(3+52,1+72),

x-2=3+5/l,,fx=5+5/l

???=?力，解得力

y—3=1+72[y=4+7Z

???點P在第三象限，

5+5A<0

解得/〈-1，

4+72<0

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故答案為：(-°0,-1).

【變式6?1】(2024.陜西寶雞.高一統(tǒng)考期末)已知1=(2,-1),4=(1,2),若"①+”，則

【答案】-3

【解析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)表示，列出方程，求出義，〃，即可得出結(jié)果.因為々=(-1,1),

=(2,-1),f=(1,2),

若A=則,?:解得’.5?所以2=-3.

I=-A+2u14

故答案為：-3.

【變式6-2](2024.高一課時練習(xí))已知點50。，A(1.0),8(0,2),C(-l,4),若

OC=AOA+GR),則義+〃的值為.

【答案】1

【解析】由題知。。=(一1,4),04=(1.0),08=(0,2),

由。C=WA+juOB得(-1,4)=2(1,0)+〃(0,2),

.-1=A,2=-1,

―4=2/7,n=2,

工兒+〃=1.

故答案為：1

【變式6?3】(2024?高一單元測試)已知41,-2),氏-1,3),若人。=38。,則。的坐標(biāo)是

【答案】12；)

【解析】設(shè)C?y),則AC=("l,y+2),BC=(x+l,y-3),

VAC=3BC,(x-l,y+2)=3(x+l,j-3)?

二.x—I=3x+3.N+2=3y—9,

???C的坐標(biāo)是｛2，?)

故答案為：12,藍(lán))

【方法技巧與總結(jié)】

第18頁共44頁

平面向量坐標(biāo)運算的技巧

（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進(jìn)行.

（2）若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向我的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向最的坐標(biāo)運算.

（3）向量的線性坐標(biāo)運算可完全類比數(shù)的運算進(jìn)行.

題型七：向量共線的判定

【例7】（2024?廣東佛山?高一佛山市三水區(qū)實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知A4=（l,-2）,BC=（-3,8）,

C/?=（l,-3）,則（）

A.A,8,。三點共線B.A,。三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】D

【解析】由題意可得：AC=A3+3C=(-2,6),則有AC=2CO.

則A,C,D三點共線.

故選：D.

【變式7」】（2024?全國?高一假期作業(yè)）已知向量不共線，AB=a+3b^BC=5〃+3〃，

CD=-3a+3b,則（）

A.A,B,C三點共線B.A,C,。三點共線

C.A,B,。三點共線D.B,C,力三點共線

【答案】C

【解析】因為G方不共線，48=6+3。，BC=5a+3/?，CD=-3a+3b，

易得人及BC,CO互不共線，所以A,B,C三點不共線，B,C,。三點不共線，故AD錯誤

又AC=AB+BC=6a+6〃，易得ACCD不共線,則4,C,。三點不共線，故B錯誤；

而BO=BC+C￡>=2a+6〃=2(a+3A)=2A8,所以A,B,。三點共線，故C正確.

故選:C.

【變式7?2】（2024?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚中市第二高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)是平面內(nèi)的一組基底

ULUUUULUUUULILIUUU

則（）

AB=3e}+2e2iAC=4et—e2,AD=5e]—4e2,

A.A3,C三點共線B.AC。三點共線

C.及C。三點共線D.A8,。三點共線

【答案】C

milIUUH4a=3

【解析】A選項，設(shè)=則《，,無解，故ARC三點不共線，A錯誤;

-a=2

uiniuuu[56=4

B選項，設(shè)AC=ZMO,則-41'無解‘故A"三點不共線，B錯誤,

第19頁共44頁

uiaiuimuiuirirzuirxirir

C選項，BC=AC-AI3=4e,-e2-(3e,+2e2\=et-3e2,

LUUHL1UUIB1UU111111n

CD-AD-AC=5^-4e2-4e,+e2=e,-3e2?

故隴=左，故仇CD三點共線，C正確；

UUtlUUtlUUU1111tluuu

D選項，［3D=AD-AB=5e1-4e2-3e1-2e2=2e1-6e2，

UU11mill2c=3

設(shè)A8=c8O,則＜r，無解，故A&。三點不共線，D錯誤.

-6c=2

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

向量共線的判定應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷，特別是利用向量共線的坐

標(biāo)表示進(jìn)行判斷時，要注意坐標(biāo)之間的搭配.

題型八：利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)

【例8】(2024?江蘇泰州?高一?？计谀?設(shè)弓，4為平面內(nèi)一個基底，已知向量AB=e；-Ae；,

CB=4et-2e2,CD=3ei-3e2,若A,B,。三點共線，則k的值是()

A.2B.1C.—2D.-1

【答案】D

［解析】因為C“=鈉-，CD=3q-%，

所以BD=CD-CB=—ex—e2,

因為A,&。三點共線，

所以有AB=ABD，即q-ke?=X卜q—6)=G-攵4=-A,ex-Ae2

因為e；，R為平面內(nèi)?個基底，

所以6，與不是共線向量，因此有＜,,n&=—，

\—k=-X

故選：D

uuu

【變式8?1】(2024.河北邯鄲?高一統(tǒng)考期末)已知向量相=(一1,2),AC=(2,3),AD=(m-3),若從

C,。三點共線，則〃…()

97

A.-16B.16C.-D.--

33

【答案】A

【解析】由題意得8C=AC-4B=(3,1),BD=AD-AB=(fn+l-5),

因為&C,D三點共線,

所以

則加+1=-15,得〃7=-16.

第20頁共44頁

故選：A.

【變式8?2】(2024?新疆?高一八一中學(xué)?？计谀?在平面直角坐標(biāo)系中，向量產(chǎn)八=(1,4),PB=(2,3),

PC=(x,l),若A,B,C三點共線，則x的值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因為A,B,。三點共線，

則PC=NFA+〃尸6,(Z+//=l),

即(x,1)=4(1,4)+〃(2,3)=(%+2442+3〃)，

x=2+2〃僅=3

則"=44+3〃,解得"=-2.

%+〃=1[x=4

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

利用向最平行的條件處理求值問題的思路

(1)利用向量共線定理a=Ab(b/0)列方程組求解.

(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式直接求解.

提醒：當(dāng)兩向量中存在零向量時，無法利用坐標(biāo)表示求值.

題型九：定比分點坐標(biāo)公式及應(yīng)用

【例9】(2024?高一課時練習(xí))已知A(2,3),B(4,-3),點P在線段相的延長線上，旦kP卜■!?,則

點P的坐標(biāo)為.

【答案】(8,75)

3

【解析】丁點P在線段A8的延長線上，且|AP|=1|產(chǎn)例，

AB=-BPt

2

OP=OB+2AB=(4,-3)+2(2,-6)=(8,-15).

所以點。的坐標(biāo)為(8,-15).

故答案為：(8,-15).

【變式9?1】(2024.浙江寧波.高一寧波市北侖中學(xué)?？计谀?已知兩點6(2,-1),6(7,3),點尸在直線片鳥

2-

上，且滿足比昨早嗎I,則點P的坐標(biāo)為.

43>/43

制

--&或

595-9)/((8',9

XI

-

55-

第21頁共44頁

22

【解析】若點p在線段耳耳的反向延長線上,又因為14Pl=?嗎I,則有耳P=、PR,設(shè)尸|x,y),則

不一2=_鼻(_|一力