北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷

北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷一.選擇題:(本題共10道小題,每題3分,共30分)1．（3分）下列四個(gè)圖形，中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（3分）下列式子從左到右的變形一定正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（﹣2，1）向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A'，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（1，3） B．（﹣5，1） C．（﹣5，﹣1） D．（1，﹣1）4．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB⊥AC，若AB＝AC＝4，則BD的長(zhǎng)為（）A．8 B．4 C．2 D．45．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若∠EPF＝130°，則∠PEF的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．50°6．（3分）若關(guān)于x的分式方程﹣＝1有增根，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．（3分）如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊長(zhǎng)向正方形外作等邊△CDE，AC與BE相交于點(diǎn)F，則∠AFD的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．50° D．45°8．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，且AD：BD＝1：2，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BCE，連接DE，則線段DE的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C． D．29．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，連接EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，連接BM．若∠BAD＝120°，AE＝2，則BM的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．4 D．310．（3分）如圖，已知直線l1：y＝﹣3x+6與直線l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于點(diǎn)M．若直線l2與x軸的交點(diǎn)為A（﹣2，0），則k的取值范圍是（）A．﹣3＜k＜0 B．﹣3＜k＜3 C．0＜k＜3 D．0＜k＜6二、填空題(每題3分,共12分)11．（3分）分解因式：a3﹣a＝．12．（3分）已知正多邊形的一個(gè)外角等于45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為．13．（3分）如圖，矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作BD的垂線，垂足為E．已知∠EAD＝3∠BAE，且AC＝8，則AE的長(zhǎng)為．14．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，點(diǎn)E是矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足S△BCE＝S矩形ABCD，點(diǎn)P是△EBC內(nèi)一個(gè)點(diǎn)，則PE+PB+PC的最小值為．三、解答題(共10道題,計(jì)78分)15．（5分）解不等式組．16．（8分）計(jì)算：（1）﹣；（2）（﹣）÷．17．（10分）解分式方程：（1）﹣1＝；（2）＝﹣2．18．（5分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，請(qǐng)用尺規(guī)在AC邊上作一個(gè)點(diǎn)P，使得PA＝2PC．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）19．（6分）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與AD、BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，猜想線段AF、CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．20．（8分）今年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，全國(guó)上下掀起了學(xué)習(xí)黨史的熱潮．某書(shū)店為了滿足廣大讀者的閱讀需求，準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種黨史學(xué)習(xí)書(shū)籍．已知購(gòu)進(jìn)A、B兩種書(shū)各1本需86元，購(gòu)進(jìn)A種書(shū)5本、B種書(shū)2本需340元．（1）求A、B兩種書(shū)的進(jìn)價(jià)；（2）書(shū)店決定A種書(shū)以每本80元出售，B種書(shū)以每本58元出售，為滿足市場(chǎng)需求，現(xiàn)書(shū)店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種書(shū)共100本，且A種書(shū)的數(shù)量不少于B種書(shū)數(shù)量的3倍，請(qǐng)問(wèn)書(shū)店老板如何進(jìn)貨，可獲利最大？并求出最大利潤(rùn)．21．（6分）某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，從今年5月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲，王老師家今年3月份的水費(fèi)是12元，5月份的水費(fèi)是25.6元．已知王老師家5月份的用水量比3月份的用水量多3m3，求該市調(diào)整后居民用水的價(jià)格．22．（8分）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F，連接BE、DF．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的長(zhǎng)．23．（10分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），經(jīng)過(guò)A、C作直線．（1）求直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O，A、P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．（12分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊DC的延長(zhǎng)線上，且AE＝CF．（1）如圖1，分別連接BE、BF、EF，則△BEF的形狀是；（2）如圖2，連接EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，若AE＝2，求DM的長(zhǎng)；（3）如圖3，若點(diǎn)G、H分別在AB、CD上，且GH＝4，連接EF交GH于點(diǎn)O，當(dāng)EF與GH的夾角為45°時(shí)，求AE的長(zhǎng)．參考答案與試題解析一.選擇題:(本題共10道小題,每題3分,共30分)1．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各圖形分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．【解答】解：第一、三、四共3個(gè)圖形均能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形；第二個(gè)圖形不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形；故選：B．2．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)去判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，分式?jīng)]有這樣的性質(zhì)，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，題中沒(méi)有說(shuō)c≠0，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，∵bc≠0，∴c≠0，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，分式?jīng)]有這樣的性質(zhì)，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．【分析】利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律，把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)加3，縱坐標(biāo)減2即可得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)．【解答】解：將點(diǎn)A（﹣2，1）向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A'，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（﹣2+3，1﹣2），即A′（1，﹣1）．故選：D．4．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求BO的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BD的長(zhǎng)【解答】解：∵?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝AC＝4，∴AO＝2，∴BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4．故選：D．5．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PF＝BC，PE＝AD，進(jìn)而證明PF＝PE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵P、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，∴PF＝BC，同理可得：PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∵∠EPF＝130°，∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，故選：A．6．【分析】先求出分式方程的解，根據(jù)分式方程有增根，得到x＝2，從而得到a的值．【解答】解：去分母得：x+x﹣a＝x﹣2，∴x＝a﹣2，∵分式方程有增根，∴x＝2，∴a﹣2＝2，∴a＝4，故選：C．7．【分析】由“SAS”可證△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，由等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF＝45°，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD＝∠AFB．∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB．∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，∴∠CBE＝15°．∵∠ACB＝45°，∴∠AFB＝∠ACB+∠CBE＝60°．∴∠AFD＝60°，故選：B．8．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ACD≌△BCE，得∠A＝∠CBE＝45°，從而∠DBE＝90°，利用勾股定理可求出DE的長(zhǎng)．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，∵AD：BD＝1：2，∴AD＝，BD＝，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ACD≌△BCE，∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴DE＝＝，故選：C．9．【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，可知AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，進(jìn)而可知∠BAC＝60°，又因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，可得AB，利用兩次勾股定理可求BM．【解答】解：如圖，連接BD交AC于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝DAC＝∠BAD＝60°，∵點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，∴AE＝EB，AF＝FD，AM＝MO，AC⊥BD，∵AE＝2，∴AB＝2AE＝4，在Rt△AOB中，∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝2，∴BO＝＝2，∴MO＝AM＝AO＝1，在Rt△BOM中，BM＝＝．故選：A．10．【分析】利用直線l2與x軸的交點(diǎn)為A（﹣2，0），求出k與b的關(guān)系，即b＝2k．聯(lián)立方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M在第一象限，列出不等式組，從而求出k的取值范圍．【解答】解：由題意得：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣2k+b＝0．∴b＝2k．∴直線l2的解析式為y＝kx+2k（k≠0）．由得：∴M（，）．又∵M(jìn)在第一象限，∴＞0且＞0．∴（﹣2k+6）（k+3）＞0且12k（k+3）＞0．令g＝（﹣2k+6）（k+3），則該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下且與x軸的交點(diǎn)為（﹣3，0）、（3，0）∴若g＝（﹣2k+6）（k+3）＞0，則﹣3＜k＜3．令h＝12k（k+3），則該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上且與x軸交點(diǎn)為（0，0）、（﹣3，0）．∴若h＝12k（k+3）＞0，則k＜﹣3或k＞0∴0＜k＜3．故選：C．二、填空題(每題3分,共12分)11．【分析】先提取公因式a，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣1），＝a（a+1）（a﹣1）．故答案為：a（a+1）（a﹣1）．12．【分析】先根據(jù)多邊形的外角和定理求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和．【解答】解：正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°＝8，則這個(gè)多邊形是正八邊形，所以該多邊形的內(nèi)角和為（8﹣2）×180°＝1080°．故答案為：1080°．13．【分析】由矩形的性質(zhì)和∠EAD＝3∠BAE可求出∠BAE＝22.5°，∠EAO＝45°，由AC＝8，＝可求出OA＝4，進(jìn)而求得AE的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OB＝AC＝×8＝4，∵∠EAD＝3∠BAE，∴∠BAE+3∠BAE＝90°，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠OAB＝67.5°，∴∠OAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴△OAE為等腰直角三角形，∴AE＝OAsin45°＝4×＝2，故答案為：2．14．【分析】作EF⊥BC交BC于點(diǎn)F，根據(jù)＝，得EF＝2，可知點(diǎn)E在與BC平行，且距離BC為2的直線上運(yùn)動(dòng)，將△BCP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△B'CP'，則當(dāng)B'、P'、P、E共線，且B'P'⊥BC時(shí)，PE+PB+PC最小，其值為B'E'的長(zhǎng)，根據(jù)圖形求出B'H的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，作EF⊥BC交BC于點(diǎn)F，由題意得：＝，∴EF＝2，∴點(diǎn)E在與BC平行，且距離BC為2的直線上運(yùn)動(dòng)，將△BCP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△B'CP'，連接PP'，則△PCP'是等邊三角形，∴PC＝PP'，B'P'＝BP，∴當(dāng)B'、P'、P、E共線，且B'P'⊥BC時(shí)，PE+PB+PC最小，其值為B'E'的長(zhǎng)，設(shè)B'E'交BC于H點(diǎn)，∵∠BCB'＝60°，B'C＝BC＝6，∴B'H＝sin60°×B'C＝3，∴B'E'＝B'H+HE'＝3+2，∴PE+PB+PC最小值為3+2，故答案為：3+2．三、解答題(共10道題,計(jì)78分)15．【分析】先分別解兩個(gè)不等式得到x＜2和x≥﹣1，然后根據(jù)“大小小大中間找”確定不等式組的解集．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x≥﹣1，所以不等式組的解集為﹣1≤x＜2．16．【分析】（1）先通分，然后根據(jù)同分母分式的加法的法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題．【解答】解：（1）﹣＝＝＝＝；（2）（﹣）÷＝＝＝＝．17．【分析】（1）先分解因式、再去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、把x系數(shù)化為一，最后一定檢驗(yàn)；（2）去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、把x系數(shù)化為一，最后一定檢驗(yàn)．【解答】（1）解：﹣1＝，﹣1＝，x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝6，x2+2x﹣x2+4＝6，2x＝2，x＝1，檢驗(yàn)：把x＝1代入（x+2）（x﹣2）≠0，∴原方程的解是x＝1．（2）＝﹣2，＝﹣2，2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），2﹣x＝﹣1﹣2x+6，﹣x+2x＝﹣1+6﹣2，x＝3，檢驗(yàn)：把x＝3代入（x﹣3）＝0，x＝3不是原方程的解，∴原方程無(wú)解．18．【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)畫(huà)出圖形解答即可．【解答】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求：19．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，AD∥BC，則，然后證明△AOE≌△COF得到AF＝CE．【解答】解：AF＝CF且AF∥CE，證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AF＝CE且AF∥CE（平行四邊形的對(duì)邊相等且平行）．20．【分析】（1）設(shè)A種書(shū)的進(jìn)價(jià)為x元，B種書(shū)的進(jìn)價(jià)為y元，由購(gòu)進(jìn)A、B兩種書(shū)各1本需86元，購(gòu)進(jìn)A種書(shū)5本、B種書(shū)2本需340元列出方程組求解即可；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種書(shū)a本，購(gòu)進(jìn)B種書(shū)（100﹣a）本，獲利為w元，根據(jù)總利潤(rùn)等于A，B兩種書(shū)的利潤(rùn)之和列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及a的范圍求出最大利潤(rùn)．【解答】解：（1）設(shè)A種書(shū)的進(jìn)價(jià)為x元，B種書(shū)的進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：，解得：，答：A，B兩種書(shū)的進(jìn)價(jià)分別為56元，30元；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種書(shū)a本，購(gòu)進(jìn)B種書(shū)（100﹣a）本，獲利為w元，由題意得：w＝（80﹣56）a+（58﹣30）（100﹣a）＝﹣4a+2800，∵a≥3（100﹣a），∴a≥75，∵﹣4＜0，∵w隨a增大而減小，∴當(dāng)a＝75時(shí)，w最大，最大值為2500元，此時(shí)100﹣a＝100﹣75＝25（本）．答：購(gòu)進(jìn)A種書(shū)75本，B種書(shū)25本時(shí)總獲利最大，最大利潤(rùn)為2500元．21．【分析】設(shè)調(diào)整前該市居民用水的價(jià)格為x元/立方米，根據(jù)王老師今年5月份的用水量比3月份的用水量多3m3，列出分式方程解之即可．【解答】解：設(shè)調(diào)整前該市居民用水的價(jià)格為x元/立方米，則調(diào)整后用水價(jià)格為（1+）x元/立方米．根據(jù)題意得﹣＝3，解得x＝2.4．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2.4是原方程的根．所以（1+）x＝3.2．答：該市調(diào)整后居民用水的價(jià)格是3.2元/立方米．22．【分析】（1）由EF垂直平分BD可得EB＝ED，F(xiàn)B＝FD，再由△EOD≌△FOB可得DE＝BF，得出EB＝ED＝FB＝FD，即可得出結(jié)論；（2）由∠BOC＝120°結(jié)合矩形的性質(zhì)可求出∠OBC＝30°，CD＝6，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求出∠DFC＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出FC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，F(xiàn)B＝FD，BO＝DO，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∵∠DOE＝∠BOF，∴△EOD≌△FOB（AAS），∴DE＝BF，∴EB＝ED＝FB＝FD，∴四邊形BEDF是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，CD＝AB＝6，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵四邊形EBFD為菱形，∴FB＝FD，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴∠DFC＝60°，∴∠FDC＝30°，設(shè)CF＝x，則FD＝2x，根據(jù)勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62，解得：x＝2，∴FC的長(zhǎng)為2．23．【分析】（1）由y＝﹣x+4得A（3，0），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（3，0）、C（0，﹣2）代入即得直線AC的解析式為y＝x﹣2；（2）設(shè)P（m，﹣m+4），Q（n，n﹣2），而A（3，0），O（0，0），①以PQ、AO為對(duì)角線，則PQ、AO的中點(diǎn)重合，可得，解得；故P（2，）；②以PA、QO為對(duì)角線，則PA、QO的中點(diǎn)重合，同理得P（2，）；③以PO、QA為對(duì)角線，則PO、QA的中點(diǎn)重合，可得P（4，﹣）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（3，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得，∴直線AC的解析式為y＝x﹣2；（2）設(shè)P（m，﹣m+4），Q（n，n﹣2），而A（3，0），O（0，0），①以PQ、AO為對(duì)角線，則PQ、AO的中點(diǎn)重合，∴，解得；∴P（2，）；②以