立體的投影完整版本

第3章立體的投影知識(shí)點(diǎn)1.三視圖及投影規(guī)律2.基本體的投影3.截交線4.相貫線要求1.熟練掌握三視圖的投影規(guī)律；2.掌握基本體的投影特性、投影圖的畫法以及表面取點(diǎn)的作圖方法；3.掌握截交線的性質(zhì)和作圖方法，能夠正確畫出切割體的三視圖；4.掌握相貫線的性質(zhì)和作圖方法，能正確分析并畫出相貫體的三視圖。一般的機(jī)件都可以看作由一些簡單的幾何形體按某種方式組合而成，這些簡單的幾何形體稱之為基本立體。本章將在掌握點(diǎn)、線、面投影的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)基本立體的投影，以及切割體、相貫體的投影。3.1三視圖的形成及投影規(guī)律3.1.1三視圖的形成圖3.1三視圖的形成按照國家標(biāo)準(zhǔn)《機(jī)械制圖》的規(guī)定，工程上把用正投影法所繪制出的圖形叫做視圖。在三面投影體系中，可得到物體的三個(gè)視圖，如圖3.1a所示，分別稱為：主視圖——正面（V）投影俯視圖——水平（H）投影左視圖——側(cè)面（W）投影三視圖的相對位置關(guān)系是：以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在主視圖正下方，左視圖在主視圖正右方。如圖3.1b所示。在繪制物體的三視圖時(shí)，必須按此位置關(guān)系配置。(a)(b)3.1.2三視圖的投影規(guī)律如圖3.1所示，在物體的三視圖中，主視圖和俯視圖都反映物體的長度；主視圖和左視圖都反映物體的高度；俯視圖和左視圖都反映物體的寬度。因此，三視圖之間存在如下的投影關(guān)系：主、俯視圖長對正；主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等。即“長對正、高平齊、寬相等”是三視圖的投影特性，人們常常稱之為“三等”關(guān)系。它不僅適用于整個(gè)物體，也適用于物體的局部，乃至點(diǎn)、線、面的投影。注意：俯、左視圖中寬度的方向。3.1.3三視圖與物體方位的關(guān)系物體有前后、左右、上下六個(gè)方位，每個(gè)視圖只能反映物體兩個(gè)方向的位置關(guān)系，如圖3.1b所示。主視圖反映物體的左右和上下位置，俯視圖反映物體的左右和前后位置，左視圖反映物體的上下和前后位置。注意：俯、左視圖中，靠近主視圖的一側(cè)為物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一側(cè)為物體的前面。3.2基本立體的投影及其表面取點(diǎn)一般的機(jī)件，都可以看作由一些簡單的幾何形狀按某種方式組合而成，這些簡單的幾何形狀稱之為基本立體?；玖Ⅲw按照其表面性質(zhì)，可分為平面立體和曲面立體兩類。本節(jié)將在掌握點(diǎn)、線、面投影知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)基本立體的投影的畫法，以及在其表面取點(diǎn)的方法。3.2.1平面立體的投影及其表面上取點(diǎn)表面均為平面的基本立體稱為平面立體。常見的平面立體有棱柱和棱錐。1．棱柱（1）棱柱的投影如圖3.2a所示為正六棱柱，它的上、下底面為正六邊形，六個(gè)側(cè)面為相等的矩形，六條側(cè)棱互相平行且與底面垂直，正六棱柱是一個(gè)前后、左右對稱的平面立體。圖3.2正六棱柱的投影及表面取點(diǎn)為了作圖方便，將正六棱柱放置成如圖3.2b所示的軸線與H面垂直的位置，上下底面與H面平行，為水平面，其水平投影反映實(shí)形，另外兩面投影為直線；正六棱柱的六個(gè)側(cè)面中，前后兩個(gè)是正平面，正面投影反映實(shí)形；其余四個(gè)側(cè)面均為鉛垂面；六條側(cè)棱均為鉛垂線。圖3.2c為正六棱柱的三視圖。棱柱的投影特性是：與軸線垂直的投影面上的投影為一多邊形，它反映棱柱底面的實(shí)形；另兩個(gè)投影都是由粗實(shí)線或虛線組成的矩形線框，它反映側(cè)面的實(shí)形或類似形。作圖步驟如圖3.3所示：(a)布置圖面，畫作圖基準(zhǔn)線(中心線、底面基準(zhǔn)線等)

(b)畫俯視圖(a)根據(jù)六棱柱的高，按投影關(guān)系畫出主視圖根據(jù)主視圖及俯視圖按投影關(guān)系畫出左視圖，最后檢查加深圖線圖3.3正六棱柱三視圖的作圖步驟（2）在棱柱表面上取點(diǎn)在棱柱表面上取點(diǎn)，其原理和方法與在平面上取點(diǎn)相同。正棱柱的各個(gè)表面都處于特殊位置，因此在其表面上取點(diǎn)時(shí)，均可利用平面積聚的原理作圖，并表明可見性，如圖3.2c所示。棱柱表面上的點(diǎn)的可見性判斷的原則是：凡位于可見表面上的點(diǎn)，其投影為可見，否則為不可見。2.棱錐（1）棱錐的投影圖3.4所示為一正三棱錐，它的底面為一正三角形，三個(gè)側(cè)面為全等的等腰三角形，三條側(cè)棱相交于錐頂S。圖3.4正三棱錐的投影將正三棱錐放置成如圖3.4b所示的軸線垂直于H面的位置。其底面為水平面；其中側(cè)面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個(gè)投影均為類似形；側(cè)面△SAC為側(cè)垂面。底邊AB、BC為水平線，CA為側(cè)垂線；棱線SB為側(cè)平線，SA、SC為一般位置直線。棱錐的投影特性是：與棱錐底面平行的投影面上的投影為多邊形，且反映棱錐底面的實(shí)形。在該投影面上，棱錐側(cè)面的投影均為三角形；其余兩面投影為一個(gè)或幾個(gè)三角形線框，其中棱錐底面的投影為一條直線，側(cè)面的投影或積聚為直線，或是類似形。作圖時(shí)，先畫出底面△ABC的各個(gè)投影，再作出錐頂?shù)母鱾€(gè)投影，然后連接各棱線的同面投影，即得正三棱錐的三面投影。（2）在棱錐表面上取點(diǎn)組成棱錐的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位置的平面。凡屬特殊位置表面上的點(diǎn)，其投影可利用平面投影的積聚性直接求得。如圖3.4c中，已知側(cè)垂面SAC上點(diǎn)N的水平投影n，可利用平面投影的積聚性直接找到n”。對屬于一般位置表面上的點(diǎn)，可通過在該面上作輔助線的方法求得。如圖中，已知立體表面上的點(diǎn)M的正面投影m’，求其它兩面投影。因點(diǎn)M所在表面△SAB為一般位置平面，所以可以利用輔助線法來作圖。圖3.5正三棱錐表面取點(diǎn)(a)(b)方法一：過M點(diǎn)在△SAB上作AB的輔助平行線ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m，再根據(jù)m、m求出m″（如圖3.5a）所示；方法二：過錐頂S和點(diǎn)M作一輔助線SⅡ，然后求出點(diǎn)M的水平投影m（如圖3.5b）?？梢娦耘袛啵和庵?。3.2.2曲面立體的投影及其表面上取點(diǎn)表面均為曲面，或由曲面和平面共同圍成的基本立體稱為曲面立體。常見的曲面立體多為回轉(zhuǎn)體?；剞D(zhuǎn)體是由一母線（直線或曲線）繞以固定的軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成。常見的回轉(zhuǎn)體包括圓柱、圓錐、圓環(huán)和球等。

1.圓柱（1）圓柱的形成圓柱體表面是由圓柱面和上下兩圓形底面所組成。圓柱面可以看成是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成的回轉(zhuǎn)面，如圖3.6a所示。直線AA1為母線，它在圓柱面上任一位置稱為素線。圖3.6圓柱的投影(a)(b)(c)

(2)投影分析如圖3.6b所示，當(dāng)圓柱的軸線垂直于H面時(shí)，圓柱面的水平投影積聚為圓，圓柱面上任意點(diǎn)和線對H面的投影均積聚在該圓上，圓柱上下底面的投影為該圓平面；圓柱的V面投影和W面投影是由上下底面投影積聚線和圓柱面的轉(zhuǎn)向輪廓線組成的兩個(gè)完全相等的矩形線框。

(3)畫法首先畫出圓柱在各個(gè)投影位置上的軸線和底圓的對稱中心線，其次畫出投影為圓的圓的視圖——俯視圖，最后根據(jù)圓柱高及投影的外形輪廓素線畫出其余兩個(gè)視圖。注意：繪制回轉(zhuǎn)體投影時(shí)，必須畫出軸線和對稱中心線。根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，軸線和對稱中心線應(yīng)采用細(xì)點(diǎn)畫線畫出，且要超出輪廓線2～5mm，如圖3.6c所示。

(4)圓柱表面上取點(diǎn)軸線處于特殊位置的圓柱，其圓柱面在與軸線垂直的投影面上的投影具有積聚性，其底面在另兩投影面的投影有積聚性。因此，在圓柱表面上取點(diǎn)，可用積聚性作圖。如圖3.7(a)所示，已知圓柱面上A點(diǎn)的正面投影a’和B點(diǎn)和水平投影b，求作它們的其余投影,并判斷可見性。圖3.7圓柱表面取點(diǎn)分析：根據(jù)已知條件a’和b不可見，可知A點(diǎn)在后半個(gè)圓柱面上；B點(diǎn)在下底面上。作圖:(1)利用圓柱面的水平投影具有積聚性,可由(a’)作垂線直接求出a，然后根據(jù)點(diǎn)的兩投影求出a"。由于A點(diǎn)在左半部分圓柱面上，因此a"為可見。(2)利用下底面的正面投影具有積聚性，可由(b)作垂線直接求出b’,然后根據(jù)點(diǎn)的兩投影求出b"。b"不需判斷可見性。2.圓錐(1)圓錐的形成如圖3.8a可知，圓錐的表面由圓錐曲面和底面圓組成。圓錐面可以看成是一直線OA繞與其相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。圓錐面上通過錐頂S的任一直線都是圓錐面的素線。圖3.8圓錐的投影(a)(b)(c)

(2)投影分析由圖3.8b可知，底面平行于H面的圓錐，其正面投影和側(cè)面投影是相同的等腰三角形，水平投影為圓。因?yàn)閳A錐面上所有素線都傾斜于水平面,故水平投影沒有積聚性。在正面投影和側(cè)面投影中，等腰三角形的底邊是圓錐底面的投影，兩腰是轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線是最左和最右兩條素線SA和SB，側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線是最前和最后兩條素線SC和SD，它們在其余兩投影面上的位置與軸線或圓的對稱中心線重合。(3)畫法一般先畫出軸線和對稱中心線的投影，然后畫出圓錐投影為圓的投影，再根據(jù)投影關(guān)系畫出圓錐的另兩個(gè)投影，得到圓錐的三視圖（圖3.8c）。(4)圓錐表面上取點(diǎn)軸線處于特殊位置的圓錐，只有底面的投影有積聚性，而圓錐面的三個(gè)投影都沒有積聚性。因此，在圓錐表面上取點(diǎn)，除圓錐面轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)和底圓平面上的點(diǎn)可直接求出之外，其余點(diǎn)的投影，則必須用輔助線法（亦稱素線法）或輔助圓法（亦稱緯圓法）作出，并表明可見性圖3.9圓錐面上取點(diǎn)如3.9a所示，已知圓錐面上一點(diǎn)M的正面投影m’，求作它的水平投影m和側(cè)面投影m"，可用兩種方法求解。方法一：輔助素線法如圖3.9b所示，過錐頂S和錐面上點(diǎn)M作一素線SⅠ,作出其正面投影s’1’和水平投影s1,就可求出M點(diǎn)的水平投影m，然后由m和m’求得m"。方法二：輔助圓法如圖3.9c所示，在圓錐面上過M點(diǎn)作垂直于軸線的緯圓，則點(diǎn)M的另兩投影必在該緯圓的同面投影上。3.圓球（1）圓球的形成如圖3.10a所示，球面可以看成是由一母線圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成。圖3.10圓球的投影(a)(b)(c)

(2)投影分析圓球的三面投影均為與球直徑相等的圓，它們分別是球的三個(gè)投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。正面投影圓是前半球和后半球分界圓A（正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線）的投影；水平投影圓是上半球和下半球分界圓B(水平投影的轉(zhuǎn)向輪廓線)的投影；側(cè)面投影圓是左半球和右半球分界圓C(側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線)的投影。這三個(gè)圓的其余兩投影均與中心線重合，不必畫出。

(3)畫法畫圓球的三面投影時(shí)，可先畫出確定球心的相互垂直的回轉(zhuǎn)軸線的三個(gè)投影；再以球心為圓心畫出三個(gè)圓。(4)圓球面上取點(diǎn)圖3.11圓球表面取點(diǎn)(a)(b)由于圓球的三個(gè)投影均無積聚性。所以在圓球表面上取點(diǎn)，除屬于轉(zhuǎn)向輪廓線上的特殊點(diǎn)可直接求出之外，其余處于一般位置的點(diǎn)，都須用輔助圓法作出，并表明可見性。如圖3.11a所示，已知圓球表面上一點(diǎn)M的正面投影m’,求其水平投影m和側(cè)面投影m”。根據(jù)m’的位置和可見性，可知M點(diǎn)位于前半球的左上部位。為找出M點(diǎn)的水平投影m，可過M點(diǎn)作緯圓（正平圓、水平圓、側(cè)平圓）求解。如過m’作緯圓與圓球正面投影（圓）交于點(diǎn)1’、2’，以1’2’為直徑在水平投影上作水平圓，則點(diǎn)M的水平投影m必在該緯圓上，再由m’和m求出m”，m和m”均為可見。又如圖3.11b所示給出了根據(jù)球面上點(diǎn)N和K的水平投影n和k，求出n’、n”和k’、k”的作圖過程，請自行分析。4.圓環(huán)（1）圓環(huán)的形成圓環(huán)可以看成是以圓為母線，繞與其共面但不通過圓心的軸線回轉(zhuǎn)而形成，如圖3.12所示。其中，外半圓ABC回轉(zhuǎn)形成外環(huán)面，內(nèi)半圓ADC回轉(zhuǎn)形成內(nèi)環(huán)面。圖3.12圓環(huán)的投影

(2)投影分析圓環(huán)的正面投影和側(cè)面投影形狀完全一樣，水平投影是三個(gè)同心圓（其中有一個(gè)細(xì)點(diǎn)畫線圓）。水平投影為三個(gè)同心圓，其中的細(xì)點(diǎn)畫線圓是母線圓心軌跡的水平投影；內(nèi)外粗實(shí)線圓表示圓環(huán)上半部（可見部分）與下半部（不可見部分）的分界線的投影，也即水平投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。正面投影是由平行于正面的兩個(gè)素線圓和上下兩條輪廓線組成，它們是內(nèi)外環(huán)面分界處的圓的投影。因?yàn)閳A環(huán)的內(nèi)環(huán)面從前面看是看不見的，所以素線圓靠近軸線的一半應(yīng)該畫成虛線。圓環(huán)的側(cè)面投影與正面投影完全類似，在此不再敘述，請自行分析。

(3)畫法畫圓環(huán)的三面投影圖時(shí)，首先畫各投影的中心線和軸線，其次畫出其正面投影和側(cè)面投影，最后畫出其水平投影。(4)圓環(huán)面上取點(diǎn)圖3.13圓環(huán)表面上取點(diǎn)如圖3.13所示，已知圓環(huán)表面上點(diǎn)M的正面投影m’，求其另兩個(gè)投影。根據(jù)m’為可見投影，可知M點(diǎn)在外環(huán)面上的前半部。為求m、m”，可過點(diǎn)M作一個(gè)緯圓，該圓垂直于圓環(huán)軸線，找出這個(gè)圓的水平投影，即可得出M點(diǎn)的水平投影m，再由m’、m求得m”，且均為可見。3.3平面與立體相交較為復(fù)雜的機(jī)器零件的形體，往往不是單一、完整的基本體，如圖3.14所示的零件，可看成是由幾種基本體進(jìn)行切割而成的形體。其中基本體被平面截切后的部分稱為切割體。截切基本體的平面稱為截平面，基本體被截切后的斷面稱為截?cái)嗝?，截平面與基本體表面的交線稱為截交線。圖3.14機(jī)件表面的截交線(a)撥叉軸

(b)頂尖3.3.1截交線的幾何性質(zhì)基本體截交線的形狀和種類較多，但都具有以下兩個(gè)基本性質(zhì)：1.截交線是截平面與基本體表面的公有線。如圖3.15a所示，四棱錐被P平面截切，得到的截交線是四邊形。截交線既在P平面上，又在四棱錐的表面上，因此是P平面與棱錐體表面的公有線。2.截交線是一個(gè)封閉的平面圖形。如圖3.15a所示的四棱錐是平面立體，其截交線是一個(gè)多邊形。而曲面立體的截交線則是由平面曲線（圖3.15b）或平面曲線和直線所組成的平面圖形。圖3.15截交線的性質(zhì)(a)(b)由以上性質(zhì)可以看出，求截交線的實(shí)質(zhì)就是求出截平面與立體表面的一系列公有點(diǎn)，然后依次連接各點(diǎn)即可。求截交線的方法，可利用投影的積聚性直接求出，也可通過作輔助線的方法求出。3.3.2平面立體的截交線由于平面立體的表面都是由平面所組成的，所以其截交線是由直線圍成的封閉的平面多邊形。多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)是截平面與平面立體的棱線或底邊的交點(diǎn)，多邊形的每一條邊是平面立體表面與截平面的交線。因此，求平面立體的截交線，就是求出截平面與平面立體上各被截棱線或底邊的交點(diǎn)，然后依次連接即可。1．棱柱的截交線例3-1

求作斜截正六棱柱的截交線，并完成三視圖。圖3.16求作斜截六棱柱的截交線(a)(b)分析：如圖3.16a所示，由于正六棱柱各側(cè)面都被正垂面切斷，截交線必為一個(gè)六邊形，正面投影積聚為一斜線，斜線與正六棱柱側(cè)棱的正面投影相交，交點(diǎn)即為六邊形頂點(diǎn)的正面投影，需求的是其水平及側(cè)面投影。作圖：（圖3.16b）（1）利用投影積聚性求出截交線六邊形的正面投影和水平投影，正面投影與截平面的正面投影重合，水平投影與棱柱的水平投影重合；（2）根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求出各交點(diǎn)的側(cè)面投影；（3）依次連接各點(diǎn)的側(cè)面投影即為截交線的側(cè)面投影；由于被切去的是棱柱的左、上部分，因此，截交線的側(cè)面投影為可見。側(cè)棱Ⅳ的側(cè)面投影不可見，應(yīng)畫成虛線。其中下面一段虛線與側(cè)棱Ⅰ的側(cè)面投影重合。2.棱錐的截交線例3-2

求作斜截三棱錐的截交線。圖3.17求作斜截三棱錐的截交線(a)(b)(c)分析：如圖3.17b所示為正三棱錐被一正垂面P斜切，截交線為一個(gè)三角形。三角形的頂點(diǎn)是三條棱線與截平面的交點(diǎn)，其正面投影與截平面的正面投影重合可直接得出，需要求作的是截交線的水平投影。作圖：（圖3.17c）（1）三角形的頂點(diǎn)Ⅰ、Ⅲ在棱線SA和SC上，可由其正面投影1’、3’作鉛垂線直接求得其水平投影1、3；（2）三角形的頂點(diǎn)Ⅱ在棱線SB（側(cè)平線）上，其水平投影2可過該點(diǎn)作輔助水平線ⅡM求的。作法是：先過2’作2’m’‖b’c’，由m’求得m，過m作bc的平行線交sb于2，即為所求；（3）依次連接1、2、3點(diǎn)即得到截交線的水平投影。由于被切去的是棱錐的左、上部分，因此，截交線的水平投影為可見。3.3.3曲面立體的截交線回轉(zhuǎn)體的表面是由曲面或曲面與平面所組成，它們切割后的截交線，一般是封閉的平面曲線或平面曲線與直線共同圍成的平面圖形。因此，求回轉(zhuǎn)體的截交線，就是要求出截平面與回轉(zhuǎn)體上各被截素線的交點(diǎn)，然后依次光滑連接各點(diǎn)即可。1.圓柱的截交線根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，平面截切圓柱所得的截交線有三種：矩形、圓及橢圓，見表3-1。截平面的位置與軸線垂直與軸線傾斜與軸線平行截交線形狀圓橢圓矩形直觀圖投影圖例3-3

求斜截圓柱的截交線。圖3.18求作斜截圓柱的截交線(a)(b)分析：如圖3.18a所示，圓柱被一正垂面P截切，由于截平面P與圓柱軸線斜交，故所得截交線是一橢圓，它既位于截平面PV上，又位于圓柱面上。因截平面P在V面上的投影有積聚性，故截交線的V面投影應(yīng)當(dāng)與PV重合。圓柱面的H面投影有積聚性，截交線的H面投影與圓柱面的H面投影重合，所以只需求出截交線的W面投影。作圖：（圖3.18b）(1)作特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)是指位于回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)以及極限點(diǎn)（截交線上的最高、最低、最前、最后、最左、最右點(diǎn)），但應(yīng)注意的是，有時(shí)它們是互相重合的。這些點(diǎn)對于確定截交線的范圍及作圖的準(zhǔn)確性比較重要，應(yīng)首先求出。本例中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ是截平面與圓柱四條轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn),同時(shí)也是橢圓長軸和短軸的端點(diǎn)。先在水平投影上找出這些點(diǎn)，然后在正面投影中找出對應(yīng)點(diǎn)，再由兩面投影求出它們的側(cè)面投影。(2)作一般點(diǎn)為使作圖準(zhǔn)確，可在特殊點(diǎn)之間再確定若個(gè)一般點(diǎn)。如圖3.18b中取A、B、C、D四點(diǎn)，求出其三面投影。(3)依次光滑連接各點(diǎn)的側(cè)面投影，即得截交線的側(cè)面投影。由于被切去的是圓柱的左、上部分，因此，截交線的側(cè)面投影為可見，應(yīng)連成實(shí)線。例3-4

求切口圓柱的水平投影。圖3.19求切口圓柱的水平投影(a)(b)分析：從圖3.19a中可以看出：槽口是由兩個(gè)軸線平行的平面P、Q和一個(gè)與軸線垂直的平面T切出的。前者與圓柱面的交線是直線，后者與圓柱面的交線是圓弧。由于P是一水平面，它的正面投影具有積聚性，所以交線AB和CD的正面投影a’b’和c’d’與PV重合。同時(shí)，由于圓柱的軸線垂直于側(cè)面，它的側(cè)面投影有積聚性，所以交線AB和CD的側(cè)面投影積聚成圓周上的兩個(gè)點(diǎn)a”(b”)和c”(d”)。平面Q的情況與P相同，可自行分析它的交線情況。此外，因?yàn)槠矫鎀是一側(cè)平面，它的正面投影有積聚性，所以交線BEF的正面投影b’e’f’與Tv重合。而它的側(cè)面投影b”e”f”與圓柱面的側(cè)面投影（圓周）重合。作圖：首先找出各個(gè)交線的正面投影和側(cè)面投影，然后根據(jù)投影規(guī)律求出其水平投影，即可。其結(jié)果如圖3.19b所示。例3-5

求作圓柱切割體的投影。分析：如圖3.20a所示，該圓柱被切去Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等四部分形體。Ⅰ、Ⅱ部分為由兩平行于圓柱軸線的平面和一垂直于圓柱軸線的平面切割圓柱而成，切口為矩形。Ⅲ部分也為由兩平行于軸線的平面和一垂直于軸線的平面切割圓柱而成，即在圓柱右端開一個(gè)槽，切口亦為矩形。Ⅳ部分是在切割Ⅰ、Ⅱ部分的基礎(chǔ)上再挖去的一個(gè)小圓柱。作圖：(圖3.20)(1)畫出整個(gè)圓柱的三個(gè)投影，并切去Ⅰ、Ⅱ部分（圖b）；(2)畫切去Ⅲ部分后的投影（圖c）；(3)畫切去Ⅳ部分后的投影，并完成全圖（圖d）。(a)切割分析

(b)畫完整圓柱切去Ⅰ、Ⅱ部分后的投影

(c)畫切Ⅲ部分后的投影

(d)畫挖去Ⅳ部分后的投影，并完成全圖圖3.20圓柱切割體的投影常見圓柱切割體的三視圖如圖3.21所示。

(a)扁頭

(b)空心圓柱切槽

(c)穿孔

(d)開槽圖3.21常見圓柱切割體的三視圖示例2.圓錐的截交線根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，圓錐的截交線有圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三角形五種，如表3-2所示表3-2圓錐的截交線截平面位置垂直軸線傾斜于軸線平行于任一素線平行于錐軸過錐頂截交線形狀圓橢圓拋物線雙曲線三角形直觀圖三視圖例3-6如圖3.22a所示，求圓錐被正垂面截切后的三視圖。圖3.22斜截圓錐的三視圖(a)(b)分析：截平面與圓錐斜交，且與圓錐的所有素線都相交，故截交線為橢圓。截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚為一斜線，水平投影和側(cè)面投影均為橢圓，但不反映截交線的實(shí)形。作圖：（圖3.22b）(1)找特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別位于圓錐最左、最右、最前、最后素線上，三面投影可直接求得。Ⅴ、Ⅵ為橢圓短軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，正面投影位于斜線的中點(diǎn)，利用輔助平面法求得水平投影和側(cè)面投影。(2)找一般點(diǎn)為了作圖準(zhǔn)確，再利用輔助平面法求出兩個(gè)一般點(diǎn)Ⅶ、Ⅷ的水平投影和側(cè)面投影。(3)依次光滑連接各點(diǎn)的同面投影，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。由于被切去的是圓錐的左上部分，所以水平和側(cè)面投影均可見。3．圓球切割體平面切割圓球時(shí)，無論截平面與圓球處于何種位置，其截交線均為圓，圓的大小由截平面與球心之間的距離確定。截平面通過球心，所得截交線（圓）的直徑最大；截平面離球心越遠(yuǎn)，圓的直徑就越小。只有當(dāng)截平面平行于投影面時(shí)，截交線在該投影面上的投影才反映圓的實(shí)形，否則投影為橢圓。如表3-3所示。表3-3圓球的截交線截平面位置平行于投影面垂直于投影面立體圖三視圖例3-7

如圖3.23a所示，求作半圓球開槽后的投影圖。圖3.23開槽半圓球的三視圖(a)(b)分析：如圖3.23a所示，半圓球的凹槽是由左、右兩個(gè)對稱的側(cè)平面和一個(gè)水平面組成。它們和圓球表面的交線都是圓弧，這些圓弧的V面投影有積聚性并且已知，只須作出它們的H面投影和W面投影即可。作圖的關(guān)鍵是確定各段圓弧的半徑。作圖：（圖3.23b）（1）作未切割前半圓球的三視圖。（2）作切槽同時(shí)具有積聚性的投影——正面投影。（3）分析截交線所在的面（某一投影面的平行面），作出反映實(shí)形的投影———圓及圓?。▓A弧半徑的確定：延長有積聚性的投影與最大圓素線相交，求出各段圓弧的直徑或半徑，圓弧的圓心投影落在球心的投影上）。（4）完成各段圓弧的第三投影。（5）判斷可見性，去掉多余圖線。水平面的槽底中段側(cè)面投影為虛線，由于平行于W面的最大圓素線被切去一段，相應(yīng)的側(cè)面投影應(yīng)去掉。3.4兩立體表面相交兩立體相交，其表面就會(huì)產(chǎn)生交線，相交的立體稱為相貫體，它們表面的交線稱為相貫線，如圖3.24所示。因此兩立體相交也常稱為相貫。根據(jù)相貫體表面幾何形狀的不同，可分為兩平面立體相交、平面立體與回轉(zhuǎn)立體相交以及兩曲面立體相交三種情況。由于前兩種情況與平面與立體相交產(chǎn)生的截交線的情況相同，所以不做討論。本節(jié)只討論兩曲面立體相交所產(chǎn)生的相貫線的性質(zhì)和作圖方法。圖3.24相貫線示例(a)(b)1.相貫線的性質(zhì)當(dāng)相交兩基本體的形狀、大小及相對位置不同時(shí)，相貫線的形狀也不同，但相貫線都具有下列兩個(gè)基本性質(zhì)：(1)相貫線是相交兩立體表面的公有線，是一系列公有點(diǎn)的集合。(2)相貫線一般為封閉的空間曲線，特殊情況為平面曲線或直線。2.求相貫線的常用方法根據(jù)相貫線的性質(zhì)，求相貫線的實(shí)質(zhì)就是求出兩基本體表面上的一系列公有點(diǎn)。常用的求相貫線方法有積聚性法和輔助平面法。具體作圖步驟如下：（1）找出一系列特殊點(diǎn)（2）求出一般點(diǎn)（3）順次連接各點(diǎn)的同面投影并判斷其可見性相貫線可見性判斷原則如下：凡同時(shí)處于兩回轉(zhuǎn)體可見表面上的點(diǎn)，其投影是可見的，否則為不可見。3.4.1利用積聚性法求相貫線當(dāng)軸線垂直于投影面的圓柱與另一回轉(zhuǎn)體相貫時(shí)，可利用圓柱投影的積聚性直接得到相貫線的一個(gè)投影。由于相貫線是公有線，所以相貫線也必定在另一個(gè)回轉(zhuǎn)體的表面上。因此，可利用已知曲面上點(diǎn)、線的一個(gè)投影求另外兩個(gè)投影，即在表面上取點(diǎn)的方法求得相貫線的其余投影。1.兩圓柱正交時(shí)的相貫線例3-8：如圖3.25a所示，求兩圓柱正交的相貫線分析：兩圓柱軸線垂直相交為正交。如圖3.25a是一個(gè)鉛垂圓柱與水平圓柱正交，相貫線為前、后和左、右對稱的空間曲線。其水平投影積聚在鉛垂圓柱的水平投影圓上，側(cè)面投影積聚在水平圓柱的側(cè)面投影圓上，已知相貫線的兩個(gè)投影，即可求出其正面投影。圖3.25兩圓柱正交的相貫線(a)(b)(c)(d)作圖：（1）求特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ點(diǎn)分別是相貫線上的最左、最右點(diǎn)（同時(shí)也是最高點(diǎn)）、最前點(diǎn)和最后點(diǎn)（同時(shí)也是最低點(diǎn)），它們的水平投影1、2、3、4落在小圓柱最左、最右、最前、最后輪廓素線的水平投影上，側(cè)面投影1＂、2＂重合在大圓柱側(cè)面投影圓周的最高點(diǎn)，3＂、4＂分別為小圓柱最前、最后輪廓素線的側(cè)面投影與大圓柱側(cè)面投影的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的兩面投影求得正面1＇、2＇、3＇、4＇。如圖3.25b所示。（2）求一般點(diǎn)在小圓柱水平投影（圓）上的幾個(gè)特殊點(diǎn)之間，適當(dāng)?shù)奈恢萌讉€(gè)一般點(diǎn)的投影，如：5、6、7、8點(diǎn)，再按投影關(guān)系找出各點(diǎn)的側(cè)面投影5＂、(6＂)、（7＂）、8＂，最后作出它們的正面投影5＇（８＇）、6＇（７＇）。如圖3.25c所示。（3）順序連接各點(diǎn)并判別可見性依次光滑連接各點(diǎn)的正面投影，由于相貫線前后對稱，可見與不可見投影重合，畫一段粗實(shí)線，即得到相貫線的正面投影。如圖3.25d所示。2.兩正交圓柱相貫線的三種形式如表3-4所示，圓柱相貫線有兩外表面相貫、外表面與內(nèi)表面相貫（垂直圓柱軸線穿孔）、兩內(nèi)表面相貫三種形式。相貫線的形狀和求作方法是完全相同的。表3-4兩正交圓柱相貫線的三種形式兩圓柱外表面相交圓柱外表面和內(nèi)表面相交兩圓柱內(nèi)表面相交立體圖三視圖3.兩正交圓柱（或圓孔）相貫線彎曲趨向及變化規(guī)律當(dāng)正交兩圓柱體（或圓孔）的直徑相對變化時(shí)，相貫線的形狀和位置也隨之變化，其變化規(guī)律如圖3.26所示。（1）相貫線的投影都是由小圓柱向大圓柱軸線彎曲；（2）兩圓柱的直徑相差越小，相貫線的投影越彎近大圓柱的軸線；（3）當(dāng)兩圓柱直徑相等時(shí)，相貫線為兩個(gè)橢圓，在平行于軸線的投影面上，其正面投影為相交兩直線（如圖3.26c）。圖3.26正交兩圓柱相貫線的彎曲趨向(a)(b)(c)(d)4.相貫線的近似畫法兩不等直徑的圓柱體（或圓孔）軸線垂直相交，當(dāng)兩圓柱正交且直徑相差較大（直徑之比>=1.5），并且對交線形狀的準(zhǔn)確度要求不高時(shí)，允許用大圓柱的半徑作圓弧來代替相貫線，或用直線代替非圓曲線。如圖3.27所示。圖3.27相貫線的近似畫法（一）

(a)用圓弧代替相貫線

(b)用直線代替相貫線在不致引起誤解時(shí)，如圖3.28a所示兩圓柱偏交的相貫線，可用直線代替，如圖3.28b所示。圖3.28相貫線的近似畫法（二）(a)(b)也可采用模糊畫法表示相貫線。如圖3.29a所示的圓柱與圓錐相交的相貫線，可按如圖3.29b所示的形式畫出。圖3.29相貫線的近似畫法（三）(a)(b)3.4.2利用輔助平面法求相貫線當(dāng)兩相交回轉(zhuǎn)體的投影都沒有積聚性時(shí)，相貫線需要用輔助平面法求解。1.輔助平面法的作圖原理輔助平面法主要是根據(jù)三點(diǎn)共面的原理。如圖3.30所示，當(dāng)圓柱與圓錐相交時(shí)，為求得公有點(diǎn)，可假想用一個(gè)平面P（輔助平面）截切圓柱和圓錐。平面P與圓柱的截交線為兩條直線，與圓錐面的截交線為圓。兩直線和圓的交點(diǎn)C、D是圓柱面、圓錐面和平面P三個(gè)面的公有點(diǎn)，因此是相貫線上的點(diǎn)。如果作若干個(gè)輔助平面，就可以得到相貫線上的一系列的點(diǎn)，然后光滑連接各點(diǎn)，即得到所求之相貫線。圖3.30用輔助平面法求相貫線根據(jù)以上分析可知，用輔助平面法求相貫線，一般可按下列步驟作圖：（1）選擇恰當(dāng)?shù)妮o助平面；（2）求出輔助平面分別截切兩回轉(zhuǎn)體時(shí)形成的兩條截交線；（3）求出兩截交線的交點(diǎn)，即為相貫線上的點(diǎn)。2.輔助平面的選擇為簡化作圖，在選擇輔助平面時(shí)，應(yīng)使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體的截交線及其投影盡可能是簡單易作的直線或圓，因而一般可選擇水平面、正平面等投影面平行面作為輔助平面。例3-9求軸線正交的圓柱與圓錐的相貫線分析：如圖3.31a所示，圓柱軸線垂直W面，圓錐軸線垂直H面，相貫線為前后對稱的空間曲線，其側(cè)面投影積聚在圓柱體側(cè)面投影的圓周上，只須求出其水平投影和正面投影即可。(a)(b)圖3.31圓柱與圓錐正交的相貫線(c)(d)作圖：（1）求特殊點(diǎn)在側(cè)面投影的圓周上，可直接找到相貫線的最高、最低、最前、最后點(diǎn)a＂、b＂、c＂、d＂,最高、最低點(diǎn)的正面投影為圓錐最左輪廓素線和圓柱最上、最下輪廓素線的交點(diǎn)a＇、b＇,從而求得a、b。最前點(diǎn)C和最后點(diǎn)D可利用輔助平面求得，即利用輔助平面的正面、側(cè)面投影積聚為直線，求得圓柱、圓錐截交線的水平投影