專題01 三角形（3種經(jīng)典基礎(chǔ)練+3種提升練）解析版

專題01三角形（3種經(jīng)典基礎(chǔ)練+3種優(yōu)選提升練）與三角形有關(guān)的線段一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?扶余市期末）已知三角形兩邊的長分別是5和9，則此三角形第三邊的長可能是A．1 B．4 C．8 D．14【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，再求出符合條件的的值即可．【解答】解：此三角形第三邊的長為，則，即，只有選項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．（2023秋?大安市期末）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度（單位：厘米），用它們能擺出三角形的是A．1，2，1 B．1，2，2 C．2，2，5 D．2，3，5【分析】看哪個(gè)選項(xiàng)中兩條較小的邊的和不大于最大的邊即可．【解答】解：、，不能構(gòu)成三角形，故錯(cuò)誤；、，能構(gòu)成三角形，故正確；、，不能構(gòu)成三角形，故錯(cuò)誤；、，不能構(gòu)成三角形，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．3．（2023秋?乾安縣期末）長度分別為2，7，的三條線段能組成一個(gè)三角形，的值可以是A．4 B．5 C．6 D．9【分析】已知三角形的兩邊長分別為2和7，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊；即可求第三邊長的范圍，再結(jié)合選項(xiàng)選擇符合條件的．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得，即．因此，本題的第三邊應(yīng)滿足，把各項(xiàng)代入不等式符合的即為答案．4，5，9都不符合不等式，只有6符合不等式，故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形三邊關(guān)系，此類求三角形第三邊的范圍的題，實(shí)際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（2023秋?扶余市期末）下列說法正確的是A．三角形的三條中線交于一點(diǎn) B．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部 C．三角形不一定具有穩(wěn)定性 D．三角形的角平分線可能在三角形的內(nèi)部或外部【分析】依據(jù)三角形角平分線、中線以及高線的概念，即可得到正確結(jié)論．【解答】解：．三角形的三條中線交于一點(diǎn)，正確；．銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，錯(cuò)誤；．三角形一定具有穩(wěn)定性，錯(cuò)誤；．三角形的角平分線一定在三角形的內(nèi)部，錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形角平分線、中線以及高線的概念，銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．5．（2023秋?寧江區(qū)期末）如圖，在中，，，是邊上的中線，若的周長為30，則的周長是A．20 B．24 C．26 D．28【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：是邊上的中線，，的周長為30，，，，的周長，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．二．填空題（共2小題）6．（2023秋?大安市期末）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．【分析】將其固定，顯然是運(yùn)用了三角形的穩(wěn)定性．【解答】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點(diǎn)評(píng)】注意能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象，考查三角形的穩(wěn)定性．7．（2023秋?鐵西區(qū)期末）已知，，是的三邊長，滿足，為奇數(shù)，則7．【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊；可求第三邊長的范圍，再根據(jù)奇數(shù)的定義得出答案．【解答】解：，，，解得：，，由三角形三邊關(guān)系定理得：，即，又為奇數(shù)，．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，此題實(shí)際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．三．解答題（共1小題）8．（2023秋?四平期末）若、、為三角形的三邊長，試證明：的值一定為負(fù)．【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式把變形為，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出答案．【解答】解：，、、為三角形的三邊長，，，，，的值一定為負(fù)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是對(duì)給出的式子進(jìn)行變形．與三角形有關(guān)的角一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?靖宇縣期末）將一副三角板按圖中的方式疊放，則等于A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)三角板可知：，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為，可以求出的度數(shù)．【解答】解：，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角板得到與的度數(shù)．2．（2023秋?大安市期末）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則的大小為A． B． C． D．【分析】利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖所示，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋?東遼縣期末）如圖，在中，平分，平分，與交于點(diǎn)，其中，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義，可求出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【解答】解：在中，，．平分，平分，，，．是的外角，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形的外角性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?臨江市期末）有一塊直角三角板放置在上，三角板的兩條直角邊、恰好分別經(jīng)過點(diǎn)、，在中，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，求得，得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?東豐縣期末）如圖，是的一個(gè)外角，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可知，據(jù)此可求得答案．【解答】解：是的一個(gè)外角，．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角的性質(zhì)，即三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，牢記三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）6．（2023秋?東豐縣期末）如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)角平分線定義求出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出及，再通過求解．【解答】解：，是的角平分線，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵掌握三角形內(nèi)角和定理及直角三角形兩個(gè)銳角互余．7．（2023秋?延邊州期末）如圖，在中，點(diǎn)在的延長線上，若，，則的度數(shù)為．【分析】直接根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解答】解：，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）8．（2023秋?東遼縣期末）如圖，在中，，，．求的度數(shù)．【分析】先根據(jù)可知，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出與的度數(shù)，由即可得出結(jié)論．【解答】解：，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義，熟知三角形的內(nèi)角和等于是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023秋?梅河口市期末）如圖，在中，是高，角平分線，相交于點(diǎn)，，，求和的度數(shù)．【分析】先根據(jù)得出的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)可得出的度數(shù)；由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)得出和的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解答】解：是的高，，，；，，，，，分別平分，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、中線和高，熟知三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?梨樹縣期末）在中，，，分別是邊，上的高，且，相交于點(diǎn)，求的度數(shù)．【分析】先設(shè)，，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，可得關(guān)于的一元一次方程，求出，從而可分別求出，，，在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求，再利用三角形外角性質(zhì)，可求出．【解答】解：在中，，故設(shè)，，．在中，，，解得，．，分別是邊，上的高，，，在中，，．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)．三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．11．（2023秋?東豐縣期末）如圖所示，，均為直角三角形，且，，過點(diǎn)作平分交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)，先說明與的關(guān)系，再利用平行線的判定得結(jié)論；（2）先求出，再利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求解．【解答】（1）證明：，且平分，，又，，．（2）解：由（1）知，．在中，，．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理及推論是解決本題的關(guān)鍵．多邊形及其內(nèi)角和一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?永吉縣期末）一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度即可求得外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：多邊形的邊數(shù)為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理，理解多邊形外角和中外角的個(gè)數(shù)與正多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，是解題關(guān)鍵．2．（2023秋?通榆縣期末）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形是A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【分析】設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，內(nèi)角和是，這樣就得到一個(gè)關(guān)于的方程，從而求出邊數(shù)的值．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，則，解得：，即這個(gè)多邊形為七邊形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決．3．（2023秋?永吉縣期末）七邊形的內(nèi)角和是A． B． C． D．【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式即可解決問題．【解答】解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得：．故選．【點(diǎn)評(píng)】本題比較容易，考查了多邊形的內(nèi)角和公式．4．（2023秋?梨樹縣期末）如圖，將三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的外部時(shí)，測(cè)量得，，則為A． B． C． D．【分析】利用四邊形的內(nèi)角和定理求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【解答】解：，，，，，即，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．5．（2023秋?靖宇縣期末）如圖，七邊形中，、的延長線交于點(diǎn)，著、、、對(duì)應(yīng)的鄰補(bǔ)角和等于，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得、、、的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形的內(nèi)角和，則可求得．【解答】解：、、、的外角的角度和為，，，五邊形內(nèi)角和，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，利用內(nèi)角和外角的關(guān)系求得、、、的和是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?龍山區(qū)期末）如圖，五邊形的內(nèi)角都相等，且，，則A． B． C． D．【分析】由五邊形的內(nèi)角都相等，先求出五邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，再求出，從而求出．【解答】解：五邊形的內(nèi)角都相等，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正五邊形的內(nèi)角和以及正五邊形的有關(guān)性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是能夠求出，和正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108度．二．填空題（共5小題）7．（2023秋?靖宇縣期末）如圖，、、、是五邊形的4個(gè)外角，若，則．【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出與相鄰的外角的度數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和定理即可求解．【解答】解：如圖，，，．，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系及多邊形的外角和定理，比較簡單．8．（2023秋?梨樹縣期末）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)正多邊形是正六邊形．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．【解答】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)是，根據(jù)題意得，，解得，這個(gè)多邊形為六邊形．故答案為：六．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?大安市期末）如圖，八角帽又稱“紅軍帽”，是紅軍的象征，也是中國工農(nóng)紅軍軍服佩飾最顯眼的部分之一，其帽頂近似正八邊形．正八邊形的一個(gè)內(nèi)角的大小為．【分析】利用多邊形的內(nèi)角和及正多邊形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【解答】解：，即正八邊形的一個(gè)內(nèi)角的大小為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和及正多邊形的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．10．（2023秋?雙遼市期末）如圖所示，將正六邊形與正五邊形按此方式擺放，正六邊形與正五邊形的公共頂點(diǎn)為，且正六邊形的邊與正五邊形的邊在同一條直線上，則的度數(shù)為．【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出，，即可解決問題．【解答】解：由題意得：，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．11．（2023秋?東遼縣期末）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是，則這個(gè)正多邊形是正六邊形．【分析】一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，因而就可以求出外角的度數(shù)．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：外角是，，則這個(gè)多邊形是六邊形．故答案為：六．【點(diǎn)評(píng)】考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．三．解答題（共5小題）12．（2023秋?延邊州期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的等于，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出關(guān)于的方程，解答即可．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得，，解得，答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的外角和是和多邊形內(nèi)角和公式．13．（2023秋?鐵西區(qū)期末）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的比它的外角和多，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少？【分析】由多邊形的內(nèi)角和定理，外角和是，即可計(jì)算．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，由題意得：，，答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：且為整數(shù)）；多邊形的外角和是．14．（2023秋?雙遼市期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【分析】根據(jù)多邊形的外角和為，內(nèi)角和公式為：，由題意可得到方程，解方程即可得解．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，由題意得：，解得：．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的外角和與內(nèi)角和公式，做題的關(guān)鍵是正確把握內(nèi)角和公式為：，外角和為．15．（2023秋?東豐縣期末）如圖，在正五邊形中，交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求的度數(shù)．【分析】方法1、根據(jù)正五邊形的內(nèi)角及等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．方法2、根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和得出．再根據(jù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：方法是正五邊形，，，，，；方法2、五邊形是正五邊形，．，．【點(diǎn)評(píng)】此題是多邊形的內(nèi)角和，主要考查了正五邊形的內(nèi)角的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出正五邊形的內(nèi)角．16．（2023秋?臨江市期末）（1）已知：如圖①，在中，、分別平分和，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為．（2）已知：如圖②，在四邊形中，、分別平分和，試探究與的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，以及三角形內(nèi)角和定理可得答案；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，代入化簡即可．【解答】解：（1）如圖①，，、分別平分和，，，在中，由三角形內(nèi)角和定理得，，故答案為：；（2）如圖②，，理由如下：、分別平分和，，，在中，由三角形內(nèi)角和定理得，，而，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和、三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義，掌握角平分線的定義以及多邊形的內(nèi)角和定理是得出正確答案的前提．與三角形有關(guān)的折疊問題1．（2023秋?長嶺縣期末）已知，在直角三角形中，，是上一點(diǎn)，且．（1）如圖1，求證：；（2）將沿所在直線翻折，點(diǎn)落在邊所在直線上，記為點(diǎn)．①如圖2，若，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）先求出，進(jìn)而利用折疊得出，再利用直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），，，，，；（2）①當(dāng)時(shí)，，，由（1）知，，，由折疊知，，；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，同①的方法得，，，；當(dāng)時(shí)，同①的方法得，，，．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的直線，等式的性質(zhì)，判判斷出是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖1，一張三角形紙片，點(diǎn)，分別是邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，則與的數(shù)量關(guān)系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由．【分析】研究（1）：翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中為折痕，有，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論；研究（2）：圖2中與是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論；研究（3）：圖3中由于折疊與是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）與的數(shù)量關(guān)系是；故答案為：；（2），理由：在四邊形中，，，，，，，△是由沿直線折疊而得，，；故答案為：；（3）．理由：交于點(diǎn)，，，，，△是由沿直線折疊而得，，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明．內(nèi)外角平分線問題1．（2021秋?臨江市期末）我們探究過三角形內(nèi)角和等于，四邊形內(nèi)角和等于，請(qǐng)解決下面的問題：（1）如圖1，，則（直接寫出結(jié)果）；（2）連接、，若、、、分別是四邊形的四個(gè)內(nèi)角的平分線；①如圖2，如果，那么的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）；②如圖3，若，與平行嗎？請(qǐng)寫出理由．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和解答即可；（2）①由四邊形的內(nèi)角和為以及角平分線的定義可得，據(jù)此解答即可；②由①得，從而得出，可得，進(jìn)而得出，可得．【解答】解：（1），，．故答案為：；（2）①、、、分別是四邊形的四個(gè)內(nèi)角的平分線，，，，，，在中，，在中，，，；，．故答案為：；②，理由如下：、、、分別是四邊形的四個(gè)內(nèi)角的平分線，，，，，，在中，，在中，，，；，，．在中，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握角平分線的性質(zhì)和等量代換是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023秋?佛山期末）已知，直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)，均不與點(diǎn)重合，平分，平分．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，延長與交于點(diǎn)，過作射線與交于點(diǎn)，且滿足．求證：；（3）如圖3，過點(diǎn)作，是的外角平分線所在直線，與射線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．在中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；（2）利用（1）的方法求得，再利用三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算得到，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得出結(jié)論；（3）利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)時(shí)，計(jì)算得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可；②當(dāng)時(shí)，計(jì)算得到，，利用與①同樣的方法解答即可．【解答】（1）解：，，，平分，平分，，，，，；（2）證明：平分，平分，，，．，，，，，，，，；（3）解：①當(dāng)時(shí)，，，，．，，．．．平分，，，平分，；②當(dāng)時(shí)，，，，，，，，．．．平分，，，平分，．綜上，在中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的3倍，的度數(shù)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，平行線的判定定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?永年區(qū)期末）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．（1）探究1：如圖1，在中，是與的平分線和的交點(diǎn)，試分析與有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（2）探究2：如圖2中，是與外角的平分線和的交點(diǎn)，試分析與有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）探究3：如圖3中，是外角與外角的平分線和的交點(diǎn)，則與又有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：．【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）先由角平分線得出，，再由三角形的外角的性質(zhì)得出，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（3）首先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得，，再根據(jù)角平分線的定義，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【解答】解：（1），理由如下：和分別是與的角平分線，，，，又，，；（2），理由如下：和分別是與外角的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3）結(jié)論：．根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得，，是外角與外角的平分線和的交點(diǎn)，，，，，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2024春?曲陽縣期末）新定義：在中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的倍為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為2倍角三角形．（1）在中，，，則為倍角三角形．（2）如圖1，直線與直線相交于，，點(diǎn)、點(diǎn)分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)；已知、的角平分線交于點(diǎn)，在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，請(qǐng)求出的度數(shù)．（3）如圖2，直線直線于點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)分別在射線、上，已知、的角平分線分別與的角平分線所在的直線交于點(diǎn)、，若為3倍角三角形，試求的度數(shù)．【分析】（1）由，可知，再根據(jù)倍角三角形的定義可得結(jié)論．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，利用角的和差計(jì)算即可求得結(jié)果．（3）首先證明，分四種情形分別求出即可．【解答】解：（1），，，，為3倍角三角形，故答案為：3；（2）解：，．又平分，平分，，．①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，；③當(dāng)時(shí)，，；④當(dāng)時(shí)，，，．綜上，在中當(dāng)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，等于、、或；（3）解：平分，平分，，，，；又平分，①，②；①②得：．若為3倍角三角形：若，，，；若，，（不符合題意，舍去）；若，，；若，，，（不符合題意，舍去）；綜上所述，等于或時(shí)，為3倍角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應(yīng)用等知識(shí)，讀懂新定義倍角三角形的意義和分類討論是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．5．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）【數(shù)學(xué)模型】如圖（1），，交于點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是”，不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①；②．【提出問題】分別作出和的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)，如圖（2），與、之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？【解決問題】為了解決上面的問題，我們先從幾個(gè)特殊情況開始探究．已知的平分線與的平分線交于點(diǎn)．（1）如圖（3），若，，，則．（2）如圖（4），若不平行，，，則的度數(shù)是多少呢？易證，，請(qǐng)你完成接下來的推理過程：，、分別是、的平分線，，．，又，，度．（3）在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上，借助圖（2），直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系是：．【類比應(yīng)用】如圖（5），的平分線與的平分線交于點(diǎn)．已知：、，則（用、表示）．【分析】【解決問題】（1）根據(jù)兩個(gè)三角形的有一對(duì)對(duì)頂角相等得：，，兩式相加后，再根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)論；（2）同理列兩式相加可得結(jié)論；（3）根據(jù)（1）和（2）可得結(jié)論；【類比應(yīng)用】首先延長交于點(diǎn)，由三角形外角的性質(zhì)，可得，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：【解決問題】（1）如圖3，，，，平分，平分，，，，；故答案為：；（2）如圖（4），，，，、分別是、的平分線，，．，，又，，度．故答案為：，，；（3）由（1）和（2）得：，故答案為：；【類比應(yīng)用】如圖（5），延長交于，，，平分，平分，，，，、，即．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握角平分線的性質(zhì)和等量代換是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023秋?濰坊期末）在中，（1）如圖①所示，如果，和么的平分線相交于點(diǎn)，那么；（2）如圖②所示，和的平分線相交于點(diǎn)，試說明；（3）如圖③所示，和的平分線相交于點(diǎn)，猜想與的關(guān)系并證明你的猜想【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，，再利用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，，再利用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行證明；（3）根據(jù)角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明．【解答】解：（1）、分別為，的平分線，，．，，，，，，故答案為：；（2）是的角平分線，．又是的平分線，，，，；（3）．證明：、分別是與的外角平分線，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是7．（2022秋?東至縣期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在中，若，則，叫做的“三分線”．其中，是“鄰三分線”，是“鄰三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在中，，，若的三分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（2）如圖③，在中，、分別是鄰三分線和鄰三分線，且，求的度數(shù)．【分析】（1）分是“鄰三分線”、是“鄰三分線”兩種情況，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)“鄰三分線”的定義計(jì)算即可．【解答】解：（1）當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，，則，當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，，則，綜上所述，的度數(shù)為或；（2）在中，，則，、分別是鄰三分線和鄰三分線，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，正確理解“鄰三分線”、“鄰三分線”的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?宣化區(qū)期末）中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)．（1）如圖1，猜想與的關(guān)系，并說明你的理由；（2）如圖2，作外角的平分線交的延長線于點(diǎn)．①求證：；②若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，由三角形的內(nèi)角和得到，，于是得到結(jié)論；（2）①由角平分線的性質(zhì)得到，由三角形的內(nèi)角和得到，于是得到結(jié)論；②由角平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1），理由：三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，，，，，，，；（2）①平分，，，，；②平分，，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題1．（2024春?農(nóng)安