職教高考 充要條件

1.2充要條件[知識整合]基礎知識1．推出當“如果p，那么q”是正確命題時，我們就說p可以推出q，記作p?q，讀作p推出q.2．充分條件、必要條件“A?B”通常還可表述為“A是B的充分條件”，此時“B是A的必要條件”．注明：(1)“A?B”，(2)“A是B的充分條件”，(3)“B是A的必要條件”．這三個命題是等價的，即這三句話的含義是相同的．3．充要條件如果A?B(A是B的充分條件)，B?A(B又是A的充分條件)，則稱A是B的充要條件，記作A?B，讀作A與B等價或A與B互為充要條件．4．子集與推出的關系對于集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：如果A?B，那么p?q；反之，如果p?q，那么A?B.即A?B與p?q等價．如果A＝B，那么p?q；反之，如果p?q，那么A＝B.即A＝B與p?q等價．基礎訓練1．“|x|＝6”是“x＝6”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．“a是實數(shù)”是“a是有理數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．設A和B是兩個集合，則“B中的元素都在A中”是“A＝B”的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．設a，b，c均為實數(shù)，則“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．填空題(填“?”、“?”或“?”)(1)“x＝1”________“x2－1＝0”；(2)“a是自然數(shù)”________“a是整數(shù)”；(3)“△ABC是直角三角形”________“△ABC有一個角是90°”．[重難點突破]考點充分、必要、充要條件例1已知a，b，c∈R，則“ac＝b2”是“a，b，c成等比數(shù)列”的()A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．必要而不充分條件D．充分而不必要條件【解析】∵a，b，c成等比數(shù)列，∴ac＝b2，反之，若ac＝b2＝0，則a，b，c一定不成等比數(shù)列，故選C.【變式訓練】“a＋c＝2b”是“a，b，c成等差數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件例2“|x|≤2”是“－2≤x≤2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】∵|x|≤2?－2≤x≤2，∴“|x|≤2”是“－2≤x≤2”的充要條件，故選C.反思提煉：解決不等式的問題，一般可畫出數(shù)軸，然后采用集合的包含關系來確定充要條件．【變式訓練】“x<2”是x2－x－2<0的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件例3“ab＝0”的充要條件是()A．a(chǎn)＝0B．b＝0C．a(chǎn)＝0且b＝0D．a(chǎn)＝0或b＝0【解析】ab＝0?a＝0或b＝0，故選擇D.【變式訓練】設a，b為實數(shù)，則“b＝3”是“a(b－3)＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件例4“a＝3”是“x2＋ax＋1＝0有兩個不相等的實根”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】“a＝3”?Δ＞0所以“a＝3”是“x2＋ax＋1＝0有兩個不相等的實根”的充分條件，反之不一定成立，故選A.【變式訓練】在△ABC中，“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件例5已知p是q的必要條件，s是r的充分條件，p是s的充要條件，則q是r的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】∵p?q，s?r，p?s，∴q?r.即q是r的充分不必要條件．故選A.反思提煉：解決此類問題的關鍵是借助“?、?”等符號直觀地表述命題之間的邏輯關系．【變式訓練】已知p是q的充要條件，p是s的必要條件，那么q是s的________．例6指出下列命題中，p是q的什么條件：(1)p：{x|x＞－2或x＜3}；q：{x|x2－x－6＜0}．(2)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0.(3)p：四邊形的對角線相等；q：四邊形是平行四邊形．(4)p：x＞1；q：x2＞1；(5)p：a＜b；q：eq\f(a,b)＜1.【解】(1)p：{x|x＞－2或x＜3}＝R，q：{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，則p是q必要不充分條件．(2)∵(x－2)(x－3)＝0推不出x－2＝0，x－2＝0可以推出(x－2)(x－3)＝0，∴p是q的必要不充分條件．(3)∵四邊形的對角線相等推不出四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形也推不出四邊形的對角線相等，∴p是q的既不充分也不必要條件．(4)∵p?q，但qp，∴p是q的充分不必要條件．(5)∵a＜beq\f(a,b)＜1，又eq\f(a,b)＜1a＜b，∴p是q的既不充分又不必要條件．反思提煉：1．看清題目，明確是求p是q的什么條件，還是求q是p的什么條件．若已知p?q，則p是q的充分條件，那么同時q是p的必要條件．2．要正確理解充分條件和必要條件：p是q的充分條件，即“有p就足夠了”；q是p的必要條件即“少了q不行，但有了q不一定行”．3．需要注意：小范圍可以推出大范圍，但是大范圍推不出小范圍．【變式訓練】把你認為正確的答案的序號寫在橫線上．①充分不必要條件②必要不充分條件③充要條件④既不充分又不必要條件(1)“x2＝y(tǒng)2”是“|x|＝|y|”的________；(2)“x>5”是“x>3”的________；(3)“m＋|n|＝0”是“m2＋n2＝0”的________；(4)“∠A＝30°”是“sinA＝eq\f(1,2)”的________；(5)“a，b都是奇數(shù)”是“a＋b是偶數(shù)”的________；(6)“兩個三角形相似”是“兩個三角形全等”的________．[課堂訓練]1．“a>3”是“a≥3”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．“|x|＝|y|”是“x＝y(tǒng)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．“x2＝9”的充要條件是()A．x＝3或x＝－3B．x＝3且x＝－3C．x＝－3D．x＝34．“x∈A且x∈B”是“x∈(A∩B)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．設a、b、c均為實數(shù)，則“a>b”是“a＋c>b＋c”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．“m≤1”是“方程x2－2x＋m＝0有實根”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．“x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的兩個根”是“x1＋x2＝－2”的________條件．8．(1)“(a＋1)2＋(b－1)2＝0”的一個充要條件是________．(2)試寫出x2－9＝0的一個充分條件：________．9．指出下列命題中，p是q的什么條件．(1)p：0＜x＜3，q：|x－1|＜2；(2)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(3)p：ax2＋ax＋1>0的解集為R，q：0＜a＜4.1.2充要條件知識整合基礎訓練1．B【解析】因為x＝6?|x|＝6而|x|＝6?x＝6或x＝－6.2．B【解析】實數(shù)包括有理數(shù)，則“a是實數(shù)”“a是有理數(shù)”，“a是有理數(shù)”?“a是實數(shù)”，故“a是實數(shù)”是“a是有理數(shù)”的必要不充分條件．3．C【解析】∵B中的元素都在A中，則B?A，又B?AA＝B，A＝B?B?A，故選C.4．B【解析】已知a>b，當且僅當c≠0時可得ac2>bc2；已知ac2>bc2，則對于任何實數(shù)a，b，均有a>b.故選B.5．(1)?；(2)?；(3)?【解析】(1)x＝1?x2－1＝0，但x2－1＝0有可能x＝－1，故是充分不必要條件；(2)a是自然數(shù)?a是整數(shù)，但反之不成立，故是充分不必要條件；(3)△ABC是直角三角形?△ABC有一個角是90°，且△ABC有一個角是90°?△ABC是直角三角形，故是充要條件．重難點突破【例1】【變式訓練】C【解析】∵a＋c＝2b，即a－b＝b－c?a，b，c成等差數(shù)列．又a，b，c成等差數(shù)列?a－b＝b－c?a＋c＝2b.故“a＋c＝2b”是“a，b，c成等差數(shù)列”的充要條件．故選C.【例2】【變式訓練】A【解析】由x2－x－2<0，得－1<x<2，∵x<2?－1<x<2，－1<x<2?x<2，所以“x<2”是x2－x－2<0的必要不充分條件．【例3】【變式訓練】A【解析】b＝3?a(b－3)＝0，a(b－3)＝0b＝3，故選A.【例4】【變式訓練】B【解析】在△ABC中，∵sinA＝eq\f(1,2)?A＝30°或150°，∴sinA＝eq\f(1,2)A＝30°，∵A＝30°?sinA＝eq\f(1,2)，∴“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的必要而不充分條件，故選B.【例5】【變式訓練】必要條件【解析】根據(jù)題意，p?q，p?s；s?q；所以q是s的必要條件．【例6】【變式訓練】(1)③(2)①(3)②(4)①(5)①(6)②課堂訓練1．A【解析】a>3?a≥3，a≥3a>3，故選A.2．B【解析】∵有可能x為正，y為負，故|x|＝|y|x＝y(tǒng)，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，故選B.3．A【解析】x2＝9?x＝3或x＝－3，故充分必要條件是x＝3或x＝－3.4．C【解析】“x∈A且x∈B”與“x∈(A∩B)”等價，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．5．C【解析】利用不等式的性質(zhì)．6．C【解析】由題意得Δ＝22－4m≥0解得m≤1，故選C.7．充分不必要【解析】由根與系數(shù)的關系可得x1＋x2＝－2，故是充分條件．8．(1)“a＝－1且b＝1”【解析】解方程(a＋1)2＋(