職教高考 集合的概念及表示法含答案

1．1.1集合的概念及表示法[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．集合的基本概念(1)集合：把具有某種屬性的一些能夠確定的對(duì)象看成一個(gè)整體，就構(gòu)成一個(gè)集合．集合通常用大寫(xiě)英文字母A，B，C，…來(lái)表示，集合中的每一個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素．元素通常用小寫(xiě)英文字母a，b，c，…來(lái)表示．(2)集合中元素的性質(zhì)：①確定性；②互異性；③無(wú)序性．(3)元素與集合的關(guān)系：若a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A；若a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A.(4)數(shù)集：以數(shù)作為元素的集合．常見(jiàn)數(shù)集的符號(hào)表示：①自然數(shù)集N；②正整數(shù)集N＋或N*；③整數(shù)集Z；④有理數(shù)集Q；⑤實(shí)數(shù)集R.(5)集合的分類：①有限集：含有有限個(gè)元素的集合；②無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合；③空集：不含任何元素的集合，記做?.2．集合的表示法(1)列舉法：把集合的元素列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法．集合的元素不多時(shí)可一一列舉，集合的元素較多或無(wú)限集，在不發(fā)生誤解的情況下，只列出幾個(gè)代表元素，其他元素用省略號(hào)表示．(2)性質(zhì)描述法：把集合的特征性質(zhì)描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法．①特征性質(zhì)：集合A的特征性質(zhì)p，是指屬于集合A的元素具有性質(zhì)p，而不屬于集合A的元素不具有性質(zhì)p.②性質(zhì)描述法的一般形式：A＝{x∈U|p(x)}，豎線左邊的x代表集合的任一元素及元素的取值范圍，右邊表示集合中的元素所具有的性質(zhì)．③簡(jiǎn)略形式：{元素名稱}，如{平行四邊形}等．注意：“{}”表示“全體”的意思，一般情況下實(shí)數(shù)集記為R，不能寫(xiě)成{全體實(shí)數(shù)}或{R}．(3)文氏圖示法：用平面內(nèi)的一條封閉曲線的內(nèi)部表示集合的方法，如圓、橢圓、平面多邊形等．基礎(chǔ)訓(xùn)練1．集合A＝{－1，0，7，9}中的元素個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．42．下列關(guān)系正確的是()A．0∈?B．0??C．0＝?D．?∈03．填空(用列舉法表示集合)(1)大于3且小于10的偶數(shù)的全體________．(2)絕對(duì)值等于1的實(shí)數(shù)的全體________．(3)小于100的正偶數(shù)的全體________．(4)一年中有31天的月份的全體________．4．填空(用性質(zhì)描述法表示集合)(1)絕對(duì)值等于2的實(shí)數(shù)的全體________．(2)方程x2－x－2＝0的解構(gòu)成的集合________．(3)偶數(shù)的全體構(gòu)成的集合________．(4)兩邊長(zhǎng)分別為3，5的三角形中，第三邊可取的整數(shù)的集合________．5．用符號(hào)“∈”或“?”填空(1)x________{x，y，z}；(2)π________Q；(3)3________{x||x|<4}．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1集合與元素例1下列語(yǔ)句可以構(gòu)成一個(gè)集合的個(gè)數(shù)為()①班上很瘦的同學(xué)；②方程x2＝9的所有的實(shí)數(shù)根；③某次期末考試前10名的學(xué)生；④全國(guó)著名學(xué)者的全體．A．1B．2C．3D．4【解析】根據(jù)集合的概念，由某些確定的對(duì)象組成的整體，才能構(gòu)成集合，所以只有②是正確的，故選A.【變式訓(xùn)練】下列語(yǔ)句中，哪個(gè)可確定一個(gè)集合()A．與1接近的實(shí)數(shù)全體B．某班性格好的同學(xué)C．無(wú)窮大的所有整數(shù)D．大于2小于15的奇數(shù)的全體例2設(shè)集合A＝{x|x≤4}，a＝eq\r(13)，則正確的關(guān)系是()A．a(chǎn)?AB．a(chǎn)∈AC．{a}∈AD．a(chǎn)?A【解析】∵a＝eq\r(13)<eq\r(16)＝4，∴a∈A，故選B.反思提煉：要正確理解集合與元素、集合與集合之間的關(guān)系，準(zhǔn)確讀懂∈、?、?、這些符號(hào)的含義．【變式訓(xùn)練】用適當(dāng)?shù)姆?hào)(∈，?，＝，)填空(1)x______{x，y，z}(2)0______N＋(3)1______N(4)0______?(5)0______{0}例3已知集合A＝{x|ax2＋3x＋1＝0}中有且只有一個(gè)元素，求由實(shí)數(shù)a組成的集合．【解】有且只有一個(gè)元素，可知ax2＋3x＋1＝0的根只有一個(gè)，當(dāng)a＝0時(shí)滿足，b2－4ac＝9－4a＝0，得a＝eq\f(9,4)，綜上所述得a組成的集合為{0，eq\f(9,4)}．反思提煉：因?yàn)榧螦中元素的個(gè)數(shù)是方程解的個(gè)數(shù)，所以求集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．【變式訓(xùn)練】已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R}，且集合A中元素至多有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例4已知x2∈{0，1，x}，求實(shí)數(shù)x的值．【解】∵x2∈{0，1，x}，∴x2必是0，1，x中的一個(gè)．(1)若x2＝0，則x＝0，與元素的互異性矛盾；(2)若x2＝1，則x＝±1，x＝1與元素的互異性矛盾，舍去，則x＝－1；(3)若x2＝x，則x＝0或x＝1，都不合題意，舍去．故x＝－1.反思提煉：含參數(shù)的集合問(wèn)題多采用分類討論思想解決，同時(shí)要注意集合中元素的互異性．【變式訓(xùn)練】已知x∈R，則集合{1，3，x}中的元素x應(yīng)滿足什么條件？考點(diǎn)2集合的表示法例5用適當(dāng)方法表示下列集合：(1)兩邊長(zhǎng)分別為4，5的三角形中，第三邊取整數(shù)的集合；(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)所有正方形構(gòu)成的集合．【解】(1){2，3，4，5，6，7，8}；(2){(x，y)|x<0且y<0}；(3){正方形}．反思提煉：表示集合的方法，依據(jù)對(duì)象的特點(diǎn)或個(gè)數(shù)多少采用不同的方法，有時(shí)不止一種．(1)中集合的個(gè)數(shù)較少，適合采用列舉法，而(2)(3)都是無(wú)限集，適合采用描述法．【變式訓(xùn)練】按要求表示下列集合．(1)用描述法表示集合{1，3，5，7，9}；(2)用列舉法表示小于8的質(zhì)數(shù)；(3)分別用兩種方法表示不超過(guò)10的非負(fù)偶數(shù)的集合．[課堂訓(xùn)練]1．下列語(yǔ)句能構(gòu)成集合的是()A．與0接近的實(shí)數(shù)B．十分可愛(ài)的熊貓的全體C．全校所有女老師D．π的近似值2．以下集合中是有限集的是()A．{x∈N|x>1}B．{x|x＝2n，n∈Z}C．{四邊形}D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x2－2x＋1＝0))3．下列五個(gè)關(guān)系式：①eq\r(2)∈R；②|－1|?N*；③eq\f(5,2)?Q；④π∈Z；⑤0∈N中，不正確的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．44．用列舉法表示集合{x|x2＋5x＋6＝0}，結(jié)果是()A．{－2，－3}B．{－6，1}C．{6，－1}D．{2，3}5．若集合A＝{x∈N|－3<x<2}，則A為()A．{1}B．{0，1}C．{－2，－1，0，1}D．以上均不對(duì)6．用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空(“∈”、“?”、“＝”)：1______N；e______Q；π______R；{1，2，3}______{3，2，1}；0______{x|x2＝1}．7．如果集合A＝{x|x≤5，x∈N}，那么用列舉法表示A＝____________．8．集合{1，4，9，16，25}用性質(zhì)描述法表示為_(kāi)___________．9．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集．(2)在自然數(shù)集中，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合．10．設(shè)集合B＝{x∈N|eq\f(6,2＋x)∈N}．(1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系．(2)用列舉法表示集合B.集合的概念及表示法答案知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．D【解析】觀察集合A，得出A中的元素有4個(gè)，故選D.2．B【解析】0是一個(gè)元素，?是不含任何元素的集合，故0??，選B.3．(1){4，6，8}(2){－1，1}(3){2，4，6，…，98}(4){1，3，5，7，8，10，12}4．(1){x||x|＝2}(2){x|x＝2或x＝－1}(3){x|x＝2k，k∈Z}(4){x|2<x<8，x∈Z}【解析】(1)由題意知|x|＝2，∴x＝2或x＝－2.(2)解方程x2－x－2＝0得x＝2或x＝－1，故此空填{x|x＝2或x＝－1}．(3)偶數(shù)的全體構(gòu)成的集合為{x|x＝2k，k∈Z}．(4)由三角形的邊的和與差的關(guān)系，設(shè)第三邊為x，則x＋3>5，5＋3>x，5－x<3，x－3<5，5－3<x.解上述不等式可得2<x<8，故第三邊可取的整數(shù)集合為{x|2<x<8，x∈Z}．5．(1)∈(2)?(3)∈【解析】(3)∵{x||x|<4}＝{x|－4<x<4}，∴3∈{x||x|<4}．重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】D【解析】構(gòu)成集合的元素應(yīng)當(dāng)具有“確定性”，由于“與1接近的實(shí)數(shù)全體”、“某班性格好的同學(xué)”、“無(wú)窮大的所有整數(shù)”都無(wú)法確定其元素，所以不能構(gòu)成集合，故“大于2小于15的奇數(shù)的全體”能確定，選擇D.【例2】【變式訓(xùn)練】(1)∈(2)?(3)∈(4)?(5)∈【例3】【變式訓(xùn)練】【解】當(dāng)a＝0時(shí)，方程為－3x＋2＝0，方程有唯一解x＝eq\f(2,3)，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝9－8a≤0，解得a≥eq\f(9,8)；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＝0或a≥eq\f(9,8)}．【例4】【變式訓(xùn)練】x≠1且x≠3.【例5】【變式訓(xùn)練】【解】(1){x|x＝2n＋1，0≤n≤4，n∈N}；(2){2，3，5，7}；(3){0，2，4，6，8，10}或{x|x＝2n，0≤n≤5，n∈N}．課堂訓(xùn)練1．C【解析】四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)具有“確定性”，故選C.2．D【解析】∵{x∈Req\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2)))－2x＋1＝0}＝{1}，由有限集的概念可知，該集合為有限集，A、B、C均為無(wú)限集，故選D.3．C【解析】①⑤正確，②③④錯(cuò)誤，故選C.4．A【解析】x2＋5x＋6＝0?(x＋2)(x＋3)＝0，解得x1＝－2，x2＝－3，用列舉法表示成{－2，－3}，故答案選A.5．B【解析】大于－3小于2的自然數(shù)有0，1，故選B.6．∈，?，∈，＝，?【解析】1是自然數(shù)，e是無(wú)理數(shù)，π是實(shí)數(shù)，{1，2，3}和{3，2，1}相等，x2＝1?x＝±1，故0?{x|x2＝1}．7．{0，1，2，3，4，5}【解析】小于等于5的自然數(shù)有0，1，2，3，4，5，故A＝{0，1，2，3，4，5}．8．{x|x＝n2，1≤n≤5，n∈N}【解析】由題可看出1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，故可表示為{x|x＝n2，1≤n≤5，n∈N}．9．【解】(1)因?yàn)榉匠蘹(x2＋2x＋