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文檔簡介

函數(shù)無窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點極限

在數(shù)軸上,常量對應于定點,變量對應于動點.我們用表示自變量x無限接近但不等于

即且動點x到定點的距離無限接近0.考察函數(shù)和

當時,

無限接近0,無限接近1,我們說當時函數(shù)的極限是

0,是無窮小,也稱當時而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數(shù),且

則稱當時的極限是A,

記作顯然,

即當時,是無窮小.由可得其中

C為常數(shù).例2.5證明證因而所以例2.6證明證因由有例2.7設證因由

有

證明我們用表示點x從的右側無限接近但不等于的過程.我們用表示點x從的左側無限接近但不等于的過程;單側極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學定義,

分別稱為f(x)在點的左極限與右極限.定理2.2(極限與左、右極限的關系)

注:也記成

也記成

例2.8證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以

不存在.2.2.2函數(shù)在無窮遠的極限考察函數(shù)

我們用表示x無限地遠離坐標原點,即無限增大的過程.

當時,無限增大,因此無限接近0,

我們說當時函數(shù)的極限是0,也稱當時是無窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數(shù),且

則稱當時的極限是A,

記作的幾何意義:之內.函數(shù)的圖形完全落在帶形區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無窮時由可得其中

C為常數(shù).例2.9證明證有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設

當時,因由例2.10證明證由有練習：證明證由有當時,不妨設

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學定義.

例2.11因此

不存在.

2.2.3極限的性質證設取有即在

的空心鄰域內有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個空心鄰域內有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號性)

證(1)不妨設(1)若因即于是設則在

的某個空心鄰域內與A同號.(2)如果在

的某個空心鄰域內2.2.4

無窮大考察函數(shù)

當時的變化趨勢.

任意給定的正數(shù)M,無論M多么大,

就有

我們稱當時是無窮大量,簡稱無窮大.定義2.4有記作設則稱當時是無窮大,

不會和任意一在內有定義個固定的常數(shù)無限接近,因而極限不存在.注意:當時是無窮大,

分別稱

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