第24講 定值問題（原卷版）

一．解答題（共19小題）1．已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線C過點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點(diǎn)F1(Ⅱ)命題：“過橢圓的一個焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)為定值，且定值是”．命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對稱軸的交點(diǎn)M，AB的長度與F、M兩點(diǎn)間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個關(guān)于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明.(Ⅲ)試推廣(Ⅱ)中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.2．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C過點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在x軸的射影恰為該橢圓的一個焦點(diǎn)F1.(Ⅱ)過橢圓C的一個焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由.3．已知橢圓離心率分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足MF1丄MF2，且△MF1F2的面積為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)T(1,0)作斜率為k(k>0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．過點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓于點(diǎn)P，Q，證明：為定值. 離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)T(1,1)作直線l1與橢圓C相交于P，（注意用兩種方法作答，每種方法4分）（3）設(shè)直線l過點(diǎn)(4,—2)且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，l不經(jīng)過點(diǎn)M，證明：直線MA的斜率與直線MB的斜率之和為定值.5．已知橢圓的離心率等于點(diǎn)P(2,)在橢圓上.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)Q(2,0)的動直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，是否存在定直線l’:x=t，使得l’與AN的交點(diǎn)G總在直線BM上？若存在，求出一個滿足條件的t值；若不存在，說明理由. 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Γ:的離心率為，上頂點(diǎn)(0,b)在(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓Γ的頂點(diǎn)點(diǎn)C在橢圓Γ上，且AC丄AB，直線BC與x軸、y軸分別交于P，Q兩點(diǎn).(i)設(shè)直線BC，AP的斜率分別為k1，k2，問是否存在實(shí)數(shù)t，使得k1=tk2？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(ii)求ΔOPQ面積的最大值.7．已知橢圓的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，A是右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且AF=1.（1）求橢圓C的方程；l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)Q(,0)，過點(diǎn)F且斜率不為零的直線m與橢圓C交于S，T兩點(diǎn)，直線TQ與直線x=2交于點(diǎn)S1，試問S1SS1A228．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線l’交x軸于點(diǎn)M.（1）若BF=2，求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）問：是否為定值. 9．已知橢圓的離心率為，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的一個動點(diǎn)，且△PF1F2面積的最大值為3·2.（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F2作與x軸不垂直的直線l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，第一象限點(diǎn)M在橢圓上且滿足MF2丄x軸，連接MA，MB，記直線AB，MA，MB的斜率分別為k，k1，k2，探索—k是否為定值，若是求出；若不是說明理由. 坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且橢圓C截直線x=c所得弦長為·.（1）求橢圓C的方程；（2）線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）試問在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得QM.QN恒為定值？若存在，求出點(diǎn)Q11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:.（1）若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；①P是橢圓C上的動點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)，求PM的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；②過橢圓C的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l交x軸于點(diǎn)N，證明：是定值，并求出這個定值.12．已知左焦點(diǎn)為F1(-1,0)的橢圓過點(diǎn)過右焦點(diǎn)F2分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD．設(shè)點(diǎn)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求三角形OAB面積的最大值；（3）若k1①求證：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)T，并求出定點(diǎn)T的坐標(biāo).②求證：點(diǎn)T到直線AB，CD的距離的平方和為定值.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P(m,0)為橢圓C長軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為的直線l交橢圓C于S，T兩點(diǎn)，證明：|PS|2+|PT|2為定值.過拋物線C焦點(diǎn)F的動弦，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)P.（2）若動弦AB不經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，直線AB與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)N，記MA，MB，MN的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=在弦AB運(yùn)動時恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.15．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，焦距為2，過F2作斜率存在且不為零的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△F1AB的周長為8.（1）求橢圓C的方程；（2）已知弦AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，求證：為定值.16．已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,0)，且該圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,4).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)B也在圓C上，且弦AB長為8，求直線AB的方程；（3）直線l交圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線l過一個定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).（4）直線l交圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線l的斜率是定值，并求出該定值.（1）若點(diǎn)A為(3,4)，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（2）若點(diǎn)A在圓O上，且x0=2，y0>0，過點(diǎn)A作直線AM，AN分別交圓O于M，N兩點(diǎn)，且直線AM和AN的斜率互為相反數(shù).①若直線AM過點(diǎn)O，求直線MN的斜率；②試問：不論直線AM的斜率怎樣變化，直線MN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.周長為6.（1）求橢圓C的方程；（2）若M，F(xiàn)2，N在直線x=4上的射影分別為E，K，D，連接MD，當(dāng)m變化時，證明直線MD與NE相交于一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，直線