備戰(zhàn)中考2024年深圳市數學模擬題分類《函數綜合題》含答案解析

練習PAGE1練習專題16解答壓軸題型：函數綜合題一、解答題1．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考二模）（一）、問題背景：數學活動課上，老師拿出一個由五連格邊長為1的正方形連成的L形教具，將它放入一個的直角三角形中，，，如圖1頂點D，E，F，G剛好落在三邊上，請求出此直角三角形的面積．（二）、問題提出與解決：（以下問題二選一解答）（1）小穎同學受到啟發(fā)，將此教具放入如圖的直角坐標系中，頂點A，B，C分別落在坐標軸上，提出問題：如圖2，如果反比例函數圖像經過頂點D，試求出反比例解析式．（2）小明同學也受到啟發(fā)，畫了一個圓，如圖3，將此教具放入圓內，使圓經過其頂點A，B，C，提出問題：怎么算出圓的面積?2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．請回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個正方形裝置的間距的長；

(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為，求的長．

3．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）二次函數先向上平移6個單位，再向右平移3個單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標系上．(1)的值為

；(2)在坐標系中畫出平移后的圖象并求出與的交點坐標；(3)點在新的函數圖象上，且兩點均在對稱軸的同一側，若則

（填“”或“”或“”）4．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？同學們有以下思路：設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數與一次函數證明：，：，那么，①是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？_______．②請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達；③請直接寫出當結論成立時k的取值范圍：．5．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）小明同學在探究函數的圖象和性質時經歷以下幾個學習過程：（I）列表（完成以下表格）．x…－2－10123456……15800315……15800315…（II）描點并畫出函數圖象草圖（在備用圖①中描點并畫圖）．（Ⅲ）根據圖象解決以下問題：（1）觀察圖象：函數的圖象可由函數的圖象如何變化得到？答：．（2）探究發(fā)現直線與函數的圖象交于點E，F，，，則不等式的解集是______．（3）設函數的圖象與x軸交于A，B兩點（B位于A的右側），與y軸交于點C．①求直線的解析式；②探究應用：將直線沿y軸平移m個單位長度后與函數的圖象恰好有3個交點，求此時m的值．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式，利用函數圖象研究其性質，運用函數解決問題”的學習過程．在畫函數圖象時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數圖象．學習了一次函數之后，現在來解決下面的問題：在中，下表是y與x的幾組對應值．…0123……73113…(1)______，______；(2)平面直角坐標系中，畫出函數的圖象；(3)根據圖象，判斷下列關于該函數性質的說法是否正確，正確的打√，錯誤的打×．①該函數圖象是軸對稱圖形，對稱軸為直線．（

）②當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小．（

）③該函數在自變量的取值范圍內有最小值，當時有最小值．（

）(4)若方程組有且只有一個公共解，則t的取值范圍是______．7．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校聯(lián)考模擬預測）【定義】定義1：在平面直角坐標系中，過一點作某一直線的垂線，這個點與垂足之間的線段長，稱為這個點到這條直線的垂直距離．定義2：在平面直角坐標系中，過一點作軸的平行線，與某一直線交于一點，兩點之間連線的長度稱為這個點到直線的豎直距離．例如，如圖1，過點作交于點，線段的長度稱為點到的垂直距離，過作平行于軸交于點，的長就是點到的豎直距離．

【探索】當與軸平行時，，當與軸不平行，且直線確定的時候，點到直線的垂直距離與點到直線的豎直距離存在一定的數量關系，當直線為時，______．【應用】如圖2所示，公園有一斜坡草坪，其傾斜角為30°，該斜坡上有一棵小樹（垂直于水平面），樹高，現給該草坪灑水，已知小樹的底端點與噴水口點的距離，建立如圖3所示的平面直角坐標系，在噴水過程中，水運行的路線是拋物線，且恰好經過小樹的頂端點，最遠處落在草坪的處，

（1）______．（2）如圖3，現決定在山上種另一棵樹（垂直于水平面），樹的最高點不能超過噴水路線，為了加固樹，沿斜坡垂直的方向加一根支架，則的最大值是多少？

【拓展】（3）如圖4，原有斜坡不變，通過改造噴水槍，使得噴出的水的路徑近似可以看成圓弧，此時，圓弧與軸相切，若此時，如圖，種植一棵樹（垂直于水平面），為了保證灌溉，最高應為多少？

8．（2023·廣東深圳·二模）探究函數的圖像與性質．小明根據學習函數的經驗，對函數的圖像與性質進行了探究．下面是小明的研究過程，請補充完整：(1)函數的自變量x的取值范圍是______；(2)下表是y與x的幾組對應值：x…123…y…m…求m的值；(3)如圖，在平面直角坐標系中，描出了以上表中各組對應值為坐標的點．根據描出的點，畫出該函數的圖像；(4)進一步探究發(fā)現，該函數圖像在第一象限內的最低點的坐標是，結合函數的圖像，寫出該函數兩條不同類型的性質：______．9．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）已知一次函數（）和反比例函數的圖象如圖所示．(1)一次函數必定經過點________．（寫點的坐標）(2)當時，一次函數與反比例函數圖象交于點A，B，與x，y軸分別交于點C，D，連接并延長，交反比例另一支于點E，求出此時A，B兩點的坐標及的面積．(3)直線繞點C旋轉，直接寫出當直線與反比例圖象無交點時m的取值范圍．10．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）【定義】在平面內，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當的長最小時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，，線段的長度稱為點A與直線之間的距離，當時，線段的長度也是與之間的距離．【應用】（1）如圖2，在等腰中，，，點D為邊上一點，過點D作交于點E．若，，則與之間的距離是；（2）如圖3，已知直線與雙曲線交于與B兩點，點A與點B之間的距離是，點O與雙曲線之間的距離是；【拓展】（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過時，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障（如圖4）．有一條“東南?西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于．現以高速路上某一合適位置為坐標原點，建立如圖5所示的直角坐標系，此時高速路所在直線的函數表達式為，小區(qū)外延所在雙曲線的函數表達式為，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是多少？11．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考二模）目標檢測是一種計算機視覺技術，旨在檢測汽車、建筑物和人類等目標．這些目標通常可以通過圖像或視頻來識別．在常規(guī)的目標檢測任務中，如圖1，一般使用邊同軸平行的矩形框進行標示．在平面直角坐標系中，針對目標圖形，可以用其投影矩形來檢測．圖形的投影矩形定義如下：矩形的兩組對邊分別平行于軸，軸，圖形的頂點在矩形的邊上或內部，且矩形的面積最?。O矩形的較長的邊與較短的邊的比為，我們稱常數為圖形的投影比．如圖2，矩形為的投影矩形，其投影比．(1)如圖3，點，，則投影比的值為______；(2)如圖4，若點，點且投影比，則點的坐標可能是______（填寫序號）；；；；．(3)如圖5，已知點，在函數（其中）的圖象上有一點，若的投影比，求點的坐標．12．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考二模）（一）、概念理解：在直角坐標系中，如果兩個函數的圖象關于某條平行于軸（包括軸）的直線軸對稱，我們就稱它們?yōu)椤肮哺瘮怠?，兩函數的交點稱之為“共根點”，對稱軸稱為“共根軸”．例如：正比例函數和是一對共根函數，y軸是它們的共根軸，原點O是共根點．（二）、問題解決：（1）在圖一網格坐標系里作出與一次函數共根點為的共根函數圖象，并寫出此函數的解析式__________．（2）將二次函數水平向右平移一個單位也可以得到它的共根函數，在圖二中通過列表、描點、連線先作出圖象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函數圖象，表格中_________，_________．這對共根函數的共根點坐標是_________．…01234……8038…（三）、拓展提升（3）在（2）條件下，函數與軸的兩個交點分別為，，一條平行于軸的直線與這一對共根函數圖象相交，是否存在有兩個交點與點，一起構成一個平行四邊形，如果存在直接寫出的值，如果不存在，請說明理由．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線經過點，點，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．14．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學校校聯(lián)考二模）請閱讀下列解題過程；解一元二次不等式；．解；設，解得；，．則拋物線與軸的交點坐標為和．畫出二次函數的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知；當時函數圖象位于軸下方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為；．通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題；(1)用類似的方法解一元二次不等式；．(2)某“數學興趣小組”根據以上的經驗，對函數的圖象和性質進行了探究，探究過程如下；①列表；與的幾組對應值如表，其中______．…01234……50010…②如圖，在直角坐標系中畫出了函數的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整．③結合函數圖象，解決下列問題；不等式的解集為；______．15．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校聯(lián)考二模）某班“數學興趣小組”對函數的圖象和性質進行了探究，探究過程如下．（1）自變量的取值范圍是全體實數，與的幾組對應值如下：…-3-2-10123……3-10-103…其中，______．（2）根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請你畫出該函數圖象的另一部分．（3）進一步探究函數圖象發(fā)現：①方程有______個實數根；②關于的方程有4個實數根時，的取值范圍是______．16．（2023·廣東深圳·深圳大學附屬中學?？家荒＃┪覀兌x【，，】為函數的“特征數”如：函數的“特征數”是【，，】，函數的“特征數”是【，，】，函數的“特征數”是【，，】．(1)若一個函數的特征數是【，，】，將此函數的圖象先向左平移個單位，再向上平移個單位，得到一個圖象對應的函數“特征數”是______．(2)將“特征數”是【，，】的函數圖象向上平移個單位，得到一個新函數，這個新函數的解析式是______．(3)當“特征數”是【，，】的函數在直線和直線之間的部分包括邊界點的最高點的縱坐標為時，求的值．(4)點關于軸的對稱點為點，點關于軸的對稱點為點當若（3）中的拋物線與四邊形的邊有兩個交點，且兩個交點到拋物線的對稱軸的距離之和為時，直接寫出的值為常數17．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．(1)求該拋物線的表達式；(2)點E是線段的中點，連接并延長與拋物線交于點D，求點D的坐標．18．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，若兩點的橫坐標不相等，縱坐標互為相反數，則稱這兩點關于x軸斜對稱，其中一點叫做另一點關于x軸的斜對稱點．如：點，關于x軸斜對稱，在平面直角坐標系中，點A的坐標為．(1)下列各點中，與點A關于x軸斜對稱的點是________（只填序號）；①，②，③，④．(2)若點A關于x軸的斜對稱點B恰好落在直線上，的面積為3，求k的值；(3)拋物線上恰有兩個點M、N與點A關于x軸斜對稱，拋物線的頂點為D，且為等腰直角三角形，則b的值為________．19．（2023·廣東深圳·校考二模）在平面直角坐標系中，對于點和點，給出如下定義：若，則稱點Q為點P的限變點，例如：點的限變點的坐標是，點的限變點的坐標是．(1)①點的限變點的坐標是________；②以下三個選項中的點是反比例函數圖象上某一個點的限變點的是（

）A．

B．

C．(2)若點P在一次函數的圖象上，請在下圖平面直角坐標系中，畫出點P的限變點Q的函數圖象，并根據圖象點Q的縱坐標的取值范圍為________．

(3)我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”．若點P在關于x的二次函數的圖象上，其限變點Q的縱坐標的取值范圍是或，其中，令，求s關于t的函數解析式．20．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖象研究其性質——運用函數解決問題”的學習過程．在畫函數圖象時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數圖象．同時，我們也學習了絕對值的意義．結合上面經歷的學習過程，現在來解決下面的問題：在函數中，當時，；當時，．(1)求這個函數的表達式；(2)在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數的圖象，并寫出這個函數的一條性質；(3)已知函數的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，直接寫出不等式的解集．(4)若方程有四個不相等的實數根，則實數的取值范圍是______．21．（2023·廣東深圳·二模）已知二次函數經過點，，與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D．(1)求此二次函數解析式；(2)在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．22．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學校（集團）高新中學?？既＃┠尘坝^公園計劃在圓形水池內修建一個小型噴泉，水柱從池中心且垂直于水面的水槍噴出，水柱噴出后落于水面的形狀是拋物線．設距水槍水平距離為d米時，水柱距離水面的高度為h米，現測量得出如下數據．d（米）0h（米）m0請解決以下問題：(1)請結合表中所給數據，直接寫出水柱最高點距離水面的高度為______米．(2)在網格中建立適當的平面直角坐標系，描出表中已知各對對應值為坐標的點，并用平滑的曲線畫出該函數的圖象．

(3)h關于d的函數關系式為：______（不需寫出自變量的取值范圍），表格中m的值為______．(4)以節(jié)水為原則，為體現公園噴泉景觀的美觀性，在不改變水柱形狀的基礎上，修建工人打算將水槍的高度上升米．若圓形噴水池的半徑為3米，提升水槍高度后，水柱是否會噴到水池外面？請說明理由．（其中）23．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學校考二模）請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式：．解：設，解得：，，則拋物線與軸的交點坐標為和．畫出二次函數的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知：當時函數圖象位于軸下方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為：．

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：(1)上述解題過程中，滲透了下列數學思想中的_________和_________（只填序號）①轉化思想；②分類討論思想；③數形結合思想．(2)用類似的方法解一元二次不等式：．(3)某“數學興趣小組”根據以上的經驗，對函數的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整：①自變量的取值范圍是___________；與的幾組對應值如表，其中___________．…401234……50010…②如圖，在直角坐標系中畫出了函數的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整．③結合函數圖象，解決下列問題：解不等式：

24．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）小欣研究了函數的圖象與性質，其研究過程如下：(1)繪制函數圖象①列表：下表是與的幾組對應值，其中______；…012……32…②描點：根據表中的數值描點；③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整．(2)探究函數性質：下列說法不正確的是（

）A．函數值隨的增大而減小

B．函數圖象不經過第四象限．C．函數圖象與直線沒有交點

D．函數圖象對稱中心(3)如果點、在函數圖像上，如果，則______．25．（2023·廣東深圳·深圳外國語學校校考一模）二次函數的圖象交軸于原點及點．【感知特例】(1)當時，如圖1，拋物線：上的點，，，，分別關于點中心對稱的點為，，，，，如表：…（___，___）………①補全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為．【形成概念】我們發(fā)現形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．【探究問題】(2)①當時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為______；②若二次函數及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，直接寫出的值______；③在同一平面直角坐標系中，當取不同值時，通過畫圖發(fā)現存在一條拋物線與二次函數的所有“孔像拋物線”都有唯一交點，這條拋物線的解析式為____________．26．（2023·廣東深圳·校考三模）如圖①，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖②，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖像，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．若當，時，解答下列問題．(1)求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程．(2)下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標為________．(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出的取值范圍．27．（2023·廣東深圳·二模）小明對函數的圖象和性質進行了探究．已知當自變量的值為1時，函數值為4；當自變量的值為2時，函數值為3；探究過程如下，請補充完整：（1）求這個函數的表達式；（2）在給出的平面直角坐標系中，畫出這個函數的圖象并寫出這個函數的一條性質：；（3）進一步探究函數圖象并解決問題：已知函數的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，寫出不等式的解集：．28．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）如圖，甲、乙分別從，兩點同時出發(fā)，甲朝著正北方向，以每秒3個單位長度的速度運動；乙朝著正西方向，以每秒4個單位長度的速度運動．設運動時間為秒．規(guī)定：秒時，甲到達的位置記為點，乙到達的位置記為點，例如，1秒時，甲到達的位置記為，乙到達的位置記為（如圖所示）；2.5秒時，甲到達的位置記為等等．容易知道，兩條平行且相等的線段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有關運動問題時，為研究方便，我們可把點或線段進行合適的平移后，再去研究（物理上的相對運動觀，就是源于這種數學方法）．現對秒時，甲、乙到達的位置點，，按如下步驟操作：第一步：連接；第二步：把線段進行平移，使點與點重合，平移后，點的對應點用點標記．解答下列問題：(1)【理解與初步應用】當時，①利用網格，在圖中畫出，經過上述第二步操作后的圖形；②此時，甲在乙的什么方位？（請?zhí)羁眨┐穑捍藭r，甲在乙的北偏西（其中___________），兩者相距___________個單位長度．(2)【實驗與數據整理】補全下表：的取值123點的坐標（_______，___________）（___________，___________）（___________，___________）(3)【數據分析與結論運用】①如果把點的橫、縱坐標分別用變量x，y表示，則y與x之間的函數關系式為___________．②點的坐標為___________．(4)【拓展應用】我們知道，在運動過程中的任意時刻，甲相對于乙的方位（即，點相對于點的方位）與相對于點B的方位相同．這為我們解決某些問題，提供了新思路．請解答：運動過程中，甲、乙之間的最近距離為___________個單位長度．29．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【定義】若拋物線與一水平直線交于兩點，我們把這兩點間線段的長稱為拋物線關于這條直線的跨徑，拋物線的頂點到該直線的距離稱為拋物線關于這條直線的矢高，矢高與跨徑的比值稱為拋物線關于這條直線的矢跨比．如圖1，拋物線的頂點為，軸于點，它與軸交于點，，則的長為拋物線關于軸的跨徑，的長為拋物線關于軸的矢高，的值為拋物線關于軸的矢跨比．【特例】如圖2，已知拋物線與軸交于點，（點在點右側）；①拋物線關于軸的矢高是______，跨徑是______，矢跨比是______；②有一拋物線經過點，與拋物線開口方向與大小一樣，且矢高是拋物線關于軸的矢高的，求它關于軸的矢跨比；【推廣】結合拋物線的平移規(guī)律可以發(fā)現，兩條開口方向與大小一樣的拋物線，若第一條拋物線的矢高是第二條拋物線關于同一直線的矢高的（）倍，則第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關于同一直線的跨徑的______倍（用含的代數式表示）；【應用】如圖3是某地一座三拱橋梁建筑示意圖，其中主跨與邊跨的拱軸線為開口方向與大小一樣的拋物線，它們關于水平鋼梁所在直線的跨徑分別為420米與280米，已知主跨的矢跨比為，則邊跨的矢跨比是______．30．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）某網絡經銷商購進了一批以冬奧會為主題的文化衫進行銷售，文化衫的進價為每件40元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示．(1)求出每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；(2)設每月獲得的利潤為W（元）．這種文化衫銷售單價定為多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？31．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）圓周角定理：圓周角的度數等于它所對的弧上的圓心角度數的一半．下面根據圓周角定理進行探究．(1)如圖1，是的弦，點C是上一點，連接，過點O作于點D，連接，，求的大小．(2)在平面直角坐標系中，已知點，．（?。┤鐖D2，點P為直線上的一個動點．請從：①；②；③中任選一個，求出相應的P點坐標；（ⅱ）如圖3，點M為直線上的一個動點，連接．當最大時，求出此時的面積．32．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，是點P對線段的視角．【應用】（1）如圖②，在直角坐標系中，已知點，，，則原點O對三角形的視角為______；（2）如圖③，在直角坐標系中，以原點O，半徑為2畫圓，以原點O，半徑為4畫圓，證明：圓上任意一點P對圓的視角是定值；【拓展應用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④．現在有一條筆直的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為的位置拍攝．現以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標．33．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）【探究函數的圖象與性質】(1)函數的自變量x的取值范圍是；(2)下列四個函數圖象中，函數的圖象大致是；(3)對于函數，求當時，y的取值范圍．請將下列的求解過程補充完整．解：∵，∴______．∵，∴____．【拓展說明】(4)若函數，求y的取值范圍．34．（2023·廣東深圳·二模）深圳地鐵16號線（ShenzhenMetroLine16），又稱“深圳地鐵龍坪線”，是深圳市境內第16條建成運營的地鐵線路，于2022年12月28日開通運營一期工程（大運站至田心站）．數學小組成員了解到16號線地鐵進入某站時在距離停車線400米處開始減速．他們想了解地鐵從減速開始，經過多少秒在停車線處停下？為解決這一問題，數學小組建立函數模型來描述地鐵列車車頭離停車線的距離s（米）與時間t（秒）的函數關系，再應用該函數解決相應問題．(1)【建立模型】①收集數據：t（秒）0481216202428…s（米）4003242561961441006436…②繪制圖象：在平面直角坐標系中描出所收集數據對應的點，并用光滑的曲線依次連接．③猜想模型：觀察這條曲線的形狀，它可能是函數的圖象．（請?zhí)顚戇x項）A．一次

B．二次

C．反比例④求解析式：請根據表格的數據，求出s關于t的解析式（自變量t的取值范圍不作要求）．⑤驗證結論：將數據中的其余幾對值代入所求的解析式，發(fā)現它們滿足該函數解析式．（填“都”或“不都”）(2)【問題解決】地鐵從減速開始，經過秒在停車線處停下．(3)【拓展應用】已知16號地鐵列車在該地鐵站經歷的過程如下：進站：車頭從進站那一刻起到停車線處停下，用時24秒；?？浚毫熊囃？繒r長為40秒（即列車停穩(wěn)到再次啟動停留的時間為40秒）；出站：列車再次啟動到列車車頭剛好出站，用時5秒．數學小組經計算得知，在地鐵列車出站過程中，列車車頭離停車線的距離s（米）與時間t（秒）的函數關系變?yōu)椋埥Y合函數圖象，求出該地鐵站的長度是米．35．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結果提前10天完成，求原計劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高米．建立如圖所示的直角坐標系．①此拋物線的函數表達式為________．（函數表達式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．③已知人行道臺階高均為0.3米，按照國家標準，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬度設計是否達標？說明理由．+36．（2023·廣東深圳·模擬預測）學習了圖形的旋轉之后，小明知道，將點繞著某定點順時針旋轉一定的角度，能得到一個新的點．經過進一步探究，小明發(fā)現，當上述點在某函數圖像上運動時，點也隨之運動，并且點的運動軌跡能形成一個新的圖形．試根據下列各題中所給的定點的坐標和角度的大小來解決相關問題．

【初步感知】如圖1，設，，點是一次函數圖像上的動點，已知該一次函數的圖像經過點．（1）點旋轉后，得到的點的坐標為________；（2）若點的運動軌跡經過點，求原一次函數的表達式．【深入感悟】（3）如圖2，設，，點反比例函數的圖像上的動點，過點作二、四象限角平分線的垂線，垂足為，求的面積．【靈活運用】（4）如圖3，設A，，點是二次函數圖像上的動點，已知點、，試探究的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由．37．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D1，對于平面上小于或等于的，我們給出如下定義：若點P在的內部或邊上，作于點E，于點F，則將稱為點P與的“點角距”，記作．如圖2，在平面直角坐標系中，x、y正半軸所組成的角記為．(1)已知點、點，則，．(2)若點P為內部或邊上的動點，且滿足，在圖2中畫出點P運動所形成的圖形．(3)如圖3與圖4，在平面直角坐標系中，射線的函數關系式為．①在圖3中，點C的坐標為，試求的值；②在圖4中，拋物線經過，與射線交于點D，點Q是A，D兩點之間的拋物線上的動點（點Q可與A，D兩點重合），求c的值和當取最大值時點Q的坐標．38．（2023·廣東深圳·校考一模）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，滑雪大跳臺在設計時融入了敦煌壁畫中“飛天”的元素，故又名“雪飛天”．圖1為“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．運動員從點起跳后到著陸坡著落時的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，取水平線為軸，鉛垂線為軸，建立平面直角坐標示如圖2，從起跳到著落的過程中，運動員的鉛垂高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數關系．在著陸坡上設置點作為標準點，著陸點在點或超過點視為成績達標．水平距離（m）026101418鉛垂高度（m）(1)在某運動員的一次試跳中，測得該運動員的水平距離與鉛垂高度的幾組數據如上表，根據上述數據，直接寫出該運動員鉛垂高度的最大值，并求出滿足的函數關系式(2)請問在此次試跳中，該運動員的成績是否達標？(3)此次試跳中，該運動員在空中從起跳到達最高點的高度或從最高點到下落的高度（m）與時間（s）均滿足（其中為常數，表示重力加速度，?。\動員要完成“飛天”動作至少在空中要停留3秒鐘，問該運動員從起跳到落地能完成動作嗎？39．（2023·廣東深圳·?？既＃揪C合實踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂，如圖，即），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點O在豎直平面內轉動，支點O距左端，距右端，在杠桿左端懸掛重力為的物體A．(1)若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時，重物B所受拉力為______．(2)為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準備調整裝置，當重物B的質量變化時，的長度隨之變化．設重物B的質量為，的長度為．則①y關于x的函數解析式是______．②完成下表：…1020304050……8a2b…③在直角坐標系中畫出該函數的圖象．(3)在（2）的條件下，將函數圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖像組成一個新的函數圖象，記為L．若點A的坐標為，在L上存在點Q，使得．請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．40．（2023·廣東深圳·深圳實驗學校?？寄M預測）某公園要在小廣場上建造一個噴泉景觀.在小廣場中央處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子，安置于柱子頂端A處的噴水向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上拋物線路徑如圖1所示．為使水流形狀較為美觀，設計成水流在距的水平距離為1米時到達最大高度，此時離地面2.25米．

(1)以點為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)張師傅正在噴泉景觀內維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子的距離為米，則的取值范圍是______________；(3)在平面內，把一個圖形上的任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值稱為這兩個圖形的距離．為了美觀，在離花形柱子4米處的地面處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點在花形柱子的正上方，其中光線所在的直線解析式為，求光線與拋物線水流之間的距離．41．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┠彻珗@內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據學習函數的經驗，對d和h之間的關系進行了探究．下面是小紅的探究過程，請補充完整：(1)經過測量，得出了d和h的幾組對應值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，________是自變量，________是這個變量的函數；(2)在下面的平面直角坐標系中，畫出（1）中所確定的函數的圖象；(3)結合表格數據和函數圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度AE為_______米；②公園欲開設游船項目，現有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設置警戒線，并且，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為_______米．（精確到0.1米）

專題16解答壓軸題型：函數綜合題一、解答題1．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考二模）（一）、問題背景：數學活動課上，老師拿出一個由五連格邊長為1的正方形連成的L形教具，將它放入一個的直角三角形中，，，如圖1頂點D，E，F，G剛好落在三邊上，請求出此直角三角形的面積．（二）、問題提出與解決：（以下問題二選一解答）（1）小穎同學受到啟發(fā)，將此教具放入如圖的直角坐標系中，頂點A，B，C分別落在坐標軸上，提出問題：如圖2，如果反比例函數圖像經過頂點D，試求出反比例解析式．（2）小明同學也受到啟發(fā)，畫了一個圓，如圖3，將此教具放入圓內，使圓經過其頂點A，B，C，提出問題：怎么算出圓的面積?【答案】（一）；（二）（1）；（2）【分析】（一）如圖1，由題意知，，，，則，，，，，根據，計算求解即可；（二）（1）如圖2，過作軸于，由題意知，，，，，，在中，由勾股定理求，證明，則，求得，，同理，則，求得，，則，，代入反比例函數解析式求，進而可得反比例函數解析式；（2）如圖3，取中點，作，取圓心，連接，，則，由正方形的性質，設，，在和中，由勾股定理得，，即，求的值，的值，進而可得的半徑，然后代入圓的面積公式進行求解即可．【詳解】（一）解：如圖1，由題意知，，，，∴，∴，，∴，，∴，∴此直角三角形的面積為；（二）（1）解：如圖2，過作軸于，由題意知，，，，，，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，即，解得，，同理，∴，即，解得，，∴，∴，∴，∴反比例函數解析式為；（2）解：如圖3，取中點，作，取圓心，連接，，則，由正方形的性質，設，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴的半徑為，∴，∴圓的面積為．【點睛】本題主要考查了正弦、正切，相似三角形的判斷與性質，反比例函數，正方形的性質，圓的面積，勾股定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．請回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個正方形裝置的間距的長；

(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為，求的長．

【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據頂點坐標，設函數解析式為，求出點坐標，待定系數法求出函數解析式即可；（2）求出時對應的自變量的值，得到的長，再減去兩個正方形的邊長即可得解；（3）求出直線的解析式，進而設出過點的光線解析式為，利用光線與拋物線相切，求出的值，進而求出點坐標，即可得出的長．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點，設拋物線的解析式為，∵四邊形為矩形，為的中垂線，∴，，∵，∴點，代入，得：，∴，∴拋物線的解析式為；（2）∵四邊形，四邊形均為正方形，，∴，延長交于點，延長交于點，則四邊形，四邊形均為矩形，

∴，∴，∵，當時，，解得：，∴，，∴，∴；（3）∵，垂直平分，∴，∴，設直線的解析式為，則：，解得：，∴，∵太陽光為平行光，設過點平行于的光線的解析式為，由題意，得：與拋物線相切，聯(lián)立，整理得：，則：，解得：；∴，當時，，∴，∵，∴．【點睛】本題考查二次函數的實際應用．讀懂題意，正確的求出二次函數解析式，利用數形結合的思想，進行求解，是解題的關鍵．3．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）二次函數先向上平移6個單位，再向右平移3個單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標系上．(1)的值為

；(2)在坐標系中畫出平移后的圖象并求出與的交點坐標；(3)點在新的函數圖象上，且兩點均在對稱軸的同一側，若則

（填“”或“”或“”）【答案】(1)(2)圖見解析，和(3)或【分析】（1）把點代入即可求解．（2）根據描點法畫函數圖象可得平移后的圖象，在根據交點坐標的特點得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根據新函數的圖象及性質可得：當P，Q兩點均在對稱軸的左側時，若，則，當P，Q兩點均在對稱軸的右側時，若，則，進而可求解．【詳解】（1）解：當時，，∴．（2）平移后的圖象如圖所示：由題意得：，解得，當時，，則交點坐標為：，當時，，則交點坐標為：，綜上所述：與的交點坐標分別為和．（3）由平移后的二次函數可得：對稱軸，，∴當時，隨x的增大而減小，當時，隨x的增大而增大，∴當P，Q兩點均在對稱軸的左側時，若，則，當P，Q兩點均在對稱軸的右側時，若，則，綜上所述：點在新函數圖象上，且P，Q兩點均在對稱軸同一側，若，則或，故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質，二次函數圖象的平移，理解二次函數的性質，利用數形結合思想解決問題是解題的關鍵．4．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？同學們有以下思路：設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數與一次函數證明：，：，那么，①是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？_______．②請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達；③請直接寫出當結論成立時k的取值范圍：．【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，見解析；③【分析】（1）直接求出邊長為2的正方形周長與面積，再求出周長擴大2倍即邊長擴大2倍時正方形的面積，比較是否也為2倍即可；（2）①依題意根據一元二次方程根的情況判斷即可；②設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立，求出關于x、y的一元二次方程，判斷根的情況；③設新矩形長和寬為x和y，則由題意，，同樣列出一元二次方程，利用根的判別式進行求解即可．【詳解】（1）邊長為2的正方形，周長為8，面積為4；當周長為其2倍時，邊長即為4，面積為16，即為原來的4倍，故不存在；（2）①存在；∵的判別式，方程有兩組正數解，故存在；從圖像來看，：，：在第一象限有兩個交點，故存在；②設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，因為，此方程無解，故這樣的新矩形不存在；從圖像來看，：，：在第一象限無交點，故不存在；③；設新矩形長和寬為x和y，則由題意，，聯(lián)立得，，故．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根的判別式．需要認真閱讀理解題意，根據題干過程模仿解題．5．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）小明同學在探究函數的圖象和性質時經歷以下幾個學習過程：（I）列表（完成以下表格）．x…－2－10123456……15800315……15800315…（II）描點并畫出函數圖象草圖（在備用圖①中描點并畫圖）．（Ⅲ）根據圖象解決以下問題：（1）觀察圖象：函數的圖象可由函數的圖象如何變化得到？答：．（2）探究發(fā)現直線與函數的圖象交于點E，F，，，則不等式的解集是______．（3）設函數的圖象與x軸交于A，B兩點（B位于A的右側），與y軸交于點C．①求直線的解析式；②探究應用：將直線沿y軸平移m個單位長度后與函數的圖象恰好有3個交點，求此時m的值．【答案】（I）表格見解析；（II）圖象見解析；（Ⅲ）（1）x軸下方的圖象進行關于x軸對稱變換，在x軸上方的圖象不變；（2）或；（3）①；②0或【分析】（I）將值代入函數式求出對應的函數值，據此填表即可得到答案；（II）先描點，再連線即可得到函數圖象；（Ⅲ）（1）通過觀察函數圖象，即可得到答案；（2）作出直線的圖象，結合圖象即可得到不等式的解集；（3）①先求出函數與x軸和y軸的交點坐標，再利用待定系數法即可求出直線的解析式；②先根據直線與函數有三個交點，得到，再根據直線向上平移，且直線與有且只有一個交點時，滿足條件，求出m的值即可得到答案．【詳解】解：（I）表格如下所示：x…－2－10123456……1583003815…（II）根據（I）中的表格描點，函數圖像如下所示：（Ⅲ）（1）通過觀察可知，將函數在x軸下方的圖象進行關于x軸對稱變換，在x軸上方的圖象不變，即可得到函數的圖象，故答案為：x軸下方的圖象關于x軸對稱，在x軸上方的圖象不變；（2）如圖，在直角坐標系中畫出直線的圖象，觀察圖象可知，，即函數在直線上方時的圖象，直線與函數的圖象交于點E，F，，，不等式的解集是或，故答案為：或；（3）①函數的圖象與x軸交于A，B兩點，令，則，解得：，，B位于A的右側，，，函數的圖象與y軸交于點C，令，則，，設直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為；②I.當直線經過點B時，如下圖，直線與函數有三個交點，滿足條件，II觀察圖象可知，平移后的直線與函數的圖象恰好有3個交點，直線只能向上平移，當時，函數，設平移后的直線解析式為，此時直線與有且只有一個交點，只有一個解，，即有兩個相等實數根，，，綜上所述，將直線沿y軸平移m個單位長度后與函數的圖象恰好有3個交點，此時m的值為0或．【點睛】本題考查了絕對值的性質，二次函數的圖象，函數圖象交點確定不等式解集等知識，準確畫出函數圖象，利用數形結合的思想解決問題是解題關鍵．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式，利用函數圖象研究其性質，運用函數解決問題”的學習過程．在畫函數圖象時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數圖象．學習了一次函數之后，現在來解決下面的問題：在中，下表是y與x的幾組對應值．…0123……73113…(1)______，______；(2)平面直角坐標系中，畫出函數的圖象；(3)根據圖象，判斷下列關于該函數性質的說法是否正確，正確的打√，錯誤的打×．①該函數圖象是軸對稱圖形，對稱軸為直線．（

）②當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小．（

）③該函數在自變量的取值范圍內有最小值，當時有最小值．（

）(4)若方程組有且只有一個公共解，則t的取值范圍是______．【答案】(1)2，(2)見解析(3)，，(4)【分析】(1)觀察表格，函數圖象經過點，，將這兩點的坐標分別代入解析式，利用待定系數法即可求出這個函數的表達式；再把和分別代入所求的解析式，即可求出m，n的值；(2)根據表中的數據，通過描點、連線，即可畫出函數圖象；(3)根據函數圖象即可一一判定；(4)當函數的圖象經過點時，可得，此時函數在點右側的圖象與函數的圖象重合，再結合圖象即可解答．【詳解】（1）解：觀察表格，此函數圖象經過點，，將這兩點的坐標分別代入解析式，得，解得，∴這個函數的表達式為；∴當時，，當時，，故答案為：5，；（2）解：列表如下：…0123……753113…描點、連線，畫圖如下：（3）解：根據圖象，判斷如下：①該函數圖象是軸對稱圖形，對稱軸為直線．（）②當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減?。ā粒墼摵瘮翟谧宰兞康娜≈捣秶鷥扔凶钚≈?，當時有最小值．（）故答案為：，，；（4）解：當函數的圖象經過點時，，解得，此時函數在點右側的圖象與函數的圖象重合，故當時，函數的圖象與函數的圖象有且只有一個交點，即方程組有且只有一個公共解，故答案為：．【點睛】本題考查了兩條直線的交點問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解．也考查了用待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的圖象與性質，畫出函數的圖象，利用數形結合的思想是解題的關鍵．7．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校聯(lián)考模擬預測）【定義】定義1：在平面直角坐標系中，過一點作某一直線的垂線，這個點與垂足之間的線段長，稱為這個點到這條直線的垂直距離．定義2：在平面直角坐標系中，過一點作軸的平行線，與某一直線交于一點，兩點之間連線的長度稱為這個點到直線的豎直距離．例如，如圖1，過點作交于點，線段的長度稱為點到的垂直距離，過作平行于軸交于點，的長就是點到的豎直距離．

【探索】當與軸平行時，，當與軸不平行，且直線確定的時候，點到直線的垂直距離與點到直線的豎直距離存在一定的數量關系，當直線為時，______．【應用】如圖2所示，公園有一斜坡草坪，其傾斜角為30°，該斜坡上有一棵小樹（垂直于水平面），樹高，現給該草坪灑水，已知小樹的底端點與噴水口點的距離，建立如圖3所示的平面直角坐標系，在噴水過程中，水運行的路線是拋物線，且恰好經過小樹的頂端點，最遠處落在草坪的處，

（1）______．（2）如圖3，現決定在山上種另一棵樹（垂直于水平面），樹的最高點不能超過噴水路線，為了加固樹，沿斜坡垂直的方向加一根支架，則的最大值是多少？

【拓展】（3）如圖4，原有斜坡不變，通過改造噴水槍，使得噴出的水的路徑近似可以看成圓弧，此時，圓弧與軸相切，若此時，如圖，種植一棵樹（垂直于水平面），為了保證灌溉，最高應為多少？

【答案】【探索】；【應用】（1）；（2）的最大值為；

【拓展】（3）【探索】：延長交x軸于D，設直線交x軸于點E，設，則可得點D的坐標，從而得，由直線解析式可求得點E的坐標，則可得，由可得的關系，由勾股定理即可求得的關系；【應用】（1）延長交x軸于點F，則可求得點B的坐標，把此點坐標代入拋物線解析式中即可求得b的值；（2）由（1）可得點A的坐標，則可求得直線的解析式，設設，，可求得的表達式及其最大值，再由即可求得的最大值；【拓展】（3）取中點G，作交x軸于點H，則H為圓心，延長交圓弧于點N，過N作平行于y軸交于點M，此時即為最大；在中可求得其三邊的長，則可求得，在含的直角中，即可求得．【探索】解：如圖，延長交x軸于D，設直線交x軸于點E，則，設，由軸，則，∴，；令，得，即，∴，∴；∵，∴，∴，即，由勾股定理即可求得，∴；

故答案為：；【應用】解：（1）如圖，延長交x軸于點F，則軸，由題意知：，由勾股定理得：，∴，，由于點B在拋物線，∴，∴；

故答案為：；

（2）由（1）知：,設直線的解析式為，則，∴，即直線的解析式為；由于點M在直線，點N在拋物線上，且軸，故設，，，即的最大值為，∵∴；

即的最大值為；【拓展】（3）解：如圖所示，取中點G，作交x軸于點H，則H為圓心，延長交圓弧于點N，

過N作平行于y軸交于點M，此時即為最大，在中，，，∴，∴，在中，，，即最高應為．

【點睛】本題是函數與幾何的綜合，考查了一次函數與二次函數的圖象與性質，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，解直角三角形等知識，綜合運用這些知識是解題的關鍵．8．（2023·廣東深圳·二模）探究函數的圖像與性質．小明根據學習函數的經驗，對函數的圖像與性質進行了探究．下面是小明的研究過程，請補充完整：(1)函數的自變量x的取值范圍是______；(2)下表是y與x的幾組對應值：x…123…y…m…求m的值；(3)如圖，在平面直角坐標系中，描出了以上表中各組對應值為坐標的點．根據描出的點，畫出該函數的圖像；(4)進一步探究發(fā)現，該函數圖像在第一象限內的最低點的坐標是，結合函數的圖像，寫出該函數兩條不同類型的性質：______．【答案】(1)(2)(3)畫圖見解析(4)性質：①當或時，隨的增大而減小，②該函數與軸有唯一交點【分析】（1）由分式有意義的條件可得函數的自變量的取值范圍為；（2）把代入函數可得答案；（3）根據所描的點用光滑的曲線連接即可；（4）根據函數的圖象總結兩條性質即可．【詳解】（1）解：函數的自變量x的取值范圍是；（2）把代入函數可得：；（3）畫函數圖象如圖示，（4）由函數圖象可得性質：①當或時，隨的增大而減小，②該函數與軸有唯一交點．【點睛】本題考查的是函數的自變量的取值范圍，求解函數值，畫函數圖象，歸納函數圖象的性質，掌握“畫函數圖象以及根據圖象總結函數的性質”是解本題的關鍵．9．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）已知一次函數（）和反比例函數的圖象如圖所示．(1)一次函數必定經過點________．（寫點的坐標）(2)當時，一次函數與反比例函數圖象交于點A，B，與x，y軸分別交于點C，D，連接并延長，交反比例另一支于點E，求出此時A，B兩點的坐標及的面積．(3)直線繞點C旋轉，直接寫出當直線與反比例圖象無交點時m的取值范圍．【答案】(1)(2)A，B兩點的坐標分別為，，的面積為6(3)【分析】（1）由題意知，令，求，的值，進而可得結果；（2）由，可得，聯(lián)立，求解可得，，由題意知，如圖，過作軸，過作于，過作于，則，，，，，根據，計算求解即可；（3）由題意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范圍．【詳解】（1）解：由題意知，令，即，則，∴一次函數必定經過點，故答案為：；（2）解：∵，則，聯(lián)立，解得，，∴，，∴，如圖，過作軸，過作于，過作于，則，，，，，∴∴A，B兩點的坐標分別為，，的面積為6．（3）解：由題意知，，令，整理得，令，解得，∴直線與反比例圖象無交點時m的取值范圍為．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，反比例函數與幾何綜合等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．10．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）【定義】在平面內，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當的長最小時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，，線段的長度稱為點A與直線之間的距離，當時，線段的長度也是與之間的距離．【應用】（1）如圖2，在等腰中，，，點D為邊上一點，過點D作交于點E．若，，則與之間的距離是；（2）如圖3，已知直線與雙曲線交于與B兩點，點A與點B之間的距離是，點O與雙曲線之間的距離是；【拓展】（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過時，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障（如圖4）．有一條“東南?西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于．現以高速路上某一合適位置為坐標原點，建立如圖5所示的直角坐標系，此時高速路所在直線的函數表達式為，小區(qū)外延所在雙曲線的函數表達式為，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是多少？【答案】（1）；（2），；（3）80米【分析】（1）過點D作于點H，得出是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出結果即可；（2）先根據一次函數解析式求出，然后再求出反比例函數解析式，再求出點，根據兩點點距離公式求出的值即可；作，且與雙曲線只有一個交點，設直線的解析式為，求出一次函數解析式，再求出交點坐標，最后求出的值即可；（3）作直線，設的解析式為，與雙曲線交于點A、B，過點O作于點P，過點P作軸于點H，過點A、B分別作直線的垂線、，垂足為E、F，先求出直線的解析式，然后求出點A、B的坐標，根據兩點之間距離公式求出的長，進而即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖，過點D作于點H，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴；故答案為：；（2）把代入中，得：，∴，把代入，得：，∴，∴雙曲線的解析式為，聯(lián)立，得：，即，解得：，，∴，∴；如圖，作，且與雙曲線只有一個交點，設直線的解析式為，則，整理得：，∴，∴或（不符合題意，舍去），∴直線的解析式為，由，解得：，∴，∴；故答案為：；．（3）如圖，作直線，設的解析式為，與雙曲線交于點A、B，過點O作于點P，過點P作軸于點H，過點A、B分別作直線的垂線、，垂足為E、F，則，∵直線平分第二、四象限角，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，代入，得，解得：，∴，聯(lián)立得：，解得：或，∴，，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是80米．【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，兩點之間距離公式，矩形的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握兩點之間距離公式，準確計算．11．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考二模）目標檢測是一種計算機視覺技術，旨在檢測汽車、建筑物和人類等目標．這些目標通常可以通過圖像或視頻來識別．在常規(guī)的目標檢測任務中，如圖1，一般使用邊同軸平行的矩形框進行標示．在平面直角坐標系中，針對目標圖形，可以用其投影矩形來檢測．圖形的投影矩形定義如下：矩形的兩組對邊分別平行于軸，軸，圖形的頂點在矩形的邊上或內部，且矩形的面積最小．設矩形的較長的邊與較短的邊的比為，我們稱常數為圖形的投影比．如圖2，矩形為的投影矩形，其投影比．(1)如圖3，點，，則投影比的值為______；(2)如圖4，若點，點且投影比，則點的坐標可能是______（填寫序號）；；；；．(3)如圖5，已知點，在函數（其中）的圖象上有一點，若的投影比，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)點的坐標為或【分析】（1）過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，則矩形為的投影矩形，由點得到，從而即可得到答案；（2）先根據坐標作出圖形，再根據投影比的定義即可求解；（3）設出點的坐標，分和兩種情況考慮，找出兩種情況下的投影矩形，根據投影比的定義列出關于的方程，解方程即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖，過點作軸交軸于點，作軸交軸于點，則矩形為的投影矩形，點，，投影比的值為，故答案為：（2）解：如圖所示：，當點的坐標為時，此時投影比，當點的坐標為時，此時投影比，當點的坐標為時，此時投影比，當點的坐標為時，此時投影比，點的坐標可能是，，故答案為：；（3）解：點在函數（其中）的圖象上，設點坐標為，當時，如圖所示，，作投影矩形，，，解得：，；當時，如圖所示，，作投影矩形，點坐標為，點坐標為，，，，，，解得：，點的坐標為，綜上所述，點的坐標為或．【點睛】本題考查了一次函數綜合，一次函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質，解題的關鍵是作出圖形，找出投影矩形的長邊和短邊長，分情況考慮，利用數形結合的思想解決問題．12．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考二模）（一）、概念理解：在直角坐標系中，如果兩個函數的圖象關于某條平行于軸（包括軸）的直線軸對稱，我們就稱它們?yōu)椤肮哺瘮怠?，兩函數的交點稱之為“共根點”，對稱軸稱為“共根軸”．例如：正比例函數和是一對共根函數，y軸是它們的共根軸，原點O是共根點．（二）、問題解決：（1）在圖一網格坐標系里作出與一次函數共根點為的共根函數圖象，并寫出此函數的解析式__________．（2）將二次函數水平向右平移一個單位也可以得到它的共根函數，在圖二中通過列表、描點、連線先作出圖象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函數圖象，表格中_________，_________．這對共根函數的共根點坐標是_________．…01234……8038…（三）、拓展提升（3）在（2）條件下，函數與軸的兩個交點分別為，，一條平行于軸的直線與這一對共根函數圖象相交，是否存在有兩個交點與點，一起構成一個平行四邊形，如果存在直接寫出的值，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）作圖見解析，，；（3）存在，【分析】（1）先設一次函數共根點為共根函數經過點，設一次函數共根點為的共根函數為，待定系數法求解析式即可求解；（2）根據拋物線的對稱性，得出，然后根據描點法畫出圖象，以及平移后的圖形，根據圖象可知共根軸為，進而求得共根點坐標是；（3）平行于軸，設與這一對共根函數圖象相交的能構成平行四邊形的兩點分別為，當為平行四邊形時，則，結合圖形即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示，由可得，當時，，當時，，點關于對稱的點的坐標為設一次函數共根點為的共根函數為，則解得：∴一次函數共根點為的共根函數為；故答案為：．（2）解：如圖所示，根據對稱性可得列表如下，描點，連線如圖所示，將向右平移1個單位得到，根據圖象可知共根軸為，由，令，解得：∴這對共根函數的共根點坐標是，故答案為：，．（3）根據（2）可知當時，或，設∴,∵平行于軸，設與這一對共根函數圖象相交的能構成平行四邊形的兩點分別為，當為平行四邊形時，則，根據題意，，解得：，；解得：，如圖所示，根據函數圖象可知，只有一種情形滿足題意，即解得：【點睛】本題考查了新定義，待定系數法求解析式，軸對稱的性質，二次函數的平移，平行四邊形的性質，畫二次函數圖象，數形結合是解題的關鍵．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線經過點，點，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據已知得出點，進而待定系數法求解析式即可求解．（2）根據解析式化為頂點式求得，待定系數法求得直線的解析式，過點作軸于點，交于點，則，進而根據三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，點，且．∴，即，設拋物線解析式為，將代入得，解得：，∴拋物線解析式為（2）解：∵，∴,如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，面積問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．14．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學校校聯(lián)考二模）請閱讀下列解題過程；解一元二次不等式；．解；設，解得；，．則拋物線與軸的交點坐標為和．畫出二次函數的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知；當時函數圖象位于軸下方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為；．通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題；(1)用類似的方法解一元二次不等式；．(2)某“數學興趣小組”根據以上的經驗，對函數的圖象和性質進行了探究，探究過程如下；①列表；與的幾組對應值如表，其中______．…01234……50010…②如圖，在直角坐標系中畫出了函數的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整．③結合函數圖象，解決下列問題；不等式的解集為；______．【答案】(1)（1）；(2)①；②見解析；③或【分析】（1）依照例題，先求得的解，再畫出的草圖，觀察圖象即可求解；（2）①當時，代入數據求解即可；②描點，連線，即可畫出函數圖象；③觀察圖象即可求解．【詳解】（1）解：設，解得；，，則拋物線與軸的交點坐標為和，畫出二次函數的大致圖象（如圖所示），由圖象可知；當時函數圖象位于軸上方，此時，即，所以一元二次不等式的解集為：；（2）解：①當時，，即列表；…01234……50010…故答案為：；②描點，連線，函數圖象如圖：③由圖象可知；由圖象可知：當或時函數的圖象位于與0之間，此時，即．一元二次不等式的解集為：或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，一元二次不等式的解法，數形結合的思想方法，本題是閱讀型題目，理解題干中的解題的思想方法并熟練運用是解題的關鍵．15．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校聯(lián)考二模）某班“數學興趣小組”對函數的圖象和性質進行了探究，探究過程如下．（1）自變量的取值范圍是全體實數，與的幾組對應值如下：…-3-2-10123……3-10-103…其中，______．（2）根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請你畫出該函數圖象的另一部分．（3）進一步探究函數圖象發(fā)現：①方程有______個實數根；②關于的方程有4個實數根時，的取值范圍是______．【答案】（1）0；（2）圖見解析；（3）①3；②【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描點法畫函數圖象即可；（3）①觀察圖象找出圖象與x軸的交點個數即可求解；②觀察圖象，找出圖象與平行于x軸直線的交點個數為4個時對應y的取值范圍即可．【詳解】（1）x=-2時，m=（-2）2-=0；故答案為：0；（）如圖所示（）①觀察圖象，可知與x軸有三個交點，所以有三個根，分別是、、；即答案為3；②∵關于的方程有四個根，∴函數的圖象與y=a有四個交點，由函數圖象知：的取值范圍是．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程，其中觀察函數圖像的能力是解答本題的關鍵．16．（2023·廣東深圳·深圳大學附屬中學?？家荒＃┪覀兌x【，，】為函數的“特征數”如：函數的“特征數”是【，，】，函數的“特征數”是【，，】，函數的“特征數”是【，，】．(1)若一個函數的特征數是【，，】，將此函數的圖象先向左平移個單位，再向上平移個單位，得到一個圖象對應的函數“特征數”是______．(2)將“特征數”是【，，】的函數圖象向上平移個單位，得到一個新函數，這個新函數的解析式是______．(3)當“特征數”是【，，】的函數在直線和直線之間的部分包括邊界點的最高點的縱坐標為時，求的值．(4)點關于軸的對稱點為點，點關于軸的對稱點為點當若（3）中的拋物線與四邊形的邊有兩個交點，且兩個交點到拋物線的對稱軸的距離之和為時，直接寫出的值為常數【答案】(1)【，，】(2)(3)的值為或(4)的取值為或或【分析】由函數的特征數是【，，】，知函數為，將函數向左平移個單位，再向上平移個單位得到，即可得到答案；由函數的“特征數”是【，，】，得函數解析式為，將圖象向上平移個單位得新函數解析式為；“特征數”是【，，】的函數解析式為，拋物線的頂點為，對稱軸是直線，分四種情況：當，即時，拋物線的最高點在處取得，有，當，即時，拋物線的最高點在處取得，有，當，即時，拋物線的最高點在取得，有，當，即時，拋物線的最高點在處取得，有，分別解方程可得答案；由拋物線的頂點坐標為，且，分四種情況：當，即時，拋物線與矩形沒有交點，不符合題意；當，即時，拋物線與矩形沒有交點，不符合題意；，即時，有兩種情況：拋物線與直線有兩個交點，可得，，故，拋物線與矩形相鄰兩邊有交點，可得，故，當時，可得，故，解方程可得答案．【詳解】（1）函數的特征數是【，，】，函數為，將函數向左平移個單位，再向上平移個單位得到，函數的“特征數”是【，，】，故答案為：【，，】；（2）函數的“特征數”是【，，】，函數解析式為，將函數的圖象向上平移個單位得新函數解析式為，故答案為：；（3）“特征數”是【，，】的函數解析式為，拋物線的頂點為，對稱軸是直線，由拋物線的性質可知，當與時，相等且，當，即時，拋物線的最高點在處取得，，解得，不符合題意，舍去；當，即時，拋物線的最高點在處取得，，解得或舍去，當，即時，拋物線的最高點在取得，，解得舍去或舍去，當，即時，拋物線的最高點在處取得，，解得，綜上所述，的值為或；（4）由知拋物線的頂點坐標為，且，當，即時，拋物線與矩形沒有交點，不符合題意；當，即時，拋物線與矩形沒有交點，不符合題意；，即時，需要分以下兩種情況：拋物線與直線有兩個交點，如圖，兩個交點到拋物線的對稱軸的距離之和為，，，；，解得，拋物線與矩形相鄰兩邊有交點，如圖，兩個交點到拋物線的對稱軸的距離之和為，到軸距離與到軸距離都為，到軸距離為，即，，，解得舍去或；當時，如圖：兩個交點到拋物線的對稱軸的距離之和為，，又，，，，解得或舍去，綜上所述，的取值為或或．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及新定義，平移變換和對稱變換，解題的關鍵是分類討論思想的應用，有一定的難度．17．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．(1)求該拋物線的表達式；(2)點E是線段的中點，連接并延長與拋物線交于點D，求點D的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）把A，坐標分別代入解析式，用待定系數法求函數解析式即可；（2）令，解方程求出的坐標，再根據中點坐標公式求出點的坐標，用待定系數法求出直線的解析式，再聯(lián)立直線和拋物線解析式，解方程組求出點的坐標即可．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點，與軸交于點，，解得，該拋物線的表達式為；（2）解：令，則，解得，，，是的中點，，設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得或，．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，中點坐標公式，直線和拋物線的交點等知識，關鍵是求出拋物線解析式．18．（2023·廣東深圳·統(tǒng)