高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：定積分在幾何上的應(yīng)用

定積分有著廣泛的用途,先介紹建立定積分的一種簡(jiǎn)便方法--微元法(元素法)下面介紹它在幾何,物理和經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題上的簡(jiǎn)單應(yīng)用.什么量可以用定積分表示出來(lái)?

定積分在幾何上的應(yīng)用(1)U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;則可以考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量U.(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說(shuō),如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當(dāng)所求量U符合下列條件：則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步驟：(1)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,確定恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,要部分,(4)求和取極限,得到并畫(huà)出草圖以幫助分析;(2)

確定所求總體量的非均勻分布函數(shù)及的變化區(qū)間(如);(3)在微小局部

上取得的線性主稱為量的微元.

求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.它對(duì)應(yīng)的面積元素dA為即1.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積6.5.1平面圖形的面積和平面曲線的弧長(zhǎng)

在[a,b]上任取一區(qū)間求由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對(duì)應(yīng)小區(qū)間解兩曲線的交點(diǎn)選

x為積分變量例6.38

計(jì)算由兩條拋物線

和所圍成的圖形的面積.面積元素解兩曲線的交點(diǎn)選

y為積分變量例6.39計(jì)算由曲線

和直線所圍成的圖形的面積.所求面積面積元素曲邊扇形的面積由極坐標(biāo)方程給出的平面曲線和射線所圍成的面積A.曲邊扇形2.極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積解該圖形關(guān)于x軸對(duì)稱性,所圍成的圖形的公共部分面積.例6.40

求心形線與圓

兩曲線在x軸上方的交點(diǎn)為解利用對(duì)稱性知練習(xí)求心形線圖形的面積.所圍平面設(shè)曲線弧L的參數(shù)方程為弧長(zhǎng)為其中

在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),3.平面曲線的弧長(zhǎng)且則稱L為光滑曲線.

弧微分設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為弧長(zhǎng)為其中

在

上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可化成參數(shù)方程弧微分弧長(zhǎng)為曲線的直角坐標(biāo)方程

也可以看作參數(shù)方程

其中在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

弧微分解由對(duì)稱性,星形線的全長(zhǎng)是第一象限部分的4倍例6.41求星形線

的全長(zhǎng).1.已知平行截面面積的立體的體積立體體積A(x)表示過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).如果一個(gè)立體介于過(guò)而垂直于x軸的兩平面之間，體積元素6.5.2體積問(wèn)題解取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為截面面積立體體積垂直于x軸的截面為直角三角形.例6.42

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角

計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.底高旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條圓柱圓錐圓臺(tái)2.旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．旋轉(zhuǎn)體的體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積為思考:

由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求其體積.取積分變量為x,小曲邊梯形繞

y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積元素解例6.43求由橢圓圍成的圖形繞

x軸旋這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體可以看成是由上半橢圓轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.與x圍成的圖形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成.所求體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線及

y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.