2025屆河北省唐縣一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆河北省唐縣一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.2.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.3.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.4.函數(shù)且的圖象是()A. B.C. D.5.函數(shù),,則“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在聲學(xué)中,聲強(qiáng)級(單位:)由公式給出,其中為聲強(qiáng)(單位:).,,那么()A. B. C. D.7.M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A.π B.π C.π D.2π8.已知函數(shù),若有2個零點(diǎn),則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.10.已知是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且,則()A. B. C. D.12.已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如果函數(shù)(,且,)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________.14.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.15.設(shè)直線過雙曲線的一個焦點(diǎn),且與的一條對稱軸垂直,與交于兩點(diǎn),為的實軸長的2倍,則雙曲線的離心率為.16.函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,湖中有一個半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)弧(圓上實線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時,棧道總長度最短.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)當(dāng)時,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));(2)記每日生產(chǎn)平均成本求證:;(3)若財團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.20.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點(diǎn)在線段上移動(不與重合),是的中點(diǎn).(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時,證明:.平面(2)當(dāng)四面體的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.(12分)如圖,在中,角的對邊分別為,且滿足,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)已知,求的大小.22.(10分)已知等差數(shù)列的前n項和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.2、D【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.3、C【解析】

先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值,利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況,即可得解.【詳解】由題可知定義域為,,是偶函數(shù),關(guān)于軸對稱,排除C,D.又,,在必有零點(diǎn),排除A.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,考查了函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè),若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以,“的圖象關(guān)于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.6、D【解析】

由得,分別算出和的值,從而得到的值.【詳解】∵,∴,∴,當(dāng)時,,∴,當(dāng)時,,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.8、C【解析】

令,可得,要使得有兩個實數(shù)解,即和有兩個交點(diǎn),結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個實數(shù)解,即和有兩個交點(diǎn),,令,可得,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,,若直線和有兩個交點(diǎn),則.實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.9、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值,再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.12、B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點(diǎn)睛:橢圓的定義:到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時,軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時,軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時,軌跡不存在.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、18【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時,,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14、-15【解析】

是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計算.15、【解析】

不妨設(shè)雙曲線,焦點(diǎn),令,由的長為實軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線,焦點(diǎn),對稱軸,由題設(shè)知,因為的長為實軸的二倍,,,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率,屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來,再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式,從而求出的值.16、1.【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,;當(dāng)時,棧道總長度最短.【解析】

連,,由切線長定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長定理知:,,,又,,故,則劣弧的長為,因此,優(yōu)弧的長為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時,所以當(dāng)時,棧道總長度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)當(dāng)時,的取值范圍為;當(dāng)時,的取值范圍為.【解析】

(1)當(dāng)時,分類討論把不等式化為等價不等式組,即可求解.(2)由絕對值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”,分類討論,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時,,不等式可化為或或,解得不等式的解集為.(2)由絕對值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”,所以當(dāng)時,的取值范圍為;當(dāng)時,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的求解,以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記含絕對值不等式的解法,以及合理應(yīng)用絕對值的三角不等式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析.【解析】

(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時的邊際成本.(2)將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得不等式成立.(3)利用(2)的結(jié)論,判斷出,由此結(jié)合對數(shù)運(yùn)算,證得.【詳解】(1)因為所以當(dāng)時,(2)要證,只需證,即證,設(shè)則所以在上單調(diào)遞減,所以所以,即;(3)因為又由(2)知,當(dāng)時,所以所以所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查放縮法證明數(shù)列不等式,屬于難題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由題意,先求得為的中點(diǎn),再證明平面平面,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)由題意,當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時,四面體的體積最大,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:當(dāng)四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形,是矩形.,且平面平面.則,.則為四面體外接球的直徑.所以,即.由題意,,,所以.因為,所以為的中點(diǎn).記的中點(diǎn)為,連接,.則,,,所以平面平面.因為平面,所以平面.(2)由題意,平面,則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時,的

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