專題21二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題21二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題

【例1】（2022?泰安二模）拋物線yx22xm的頂點(diǎn)A在x軸上，與y軸交于點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；

AB1

（2）如圖1，直線CD//AB交拋物線于C，D兩點(diǎn)，若，求COD的面積；

CD3

（3）如圖2，已知（2）中C點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P是第二象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得tanPCO2，若存

在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

第1頁共25頁.

【例2】（2022?江岸區(qū)校級模擬）拋物線yax2c(a0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OB2OC，

．

SABC2

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

1

（2）如圖2，若M(4,m)，N是拋物線上兩點(diǎn)，N在對稱軸右側(cè)，且tanOMN，求N點(diǎn)坐標(biāo)；

3

（3）如圖3，D是B點(diǎn)右側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，D、E兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，直線DB、EB分別交直線x1于

G、Q兩點(diǎn)，GQ交x軸于P，求PGPQ的值．

第2頁共25頁.

【例3】（2022?沈陽模擬）如圖1，直線yx3分別交x軸，y軸于點(diǎn)B，C，經(jīng)過點(diǎn)B，C的拋物線yx2bxc

交x軸正半軸于點(diǎn)A．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，D是第三象限內(nèi)的拋物線上動(dòng)點(diǎn)，DE//y軸交直線BC于點(diǎn)E，若CDE是等腰三角形，求點(diǎn)D

坐標(biāo)；

1

（3）F是拋物線的頂點(diǎn)，直線BC上存在點(diǎn)M，使tanFMO，請直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)．

2

第3頁共25頁.

【例4】（2022?湖北）拋物線yx24x與直線yx交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

1

（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tanPDO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

（3）如圖2，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m(0m5)，連接MQ，

S

，與直線交于點(diǎn)．設(shè)和的面積分別為和，求1的最大值．

BQMQOBEBEQBEMS1S2

S2

第4頁共25頁.

1

【例5】（2022?南充）拋物線yx2bxc與x軸分別交于點(diǎn)A，B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4)．

3

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，BCPQ頂點(diǎn)P在拋物線上，如果BCPQ面積為某值時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)．

（3）如圖2，點(diǎn)M在第二象限的拋物線上，點(diǎn)N在MO延長線上，OM2ON，連接BN并延長到點(diǎn)D，使

NDNB．MD交x軸于點(diǎn)E，DEB與DBE均為銳角，tanDEB2tanDBE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

第5頁共25頁.

1

【例6】（2022?無錫）已知二次函數(shù)yx2bxc圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)A(1,0)，圖象與y軸交于點(diǎn)B(0,3)，

4

C、D為該二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CAD90．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，求tanCDA的值；

（3）點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tanCDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由．

第6頁共25頁.

一．解答題（共20題）

1．（2022秋?工業(yè)園區(qū)期中）已知拋物線yax22axc的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

與y軸正半軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，直線MDx軸于點(diǎn)D．

3

（1）當(dāng)a0時(shí)，知OCMD，求AB的長；

4

（2）當(dāng)a0時(shí)，若OCOB，tanACB2，求拋物線的解析式；

2．（2022春?德化縣期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線yax2bxc(a0)與x軸的正半

軸交于點(diǎn)A(2m,0)，P為拋物線的頂點(diǎn)，且tanOAP2．

（1）已知m2．

①求二次函數(shù)的解析式；

②直線l:ykxb平行于AP，且將OAP分成面積相等的兩部分，求直線l的解析式．

（2）若Q為對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且直線AQ交對稱軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B，C關(guān)于點(diǎn)P對稱，求證：

直線CQ過定點(diǎn)．

第7頁共25頁.

3．（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，已知拋物線yax22axc(a0)與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，與x軸交于點(diǎn)A、

B，

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)；

①求該拋物線的解析式．

②tanCBO；

③點(diǎn)D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)D作DE//AC，交線段BC于點(diǎn)E，連接CD，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，CDE

的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)CDE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（）已知、是拋物線上兩點(diǎn)；將拋物線上位于、兩點(diǎn)間的部分記為；把的最高點(diǎn)

2M(1,y1)N(2,y2)MNGG

與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差記為d，當(dāng)2?d?5時(shí)，求a的取值范圍．

第8頁共25頁.

4．（2022?長春模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22ax3a(a0)的頂點(diǎn)為P，且該拋物線與x軸交于

A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．我們規(guī)定拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“區(qū)域G”（不包括邊界）；橫、

縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．

（1）如果拋物線yax22ax3a經(jīng)過點(diǎn)(1,3)．

①求a的值；

②直接寫出“區(qū)域G”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)a0時(shí)，如果拋物線yax22ax3a在“區(qū)域G”內(nèi)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a0時(shí)，拋物線與直線xa交于點(diǎn)C，把點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)D，以CD為邊作等腰直

角三角形CDE，使DCE90，點(diǎn)E與拋物線的頂點(diǎn)始終在CD的兩側(cè)，線段DE與拋物線交于點(diǎn)F，當(dāng)

2

tanECF時(shí)，直接寫出a的值．

3

第9頁共25頁.

5．（2022?長沙二模）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足290，那么我們稱這樣的三角形為“CJ三角形”．

（1）判斷下列三角形是否為“CJ三角形”？如果是，請?jiān)趯?yīng)橫線上畫“”，如果不是，請?jiān)趯?yīng)橫線上畫

“”；

①其中有兩內(nèi)角分別為30，60的三角形；

②其中有兩內(nèi)角分別為50，60的三角形；

③其中有兩內(nèi)角分別為70，100的三角形；

k

（2）如圖1，點(diǎn)A在雙曲線y(k0)上且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B(4,0)，C為OB中點(diǎn)，D為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，

x

若OAB90．

①求k的值，并求證：ABC為“CJ三角形”；

②若OAB與OBD相似，直接寫出D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，E為BC邊上一點(diǎn)，BECE且ABE是“CJ三

角形”，已知A(6,0)，記BEt，過A，E作拋物線yax2bxc(a0)，B在A右側(cè)，且在x軸上，點(diǎn)Q在

1

拋物線上，使得tanABQ，若符合條件的Q點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，求拋物線yax2bxc的解析式．

t3

第10頁共25頁.

6．如圖，拋物線yax2bx2(a0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)F是拋物線上一動(dòng)

點(diǎn)，過點(diǎn)B，C作直線BC．

（1）求拋物線的解析式及tanCBO的值；

2

（2）當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離為時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

2

（3）過點(diǎn)F作FEx軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，若FCDACO45，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

第11頁共25頁.

7．（2022?中山市三模）如圖，拋物線yax2bx3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸

4

為直線x1，點(diǎn)A(1,0)，過B的直線交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于E，且tanEBA．

3

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)P，使得BDP的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

4

（3）點(diǎn)M是線段BE上的一點(diǎn)，求AMME的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

5

第12頁共25頁.

8．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x的正半軸和y的正半軸上，

tanOAB3，拋物線yx2mx3經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）將OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，求四邊形ABCD的面積；

（3）將該拋物線沿y軸向上或向下平移，使其經(jīng)過點(diǎn)C，若點(diǎn)P在平移后的拋物線上，且滿足ACPABO，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第13頁共25頁.

9．（2022?沈陽模擬）如圖，已知點(diǎn)A(4,0)，點(diǎn)B(2,1)，直線y2xb過點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，拋物線

15

yax2xc經(jīng)過點(diǎn)A，C．

4

（1）求拋物線的解析式；

4

（2）D為直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，且tanACD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

3

1

（3）平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，與點(diǎn)O距離始終為2，連接PA，PC．直接寫出PAPC的最小值．

2

第14頁共25頁.

3

10．（2022春?西山區(qū)校級月考）已知對稱軸為直線x的拋物線經(jīng)過A(1,0)，C(0,4)兩點(diǎn)，拋物線與x軸的

2

另一個(gè)交點(diǎn)為B．

（1）求拋物線的解析式；

SPBD

（2）如圖1，若點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接OP，BC交于點(diǎn)D，連接BP，求的最大值；

SOBD

1

（3）如圖2，若點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，且當(dāng)tanBCQ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

4

第15頁共25頁.

11．（2022春?漢川市校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為A(2cos60,2sin45)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(5,3)，

且與x軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求tanAOB的值；

（3）點(diǎn)M在第二象限內(nèi)的拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，且MNDOAB，當(dāng)DMN與OAB相似時(shí)，求點(diǎn)M的

坐標(biāo)．

第16頁共25頁.

12．（2022秋?道里區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線yx3交x軸于點(diǎn)A，y

軸于點(diǎn)D，拋物線yx2bx3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P在第三象限拋物線上，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，連接AP、DP，APD的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（不要求寫自變量t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線段AD相交于點(diǎn)E，且EPD2PDC，過點(diǎn)E作EFPD

1

交PD于G，y軸于點(diǎn)F，連接PF，若sinPFC，求線段PF的長．

3

第17頁共25頁.

13．（2022?荊門模擬）拋物線yax2bxc與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(1,4)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)P(m,n)在第一象限的拋物線上，且mn9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；在線段PA上確定一點(diǎn)M，使DM

平分四邊形ACDP的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OQ、AQ，設(shè)AOQ的外心為H，當(dāng)sinOQA的值最大時(shí)，請

直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

第18頁共25頁.

14．（2022春?磐安縣期中）如圖，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)，B(9,0)，與y軸交于點(diǎn)C，

已知OACOCB．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P在y軸上，在該拋物線的對稱軸上，是否存在唯一的點(diǎn)Q，滿足AQP90？如果存在，請求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

2

（3）若點(diǎn)P在y軸上，滿足sinAPB的點(diǎn)P是否存在？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說

3

明理由．

第19頁共25頁.

15．（2022?合肥模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于點(diǎn)A(2,0)，B(4,0)，

33

與直線yx3交于y軸上的點(diǎn)C，直線yx3與x軸交于點(diǎn)D．

22

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的一一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PD，當(dāng)PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線的對稱軸向左平移3個(gè)長度單位得到直線l，點(diǎn)E是直線l上一點(diǎn)，連接OE、BE，若直線l上存

在使sinBEO最大的點(diǎn)E，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第20頁共25頁.

16．（2022?高州市一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yax2bx3與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，

與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線頂點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）如圖1，連接AD，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD交x軸于F，連接EF、

，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

APSADP3SDEFP

（3）點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接OQ、AQ，設(shè)AOQ外接圓圓心為H，當(dāng)sinOQA的值最大時(shí)，請

求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

第21頁共25頁.

17．（2022?夏津縣模擬）如圖，拋物線yax2bx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且OA2OB，與y軸交于點(diǎn)C，

1

連接BC，拋物線對稱軸為直線x．D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEOA于點(diǎn)E，與AC交

2

于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)線段DF的長度最大時(shí)，求sinDCF的值；

（3）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，B，C，G為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第22頁共25頁.

18．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx2與x軸交點(diǎn)為A(4,0)、B(1,0)，與y

軸交于點(diǎn)C，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDAC于D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，若P在直線AC上方，PEx軸于E，交AC于F．

①求sinPFD的值；

②求線段PD的最大值．

（3）如圖2，連接PC，當(dāng)PCD與ACO相似時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第23頁共25頁.

19．（2022?廣東模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線