飛機空氣動力學課件：相似理論與因次分析法

相似理論與因次分析法《飛機空氣動力學》目錄8.1產(chǎn)品設計流程8.3因次分析法8.2相似理論8.1

產(chǎn)品設計流程8.1

產(chǎn)品設計流程根據(jù)基礎理論中的計算方程式，結合問題假設以及初始條件和邊界條件，人工計算或者計算機運

算是解決流體流動問題的兩個主要的途徑，但是流動現(xiàn)象非常復雜，許多流動問題迄今還無法用理論的方法解決，必須借助實驗以尋求流動過程的規(guī)律。實驗具有可靠性與真實性，它可以檢驗理論解析法

(Theoreticalanalytic

method)與數(shù)值算法

(Numericalalgorithm)計算的結果。它還可以提供大量的數(shù)據(jù)，使研究者能夠從中定量或定性地發(fā)現(xiàn)流動的現(xiàn)象與規(guī)律，讓理論研究得到進一步發(fā)展，對于理論模型的建立與理論計算結果的檢驗都起著非常重要的作用。然而實驗的成本很高，往往需要消耗大量的人力、物力和財力，并且存在著一定程度的風險和儀表測量的誤差。所以在工程實踐中，人們使用相似理論與因次分析法以降低實驗成本、減少實驗研究的復雜性以

及科學地組織和整理實驗結果，并建立與理論分析和數(shù)值計算結果相互檢驗的橋梁。相似理論與因次分析法是發(fā)展流體力學與空氣動力學的理論研究、簡化復雜的實驗問題和解決實際工程問題的有力工具，對于流體力學問題，在熱傳、傳質以及燃燒等復雜的熱力工程問題研究中，也有廣泛應用。8.1

產(chǎn)品設計流程如圖8-1所示，從系統(tǒng)工程、生產(chǎn)管理以及產(chǎn)品設計與研發(fā)的觀點來看，在產(chǎn)品設計的初期，首先必須確定產(chǎn)品設計的概念，并由理論設計與分析確認研發(fā)案可行性或概念正確性，然后再設計模型測試理論和實驗的差異，最后再設法使產(chǎn)品標準化，達到量產(chǎn)目的。例如在飛機設計的初期階段，基于成本與安全性的考慮，設計者與研發(fā)廠商不可能剛設計好就馬上制造實體飛機去做飛行試驗。他們首先使用相似理論(Similitude

theory)建立飛機的設計模型，先行模擬實際飛機飛行時的工況，再將模型實驗結果換算到實物上去，進而預測實物可能發(fā)生的物理現(xiàn)象。在初步確定模型模擬的情況滿足原先設計的要求之后，才會考慮制造實物做飛行試驗。因此，相似理論是一種不需要在設計階段就很完善，可避免測試時發(fā)生意外的重要理論圖8-1產(chǎn)品設計與研發(fā)流程8.2

相似理論8.2

相似理論相似理論是研究實驗中模型與實物相似現(xiàn)象的重要理論。對于尺寸較大的實物(例如車輛、船舶與飛機等)，因為結構復雜與造價昂貴，通常先在縮小的模型上進行實驗，所得結果換算到實物上去。然而如果要讓模型實驗與實物運動具有同樣的規(guī)律，就必須讓模型與實物符合相似理論。所以，相似理論是指導實驗研究的理論基礎。1．相似理論的目的相似理論的主要目的是建立實驗模型與實體的關聯(lián)性。人們經(jīng)過長期的科學試驗終于總結出，如果實驗模型(Model)與實體原型(Protype)之間的關系符合相似法則(Similarity

rule)，也就是實驗模型與設計的產(chǎn)品原型之間必須滿足幾何相似、運動相似以及動力相似等條件，則實驗模型觀察到的流體動力特性與實物運動具有同樣的規(guī)律。這就是所謂的相似理論(Similitude

theory)。相似理論能夠節(jié)省大量的研發(fā)時間、人力與財力，避免了不少研發(fā)風險，被視為指導試驗研究的基礎理論。8.2

相似理論2．幾何相似的意義幾何相似關心的是長度因次L

，在任何敏感的模型測試實驗中，實驗模型與實體原型之間的幾何相似(Geometric

similarity)都是首先必須滿足的條件。其定義描述為“如果實驗模型和實體原型在坐標軸上所有的對應尺寸呈現(xiàn)相同線性比例，

則兩者

之間滿足幾何相似的關系”。從嚴格的角度來說，實驗模型和實體原型之間要滿足幾何相似的條件，除了兩者對應的長度比例必須完全相同之外，他們的對應角度也應該保持不變，即兩者相對環(huán)境的方位都必須完全對應，甚至模型和原型表面粗糙度也應該具有相同的線性比例。當然實際上這是不可能完全做到的，只能盡量地滿足條件。3．運動相似的意義運動相似(Kinematic

similarity)是指實驗模型和實體原型之間具有相同的速度比例。如果兩者之間彼此對應的速度方向相同、速度大小呈現(xiàn)一定比例，則它們滿足運動相似的關系。8.2

相似理論4．動力相似的意義動力相似(Dynamic

similarity)是指實驗模型和實體原型之間具有相同的長度比例、時間比例以及質量比例，

也就是兩者必須具備相同的力量比例。在模型實驗設計時，要滿足動力相似條件，首先必須滿足幾何相似，否則其他免談。另外，如果兩者滿足動力相似，除了滿足運動相似，還必須具備相同的力量比例以及壓力系數(shù)，因此嚴格條件是兩者的所有無因次系數(shù)都必須完全相同。但是實際的流動現(xiàn)象非常復雜，所有類型的力量比例相同是不可能達到的。長期的科學試驗發(fā)現(xiàn)，在觀察流動特性時，通常只有一到兩種類型的作用力起著關鍵作用，因此，通常是在滿足幾何相似條件前提下，實驗模型和實體原型只需滿足主要的動力相似即可。5．風洞測試風洞(Windtunnel)是飛機設計過程中以相似理論為基礎建立的使用實驗模型來模擬實體運動，

從而找出實物運動規(guī)律的研究裝置。由于可以避免直接進行實體測試時可能遭遇的意外與風險，風洞在飛機、車輛的設計和研發(fā)過程中被廣泛使用。8.2

相似理論(1)功用與構造如圖8-2所示，模型安裝在風洞內模擬飛機或汽車運動時的空氣動力特性1—電動機；2—風扇；3—防護網(wǎng)；4—飛機模型；5—支架；6—空速表；7—整流格8.2

相似理論(2)吹試條件利用風洞研究實體飛機飛行的空氣動力特性，前提是飛機模型和真實飛機實體之間滿足幾何相似、

馬赫數(shù)相同、雷諾數(shù)相同等條件。(3)普蘭特-葛勞爾特定理(Prandtl-Glauert

rule)①普蘭特-葛勞爾特定理的目的是建立可壓縮流與不可壓縮流中相同翼型的氣動力參數(shù)之間的關②普蘭特-葛勞爾特定理的公式為CP,可壓=

2Ma

式中，CP

,可壓

為可壓縮流中機翼或翼型表面的壓力系數(shù)；CP，不可壓

為不可壓縮流中機翼或翼型表面的壓力系數(shù)。不可壓不可壓不可壓系，進而得到可壓縮性對同一翼型的影響

8.2

相似理論【例8-1】在亞聲速風洞實驗中，當風速

U0

=

30

m

/

s

時(

Ma

=0.088)，模型翼型(Airfoil)上某測試點的壓力系數(shù)為

CPi

=

?

1.18

，當風速增加到

U0

=204m/s，其馬赫數(shù)Ma

是

多少？并利用普蘭特-葛勞爾特定理求出該點壓力系數(shù)CPi【解答】當Ma

=0.088時，因為馬赫數(shù)非常小，我們可以確定翼型的空氣流動為不可壓縮流。根據(jù)Ma

=

0.088

=

，得聲速值a

=

=

340.9

(m

/

s)當風速增到

U0

=

204

m

/

s

，Ma

=

=

=

0.598當Ma

=

0.598

時，因為其值大于0.3，我們可以確定翼型的空氣流動為可壓縮流，根據(jù)普蘭特-葛勞爾特定理

CP

可壓

=

CP，不可壓

，可以求得

CPi

=

=

?1.18

=

?

1.475,

1?

Ma2

1?

0.598

0.88.2

相似理論6．模型實驗與相似理論的適用時機所謂模型實驗通常是指利用簡化的可控方法再現(xiàn)實際發(fā)生的物理現(xiàn)象。雖然相似理論可以建構模型實驗與實體運動之間數(shù)據(jù)相互轉換的橋梁，但是模型實驗不可能滿足所有的相似條件，必須掌握研究方向與重點，才能找出實際流動現(xiàn)象的物理本質。如果不能夠確認研究的重點，并保證模型實驗和實體原型中流動現(xiàn)象之間的物理本質相同，進行模型實驗是沒有價值的。因此并不是所有的流動現(xiàn)象都能夠做模型實驗，只有對其流動現(xiàn)象有足夠的認知并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，才適合利用相似理論構建模型實驗來研究其相關流動現(xiàn)象。進行模型實驗研究流動規(guī)律時，必須以滿足幾何相似條件為前提，然后根據(jù)實際需求去研究實驗

模型和實體原型兩者之間如何滿足運動相似、動力相似

，這樣才能有效地找到流體流動或實際物體運動的物理現(xiàn)象與規(guī)律。8.3

因次分析法8.3

因次分析法1．因次的概念在工程研究中，單位是用來描述物理量大小的計量尺度，而因次(量綱)則是用來表示物理量的單位種類，因次的概念是研究因次分析法的基礎。(1)因次的定義在工程設計和科學研究的過程中會涉及各種物理量，例如質量、時間、力、速度、長度等，這些物理量都是具有單位(Unit)的，而物理量單位種類的表示即稱為因次或量綱(Dimension)。同一物理量可以用不同的單位來度量，但只有唯一的因次。如，時間可以小時、分、秒等單位來度量，但是作為物理量的類型，都是屬于時間因次，用符號T來表示；長度可以用米、厘米、英尺、英寸等度量，但是作為物理量的類型，都是屬于長度因次(L)；質量可以用千克、克等度量，但是作為物理量的類型，都是屬于質量因次，用符號M來表示。因此物理量單位的類型稱為因次，用符號dim表示，例如，密度的因次表示為dimp=ML?38.3

因次分析法(2)因次的類型與表示工程設計和科學研究的過程中涉及不同物理量各自有單位且彼此之間產(chǎn)生相互影響，

如果能夠適

當?shù)匾?guī)定某些固定物理量作為基本的物理量，

并使用因次符號來表示，其他物理量則可表示為基本

物理量的因次符號組成的乘冪形式，這樣可以統(tǒng)一各物理量之間的關系，這就是因次表示法的概念。在因次表示法中，那些被指定為基本物理量的因次，稱為基本因次

(Primary

dimension)，由基本因次

衍生的因次就稱為導出因次

(Secondary

dimension)

或衍生因次

(Derivative

dimension)(3)基本因次的定義

在工程研究中，單位可以分成公制單位與英制單位，因次的劃分也是如此。公制單位制常用的基本因次符號是M、

L、T與Θ

，而英制單位制常用的基本因次符號是F、L、T與Θ

。其中M為質量的因次代表符號；L為長度的因次代表符號；T為時間的因次代表符號；Θ為溫度的因次代表符號；

F為力的因次代表符號。也就是說，雖然公制單位制與英制單位制選用的基本因次不完全相同，但兩者在因次與無因次參數(shù)的推導方法相同，只是形式上會有所不同。8.3

因次分析法表8-1常用物理量的公制單位制因次(4)導出因次的定義一旦選定了基本因次，所有的物理量都可以用基本因次的乘冪形式來表示，這些由基本因次衍生的因次就稱為導出因次，例如速度是長度/時間，其因次(導出因次)為LT

?1(5)常用的物理量因次表，如表8-1所示LT

?18.3

因次分析法2．因次齊次性定理所謂因次齊次性定理(Dimensional

homogeneity

theorem)是指凡是能夠描述物理現(xiàn)象的方程式，其中的各項之因次都必須為齊次，也就是說方程式中每一項的因次都必須相同。例如伯努利方程式P

+

pV2

=

Pt

中，

P的因次為ML?1T

?2

，pV2

的因次為ML?3

LT?1

LT?1

=ML?1T

?

而Pt

的因次也是ML?1T

?2因次的齊次性是初步判定物理方程式是否正確的準則。3．因次分析法的目的與研究方法

因次分析法是以因次齊次性定理為出發(fā)點，針對與研究問題有關的物理量做因次乘冪分析，并進一步將它們轉換成無因次參數(shù)的組合，

從而統(tǒng)一研究各物理量在因次上的內在聯(lián)系。這個方法可以在降低影響變量數(shù)量的情況下，完整地找出這些物理參數(shù)的關聯(lián)性、規(guī)律性與通用性。因次分析法是與相似理論關系密切的另一種通過實驗探索流體流動規(guī)律的重要方法。，28.3

因次分析法(1)因次分析法的使用目的因次分析法(Dimensional

analysis

method)是將問題研究的物理參數(shù)轉換成無因次參數(shù)的組合，在降低問題研究難度情況下，找出物理參數(shù)的關聯(lián)性與流動現(xiàn)象的通用性。①節(jié)省研究成本因次分析法可以通過無因次參數(shù)的組合減少研究參數(shù)的數(shù)量，這樣就節(jié)省時間、人力和財力。②有利實驗與理論的結合因次分析法所得的研究結果可以直接用于模型實驗或理論分析中，有利于實驗與理論的結合。③有助于工業(yè)應用與科學研究的發(fā)展使用因次分析法可以針對每個無因次參數(shù)進行討論，能夠找出無因次參數(shù)對應的流動特性，從而獲得通用的運動規(guī)律。因此，因次分析法所得結果可以應用于原型及其他相似的流動，有助于工業(yè)應用與科學研究的發(fā)展。8.3

因次分析法(2)常用的無因次參數(shù)，如表8-2所示表8-2常用的無因次參數(shù)表8.3

因次分析法(3)因次分析法的研究方法與步驟因次分析法主要使用冗

定理，又稱白金漢(E

Bnc卜!u?p9山)定理，它是指如果一個流動現(xiàn)象涉及

n個物理量與j個基本因次，則可以用n

?j

個無因次參數(shù)來描述，而且這些無因次參數(shù)之間的函數(shù)關

系為

冗i

=

f

(冗1

,冗2

,L

,冗n?

j，其中

i

除外)

例如，使用冗

定理得到的無因次參數(shù)為冗1

、冗2

與冗3

，則它們之間的函數(shù)關系可以表示為冗1

=

f

(冗1

,

冗3

)①

找出影響變量(物理量)

的個數(shù)使用因次分析法(定理)的第一個步驟是找出所有與流體流動現(xiàn)象有關的物理量，這是非常重要的步驟，因為只要缺少任何一個，就會得到不全面的，甚至是錯誤的結果。通常冗定理研究流動現(xiàn)象可以分解成e個步驟進行。8.3

因次分析法②

列出每個物理量的因次在找出與流體流動現(xiàn)象有關的全部物理量后，必須將物理量表示成以基本因次為基礎的乘冪形式，

也就是如果為基本因次的物理量，以基本因次表示，如果物理量不是基本因次，以導出因次來表示。例如在公制單位選用的基本因次物理量是質量、長度、時間與溫度，于是質量的因次是基本因次M，而壓力為導出因次ML?1T

?2③

找出無法形成“無因次參數(shù)

”的個數(shù)

j通常j值為所列物理量中所有不同基本因次的數(shù)目，公制單位在探討流體力學問題的過程中選用的基本因次為M、L、T與，一般除了研究有關燃燒或化學的問題多不討論

這個基本因次。所以在研究流體力學時，j值多為3或更少，也就是!

≤38.3

因次分析法④

找出“無因次參數(shù)

”的個數(shù)k從前面的內容可知n、j與k之間的關系必定滿足的關系式。⑤

利用乘冪法找出無因次參數(shù)

冗將

j

+1個物理量的因次指數(shù)相乘并設法讓乘積中基本因次的乘冪指數(shù)都等于0，即求得無因次參數(shù)。⑥

將無因次參數(shù)表示為與其他無因次參數(shù)的函數(shù)，也就是將這些無因次參數(shù)之間的函數(shù)關系表示為冗i

=

f

(冗1

,冗2

,L

,冗n?

j，其中

i

除外)

的關系式。8.3

因次分析法【例8-2】已知密度為

p不

可壓縮流體，以均勻流

0

及迎

流經(jīng)弦長為C與弦寬為b的薄平板(假設為二維流場)用因次分析法求出該平板的升力L與上述

p、U0

、

、b

與C等參數(shù)間的無因次關系式【解答】使用定理研究流體流動現(xiàn)象的6個步驟進行求解(1)找出影響變量(物理量)的個數(shù)。由題干可知問題的影響參數(shù)為升力L

、密度p

、速度

U0

、迎角及面積S

(此為平板的上視面積，也就是S

=bc)，所以n

=

5

(2)列出每個物理量的因次參考如表9-1所示常用物理量的公制單位因次表，每個物理量的因次詳列如下8.3

因次分析法【解答】①升力L

的因次為MLT

?2②密度p的因次為ML?3③速度U0

的因次為LT

?1④面積S

的因次為

L2⑤迎角則為無因次參數(shù)(3)找出無法形成“無因次參數(shù)冗

”的個數(shù)：從步驟(2)可知，問題中的基本因次為質量M

、長度L

以及時間T

三個基本因次，所以

j

=

3

(4)找出“無因次參數(shù)冗

”的個數(shù)：因為n

=5與j

=3，所以無因次參數(shù)的個數(shù)k

=n

?j

=5?3=2，迎角為無因次參數(shù)，只需要再用乘冪法找出另一個無因次參數(shù)即可。8.3

因次分析法【解答】(5)利用乘冪法找出無因次參數(shù)

：如同步驟(4)說明的，因為迎角為無因次參數(shù)，所以可以將其余4個物理量(j

+1=

4)利用乘冪法找出另一個無因次參數(shù)。所以

=L

pa

U

Sc

=MLT

?2

(ML?3)a

(LT?1)b

(L2

)c

=M

(1+a)

L(1?3a+b+2c)

T(?2?b)①因為基本因次M的乘冪指數(shù)必須為0，所以1+a

=0，可求得a

=?1②因為基本因次L

的乘冪指數(shù)必須為0，