專題10 二次函數(shù)-將軍飲馬求最小值（平移）（原卷版）

第十講二次函數(shù)--將軍飲馬求最值（平移）

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一平移.....................................................................................................................................................2

考點(diǎn)二平移+對(duì)稱...........................................................................................................................................3

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求

P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)

（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q

即為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：

過A點(diǎn)作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ

長，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。

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考點(diǎn)一平移

1．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線

的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上

運(yùn)動(dòng)．

（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求CP+PQ+QB的最小值；

2．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)Q為拋物線y＝ax2+bx+c第四象限上的一點(diǎn)，若△ACQ與△ABC的面積相等，求點(diǎn)Q

的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，分別與x軸、直線y＝2交于

點(diǎn)K、N，連接MN、QK，探究MN+NK+QK是否存在最小值時(shí)，若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)并直接寫

出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)你說明理由．

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考點(diǎn)二平移+對(duì)稱

3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把

△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD．

（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），且EF＝1，使四邊形ACEF的

周長最小，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

4．已知：拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），C（0，4），點(diǎn)B為拋物線與x軸

的另一個(gè)交點(diǎn)．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝2，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周

長的最小值．

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5．如圖1，拋物線y＝﹣x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．

（1）求線段AC的長；

（2）如圖2，E為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M、N為直線AC上的兩動(dòng)點(diǎn)（M

在N的左側(cè)），且MN＝4，作FP⊥AC于點(diǎn)P，F(xiàn)Q∥y軸交AC于點(diǎn)Q．當(dāng)△FPQ的面積最大時(shí)，連接

EF、EN、FM，求四邊形ENMF周長的最小值．

6．如圖1，拋物線y＝x與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連AC，

點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)D作DE∥AC交拋物線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)P．

（1）點(diǎn)F是直線AC下方拋物線上點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，連DF交AC于點(diǎn)G，連EG，當(dāng)△EFG的面積的最大值

時(shí)，直線DE上有一動(dòng)點(diǎn)M，直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)N，滿足MN⊥AC，連GM，NO，求GM+MN+NO的

最小值；

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7．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與

y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，且3OC＝4OB，對(duì)稱軸為直線x＝，點(diǎn)，連接

CE交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，連接AF交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式和直線CE的解析式；

（2）如圖②，過E作EP⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，點(diǎn)Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)QG+QB最小時(shí)，線

段MN在線段CE上移動(dòng)，點(diǎn)M在點(diǎn)N上方，且MN＝，請(qǐng)求出四邊形PQMN周長最小時(shí)點(diǎn)N的

橫坐標(biāo)；

8．如圖，拋物線y＝x2+x﹣交x軸于點(diǎn)A、B．交y軸于點(diǎn)C．

（1）求直線AC的解析式，

（2）若P為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、CP，以PC為對(duì)角線作平行四邊形ACDP，當(dāng)平

行四邊形ACDP面積最大時(shí)，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，此時(shí)線段MN在直線AQ上滑動(dòng)（M在N的

左側(cè)），MN＝，連接BN，PM，求BN+NM+MP的最小值及平行四邊形ACDP的最大面積；

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9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C（4，

﹣5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AD的

最小值；

10．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)

D為頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，且橫坐標(biāo)為4，AE與y軸交F．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)D和F的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M、N是拋物線對(duì)稱軸上兩點(diǎn)，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，

N四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最小，若存在，求出這個(gè)周長最小值，并求出a的值；

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11．如圖，過點(diǎn)A（5，）的拋物線y＝ax2+bx的對(duì)稱軸是直線x＝2，點(diǎn)B是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，

點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求a、b的值；

（2）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求△OBC的面積；

（3）設(shè)點(diǎn)P在直線OA下方且在拋物線y＝ax2+bx上，點(diǎn)M、N在拋物線的對(duì)稱軸上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的

上方），且MN＝2，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線OA于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形BQMN

的周長最小時(shí)點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)．

12．如圖1，已知拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為頂點(diǎn)．

（1）求直線AC的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）已知E（0，），點(diǎn)