人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案

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第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時(shí)二次根式的概念

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?歸納導(dǎo)入如圖是天安門廣場(chǎng)前的大型音樂噴泉的圖片，非常美麗壯觀.仔細(xì)觀察圖

片可以發(fā)現(xiàn)：水域部分是正方形，外圍是圓.

(1)若該正方形的面積為30則該正方形的邊長(zhǎng)是_A/30m：

(2)若該正方形的面積為Sm2,則該正方形的邊長(zhǎng)是_讓@_；

(3)若該圓的面積為Sm2,則用含S的式子表示圓的半徑是一

觀察式子，而，邪,1有什么共同特點(diǎn)？

【歸納】這些式子都含有“廠”(根號(hào))，都表示正數(shù)的算術(shù)平方根.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：從學(xué)生熟悉的情景入手，引導(dǎo)學(xué)生理解所給的式子的實(shí)際意義，

歸納出二次根式的概念.建議：讓學(xué)生相互討論，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

?復(fù)習(xí)導(dǎo)入

1.填空：

(1)9的平方根是±3；0的平方根是。；一4沒有平方根:

(2)6的平方根是上也;6的算術(shù)平方根是_通_.

2.想一想：

用帶有根號(hào)的式子填空，看看寫出的結(jié)果有什么特點(diǎn)：

(1)面積為5的正方形的邊長(zhǎng)為_足；

(2)一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄，長(zhǎng)是寬的3倍，面積為150m2,則它的寬為回_m；

(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間，(單位：s)與開始落下時(shí)離地面的

高度h(單位：m)滿足關(guān)系h=5".如果用含有h的式子表示上那么上為

學(xué)生思考后回答，教師補(bǔ)充得出答案.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：以回顧舊知的形式引導(dǎo)學(xué)生，鞏固所學(xué)知識(shí)，并導(dǎo)入新課.建議：

及時(shí)回顧算術(shù)平方根的概念，再由算術(shù)平方根遷移到二次根式.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例!

◎命題角度1識(shí)別二次根式

判定一個(gè)式子為二次根式，需滿足兩個(gè)條件：第一，形式上為“正”的形式；第二，被

開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

【例1】下列式子不是二次根式的是(而

A.yf5B.73一1C.?0.5D.

3

【例2】在式子/，3,\3+2,1,?y>0),-^—3A(KO),,一f和才一1

中，是二次根式的有(⑤

43個(gè)6.4個(gè)C.5個(gè)〃6個(gè)

◎命題角度2確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍

根據(jù)二次根式、瓜有意義的條件要從兩個(gè)方面來(lái)思考，一是求字母所在的式子有意義時(shí)字

母必須滿足的條件,二是求字母所在的實(shí)際問題有意義時(shí)字母必須滿足的條件.

【例3】式子山一2023有意義時(shí),x應(yīng)滿足的條件為(而

A.導(dǎo)2023B.X22023C.x<2023D.xW2023

【例4】要使二次根式/京有意義，則x的最大值是

◎命題角度3利用二次根式有意義的條件求值

若兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，則只有它們同時(shí)為0時(shí)，這兩個(gè)式子才能都有

意義.__________

【例5】若叵=T+*VT'+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X滿足的條件是(。

A.B.xW：C.D.xW：

【例6】若尸立三產(chǎn)L,則(葉)=_匕

?LU<7

◎命題角度4二次根式非負(fù)性的應(yīng)用

二次根式、「具有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a20;②它的值此外，常見的非負(fù)數(shù)

還有|a|,3(或a的偶次幕).________

【例7】若|1001一川+山一1002=a,則日-10012=1002.

【例8】若擠6滿足實(shí)數(shù)1-6々+2426—4=一9,則，7的值為_3_.

高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)?

1.理解二次根式的概念，弄清被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這一要求.

2.理解二次根式的非負(fù)性，會(huì)求使二次根式有意義的條件.

3.能初步運(yùn)用二次根式的概念和基本性質(zhì)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.

二、教學(xué)重難點(diǎn)!

▲重點(diǎn)

二次根式的概念.

▲難點(diǎn)

利用“F(a20)”解決具體問題.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)，

?活動(dòng)1新課導(dǎo)入

1.回顧平方根和算術(shù)平方根的概念.

2.若步=9,則*=±3:若4=3,則三土33.

3.若正方形的面積為S,則正方形的邊長(zhǎng)為__4.

?活動(dòng)2探究新知

1.教材P2第1個(gè)思考.

提出問題：

(1)你能完成思考中的填空嗎？

(2)所填的式子分別表示什么意義？

(3)這些式子有什么特點(diǎn)？

(4)什么叫二次根式？，成立的條件是什么？

學(xué)生完成并交流展示.

2.教材P2第2個(gè)思考.

提出問題：

(1)/20成立嗎？為什么？

(2)式子一定成立嗎？

(3)舉例說明是否一定成立？

(4)若有意義，則》的取值范圍是什么？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動(dòng)3知識(shí)歸納

1.一般地，我們把形如Q20)的式子叫做二次根式,“、廠”稱為二次根號(hào).

2.既是一個(gè)二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，所以而具有“雙

重非負(fù)性”，即：a亨Q,>0..

3.判斷一個(gè)式子是否為二次根式，應(yīng)該從兩個(gè)方面進(jìn)行考慮：①是否帶有“廠”；②

被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).

?活動(dòng)4例題與練習(xí)

例1教材P2例1.

例2下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？______

(1)A/TT；(2).—5；(3)，3—x(x:3)；(4)：—x(x>0)；⑸，(a—1)；

ft?：(1)(3)(5)是二次根式，［2)(4)不是二次根式.

例3求使下列式子有意義的才的取值范圍.

⑴g7⑵x—2'⑶一

解：(1)由題意，得4—3才>0,解得??當(dāng)水|時(shí)，，-有意義;

3344-3萬(wàn)

3一X20，、/3—x

(2)由題意，得°口八解得xW3且xW2.???當(dāng)盡3且杼2時(shí)，幺方有意義；

lx-2K0,x—2

(3)由題意，得《一八解得5且萬(wàn)云0.,,?當(dāng)才2—5且xWO時(shí)，"-----有意

［不盧0,x

例4先觀察下列等式，再回答問題.

(1)類比上述式子，再寫出幾個(gè)同類型的式子；

(2)你能看出其中的規(guī)律嗎？用字母表示這一規(guī)律.

解：⑴\^=5/'、用(2)也鼻=、門.

練習(xí)

1.教材P3練習(xí)第1,2題.

2.下列式子：(D^4；(3>\j3—n；⑥\/加。+3/6,其

中是二次根式的有(B)

41個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè)〃5個(gè)

3.要使式子［2>—4+七有意義,則一應(yīng)該滿足/22且汗3一.

Xo

4.△4比的三邊長(zhǎng)為a,b,c,其中a和。滿足一―46+4+，右=0，求。的取值范

圍.

解：依題意，得(b—2)2+da-5=0,:.b=2,a=5.

又???&b,c為三角形的三邊長(zhǎng)，???3<c<7.

?活動(dòng)5完成附贈(zèng)手冊(cè)

?活動(dòng)6課堂小結(jié)

1.二次根式的概念.

2.二次根式的非負(fù)性及運(yùn)用.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

1.作業(yè)布置

⑴教材P5習(xí)題16.1第1,3,5,7題;

(2)學(xué)生用書對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí).

2.教學(xué)反思

第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例!

?情景導(dǎo)入如圖是一塊具有民族風(fēng)的正方形方巾，面積為9,則它的邊長(zhǎng)為二,若

面積為&則它的邊長(zhǎng)為正方形的邊長(zhǎng)是正，則面積為生.你發(fā)現(xiàn)了什么？

【教學(xué)與建議】教學(xué)：從正方形的邊長(zhǎng)引出W的例子，讓學(xué)生初步理解《的實(shí)際意義.建

議：讓學(xué)生談?wù)剬?duì)于，和(—)2的理解.

?置疑導(dǎo)入你能指出下列運(yùn)算過程中的錯(cuò)誤嗎？

(1)2=(-1)2,可以寫為笛-5)2=(5弋)2,

兩邊開平方，得、I吟-5)2=、1(5—曙2,

…26261

所以三-一5=5_7_，即￡=一￡?

0000

學(xué)了本節(jié)課我們就知道以上運(yùn)算為什么錯(cuò)了.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：設(shè)計(jì)糾錯(cuò)問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性.建議：鼓勵(lì)學(xué)生

積極地投入到觀察、分析、計(jì)算、討論中.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例I

◎命題角度1利用二次根式的性質(zhì)(、「)2=a(a20)解題

將非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根平方，就等于它本身，因此有(、1)2=川420).

【例1】計(jì)算(鏡產(chǎn)的結(jié)果是㈤

4mB.2C.372D.4

【例2】(<3)2+1的結(jié)果是［.

◎命題角度2逆用二次根式的性質(zhì)(口)2=4匕20)解題

(、-)2=a(a20)又可以寫成：a=(、6)2Q2o)

【例3】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)3；(2)X—16；(3)4/Z+4/?.

解：⑴原式=(*+，5)(X一、&；

(2)原式=(V+4)(x+2)(x—2)：

(3)原式=〃(〃+/)2(〃一位)2.

【例4】化簡(jiǎn)求值：一2,其中a=3.

aa5

◎命題角度3利用二次根式的性質(zhì)夜=|印解題

在利用函=閭進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，弄清被開方數(shù)的底數(shù)是正還是負(fù).

【例5】已知二次根式J?的值為3,那么x的值是(功

A.3B.9C.-3D.3或一3

【例6】計(jì)算*萬(wàn)的結(jié)果是2.

【例7】若夜=3,5=2,且助V0,則a—6=-1.

高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)?

1.理解、6(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和(、6)2=a(a2o),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2.理解QC=a(a20)和技=-a(aWO),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

3.用&=(、「)2(820)解決具體問題.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

▲重點(diǎn)

(力)2=a(a20)及校=|H的運(yùn)用.

▲難點(diǎn)

y[2=|&]的運(yùn)用.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

?活動(dòng)1新課導(dǎo)入

1.回顧二次根式的概念.

2.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),F列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(iRl—x；(2)y/2x—3；⑶.+/(4)-^1—/.

3.填空：(啊=9,布=3.

?活動(dòng)2探究新知

1.教材P3探究.

提出問題：

(D你能完成探究中的計(jì)算嗎？

(2)通過計(jì)算，你能猜出(//(a)。)的結(jié)果嗎？說說你的理由.

學(xué)生完成并交流展示.

2.教材￡探究.

提出問題：

(1)請(qǐng)完成探究中的填空；

(2)通過計(jì)算，你能猜出校(420)的結(jié)果嗎？說說你的理由；

⑶當(dāng)水0時(shí)，G的結(jié)果是多少？你是怎樣想的？

(4)二次根式有哪些性質(zhì)？你能歸納出來(lái)嗎？

(5)什么樣的式子叫做代數(shù)式？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動(dòng)3知識(shí)歸納

1.(.\[a)2=a

a(a20),

2.y[7=\a\=

-a(水0).

3.用基本的運(yùn)算符號(hào)(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)

的字母連接起來(lái)的式子,叫做代數(shù)式.

?活動(dòng)4例題與練習(xí)

例1教材P3例2.

例2教材P」例3.

例3計(jì)算與化簡(jiǎn)：

(1)2(^6)2；(2)(2季尸；(3)”才+2)2；(4)弧；(5)-^/(-2)2；(6)^4X10\

解：(1)原式=12；

(2)原式=24；

(3)原式=才+2：

(4)原式=9；

(5)原式=-2；

(6)原式=().2.

例4已知實(shí)數(shù)ab在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：后"+24口干一上一引.

?(?i",?ibi???

-5-4-3-2-1012345

解：從數(shù)軸上a,力的位置關(guān)系可知一2〈水一1,1<從2,且力&故a+l〈O,b—1>0?a

一從0.

.,?原式=Ia+11+2|b—11—\a~b\=—(a+1)+2(b—1)+(a—D)=Z?—3.

練習(xí)

1.教材P,練習(xí)第1,2題.

2.下列各式中,正確的是(B)

A.y](—4)2=—4B.--^7=—4

C.](±4)2=±4D.0=±4

3.下列式子：①君+6=c；②5乖；③a>0；④其中屬于代數(shù)式的是(B)

A.①@B.@@C.?@?D.①②③④

4.計(jì)算：

,、(的21(5丫

5

解：原式=]+§=2；

2

⑵一x(―

9711

解：原式=—/爐￡=一飛

5.已知一個(gè)圓柱體的體積為匕高為h,求它的底面半徑N用含有『和h的代數(shù)式表示);

求當(dāng)勺80n,h=5時(shí)，底面半徑r的值.

把K=80n,h=5代入上式，得r=4.

?活動(dòng)5完成附贈(zèng)手冊(cè)

?活動(dòng)6課堂小結(jié)

1.理解二次根式的性質(zhì)，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算.

2.利用代數(shù)式的概念判斷哪些式子是代數(shù)式.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

作業(yè)布置

⑴教材Ps習(xí)題16.1第2,4,8,9題;

(2)學(xué)生用書對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí).

2.教學(xué)反思

16.2二次根式的乘除

第1課時(shí)二次根式的乘法

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?置疑導(dǎo)入問題情境：你能解決下面的問題嗎？

如圖，設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S,相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a,b,已知a=2b=木,求S

【教學(xué)與建議】教學(xué)：利用實(shí)際問題導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.建議：學(xué)生相

互討論使學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái).

?歸納導(dǎo)入請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.

1.填空：

(1)A/4XA/25=JO,A/4X25=JO：

(2)V9XA/16=12,.9X16=12:

(3)VT00XA/49=70,A/100X49=70.

參考上面的結(jié)果，用“>”或“="填空：

74XA/25=A/4X25；木X屏=19X16：

V100XA/49=A/100X49.

2.提出問題：你能說出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【歸納】?jī)蓚€(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變,用字母表示：

y[a?y[b=\[ab(0,620).

【教學(xué)與建正教學(xué)：引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算、觀察的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.建議：教師的點(diǎn)撥

引導(dǎo)，學(xué)生積極開展小組合作學(xué)習(xí)二交流探索新知.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例，

◎命題角度1二次根式的乘法

二次根式相乘，先把根號(hào)前面的系數(shù)相乘，再將被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.

【例1】計(jì)算/X4的結(jié)果是(〃)

A.773B.3sC.mD.匹

【例2】下列二次根式中，與血的積為無(wú)理數(shù)的是(0

A.B.y[12C.V18D.^32

◎命題角度2逆用二次根式乘法法則進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)

利用/晶=5?5Q20,。20)及，孑=&(a20)進(jìn)行化簡(jiǎn).

【例3】下列各式化簡(jiǎn)后的結(jié)果是3肥的是(4)

A.乖B.限C.標(biāo)D.相

【例4】化簡(jiǎn)A/(-2)2X8X3的結(jié)果是(X

A.2弧B.-2mC.-4^6D.4^6

◎命題角度3二次根式的大小比較

比較兩個(gè)二次根式大小的方法：(1)被開方數(shù)比較法，即先將根號(hào)外的非負(fù)因數(shù)移到根號(hào)

內(nèi)，被開方數(shù)大的二次根式大；(2)平方法，即把兩個(gè)二次根式分別平方，再比較大??；(3)

計(jì)算器求近似值法.

【例5】比較下列各組二次根式的大?。?/p>

(1)3m和4^3；⑵一也和一8巾.

解：(1)3m=參，叭回=我.

??,*〈如，：.3y[5<4y[3；

⑵一以=一的5-8^7=~^/448.

V-7243>-^/448,???一州3〉-8巾.

高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo):

1.理解/?銅=迎(々20,620),并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算.

2.利用逆向思維，得也強(qiáng)=立?市(a20,620),并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn).

二、教學(xué)重難點(diǎn))

▲重點(diǎn)

-y[b=y[ab(a^0tb20)；y[ab=y[a?y[b(a^0t。20),及它們的運(yùn)用.

▲難點(diǎn)_

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出｛/幣=y/7i(a20,520).

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

?活動(dòng)1新課導(dǎo)入

1.回顧二次根式的性質(zhì)和算術(shù)平方根的概念.

2.下列運(yùn)算正確的是(A)

A."5)2=2B.(fy=一2

C.(-V-2)2=2D.7(-2)2=2

3.計(jì)算：⑴5)<m=K，.4X25=1Q:

(2)*X4=12,J16K9=12.

思考：—義南與/4X36的結(jié)果相同嗎?你發(fā)現(xiàn)了什么？

?活動(dòng)2探究新知

教材R探究.

提出問題：

(1)你能完成探究中的計(jì)算嗎？

(2)通過計(jì)算，你能得出二次根式的乘法法則嗎？

(3)二次根式的乘法法則反過來(lái)還成立嗎？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動(dòng)3知識(shí)歸納

1.二次根式的乘法法則：,\[b=\[ab心0).

2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：4益=—也二41-(。2°，62°).

注意：根據(jù)二次根式的乘法法則，類似可得F?、仁?、??、俳巡荻(侖0,62

0,。20,心0).

?活動(dòng)4例題與練習(xí)

教材

快

d1p例

u61.

教材

例

傷d2p

u72.

例

仞

教

d3材P

*u7

仞

計(jì)3.

ud4算:

⑴季乂(一29)

5X10x|

解：原式=—2

=T琲;

(2)5-\/45X

解：原式=地范

=a\/2b.

例5比較34與4甫的大小.____

解：方法一：3^/5=?x/32X5=^45,4V5=/2x3=曬

??,木〈礪，/.3^5<4^3；

方法二：V(3A/5)2=45,(44/=48,45<48,

，3乖<4小.

練習(xí)

1.教材P7練習(xí)第1,2,3題.

2.計(jì)算：小又\1^=2.

3.計(jì)算：2mX(-3季)=一36.

4.計(jì)算：

⑴屏X^20X^12；__________

解：原式=、25><3X4X5X3><4

=6??；

(2)^/(-14)X(-112).

解：原式=-14X112

=-72x7x7

=28^2.

5.一個(gè)底面為30anX30的的長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個(gè)底面

為正方形、高為10金的長(zhǎng)方體鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20項(xiàng)，鐵

桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？

解：設(shè)鐵桶的底面邊長(zhǎng)是xon.

由題意，得fX10=30X30X20,/=30X30X2,^=^30X30X2=3072.

答：鐵桶的底面邊長(zhǎng)是30巾cm.

?活動(dòng)5完成附贈(zèng)手冊(cè)

?活動(dòng)6課堂小結(jié)

1.理解二次根式的乘法法則加積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的應(yīng)用.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

1.作業(yè)布置

(1)教材匕OF習(xí)題16.2第.，5,6題；

(2)學(xué)生用書對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí).

2.教學(xué)反思

第2課時(shí)二次根式的除法

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?歸納導(dǎo)入1.計(jì)算：

(1)V5XA/7=A/35；⑵*義/=_應(yīng)_；

(3)^9X727=?^3：(4)5/義4m=gQ/.

2.填空：

3.問題：你能說出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

【歸納】?jī)蓚€(gè)二次根式相除，根指數(shù)—不變被開方數(shù)一相除「?用字母表示

7今(a20,Z?>0).

【教學(xué)與建議】教學(xué)：利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生的練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根

式的除法法則.建議：教學(xué)中教師要注意引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、探索、理解.

?類比導(dǎo)入師：我們是怎樣得到二次根式的乘法法則的？

生：從特殊的幾個(gè)算式中歸納出來(lái)的.

師：接下來(lái)，我們用類似的方法來(lái)研究二次根式的除法.

問題1計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？

2

—3—

問題2用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空，并用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算:

⑴

【教學(xué)與建議】教學(xué)：類比前面二次根式乘法的研究方法來(lái)研究二次根式的除法，感受

二次根式除法運(yùn)算法則.建議：教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生交流討論學(xué)習(xí)二次根式乘法的經(jīng)驗(yàn)，類比學(xué)

習(xí)二次根式除法法則.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例

◎命題角度1a20,6>0）的計(jì)算

兩個(gè)二次根式相除，用根號(hào)前面的系數(shù)與系數(shù)相除，根號(hào)內(nèi)被開方數(shù)相除.要注意將結(jié)

果化為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式.

【例1】計(jì)7；的結(jié)果是(0

23

A.1B.-C.-D.以上答案都不對(duì)

【例2】下列運(yùn)算正確的是⑵

A.^504-^5=10B.y[lC^2y[5=2y[2

C.，:+42=3+4=7D.亞?羽=3

◎命題角度2分母有理化

分母有理化常有兩種方法：一是分子、分母都乘適當(dāng)?shù)亩胃?；二是根?jù)題目的特點(diǎn),

把分母或分子適當(dāng)?shù)胤纸庖蚴剑偌s分.

【例3】把下列式子中的分母的根號(hào)化去：

⑴I；a—4

⑶熊+2.

33X/3^2

解：⑴

木一小義木一2，

⑵9=4/=44義m=12；

a—4（//一之。（爪+2）（4一2）廣

⑶升=正+2=?+2=+-2.

◎命題角度3最簡(jiǎn)二次根式

符合以下兩個(gè)條件的根式是最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含

能開得盡方的因數(shù)或因式.

【例4】下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（⑷

A.y[15B..0.7C.y[a2D.A/-

【例5】把下列各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式.

（1）^54=3-\/§；（2）第續(xù)

◎命題角度4二次根式的乘除法楠A運(yùn)算

二次根式混合運(yùn)算的技巧與注意點(diǎn)：（1）可先對(duì)每一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，再計(jì)算；（2）根號(hào)

外的系數(shù)與根號(hào)內(nèi)的被開方數(shù)要分步計(jì)算；（3）二次根式乘除法混合運(yùn)算仍是按從左到右的順

序進(jìn)行,如果有括號(hào).就先算括號(hào)里的.

白的結(jié)果正確的是（冷

【例6】計(jì)算

乎

4B*C.卓D.羋

【例7】計(jì)算：

⑴而+匹X（一標(biāo)）=-2\[2；

高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

i.心0,力0）,并能利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2.利用具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法法則，并用逆向思維寫出逆向等式,

能利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

二、教學(xué)重難點(diǎn)

▲重點(diǎn)

二次根式除法公式的理解、運(yùn)用和逆運(yùn)用.

▲難點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索二次根式的除法法則.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

?活動(dòng)1新課導(dǎo)入

1.回顧二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.計(jì)算：

（1）V8X^|：（2）VWX^8；（3）^6X8X24.

3.計(jì)算下列各題，觀察有什么規(guī)律？

3

4

?活動(dòng)2探究新知

1.教材P8探究.

提出問題：

(1)你能完成探究中的計(jì)算嗎？

(2)通過計(jì)算，你能得出二次根式的除法法則嗎？

(3)二次根式的除法法則反過來(lái)成立嗎？

學(xué)生完成并交流展示.

2.教材Pg例6.

提出問題：

(D觀察例6中的計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？

(2)由此你能得出什么樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式?

(3)如何把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動(dòng)3知識(shí)歸納

1.二次根式的除法法則：；￡=

(a20,b>Q),即兩個(gè)二次根式相除，把被開方

數(shù)相除，根指數(shù)不變.

_*_(a20,力0),即商的算術(shù)平方根等于被

2.二次根式的除法法則的逆用:

除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

3.最簡(jiǎn)二次根式必須滿足下列兩個(gè)條件：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

?活動(dòng)4例題與練習(xí)

例1教材PH例4.

例2教材R例5.

例3把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：

(1)^/T5；

解：原式=

=叵

=嶇

例4教材P9例7.

例5長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3，元，面積為30季，要在這個(gè)長(zhǎng)方形中分割出一個(gè)面積最大的正

方形，求該正方形的面積.

解：730^64-3710=2^15,而3迎》2匹，

???正方形的邊長(zhǎng)是2代，

:,正方形的面積是(2標(biāo))2=60.

練習(xí)

1.教材%練習(xí)第I,2,3題.

2.若1白，則a的取值范圍是(C)

A.水2B.aW2C.0Wa<2D.a20

3.若，產(chǎn)和"x/k都是最簡(jiǎn)二次根式，則m=—2,n=一4

解：Va+/>=—3,ab=2,

???水0,80,

?14一(a+/?)F^—3^23^2

-a+i=ab=~2=2'

?活動(dòng)5完成附贈(zèng)手冊(cè)

?活動(dòng)6課堂小結(jié)

1.理解二次根式的除法法則前商的算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的應(yīng)用.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

1.作業(yè)布置

⑴教材Pgi習(xí)題16.2第2,3,4,7,8題；

(2)學(xué)生用書對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí).

2.教學(xué)反思

16.3二次根式的加減

第1課時(shí)二次根式的加減

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

上7.5dm-

5djfr^^g

?情景導(dǎo)入現(xiàn)有一?塊長(zhǎng)為7.5疝、意為一丁曲的木板，能否采用如圖所示的方式，在

這塊木板上截出兩個(gè)面積分別是8加2和18加之的正方形木板？

根據(jù)題意，得m+4瓦.怎樣計(jì)算這個(gè)算式呢？今天我們用二次根式的加減來(lái)解決這個(gè)

問題.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過實(shí)際情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望.建議：教學(xué)中

采用分組討論、自主探究的方式來(lái)解決問題，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

?復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.合并同類項(xiàng)：

(l)3a+4a；(2)4，-3才+2才.

解：(1)原式=7卻(2)原式=3」.

這幾道題你是運(yùn)用什么知識(shí)做的？加減法則.

2.化簡(jiǎn)：

(D-^yi；⑵倔(3)772^.

解：(1)原式=華；(2)原式=4乖；(3)原式=6叫每.

O

3.二次根式的乘除法，是通過幾個(gè)被開方數(shù)相乘或者相除，然后化簡(jiǎn)得出結(jié)果.那么，

二次根式的加減法能通過幾個(gè)被開方數(shù)相加或相減得出結(jié)果嗎？

提問：小一部=小正確嗎?

在我們學(xué)習(xí)了本節(jié)課之后你就會(huì)明白上面的計(jì)算是否正確.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：復(fù)習(xí)合并同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)二次根式為二次根式加減打下基礎(chǔ).建議：

將課堂留給學(xué)生，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)問題，自主解決問題.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例!

◎命題角度1二次根式可以合并的條件

只有被開方數(shù)相同的二次根式才能合并；結(jié)合最簡(jiǎn)二次根式的概念列出方程組，即可求

出未知字母的值.

【例1】下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后能合并的是(。

A.4正與非B.梅與4C.、口與*D.4屆與如

【例2】若最簡(jiǎn)二次根式向質(zhì)與匹二5能合并，則x的值是(向

A.3B.2C.-2D.

乙

◎命題角度2二次根式的加減運(yùn)算

二次根式加減運(yùn)算的步驟：(D化簡(jiǎn)：將二次根式化成最簡(jiǎn)二次板式；(2)判別：找出被

開方數(shù)相同的二次根式；(3)合并：將被開方數(shù)相同的二次根式合并.

【例3】下列計(jì)算正確的是(用

A.炳一小二2小B,而+小=#

C.4/-3/=1D.3+2鏡=5啦

【例4】計(jì)算3/一胸的結(jié)果是—也_.

◎命題角度3二次根式加減運(yùn)算的應(yīng)用

根據(jù)題意列出二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算解決問題.

【例5】三角形的三邊長(zhǎng)分別為q麗cm,^40的,，布ai,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為

+2,\y10)cm.

【例6］已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2#和5小，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為，出士

10\/5.

高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.能夠熟練地將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，并進(jìn)行合并.

2.會(huì)進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

▲重點(diǎn)

二次根式的加減運(yùn)算.

▲難點(diǎn)

將二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，并會(huì)進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)!

?活動(dòng)1新課導(dǎo)入

1.把下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式.

(1)乖；(2)-\/18；(3)^y|；(4)-727：(5)-^|；(6)*^^.

2.計(jì)算：

(l)2x+3x=5^；(2)2/—3x2+5「=4?:

(3)x+2x+3y=3x+3y；(4)3/一2一+才=才+J.

3.類比計(jì)算：

⑴/+2/=3^/2；⑵3乖一2m+4m=5x/8=10x/2.

今天我們一起學(xué)習(xí)二次根式的加減.

?活動(dòng)2探究新知

教材人內(nèi)容.

提出問題：

(1)能否截得兩個(gè)正方形，需要我們算出什么？或者是比較哪兩個(gè)量之間的大??？

(2)面積是8而2和18加2的正方形的邊長(zhǎng)分別是多少？

(3)在橫線上填上每一步計(jì)算的依據(jù)；

小十限

=2隹+3也化成最簡(jiǎn)二次根式

=(2+3)/分配

=5yf2.

(4)由此你能得出二次根式的加減運(yùn)算法則嗎？

(5)在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立嗎？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動(dòng)3知識(shí)歸納

二次根式加減時(shí)，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次

根式進(jìn)行合并.

強(qiáng)調(diào)：

1.二次根式的加減與整式的加減之間的聯(lián)系與區(qū)別：二次根式的加減是被開方數(shù)相同的

最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并，不能合并的保留到結(jié)果；整式的加減是合并同類項(xiàng)，不能合并的保

留到結(jié)果.

2.、「與小不能合并，因?yàn)楸婚_方數(shù)不同.

?活動(dòng)4例題與練習(xí)

例1教材％例L

例2教材％例2.

例3計(jì)算：(1)41+2，55—41^|一雪；

解:原式邛+地一攣邛=喑;

(2)y/18—(A/3—2)°+y/(l—y/2)2.

解：原式=3m一攣一1一名+1+鏡-1=平一1.

例4已知『2+小，求弓一遍酉亙的值.

▼m-1m-m

解：原式=(2H~D(7_D_I：1?.?m_i=2+m—1=1+L〉0,，原式=m+l+L

1

將m=2+，5代入，得原式=2+15+1—2+9一氏

練習(xí)

1.教材%練習(xí)第1,2,3題.

2.小明同學(xué)在作業(yè)本上做了以下4道題：①小一小=?。孩?小一小=3；③2+3小

=5^/1；④\廝一.其中做對(duì)的題目的個(gè)數(shù)是(A)

A.0B.1C.2D.3

3.下列二次根式中，化簡(jiǎn)后不能與第合并的是(填序號(hào))

解：原式=3正+2鎘-2鎘-3#+4

=*;

⑵駕-2標(biāo)-4匹+率

解：原式=4—羋一2隹+里?

□0

=木;

?活動(dòng)5完成附贈(zèng)手冊(cè)

?活動(dòng)6課堂小結(jié)

1.二次根式的合并.

2.二次根式的加減運(yùn)算.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

1.作業(yè)布置

⑴教材入習(xí)題16.3第2,3,5題；

(2)學(xué)生用書對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí).

2.教學(xué)反思

第2課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例!

?情景導(dǎo)入母親節(jié)快到了，小勛做了兩張大小不同的正方形壁畫準(zhǔn)備送給媽媽.其中

一張面積為600an2,另一張面積為4200國(guó)亡他想如果再用金彩帶鑲上邊會(huì)更漂亮.他現(xiàn)

在有一條長(zhǎng)L2m的金彩帶，請(qǐng)你幫忙算一算，他的金彩帶夠用嗎？若不夠用，還需要購(gòu)買

多長(zhǎng)的金彩帶？

引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算所需金彩帶的總長(zhǎng)，列式為4啊+4g而，思考計(jì)算方法.

如何計(jì)算呢？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們就會(huì)很容易解決這一問題.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題的問題情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.建議：

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立寫出算式，然后討論算式的計(jì)算方法.

?類比導(dǎo)入

計(jì)算：

(1)(x+0?xy=xy+xy；

(2)(2xy+3xy)+xy=2x+3y；

(3)(x+力(x-y)=x-y；

(4)(*+y)2=四+2燈+1:

（5）（2x+3y）（2>—3y）—4^—97.

思考：如果上述各式中的x,『分別代表著一個(gè)二次根式，我們會(huì)有哪些新的收獲呢？今

天我們來(lái)學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算.（同時(shí)展示本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)）

【教學(xué)與建議】教學(xué)：用類比的方法探索二次根式混合運(yùn)算的特點(diǎn)，使學(xué)生弄清楚新舊

知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系.建議：引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，學(xué)

過的整式的乘法法則和乘法公式仍然適用.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例!

◎命題角度1二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算：一般先將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把括號(hào)內(nèi)合并后進(jìn)

行二次根式的乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算.

［例1］計(jì)算（標(biāo)一4）的結(jié)果是⑵

A.-1B.-^3C,小D.1

【例2】下列計(jì)算正確的是㈤

A.3VB.="［

C.訴-眄+小=2#D.零一3邸=/

◎命題角度2乘法公式在二次根式混合運(yùn)算中的應(yīng)用

整式的運(yùn)算律、乘法法則與乘法公式在二次根式的運(yùn)算中同樣適用.

【例3】計(jì)算：（3—枷產(chǎn)儂（3+訴）2儂的結(jié)果為（功

A.0B.1C.一3-mD.3+V10

【例4】計(jì)算（鎘+1）（水一1）的結(jié)果等于二

◎命題角度3與二次根式有關(guān)的化簡(jiǎn)求值

與二次根式有關(guān)的化簡(jiǎn)求值叵題的常用解題技巧：（1）運(yùn)用乘法公式；（2）運(yùn)用因式分解；

（3）運(yùn)用整體思想；（4）求含字母的代數(shù)式的值時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)，后代入.

【例5】已知a=2+，5,則-+1=4.

【例6】先化簡(jiǎn)，再求值：2（a+J5）（a—4）—a（a—6）+6,其中—1.

解：原式=2（3—3）—，+6a+6

=2才一6——+6a+6

=a+6a.

當(dāng)&=十一1時(shí)，原式=（鋪-1）2+6（鏡一1）

=2-2啦+1+6蛆-6

=4*^2—3.

高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo):

1.掌握二次根式的加減乘除混合運(yùn)算法則.

2.正確地運(yùn)用二次根式加減乘除運(yùn)算法則及運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，并把結(jié)果化簡(jiǎn).

二、教學(xué)重難點(diǎn)!

▲重點(diǎn)

熟練翼握二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算法則.

▲難點(diǎn)

由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

?活動(dòng)1新課導(dǎo)入

1.回顧二次根式的加減、乘除運(yùn)算法則、整式混合運(yùn)算的法則和相關(guān)公式.

2.計(jì)算：⑴乖十版一四;⑵鄧X#；（3）揚(yáng)+小.

3.計(jì)算：（1）（3/+2X+2）-4X=12f+8/+8x；

(2)(2ly+3/)2x+3〉.

4.簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)(2才+3。(2>-30=”―9爐；

(2)(2X+1)2+(2X-1)2=8?+2_.

?活動(dòng)2探究新知

1.你能類比單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘除法法則計(jì)算下列各式嗎？

⑴4X(2木一木);(2)(標(biāo)一標(biāo))4■十.

2.你能根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算下列式子嗎？

⑴(小一2乖)(2小一爪)；⑵(2■+2小)(小一m).

3.你能說出整式的乘法公式嗎？你能根據(jù)乘法公式計(jì)算下列式子嗎？

(1)(小一2小)(木+2木)；⑵(小-2收

4.有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是什么？類似地，你能歸納出二次根式的混合運(yùn)算法則嗎？

學(xué)生完成并交流展示.

?活動(dòng)3知識(shí)歸納

1.二次根式的混合運(yùn)算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)

的，先算括號(hào)內(nèi)的.

2.常見的乘法公式或法則：

(l)m(a+Z?+c)=ma+mb+mc:

⑵(x+a)(x+b)=f+(a+b)x+ab；

(3)(a+Z?)[a—Lf)=a2Z?2；

(4)(a±b)2='±2a6+Z/.

?活動(dòng)4例.與練習(xí)

例1教材Pi.例3.

例2教材幾例4.

例3計(jì)算：

解：原式=2*\^3+2；

(2)^2—(m+2).小.

解：原式=/一