2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3.2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE第三章3.23.2.2A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．曲線運(yùn)動(dòng)方程為s＝eq\f(1－t,t2)＋2t2，則t＝2時(shí)的速度為(B)A．4 B．8C．10 D．12[解析]s′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,t2)))′＋(2t2)′＝eq\f(t－2,t3)＋4t，∴t＝2時(shí)的速度為：s′|t＝2＝eq\f(2－2,8)＋8＝8.2．函數(shù)y＝x·lnx的導(dǎo)數(shù)是(C)A．y′＝x B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x[解析]y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1.3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值是(D)A．eq\f(19,3) B．eq\f(16,3)C．eq\f(13,3) D．eq\f(10,3)[解析]f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝eq\f(10,3).4．(2024·邵陽三模)已知函數(shù)f(x)＝f′(－2)ex－x2，則f′(－2)＝(D)A．eq\f(e2,e2－1) B．eq\f(4e2－1,e2)C．eq\f(e2－1,4e2) D．eq\f(4e2,e2－1)[解析]f′(x)＝f′(－2)ex－2x；∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)；解得f′(－2)＝eq\f(4e2,e2－1).故選D．5．(2024·揭陽一模)已知f(x)＝sinx－cosx，實(shí)數(shù)α滿意f′(α)＝3f(α)，則tan2α＝(A)A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)[解析]f′(x)＝cosx＋sinx；∴f′(α)＝cosα＋sinα；又f′(α)＝3f(α)；∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；∴tan2α＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).故選A．6．若函數(shù)f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，則f′(1)的值為(D)A．0 B．－1C．1 D．2[解析]∵f′(x)＝3f′(1)x2－4x，∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)＝2.二、填空題7．(2024·全國Ⅱ文，13)曲線y＝2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為__y＝2x－2__.[解析]因?yàn)閥′＝eq\f(2,x)，y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝2，所以切線方程為y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.8．若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)處的切線與直線ax＋2y＋1＝0相互垂直，則實(shí)數(shù)a＝__2__.[解析]∵f′(x)＝(xsinx)′＝x′sinx＋x·(sinx)′＝sinx＋xcosx∴f′(eq\f(π,2))＝sineq\f(π,2)＋eq\f(π,2)coseq\f(π,2)＝1.又直線ax＋2y＋1＝0的斜率為－eq\f(a,2)，∴1×(－eq\f(a,2))＝－1，∴a＝2.三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象過點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0，求函數(shù)f(x)的解析式．[解析]由f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因?yàn)樵贛(－1，f(－1))處的切線方程是6x－y＋7＝0，可知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝6,－1＋b－c＋2＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－c＝－3,b－c＝0))，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．不行能以直線y＝eq\f(1,2)x＋b作為切線的曲線是(C)A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,x) D．y＝ex[解析]若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)<0，∴曲線y＝eq\f(1,x)上隨意點(diǎn)處的切線的斜率k<0，故其切線方程不行能為y＝eq\f(1,2)x＋b.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2＋3)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－2y＋3＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析]f′(x)＝eq\f(－ax2＋3a,x2＋32)，f′(1)＝eq\f(a,8)，而直線斜率為eq\f(1,2)，∴eq\f(a,8)＝eq\f(1,2)，∴a＝4.3．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為(A)A．x－2y＝0 B．2x－y＝0C．x－4y＝0 D．4x－y＝0[解析]∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y(tǒng)′|x＝0＝eq\f(1,2)，∵f(0)＝0，∴切線方程為：y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0.4．(多選題)下列求導(dǎo)計(jì)算錯(cuò)誤的是(ACD)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)))′＝eq\f(lnx－1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(log2e,x)C．(2x)′＝2x×eq\f(1,ln2) D．(xsinx)′＝cosx[解析]A選項(xiàng)應(yīng)為eq\f(1－lnx,x2)，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)應(yīng)為2xln2，D選項(xiàng)應(yīng)為sinx＋xcosx.故選ACD．5．(多選題)已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m的值可以為(AD)A．4 B．2C．－4 D．－2[解析]∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，于是解得m＝－2或m＝4.故選AD．二、填空題6．(2024·天津文，10)已知函數(shù)f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為__e__.[解析]∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exlnx＋eq\f(ex,x)，∴f′(1)＝e.7．(2024·全國卷Ⅰ文，15)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為__y＝2x__.[解析]設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，lnx0＋x0＋1)．由題意得y′＝eq\f(1,x)＋1，則該切線的斜率k＝(eq\f(1,x)＋1)|x＝x0＝eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，所以該切線的方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x.三、解答題8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)假如曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為13x－y－32＝0.(2)解法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直線l過原點(diǎn)(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．解法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)，則k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)，又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．(3)∵切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為