初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題【合集】

專題1動(dòng)點(diǎn)在等腰三角形中的分類討論（基礎(chǔ)篇）【專題說明】點(diǎn)的存在性問題，在中考?jí)狠S題中非常普遍。比如因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的全等三角形問題、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形。這些動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的幾何圖形問題可謂十分的普遍，難度系數(shù)究竟怎么樣？又有什么規(guī)律可遵循？下面，從動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形出發(fā)，分析探究這一點(diǎn)的存在性問題。既然是探究因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形，那么等腰三角形的基礎(chǔ)知識(shí)必須總結(jié)歸納，牢記于心。等腰三角形的性質(zhì)：（1）等邊對(duì)等角；（2）三線合一。等腰三角形的判定：等角對(duì)等邊。而等腰三角形還有一點(diǎn)要特別注意：不確定性?、龠叺牟淮_定性；②角的不確定性。當(dāng)給出等腰三角形的一條邊時(shí)，我們要確定這條邊到底是腰還是底邊，同時(shí)還要確保三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊。如果邊不確定，那么一定要分類討論！當(dāng)給出等腰三角形的一個(gè)角時(shí)，也要確定這個(gè)角是底角還是頂角。如果題中沒有明顯說明，那么一定要分類討論！因此，分類討論思想是動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題中非常重要的思想方法！

【精典例題】1、如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？AAQCDBP【解析】：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，則，∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒，∴厘米/秒．（2）設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，由題意，得，解得秒．∴點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米．∵，∴點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，∴經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇．2、已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點(diǎn)，線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；（2）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形的面積為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．求四邊形的面積隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．【解析】：（1）過點(diǎn)作，垂足為．則，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到被垂直平分時(shí)，四邊形是矩形，即時(shí)，CPQBCPQBAMNCPQBAMN四邊形是矩形，秒時(shí)，四邊形是矩形．，（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】此題關(guān)鍵也是對(duì)P、Q兩點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類。CCPQBAMN3、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP＝2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．圖1備用圖思路點(diǎn)撥1．第（2）題BP＝2分兩種情況．2．解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．滿分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時(shí)，PM＝1．此時(shí)．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM＝5．此時(shí)．所以．（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時(shí)，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時(shí)，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．此時(shí)．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時(shí)，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．此時(shí)．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因?yàn)椤螪FP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．圖5圖6

4、如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC＝，求AB、BD的長(zhǎng)；（2）如圖1，求證：HF＝EF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．圖1圖2思路點(diǎn)撥1．把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊．2．中點(diǎn)F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了．滿分解答（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如圖4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因?yàn)辄c(diǎn)F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5（3）如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點(diǎn)，得M是AB的中點(diǎn)．因此FM＝，△ACM是等邊三角形．又因?yàn)锳E＝，所以FM＝EA．又因?yàn)镃M＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點(diǎn)伸展我們?cè)倏磶讉€(gè)特殊位置時(shí)的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．如圖6，如圖7，當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合．圖6圖7如圖8，圖9，點(diǎn)E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11

5、如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么△DOA與△OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點(diǎn)為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點(diǎn)C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．圖2當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA＋PC最小，△PAC的周長(zhǎng)最?。O(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)．（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時(shí)，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時(shí)，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時(shí)，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5

專題2動(dòng)點(diǎn)在等腰三角形中的分類討論（提高篇）1、如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC＝，求AB、BD的長(zhǎng)；（2）如圖1，求證：HF＝EF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．圖1圖2思路點(diǎn)撥1．把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊．2．中點(diǎn)F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了．滿分解答（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如圖4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因?yàn)辄c(diǎn)F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5（3）如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點(diǎn)，得M是AB的中點(diǎn)．因此FM＝，△ACM是等邊三角形．又因?yàn)锳E＝，所以FM＝EA．又因?yàn)镃M＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點(diǎn)伸展我們?cè)倏磶讉€(gè)特殊位置時(shí)的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．如圖6，如圖7，當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合．圖6圖7如圖8，圖9，點(diǎn)E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11

2、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．圖1思路點(diǎn)撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長(zhǎng)MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三種情況，其中MA＝MN和NA＝NM兩種情況時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的．滿分解答（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負(fù)值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當(dāng)AM＝AN時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0．圖2圖3②如圖4，當(dāng)MA＝MN時(shí)，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時(shí)x＝OH＝2．所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．③如圖5，當(dāng)NA＝NM時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為．圖4圖5考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0,1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．

3、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP＝2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．圖1備用圖思路點(diǎn)撥1．第（2）題BP＝2分兩種情況．2．解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．滿分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時(shí)，PM＝1．此時(shí)．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM＝5．此時(shí)．所以．（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時(shí)，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時(shí)，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．此時(shí)．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時(shí)，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．此時(shí)．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因?yàn)椤螪FP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．圖5圖6考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)△CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．

4、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小．2．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點(diǎn)C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．圖2所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA＋PC最小，△PAC的周長(zhǎng)最?。O(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)．（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時(shí)，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時(shí)，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時(shí)，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5

5、如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么△DOA與△OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點(diǎn)為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)圖1（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l//y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．思路點(diǎn)撥1．把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問題．2．求△APR的面積等于8，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論．事實(shí)上，P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．3．討論等腰三角形APQ，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，點(diǎn)P的每一種位置又要討論三種情況．滿分解答（1）解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)．令，得．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)．（2）①如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如圖3，當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APR的最大面積為6．因此，當(dāng)t＝2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8．圖2圖3圖4②我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0≤t＜4．如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以O(shè)B＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我們?cè)賮碛懻揚(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4≤t＜7．在△APQ中，為定值，，．如圖5，當(dāng)AP＝AQ時(shí)，解方程，得．如圖6，當(dāng)QP＝QA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，當(dāng)PA＝PQ時(shí)，那么．因此．解方程，得．綜上所述，t＝1或或5或時(shí)，△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QP＝QA時(shí)，也可以用來求解．專題3動(dòng)點(diǎn)在四邊形中的分類討論（基礎(chǔ)篇）【專題說明】動(dòng)點(diǎn)問題是中考中非常重要的一類問題，也是中考中的熱點(diǎn)問題。動(dòng)點(diǎn)問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中變化的思想，分類討論的思想，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求非常高。四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題是一類非常重要的問題，它將三角形和平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合在一起進(jìn)行考察。一、解題基本思路解決動(dòng)點(diǎn)問題的思路，要注意以下幾點(diǎn)：1、設(shè)出未知數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題一般都是求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，通常設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑就是線段長(zhǎng)度題目通常會(huì)給動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度例如每秒兩個(gè)單位，那么運(yùn)動(dòng)路程就是2t個(gè)單位。而2t也就是這個(gè)點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的線段長(zhǎng)。進(jìn)而能表示其他相關(guān)線段的長(zhǎng)度。所以我們?cè)谧鰟?dòng)點(diǎn)問題的時(shí)候，第一步就是把圖形中的線段都用含t的代數(shù)式來表示。3、方程思想求出時(shí)間動(dòng)點(diǎn)問題通常都是用方程來解決，根據(jù)題目找到線段之間的等量關(guān)系，然后用含有t的代數(shù)式表示出來，列出方程求解出t的值。4、難點(diǎn)是找等量關(guān)系這種題的難點(diǎn)是找到等量關(guān)系。這個(gè)等量關(guān)系往往不是題目中用語言敘述出來的，而是同學(xué)們根據(jù)題型自己挖掘出來的等量關(guān)系，所以對(duì)同學(xué)們圖形分解的能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力要求非常高。5、注意分類討論因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的位置不同，形成的圖形就不同，符合結(jié)論的情況可能就不止一種，所以做動(dòng)點(diǎn)問題要注意分類討論。

【精典例題】1、如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．AABDCPQMN【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，（舍去）．因?yàn)锽Q+CM=，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合．所以符合題意．②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，．此時(shí)，不符合題意．故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合．所以所求x的值為．（2）由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由，解得．當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形．②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由，解得．當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形．所以當(dāng)時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）過點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．由于2x>x，所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)．若以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF，即．解得．由于當(dāng)x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以,以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值．圖1思路點(diǎn)撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個(gè)三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點(diǎn)的坐標(biāo)都表示出來．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗(yàn)證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點(diǎn)C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因?yàn)镻E//BC，所以．因此．所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時(shí)，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因?yàn)镕E//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點(diǎn)F關(guān)于PE軸對(duì)稱的點(diǎn)H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當(dāng)FQ＝CQ時(shí)，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當(dāng)EQ＝CQ時(shí)，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3

3、如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD//BC，交AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PQ．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．圖1圖2思路點(diǎn)撥1．菱形PDBQ必須符合兩個(gè)條件，點(diǎn)P在∠ABC的平分線上，PQ//AB．先求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，再根據(jù)PQ//AB，對(duì)應(yīng)線段成比例求CQ的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)Q的速度．2．探究點(diǎn)M的路徑，可以先取兩個(gè)極端值畫線段，再驗(yàn)證這條線段是不是點(diǎn)M的路徑．滿分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點(diǎn)P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．圖圖3過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．在Rt△APE中，，所以．當(dāng)PQ//AB時(shí)，，即．解得．所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為．（3）以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．如圖4，當(dāng)t＝0時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)E(3，0)．如圖5，當(dāng)t＝4時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是PB的中點(diǎn)F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為（，t）．經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)M（，t）在直線EF上．所以PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是線段EF的長(zhǎng)，EF＝．圖4圖5圖6考點(diǎn)伸展第（3）題求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的中點(diǎn)為(2，2)．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y＝－2x＋6．

4、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．圖1備用圖思路點(diǎn)撥1．過點(diǎn)E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個(gè)三角形．2．以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)討論矩形，當(dāng)AD為邊時(shí)，AD與QP平行且相等，對(duì)角線AP＝QD；當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，AD與PQ互相平分且相等．滿分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋a．（2）如圖1，過點(diǎn)E作x軸的垂線交AD于F．設(shè)E(x,ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x,ax＋a)，那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面積的最大值為．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：①如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD//QP，AD＝QP，對(duì)角線AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此時(shí)P．②如圖3，如果AD為矩形的對(duì)角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此時(shí)P．圖1圖2圖3考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解．設(shè)P(1,n)．①如圖2，當(dāng)AD時(shí)矩形的邊時(shí)，∠QPD＝90°，所以，即．解得．所以P．所以Q．將Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．②如圖3，當(dāng)AD為矩形的對(duì)角線時(shí)，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．

5、如圖1，已知拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－3,0)和B(0,3)兩點(diǎn)．將這條拋物線的頂點(diǎn)記為M，它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N．（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點(diǎn)記為M′，它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N′．如果以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1思路點(diǎn)撥1．拋物線在平移的過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時(shí)，以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形就是平行四邊形．2．平行四邊形的面積為16，底邊MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分兩種情況：點(diǎn)M′在點(diǎn)N′的上方和下方．4．NN′＝4分兩種情況：點(diǎn)N′在點(diǎn)N的右側(cè)和左側(cè)．滿分解答（1）將A(－3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以拋物線C的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,4)．（3）拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時(shí)，以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形就是平行四邊形．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為16，所以MN邊對(duì)應(yīng)的高NN′＝4．那么以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個(gè)單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C直接向左平移4個(gè)單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C先向右平移4個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）；拋物線C先向左平移4個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）．圖2圖3考點(diǎn)伸展本題的拋物線C向右平移m個(gè)單位，兩條拋物線的交點(diǎn)為D，那么△MM′D的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．將代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．圖4

專題4動(dòng)點(diǎn)在四邊形中的分類討論（提高篇）1、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．圖1備用圖思路點(diǎn)撥1．過點(diǎn)E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個(gè)三角形．2．以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)討論矩形，當(dāng)AD為邊時(shí)，AD與QP平行且相等，對(duì)角線AP＝QD；當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，AD與PQ互相平分且相等．滿分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋a．（2）如圖1，過點(diǎn)E作x軸的垂線交AD于F．設(shè)E(x,ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x,ax＋a)，那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面積的最大值為．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：①如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD//QP，AD＝QP，對(duì)角線AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此時(shí)P．②如圖3，如果AD為矩形的對(duì)角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此時(shí)P．圖1圖2圖3

2、如圖1，已知拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－3,0)和B(0,3)兩點(diǎn)．將這條拋物線的頂點(diǎn)記為M，它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N．（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點(diǎn)記為M′，它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N′．如果以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1思路點(diǎn)撥1．拋物線在平移的過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時(shí)，以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形就是平行四邊形．2．平行四邊形的面積為16，底邊MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分兩種情況：點(diǎn)M′在點(diǎn)N′的上方和下方．4．NN′＝4分兩種情況：點(diǎn)N′在點(diǎn)N的右側(cè)和左側(cè)．滿分解答（1）將A(－3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以拋物線C的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,4)．（3）拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時(shí)，以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形就是平行四邊形．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為16，所以MN邊對(duì)應(yīng)的高NN′＝4．那么以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個(gè)單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C直接向左平移4個(gè)單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C先向右平移4個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）；拋物線C先向左平移4個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）．圖2圖3考點(diǎn)伸展本題的拋物線C向右平移m個(gè)單位，兩條拋物線的交點(diǎn)為D，那么△MM′D的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．將代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．圖43、如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖1思路點(diǎn)撥1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）題解方程MN＝y(tǒng)M－yN＝BC，并且檢驗(yàn)x的值是否在對(duì)稱軸左側(cè)．滿分解答（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以O(shè)B＝5．如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，圖2所以．所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，那么．當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時(shí)，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因?yàn)閤＝3在對(duì)稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（如圖3）．圖3圖4

4、如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD//BC，交AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PQ．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．圖1圖2思路點(diǎn)撥1．菱形PDBQ必須符合兩個(gè)條件，點(diǎn)P在∠ABC的平分線上，PQ//AB．先求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，再根據(jù)PQ//AB，對(duì)應(yīng)線段成比例求CQ的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)Q的速度．2．探究點(diǎn)M的路徑，可以先取兩個(gè)極端值畫線段，再驗(yàn)證這條線段是不是點(diǎn)M的路徑．滿分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點(diǎn)P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．圖圖3在Rt△APE中，，所以．當(dāng)PQ//AB時(shí)，，即．解得．所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為．（3）以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．如圖4，當(dāng)t＝0時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)E(3，0)．如圖5，當(dāng)t＝4時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是PB的中點(diǎn)F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為（，t）．經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)M（，t）在直線EF上．所以PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是線段EF的長(zhǎng)，EF＝．圖4圖5圖6

5、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值．圖1思路點(diǎn)撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個(gè)三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點(diǎn)的坐標(biāo)都表示出來．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗(yàn)證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點(diǎn)C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因?yàn)镻E//BC，所以．因此．所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時(shí)，△ACG面積的最大值為1．（3）或．6、已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M．（1）求線段AM的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．本題最大的障礙是沒有圖形，準(zhǔn)確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對(duì)拋物線的位置要心中有數(shù)．2．根據(jù)MO＝MA確定點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，并且求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，是整個(gè)題目成敗的一個(gè)決定性步驟．3．第（3）題求點(diǎn)C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)、直線的斜率，用待定字母m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．滿分解答（1）當(dāng)x＝0時(shí)，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA＝3．如圖2，因?yàn)镸O＝MA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．將代入，得x＝1．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為．因此．（2）因?yàn)閽佄锞€y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設(shè)AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，3－2m)．將點(diǎn)C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）．圖2圖3

7、將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．把A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)起始位置的坐標(biāo)羅列出來，用m的式子把這六個(gè)點(diǎn)平移過程中的坐標(biāo)羅列出來．2．B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關(guān)系列關(guān)于m的方程．3．根據(jù)矩形的對(duì)角線相等列方程．滿分解答（1）拋物線c2的表達(dá)式為．（2）拋物線c1：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(－1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為．拋物線c2：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)也為(－1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為．拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，AB＝2．拋物線c2向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時(shí)，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時(shí)，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．圖2圖3圖4②如果以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如圖4）．

專題5動(dòng)點(diǎn)在梯形中的分類討論（基礎(chǔ)篇）【精典例題】1、如圖，在梯形中，厘米，厘米，的坡度動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與相互平分；（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？圖（15）圖（15）CcDcAcBcQcPcEc【解析】：（1）作于點(diǎn)，如圖（3）所示，則四邊形為矩形．又 2分在中，由勾股定理得：（2）假設(shè)與相互平分．由則是平行四邊形（此時(shí)在上）．即解得即秒時(shí)，與相互平分．（3）①當(dāng)在上，即時(shí)，作于，則即=當(dāng)秒時(shí)，有最大值為②當(dāng)在上，即時(shí)，=易知隨的增大而減?。十?dāng)秒時(shí)，有最大值為綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值為2、在梯形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)時(shí)，求的值．（3）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形．【解析】：（1）如圖①，過、分別作于，于，則四邊形是矩形∴在中，在，中，由勾股定理得，∴（圖①）（圖①）ADCBKH（圖②）ADCBGMN（2）如圖②，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形∵∴∴∴由題意知，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，∵∴又∴∴即解得，AADCBMN（圖③）（圖④）ADCBMNHE（3）分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，如圖③，即∴②當(dāng)時(shí)，如圖④，過作于解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得在中，又在中，∴解得∵∴∴即∴（圖⑤）（圖⑤）ADCBHNMF③當(dāng)時(shí)，如圖⑤，過作于點(diǎn).解法一：（方法同②中解法一）解得解法二：∵∴∴即∴綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形3、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線AC與拋物線交于點(diǎn)C(5,6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在x軸上，且△AEC和△AED相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點(diǎn)F和點(diǎn)A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．圖1圖1滿分解答（1）如圖1，因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)．將點(diǎn)C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以拋物線的解析式為．（2）由，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不論點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．圖2圖3如果△CAE∽△DAE，那么它們?nèi)?，這是不可能的．如圖2，圖3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．（3）因?yàn)椤螩AD＝90°，因此直角梯形存在兩種情況．①如圖4，當(dāng)DF//AC時(shí)，由，得．解得DF＝．此時(shí)F、D兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是2，所以F(3,0)．②如圖5，當(dāng)CF//AD時(shí)，由，得．解得CF＝．此時(shí)F、C兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是，所以F．圖4圖5

4、如圖1，把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點(diǎn)A(1，2)，過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)P為線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長(zhǎng)的底邊，這個(gè)等腰梯形可以分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長(zhǎng)線段．2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補(bǔ)得到，即△OFG減去△OEH．3．求△OEH的面積時(shí)，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2．4．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．滿分解答（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如圖2，過點(diǎn)P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝y(tǒng)P′－yB．直線OC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么．解方程，得，．x＝2的幾何意義是P與C重合，此時(shí)梯形不存在．所以．圖2圖3（3）如圖3，△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EK⊥OD于K．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以O(shè)K＝4HK．因此．所以．所以．于是．因?yàn)?＜m＜1，所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．

5、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12)兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x＝4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN//x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P1MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．圖1圖2思路點(diǎn)撥1．第（2）題可以根據(jù)對(duì)邊相等列方程，也可以根據(jù)對(duì)角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個(gè)階段，臨界點(diǎn)是PO的中點(diǎn)．滿分解答（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入A（2，0）、C(0，12)兩點(diǎn)，得解得所以二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4）．（2）由，知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．假設(shè)在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，2x)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得．解得或x＝－2．如圖3，當(dāng)x＝－2時(shí)，四邊形ODPB是平行四邊形．所以，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形．圖3圖4圖5（3）設(shè)△PMN與△POB的高分別為PH、PG．在Rt△PMH中，，．所以．在Rt△PNH中，，．所以．①如圖4，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分的面積等于△PMN的面積．此時(shí)．②如圖5，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重疊部分是梯形，面積等于△PMN的面積減去△P′DC的面積．由于，所以．此時(shí)．

專題6動(dòng)點(diǎn)在梯形中的分類討論（提高篇）1、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線AC與拋物線交于點(diǎn)C(5,6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在x軸上，且△AEC和△AED相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點(diǎn)F和點(diǎn)A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．由A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到直線CA、直線DA與x軸的夾角都是45°，因此點(diǎn)E不論在點(diǎn)A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．因此討論△AEC和△AED相似，要分兩種情況．每種情況又要討論對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系．2．因?yàn)椤螩AD是直角，所以直角梯形存在兩種情況．滿分解答（1）如圖1，因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)．將點(diǎn)C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以拋物線的解析式為．（2）由，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不論點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．圖2圖3如果△CAE∽△DAE，那么它們?nèi)?，這是不可能的．如圖2，圖3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．（3）因?yàn)椤螩AD＝90°，因此直角梯形存在兩種情況．①如圖4，當(dāng)DF//AC時(shí)，由，得．解得DF＝．此時(shí)F、D兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是2，所以F(3,0)．②如圖5，當(dāng)CF//AD時(shí)，由，得．解得CF＝．此時(shí)F、C兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是，所以F．圖4圖5

2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x＋2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是這條直線上第一象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為D，已知△ABD的面積為18．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，求拋物線的解析式；（3）已知（2）中的拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ//AC交x軸于點(diǎn)Q，如果點(diǎn)Q在線段AH上，且AQ＝CP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．圖1思路點(diǎn)撥1．△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)面積可以求得直角邊長(zhǎng)，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．2．AQ＝CP有兩種情況，四邊形CAQP為平行四邊形或等腰梯形．平行四邊形的情況很簡(jiǎn)單，等腰梯形求點(diǎn)P比較復(fù)雜，于是我們要想起這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：平行于等腰三角形底邊的直線截兩腰，得到一個(gè)等腰梯形和一個(gè)等腰三角形．滿分解答（1）直線y＝x＋2與x軸的夾角為45°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2,0)．因?yàn)椤鰽BD是等腰直角三角形，面積為18，所以直角邊長(zhǎng)為6．因此OD＝4．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,6)．（2）將A(－2,0)、B(4,6)代入，得解得b＝2，c＝6．所以拋物線的解析式為．（3）由，得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)．如果AQ＝CP，那么有兩種情況：①如圖2，當(dāng)四邊形CAQP是平行四邊形時(shí)，AQ//CP，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6)．②如圖3，當(dāng)四邊形CAQP是等腰梯形時(shí)，作AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F，那么點(diǎn)P在FC上．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,0)，根據(jù)FA2＝FC2列方程，得(x＋2)2＝x2＋62．解得x＝8．所以O(shè)F＝8，HF＝6．因此．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．圖2圖33、已知直線y＝3x－3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點(diǎn)A，B．（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記該拋物線的對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C，若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為P，其對(duì)稱軸與直線y＝3x－3交于點(diǎn)E，若，求四邊形BDEP的面積．圖1圖1

思路點(diǎn)撥1．這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)必須畫準(zhǔn)確，其實(shí)拋物線不必畫出，畫出對(duì)稱軸就可以了．2．拋物線向右平移，不變的是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不變的是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7，那么點(diǎn)P向右平移到直線x＝3時(shí)，就停止平移．滿分解答（1）直線y＝3x－3與x軸的交點(diǎn)為A(1，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,－3)．將A(1，0)、B(0,－3)分別代入y＝ax2＋2x＋c，得解得所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3．對(duì)稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)為(－1,－4)．（2）①如圖2，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2,－3)．因?yàn)镃D//AB，設(shè)直線CD的解析式為y＝3x＋b，代入點(diǎn)C(－2,－3)，可得b＝3．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．②過點(diǎn)P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．而DH＝7，所以PH＝3．因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，6）．所以．圖2圖34、如圖1，把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點(diǎn)A(1，2)，過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)P為線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長(zhǎng)的底邊，這個(gè)等腰梯形可以分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長(zhǎng)線段．2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補(bǔ)得到，即△OFG減去△OEH．3．求△OEH的面積時(shí)，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2．4．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．滿分解答（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如圖2，過點(diǎn)P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝y(tǒng)P′－yB．直線OC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么．解方程，得，．x＝2的幾何意義是P與C重合，此時(shí)梯形不存在．所以．圖2圖3（3）如圖3，△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EK⊥OD于K．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以O(shè)K＝4HK．因此．所以．所以．于是．因?yàn)?＜m＜1，所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．

5、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12)兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x＝4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN//x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P1MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．圖1圖2思路點(diǎn)撥1．第（2）題可以根據(jù)對(duì)邊相等列方程，也可以根據(jù)對(duì)角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個(gè)階段，臨界點(diǎn)是PO的中點(diǎn)．滿分解答（1）設(shè)拋物線的解析