高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：微分中值定理及其應(yīng)用

微分中值定理及其應(yīng)用定理4.1(費(fèi)馬引理)

4.1費(fèi)馬引理與函數(shù)最值

設(shè)在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo),如果對(duì)于任意證不妨設(shè)有所以,由函數(shù)在可導(dǎo)及極限的保號(hào)性,有推論4.1(最值的必要條件)的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).

設(shè)如果存在,如果在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上一定有最大值和最小值.

由最值的必要條件,最大、最小值點(diǎn)只可能是駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn).求函數(shù)最大值與最小值的一般步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求出區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,3.在實(shí)際問題的應(yīng)用中,問題本身可以保證目標(biāo)是最小值;比較大小,其中最大者就是最大值,最小者就種思想求應(yīng)用問題的最值.函數(shù)的最大值或最小值一定存在,我們通常用這例4.1

求函數(shù)在[-1,4]上的最大值解計(jì)算與最小值.(-1,4)內(nèi)駐點(diǎn)比較得,最大值最小值解駐點(diǎn):可能是不可導(dǎo)點(diǎn).與最小值.練習(xí)

求函數(shù)在的最大值比較得,最大值最小值例4.2欲建造一個(gè)糧倉,糧倉內(nèi)下部為圓柱形,頂部解則建造糧倉所需材料的總價(jià)為為半球形.設(shè)用于建造圓柱形部分的材料的單價(jià)為由題意有用于建造半球形部分的材料單價(jià)為如果糧食只能儲(chǔ)存在圓柱形部分,且規(guī)定糧倉儲(chǔ)藏量為問如何選取圓柱形的尺寸才能使造價(jià)最低？故代入上式得求導(dǎo)得令得駐點(diǎn)

所求問題的最小值一定存在,故駐點(diǎn)就是問題的最小值點(diǎn),唯一駐點(diǎn),即當(dāng)時(shí),

造價(jià)最低.例4.3在一個(gè)半徑為R的廣場中心安裝一燈塔,解則問燈塔多高時(shí)才能使廣場周圍的路上最亮？由物理知識(shí)有,照度.

求導(dǎo)得

所求問題的最大值一定存在,故駐點(diǎn)就是問題的最大值點(diǎn),當(dāng)燈塔的高度為時(shí),

能使廣場周圍的路上最亮.令得唯一駐點(diǎn)例4.4鐵路線上段的距離為工廠距處為垂直于(見圖).為了運(yùn)輸需要,要在線上選定一點(diǎn)向工廠修筑一條公路.已知鐵路上每公里貨運(yùn)的費(fèi)用與公路上每公里的費(fèi)用之比為3:5.為了使貨物從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的運(yùn)費(fèi)最少,問點(diǎn)應(yīng)選在何處？則解則設(shè)鐵路上每公里貨運(yùn)的費(fèi)用為,公路上每公里的費(fèi)用,從點(diǎn)到點(diǎn)的總運(yùn)費(fèi)為,故時(shí),求導(dǎo)得令得唯一駐點(diǎn)

所求問題的最小值一定存在,故駐點(diǎn)就是問題的最小值點(diǎn),總運(yùn)費(fèi)最少.定理4.2(羅爾定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)使得4.2

羅爾定理及其應(yīng)用證如果函數(shù)f(x)滿足:必有最大值M和最小值m.由費(fèi)馬引理

推論4.2可微函數(shù)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少(1)若有的一個(gè)零點(diǎn)．例4.5

證明是方程的唯一實(shí)根.證令矛盾.由羅爾定理,原命題得證.使得例4.6若在上有三階導(dǎo)數(shù),且證由羅爾定理,使得則在內(nèi)至少有一點(diǎn),使得而故使得故使得原命題得證.練習(xí)

設(shè)常數(shù)滿足:試證方程分析：注意到在(0,1)內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根.證設(shè)且

由羅爾定理即在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：

1.常數(shù)k法基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k，通過恒等變形將含有k的式子寫成的形式，

然后用羅爾定理則就是需要的輔助函數(shù),進(jìn)行證明.例4.7設(shè)分析證令整理得羅爾定理,使得故即例4.8設(shè)分析證令整理得羅爾定理,使得故即2.因子法如果待證等式為

如果作輔助函數(shù)且只要因此,另一因子可通過確定.(f(x)是一個(gè)因子)則例4.9設(shè)分析:問題轉(zhuǎn)化為證使得證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,證設(shè)輔助函數(shù)在[0,1]上用羅爾定理,使得即于是即例4.10設(shè)分析:問題轉(zhuǎn)化為證使得證明：證設(shè)輔助函數(shù)在[a,b]上用羅爾定理,使得即于是即練習(xí)

若分析:問題轉(zhuǎn)化為證輔助函數(shù)F(x)證明:存在證設(shè)輔助函數(shù)命題得證即4.3.1拉格朗日中值定理定理4.3(拉格朗日中值定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);使得4.3

拉格朗日中值定理及其應(yīng)用如果函數(shù)f(x)滿足:幾何解釋:分析:則

在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.令證作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式即或記則有取在之間用拉格朗日中值定理,有限增量公式例4.11證明證令故證命題得證.練習(xí)證明當(dāng)推論4.3設(shè)證例4.12證明當(dāng)證而故例4.13設(shè)證即推論4.4設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增;單調(diào)遞減.4.3.2函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).證(1)由拉格朗日中值定理在[a,b]上在[a,b]上解注1:

推論4.4對(duì)于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.注2:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4.14證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.

且函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．解定義域?yàn)槔?.16討論函數(shù)的單調(diào)性.

導(dǎo)數(shù)不存在;由介值定理：例4.17討論方程在內(nèi)的實(shí)根解原方程在內(nèi)至少有一實(shí)根.綜上所述,原方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.因此,原方程在內(nèi)至多有一實(shí)根.的個(gè)數(shù).證令則只須證明單調(diào)增加.而單調(diào)增加.從而練習(xí)證明由拉格朗日中值定理4.4

極值與凹凸性4.4.1函數(shù)的極值定義4.1

的一個(gè)極大值(或極小值),

如果在x0的

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)設(shè)在x0

附近有定義,某個(gè)空心鄰域內(nèi),恒有注意:

極值的概念是一個(gè)局部性的概念,它僅涉取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn).及函數(shù)在一點(diǎn)附近的性質(zhì).定理4.4

(極值的必要條件)注意:可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn).例如,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).則必有設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),且在處取得極值,

另外:連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是極值點(diǎn).例如,設(shè)函數(shù)在x0

處連續(xù),定理4.5(極值的第一充分條件)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果時(shí),且

時(shí),則在處取得極大值;(2)如果時(shí),且時(shí),則在處取得極小值;(3)如果在的左、右兩側(cè)同號(hào),則在處無極值.是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形證(1)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi),有單調(diào)遞減,故由故在處取得極大值.由故有單調(diào)遞增,在該空心鄰域內(nèi),有求函數(shù)極值的基本步驟:(3)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,得到相應(yīng)的極值.和駐點(diǎn);是否變號(hào),確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn).

如果是極值點(diǎn),進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是(1)求出

的所有可能的極值點(diǎn),即不可導(dǎo)點(diǎn)(2)對(duì)(1)中求得的每個(gè)點(diǎn),根據(jù)在其左、右極小值點(diǎn);解例4.18求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.例4.19求函數(shù)的極值.解極大值極小值函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).導(dǎo)數(shù)不存在;不存在無極值不存在定理4.6(極值的第二充分條件)

注意:則設(shè)

在

處具有二階導(dǎo)數(shù),且(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.此時(shí)仍需用定理4.5.極大值極小值證(1)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi),有有

在處取得極大值.所以,由二階導(dǎo)數(shù)的定義,并注意到由極限的保號(hào)性,由定理4.5,例4.20求函數(shù)的極值.解函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).解得駐點(diǎn)4.4.2曲線的凹凸性及拐點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)增或減在幾何上就是曲線上升或下

左圖中的曲線弧是向下凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞增.

曲方向.

降(由左向右),除此之外,我們還需要了解曲線的彎上方;

總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧的右圖中的曲線弧是向上凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞減.

有時(shí)把向下凸的弧稱為凹的,而把向上凸的弧下方;

總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧的稱為凸的.曲線的這種性質(zhì)稱作曲線的凹凸性.

如果單調(diào)遞增,

定義4.2設(shè)在區(qū)間I可導(dǎo),如果單調(diào)遞減,

在區(qū)間I是向上凸的,或稱凸的.定理4.7

設(shè)且

有且

有現(xiàn)只說明

(1).連接曲線上點(diǎn)

和的弦的中點(diǎn)為

對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)為

弦在曲線的上方即為

解例4.21判斷曲線的凹凸性.解例4.22判斷曲線的凹凸性.定義4.3連續(xù)曲線上凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).定理4.8(拐點(diǎn)的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在去心空心鄰域內(nèi)存在,(1)(2)定理4.9(拐點(diǎn)的第二充分條件)

曲線的拐點(diǎn).解例4.23求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.

例4.24證明證令所以曲線在上是嚴(yán)格向下凸的.有即1.垂直漸近線

(垂直于x軸的漸近線)4.4.3函數(shù)圖形的描繪一條漸近線.移向無窮點(diǎn)時(shí),如果點(diǎn)P到某定直線L的距離趨向于零,如果例如有兩條垂直漸近線:2.水平漸近線

(平行于x軸的漸近線)例如有兩條水平漸近線:如果3.斜漸近線如果即且注意:解如果定義域?yàn)榫毩?xí)

求的漸近線.不存在;不存在;可以斷定不存在斜漸近線.所以,是曲線的垂直漸近線.所以,是曲線的一條斜漸近線.因(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn)、奇偶性和周期性.和拐點(diǎn).(2)確定曲線的漸近線,把握函數(shù)的變化趨勢.

確定曲線的凹凸性(4)適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),如極值,拐點(diǎn)的坐標(biāo),注意曲線是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn).函數(shù)作圖的具體步驟可歸納如下:

(3)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,例4.25描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域?yàn)樗綕u近線:垂直漸近線:無斜漸近線.極大值拐點(diǎn)列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):作圖拐點(diǎn)極大值補(bǔ)充點(diǎn)水平漸近線:垂直漸近線:極大值拐點(diǎn)4.5

單調(diào)性與不等式

本節(jié)重點(diǎn)介紹如何利用函數(shù)的單調(diào)性證明證1由上式得拉格朗日中值定理的條件,例4.26證明當(dāng)不等式,其理論基礎(chǔ)仍然是拉格朗日中值定理.證2先證當(dāng)又因即再證當(dāng)證設(shè)則于是例4.27證明當(dāng)例4.28證明當(dāng)證設(shè)則即即(1)式成立.證原不等式等價(jià)于練習(xí)證明不等式設(shè)例4.29設(shè)證明:其中證(1)不妨設(shè)則于是

(1)得證;(2)由(1)有再由數(shù)學(xué)歸納法,(2)得證.

(2)式稱為詹生(Jensen)不等式.特別地,取

取即即“調(diào)和平均-幾何平均-算術(shù)平均”不等式.用可得證練習(xí)證明當(dāng)設(shè)則即例4.30證明楊氏不等式證1即得

其中

因此

證2即得楊氏不等式.

于是原不等式等價(jià)于

等價(jià)于

注

令

由楊氏不等式得稱為Cauchy-Schwarz(柯西-許瓦茲)不等式.即上式稱為H?lder不等式.

或定理4.10(柯西中值定理)

使得4.6柯西中值定理與洛必達(dá)法則(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且4.6.1柯西中值定理若函數(shù)f(x)及

F(x)滿足:由拉格朗日定理,分析使得再由已知令有整理,得作輔助函數(shù)則在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件證即由羅爾定理,使得即由得練習(xí)設(shè)證使得即使得練習(xí)設(shè)函數(shù)證結(jié)論可變形為使得即存在一點(diǎn)則定理4.11如果滿足條件:證由不妨設(shè)設(shè)x是該鄰域內(nèi)一點(diǎn)由定理的條件得在的某鄰域內(nèi)連續(xù),故有上式兩端令取極限則在處也連續(xù).注意到于是定理的條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.說明:如果滿足即證畢例4.31求解例4.32求解練習(xí)求解注意:

洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法,與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.定理4.12(洛必達(dá)法則)則

為了方便,我們把六種不同的極限方式都用表示,洛必達(dá)法則的一般形式如下.如果滿足條件:例4.33求解例4.34求解我們用“0”和“

”分別表示無窮小和無窮大.未定式包括以上七種形式的極限稱為未定式的極限.

其它五類未定型可化為方法:例4.35求解型例4.36求解型例4.37求解方法:型例4.38求解設(shè)則例4.39求解例4.40驗(yàn)證極限存在,但不能用洛必達(dá)法則求得.

解不滿足洛必達(dá)法則的條件,故不能應(yīng)用洛必達(dá)法則.不存在,也不是無窮大.

由于數(shù)列沒有導(dǎo)數(shù),所以不能直接用洛必達(dá)法則求數(shù)列的極限.數(shù)列未定式的極限有時(shí)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)未定式求得.

例4.41求數(shù)列的極限如果則解令則由得4.7泰勒公式

在實(shí)際問題中,往往希望用一些簡單的函數(shù)來而多項(xiàng)式函數(shù)就是最簡單的一類初等函數(shù).首先考慮函數(shù)在一點(diǎn)附近的多項(xiàng)式近似.設(shè)n是給定的正整數(shù),

我們考慮在點(diǎn)附近用n次即其中

近似代替復(fù)雜的函數(shù).多項(xiàng)式來近似函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用時(shí),必須考慮這種近似的誤差.

我們用來表示,它是一種相對(duì)誤差.

如果存在,我們所能期待的最理想的結(jié)果是:

當(dāng)n=1且存在時(shí),滿足(4-2)式的一次多項(xiàng)式是存在的.

由有即滿足(4-2)式的一次多項(xiàng)式為于是有設(shè)存在,則注意到

定理4.13(帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式

)稱為在處的n階泰勒多項(xiàng)式.其中證令只需證則連續(xù)使用(n-1)次洛必達(dá)法則,有(4-3)式可寫成其中(4-3)式稱為帶皮亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式,(4-3)式中的稱為皮亞諾型余項(xiàng).例4.42設(shè)函數(shù)證明:當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),不是的極值點(diǎn);

當(dāng)k為偶數(shù),且時(shí),是的極

時(shí),是的極大值點(diǎn).小值點(diǎn),證由泰勒公式有即因此當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),不是的極值點(diǎn);當(dāng)k為偶數(shù),且時(shí),是的極小點(diǎn);是的極大點(diǎn).定理4.14(帶有拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式

)那么使得其中稱為拉格朗日型余項(xiàng).現(xiàn)在考慮函數(shù)在區(qū)間上的多項(xiàng)式近似.

希望把函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的泰勒多項(xiàng)式作為這個(gè)函數(shù)在區(qū)

間上的一種近似表示.為此,

需要對(duì)誤差進(jìn)一步分析.

證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱為f(x)的n階麥克勞林多項(xiàng)式,(4-8)式稱為則f(x)的帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.而誤差估計(jì)式為稱為f(x)的帶皮亞諾型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.43

求

的n階麥克勞林公式.注意到解因例4.44

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

常用函數(shù)的麥克勞林公式解因例4.45

利用帶有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式,求于是解因練習(xí)計(jì)算

解練習(xí)

將

的多項(xiàng)式.而例4.46

證明不等式

的三階麥克勞林公式為

證其中故例4.47

近似計(jì)算的值，并估計(jì)誤差.在的麥克勞林公式中,

解其誤差取得到要使誤差不超過,只要,取,于是規(guī)定

4.8

曲率4.8.1弧長的微分

單調(diào)增函數(shù)弧長的微分（簡稱弧微分）.曲率是描述曲線局部性質(zhì)(彎曲程度)的量.))弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短1.曲率的定義)轉(zhuǎn)角越大彎曲程度越大4.8.2曲率及其計(jì)算公式

設(shè)曲線C是光滑的,曲線的彎曲程度與轉(zhuǎn)角成正比,與弧長成反比.定義4.4

)yxo（則稱其極限值為曲線C在點(diǎn)M處的曲率.曲率

曲率的計(jì)算公式由曲率的計(jì)算公式得設(shè)曲線由參數(shù)方程給出,

因所以所以直線的曲率恒為零.證明：例4.48證明：直線的曲率恒為零.不妨設(shè)圓的參數(shù)方程為證明：例4.49證明：圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù).于是曲率為例4.50求拋物線上曲率最大的點(diǎn).解顯然,當(dāng)時(shí),k最大.所以,拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大.定義4.5

使曲率中心,曲率半徑.設(shè)曲線

y=f(x)在點(diǎn)M(x,y)處的曲率為k(k≠0).在點(diǎn)M處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D,稱此圓為曲線在點(diǎn)M處的曲率圓.4.8.3曲率圓與曲率半徑以D為圓心,為半徑作圓(如圖).(1)曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的(2)曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)處(3)曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)注曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).的曲率越小(曲線越平坦);附近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).曲率互為倒數(shù),即第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析：只要證存在證設(shè)函數(shù)例1若函數(shù)使得使得分析:只要證存在證設(shè)函數(shù)例2設(shè)函數(shù)使得使得證明在例3