專題26 解答題重點出題方向二次函數(shù)的實際應(yīng)用（原卷版）

專題26解答題重點出題方向二次函數(shù)的實際應(yīng)用（原卷版）

模塊一2022中考真題集訓

類型一最大利潤問題

1．（2022?淮安）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽

子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A

品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．

（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；

（2）當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進

行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當B品牌粽子每

袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

2．（2022?朝陽）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）

與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當每件消毒用品售價為9元

時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？

（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利

潤最大？最大利潤是多少元？

3．（2022?鞍山）某超市購進一批水果，成本為8元/kg，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來10天的售價

m（元/kg）與時間第x天之間滿足函數(shù)關(guān)系式mx+18（1≤x≤10，x為整數(shù)），又通過分析銷售情況，

1

發(fā)現(xiàn)每天銷售量（）與時間第天之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的三組對應(yīng)值．

ykgx=2

時間第x天…259…

銷售量y/kg…333026…

（1）求y與x的函數(shù)解析式；

（2）在這10天中，哪一天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為多少元？

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4．（2022?丹東）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30

元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷

售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：

銷售單價x（元/件）…354045…

每天銷售數(shù)量y（件）…908070…

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？

（3）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

5．（2022?鄂爾多斯）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第

一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．

（1）求第二批每個掛件的進價；

（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售

價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣

90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

6．（2022?荊門）某商場銷售一種進價為30元/個的商品，當銷售價格x（元/個）滿足40＜x＜80時，其銷

售量y（萬個）與x之間的關(guān)系式為yx+9．同時銷售過程中的其它開支為50萬元．

1

（）求出商場銷售這種商品的凈利潤（萬元）與銷售價格函數(shù)解析式，銷售價格定為多少時凈利

1=z?10xx

潤最大，最大凈利潤是多少？

（2）若凈利潤預期不低于17.5萬元，試求出銷售價格x的取值范圍；若還需考慮銷售量盡可能大，銷

售價格x應(yīng)定為多少元？

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7．（2022?青島）李大爺每天到批發(fā)市場購進某種水果進行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整

箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當購買1箱時，批發(fā)價為8.2元/千克，每多購買1箱，

批發(fā)價每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗，這種水果售價為12元/千克時，每天可銷售1箱；售

價每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．

（1）請求出這種水果批發(fā)價y（元/千克）與購進數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若每天購進的這種水果需當天全部售完，請你計算，李大爺每天應(yīng)購進這種水果多少箱，才能使每

天所獲利潤最大？最大利潤是多少？

8．（2022?營口）某文具店最近有A，B兩款紀念冊比較暢銷．該店購進A款紀念冊5本和B款紀念冊4本

共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本共需130元．在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀念冊售價為32

元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀念冊售價為22元/本時，每天的銷售

量為80本，B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

售價（元/本）……22232425……

每天銷售量（本）……80787674……

（1）求A，B兩款紀念冊每本的進價分別為多少元；

（2）該店準備降低每本A款紀念冊的利潤，同時提高每本B款紀念冊的利潤，且這兩款紀念冊每天銷

售總數(shù)不變，設(shè)A款紀念冊每本降價m元；

①直接寫出B款紀念冊每天的銷售量（用含m的代數(shù)式表示）；

②當A款紀念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？

9．（2022?遼寧）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價格購進一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不

高于28元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)

系，部分數(shù)據(jù)如表：

每千克售價x……202224……

（元）

日銷售量y（千……666054……

克）

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當每千克山野菜的售價定為多少元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為

多少元？

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10．（2022?遼寧）某超市以每件13元的價格購進一種商品，銷售時該商品的銷售單價不低于進價且不高于

18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函

數(shù)關(guān)系．

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價定為多少時，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？

類型二圖形面積最大問題

11．（2022?沈陽）如圖，用一根60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．

（1）若所圍成的矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面積的最大值為平方厘米．

12．（2022?威海）某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，

木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．

13．（2022?無錫）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的

長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長

度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．

（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；

（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

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14．（2022?湘潭）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍

墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學興趣小組設(shè)計了兩種方

案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：

（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總

種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；

（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多

少？

類型三物體的運動軌跡是拋物線的問題

15．（2022?寧夏）2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一

條拋物線，跳臺高度OA為4米，以起跳點正下方跳臺底端O為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，

建立如圖所示平面直角坐標系．已知拋物線最高點B的坐標為（4，12），著陸坡頂端C與落地點D的距離

為2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即）．

??3

求：（1）點A的坐標；=

??4

（2）該拋物線的函數(shù)表達式；

（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長．（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：1.73）

3≈

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16．（2022?衢州）如圖1為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．取水平線OE為x軸，

鉛垂線OD為y軸，建立平面直角坐標系．運動員以速度v（m/s）從D點滑出，運動軌跡近似拋物線y

＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某運動員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡CE上設(shè)置點K（與DO相距32m）

作為標準點，著陸點在K點或超過K點視為成績達標．

（1）求線段CE的函數(shù)表達式（寫出x的取值范圍）．

（2）當a時，著陸點為P，求P的橫坐標并判斷成績是否達標．

12

（3）在試=跳9中發(fā)現(xiàn)運動軌跡與滑出速度v的大小有關(guān)，進一步探究，測算得7組a與v的對應(yīng)數(shù)據(jù)，

在平面直角坐標系中描點如圖3．

①猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型，求函數(shù)表達式，并任選一對對應(yīng)值驗證．

②當v為多少m/s時，運動員的成績恰能達標（精確到1m/s）？（參考數(shù)據(jù)：1.73，2.24）

3≈5≈

17．（2022?蘭州）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投實心球，

實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出

時起點處高度為m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．

5

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

3

（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的

水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．

圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規(guī)則與測試要求》

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18．（2022?北京）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺．運動員起跳

后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，

運動員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某運動員進行了兩次訓練．

（1）第一次訓練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：

水平距離02581114

x/m

豎直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40

y/m

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；

（2）第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．記

該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為d2，則d1d2

（填“＞”“＝”或“＜”）．

19．（2022?河南）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距

地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角

坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是

水柱距地面的高度．

（1）求拋物線的表達式．

（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂

恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．

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20．（2022?臨沂）第二十四屆冬奧會在北京成功舉辦，我國選手在跳臺滑雪項目中奪得金牌．在該項目中，

運動員首先沿著跳臺助滑道飛速下滑，然后在起跳點騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停

止區(qū)終止．本項目主要考核運動員的飛行距離和動作姿態(tài)，某數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行

了深入研究：

如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過起跳點A與x軸垂直的直線

為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．著陸坡AC的坡角為30°，OA＝65m，某運動員在A處

起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB＝100m．在空中飛行過程中，運動員到x軸的距離y（m）

與水平方向移動的距離x（m）具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為yx2+bx+c．

1

（）求，的值；

1bc=?60

（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)，運動員在飛行過程中，其水平方向移動的距離x（m）與飛行時間t（s）具備一

次函數(shù)關(guān)系，當運動員在起跳點騰空時，t＝0，x＝0；空中飛行5s后著陸．

①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②當t為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？

21．（2022?江西）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋

物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點

K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準

臺的起跳臺的高度OA為66m，基準點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運動

員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．

（1）c的值為；

（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a，b，求基準點K的高度h；

19

=?=

②若a時，運動員落地點要超過K點，則b的取50值范圍為10；

1

（）若運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，試判斷他的落地點能否超過點，

3=?5025m76mK

并說明理由．

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類型四拱橋隧道問題

22．（2022?陜西）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為

坐標原點，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設(shè)

計要求：OE＝10m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9m．

（1）求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達式；

（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已

知點A、B到OE的距離均為6m，求點A、B的坐標．

模塊二2023中考押題預測

23．（2023?南海區(qū)一模）垃圾分類作為一個公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會各個層面共同發(fā)力，大瀝

鎮(zhèn)超市計劃定制一款家用分類垃圾桶，獨家經(jīng)銷．生產(chǎn)廠家給出如下定制方案：不收設(shè)計費，定制不超

過200套時，每套費用60元；超過200套后，超出的部分8折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均

費用為56元1套．

（1）該超市定制了這款垃圾桶多少套？

（2）超市經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當此款垃圾桶售價定為80元/套時，平均每天可售出20套；售價每降低1

元，平均每天可多售出2套．當售價下降多少元時，可使該超市平均每天銷售此款垃圾桶的利潤最大？

24．（2023?咸寧模擬）李麗大學畢業(yè)后回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開了一家服裝專賣店代理品牌服裝的銷售．已知該品

牌服裝進價每件40元，日銷售y（件）與銷售價x（元/件）之間的關(guān)系如圖所示（實線），每天付員工

的工資每人82元，每天應(yīng)支付其他費用106元．

（1）直接寫出日銷售y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當某天的銷售價為48元/件時，收支恰好平衡（收入＝支出），求該店員工人數(shù)；

（3）若該店只有2名員工，則每天能獲得的最大利潤是多少元？此時，每件服裝的價格應(yīng)定為多少元？

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25．（2022?云安區(qū)模擬）云浮市各級公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，

郁南縣某商場同時購進A，B兩種類型的頭盔，已知購進3個A類頭盔和4個B類頭盔共需288元；購

進6個A類頭盔和2個B類頭盔共需306元．

（1）A，B兩類頭盔每個的進價各是多少元？

（2）在銷售中，該商場發(fā)現(xiàn)A類頭盔每個售價50元時，每個月可售出100個；每個售價提高5元時，

每個月少售出10個．設(shè)A類頭盔每個x元（50≤x≤100），y表示該商家每月銷售A類頭盔的利潤（單

位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．

26．（2022?市南區(qū)三模）某企業(yè)生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，每件成本為50元．由于新產(chǎn)品市場有率較低，去年上市

初期銷量逐漸減少，1至6月，月銷售量y（件）與月份x（月）滿足一次函數(shù)關(guān)系：隨著新產(chǎn)品逐漸得

到市場認可，銷量增加，6至1月，月銷售量y（件）與月份x（月）滿足二次函數(shù)關(guān)系，且6月份的月

銷售量是該二次函數(shù)的最小值，函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）求y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知去年1至6月每件該產(chǎn)品的售價z（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系：z＝60x（1≤x≤6，x

5

+

為整數(shù)）．除成本外，平均每銷售一件產(chǎn)品還需額外支出雜費p元，p與月份x之間滿足函2數(shù)關(guān)系：px

1

（≤≤，為整數(shù)），從月至月每件產(chǎn)品的售價和雜費均穩(wěn)定在月的水平．去年至月，

1x6x7126112=2

該產(chǎn)品在第幾月獲得最大利潤？并求出最大利潤．

（3）今年以來，由于物價上漲及積壓了去年未銷售的產(chǎn)品等因素，該企業(yè)每月均需支出雜費6000元（不

論每月銷售量如何，且天數(shù)不滿一月時按整月計算）．為了出售去年積壓的4000件該產(chǎn)品，企業(yè)計劃以

單價70元銷售，每月可賣出350件．為了盡快回籠資金并確保獲利，企業(yè)決定降價銷售，每件該產(chǎn)品每

降價1元（降價金額為整數(shù)），每月可多賣出50件，且要求在5個月內(nèi)（含5個月）將這批庫存全部售

出，如何定價可使獲利最大？

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27．（2022?東莞市校級一模）紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化．小

明在春節(jié)前購進甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙

燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元．

（1）求甲、乙兩種燈籠每對的進價；

（2）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則每天少售出2

對：物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元，乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？

最大利潤是多少元？

28．（2023?鳳翔縣模擬）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路

線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的

基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．某滑雪賽場跳臺滑雪的起

跳臺的高度OA為60m，基準點K到起跳臺的水平距離為70m，高度為18m．設(shè)運動員從起跳點A起跳

后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為．

12

（）若運動員落地點恰好到達點，求，的值．

1Kbc?=?50?+??+?

（2）若運動員飛行的水平距離為21m，恰好達到最大高度68.82m，試判斷他的落地點能否超過K點，

并說明理由．

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29．（2022?東城區(qū)一模）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水

平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和h之間的關(guān)系進

行了探究．

下面是小紅的探究過程，請補充完整：

（1）經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應(yīng)值，如表．

d/米00.611.82.433.64

h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和h這兩個變量中，是自變量，是這個變量的函數(shù)；

（2）在下面的平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：

①橋墩露出水面的高度AE為米；

②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公

園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE＝DF，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C

處距橋墩的距離CE至少為米．（精確到0.1米）

30．（2022?巧家縣模擬）如圖所示的是小青同學設(shè)計的一個動畫示意圖，某彈球P（看作一點）從數(shù)軸上表

示﹣8的點A處彈出后，呈拋物線y＝﹣x2﹣8x狀下落，落到數(shù)軸上后，該彈球繼續(xù)呈現(xiàn)原拋物線狀向右

自由彈出，但是第二次彈出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次彈出的高度最大值是第二

次高度最大值的一半，…，依次逐漸向右自由彈出．

（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，并計算彈球第一次彈出的最大高度．

（2）當彈球P在數(shù)軸上兩個相鄰落點之間的距離為4時，求此時下落的拋物線的解析式．

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31．（2022?安順模擬）女生排球考試要求：墊球后，球在運動中離地面的最大高度至少為2米．某次模擬

測試中，某女生在O處將球墊偏，之后又在A，B兩處先后墊球，球沿拋物線C1→C2→C3運動（假設(shè)拋

物線C1，C2，C3在同一平面內(nèi)），最終正好在O處墊住，O處離地面的距離為1米．如圖所示，以O(shè)為

坐標原點1米為單位長度建立直角坐標系，x軸平行于地面水平直線m，已知點A（，），點B的橫坐

33

22

標為，拋物線C1和C3的表達式分別為y＝ax﹣2ax和y＝2ax+bx（a≠0）．28

3

（1）?求2拋物線C1的函數(shù)表達式．

（2）第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理由．

（3）為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該女生第三次墊球處B離地面的高

度至少為多少米？

32．（2022?孟村縣校級模擬）學校舉辦籃球比賽，運動員小明跳起投籃，已知球出手時離地面2.4米，與籃

圈中心的水平距離為7米，當球出手的水平距離4米時到達最大高度（M點）4米，設(shè)籃球運行軌跡為

拋物線，籃圈中心距地面3.1米．以地面為x軸，經(jīng)過最高點（M點）與地面垂直的直線為y軸建立如

圖所示的平面直角坐標系．

（1）請根據(jù)圖中信息，求出籃球運行軌跡的拋物線解析式；

（2）請問運動員小明的這次跳起投籃能否投中？

（3）此時，對方隊員乙上前攔截蓋帽，且隊員乙最大摸高3.2米，若隊員乙蓋帽失敗，則他距運動員小

明至少多遠？（1.414，結(jié)果精確到0.1）（說明：在球出手后，未達到最高點時，被防守隊員攔截下

來，稱為蓋帽，但球到達最高點后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規(guī)，判進攻方得2

2≈

分．）

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33．（2022?碧江區(qū)校級一模）如圖，古代一石橋有17個大小相同的橋洞，橋面平直，其中三個橋洞抽象

成拋物線，其最大高度為4.5m，寬為6m，將橋墩的寬度、厚度忽略不計，以水平方向為橫軸，建立平

面直角坐標系如圖所示，OM＝6．

（1）求OAM這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若一艘高于水平面3m的小船想要通過橋洞，根據(jù)安全需要，它頂部最寬處兩側(cè)距橋洞的水平距離

均不得小于20cm，設(shè)它頂部最寬處為dm，求d的值不得超過多少小船才能順利通過？

34．（2022?椒江區(qū)校級二模）自從某校開展“高效課堂”模式以來，在課堂上進行當堂檢測效果很好．每

節(jié)課40分鐘教學，假設(shè)老師用于精講的時間x（單位：分鐘）與學生學習收益量y的關(guān)系如圖1所示，

學生用于當堂檢測的時間x（單位：分鐘）與學生學習收益y的關(guān)系如圖2所示（其中OA是拋物線的一

部分，A為拋物線的頂點）．

（1）求老師精講時的學生學習收益量y與用于精講的時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求學生當堂檢測的學習收益量y與用于當堂檢測的時間x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）問如何將課堂時間分配給精講和當堂檢測，才能使學生在這40分鐘的學習收益總量最大？

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35．（2022?大名縣校級四模）某乒乓球館使用發(fā)球機進行輔助訓練，出球口A位于桌面BC左上方，桌面

BC的長為2.74m．過點A作OA⊥BC，垂足為O，OB＝0.03m，以點O為原點，以直線BC為x軸，OA

所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運動路線為拋物線的一部

分L，設(shè)乒乓球與出球口A的水平距離為x（m），到桌面的高度為y（m），運行時間為t（s），在桌面上

的落點為D，經(jīng)測試，得到如下部分數(shù)據(jù)：

t（s）00.20.40.60.8…

x（m）00.511.52…

y（m）0.250.40.450.40.25…

（1）當t＝s時，乒乓球達到最大高度；猜想y與t之間是否存在二次函數(shù)關(guān)系，如果存在，求

出函數(shù)關(guān)系式；如果不存在，請說明理由；

（2）桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，求乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過多長時間位于球網(wǎng)

正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（3）乒乓球落在點D后隨即彈起，沿拋物線L′：y＝﹣0.5（x﹣p）（x﹣3.5）的路線運動，小明拿球

拍EF與桌面夾角為60°接球，球拍中心線EF長為0.16m，下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線L，L′與EF

3

在同一平面內(nèi)，且乒乓球落在EF上（含端點，點E在點C右側(cè)），求p的值，并直接寫出EF到桌邊的

距離CE的取值范圍．

36．（2022?惠水縣模擬）城市立交橋在緩解道路擁堵，讓城市交通更加順暢方面發(fā)揮了重要作用．如圖，

是某市立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的示意圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸．橋

拱的DGD′部分為一段拋物線，頂點G的高度為10m，AD和A′D′是兩側(cè)高為8m的支柱，OA和OA′

為兩個方向的汽車通行區(qū)，寬都為18m，線段CD和C′D′為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1：3.5．

（1）求橋拱DGD'所在拋物線的解析式及CC′的長；

（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為6m，相應(yīng)的AB和A'B′為兩個方向的行人及非機動車

通行區(qū)，試求AB和A'B'的寬；

（3）按規(guī)定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于lm．今有一大型運貨汽車，

裝載某大型設(shè)備后，其寬為4.5m，車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離為8m，它能否從OA（或OA'）區(qū)

域安全通過？請說明理由，

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37．（2022?亭湖區(qū)校級一模）中國在2022年北京冬奧會上向全世界展示了“胸懷大局，自信開放，迎難而

上，追求卓越，共創(chuàng)未來”的北京冬奧精神．跳臺滑雪是北京冬奧會的比賽項目之一，下圖是某跳臺滑

雪場地的截面示意圖．平臺AB長1米（即AB＝1），平臺AB距地面18米．以地面所在直線為x軸，過

點B垂直于地面的直線為y軸，取1米為單位長度，建立平面直角坐標系．已知滑道對應(yīng)的函數(shù)為yx2

1

﹣（≥）．運動員（看成點）在方向獲得速度米秒后，從處向右下飛向滑道，點是下

4x+cx1BAv/AM=5

落過程中的某位置（忽略空氣阻力）．設(shè)運動員飛出時間為t秒，運動員與點A的豎直距離為h米，運動

員與點A的水平距離為l米，經(jīng)實驗表明：h＝6t2，l＝vt

（1）求滑道對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）當v＝5，t＝1時，通過計算判斷運動員此時是否已落在滑道上；

（3）在某一次的試跳中，運動員甲從A處飛出，飛出的路徑近似看作函數(shù)yx2x圖象的一部

1289

分，根據(jù)實踐可知，若運動員在飛行的過程中，存在飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離在～米的范

=?5+5+5810

圍內(nèi)即可成功，請你通過計算說明該運動員此次試跳是否能成功．

38．（2022?泉山區(qū)校級三模）某公司開發(fā)出一種產(chǎn)品，生產(chǎn)成本為5元/件，規(guī)定售價不超過15元/件，受

產(chǎn)能限制，按訂單生產(chǎn)該產(chǎn)品（銷量＝產(chǎn)量），年銷量不超過30萬件．年銷量y（萬件）與售價x（元/

件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖①所示；為提高該產(chǎn)品競爭力，投入研發(fā)費用P萬元（計入成本），P與x之

間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，AB是一條線段，BC是拋物線的一部分．

12

?=4??4?+?

（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；

（2）當售價為多少元時年利潤最大，最大利潤是多少萬元？

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39．（2022?義烏市模擬）如圖，AB，CD是兩個過江電纜的鐵塔，塔高均為40米，AB的中點為P，小麗在

距塔底B點西50米的地面E點恰好看到點E，P，C在一直線上，且P，D離江面的垂直高度相等．跨

江電纜AC因重力自然下垂近似成拋物線形，為了保證過往船只的安全，電纜AC下垂的最低點距江面的

高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度為6米，電纜AC下垂的最低點剛好滿足最低高度要

求．

（1）求電纜最低點與河岸EB的垂直高度h及兩鐵塔軸線間的距離（即直線AB和CD之間的水平距離）．

（2）求電纜AC形成的拋物線的二次項系數(shù)．

40．（2022?惠民縣二模）要建設(shè)六間長方形雞舍，如圖是其平面示意圖，一面靠墻，其余各面用鐵絲網(wǎng)圍

成．設(shè)每間雞舍的長為xm，寬為ym．

（1）現(xiàn)有長度為144m的鐵絲網(wǎng)，受地形影響要求15≤x≤18，如何設(shè)計可使每間雞舍面積最大？（建

設(shè)過程中的損耗忽略不計）

（2）若使每間雞舍面積為200m2，每間雞舍的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成雞舍的鐵絲網(wǎng)總長度最

??？（精確到0.1m，）

3≈1.732

41．（2022?常山縣模擬）在新農(nóng)村建設(shè)過程中，渣瀨灣村采用“花”元素打造了一座花都村莊．如圖，一

農(nóng)戶用長為25m的籬笆，一面利用墻，圍成有兩個小門且中間隔有一道籬笆的長方形花圃．已知小門寬

為1m，設(shè)花圃的寬AB為x（m），面積為S（m2）．

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達式．

（2）如果要圍成面積為54m2的花圃，AB的長為多少米？

（3）若墻的最大長度為10m，則能圍成的花圃的最大面積為多少？并求此時AB的長．

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42．（2022?濰坊三模）如圖，是某同學正在設(shè)計的一動畫示意圖，x軸上依次有A，O，N三個點，且AO＝

2，在ON上方有五個臺階T1～T5（各拐角均為90°），每個臺階的高、寬分別是1和1.5，臺階T1到x

軸距離OK＝10．從點A處向右上方沿拋物線L：y＝﹣x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點P．

（1）求點A的橫坐標，且在圖中補畫出y軸，并直接指出點P會落在哪個臺階上；

（2）當點P落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C，且最大高度為11，求

拋物線C的表達式．

43．（2022?茂南區(qū)二模）如圖，某養(yǎng)豬戶想用29米長的圍欄設(shè)計一個矩形的養(yǎng)豬圈，其中豬圈一邊靠墻

MN，另外三邊用圍欄圍住，在BC邊開個門（寬度為1米），MN的長度為15m．

（1）為了讓圍成的豬圈（矩形ABCD）面積達到112m2，請你幫忙