2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計§8最玄乘估計教師用書教案北師大版必修3

PAGE8-§8最小二乘估計學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解最小二乘法的思想及意義．(重點)2．會求線性回來方程并進(jìn)行簡潔應(yīng)用．(難點)1.通過了解最小二乘法的思想及意義，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過求線性回來方程并進(jìn)行簡潔的應(yīng)用，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1．最小二乘法利用最小二乘法估計時，要先做出數(shù)據(jù)的散點圖．假如散點圖呈現(xiàn)肯定的規(guī)律性，我們再依據(jù)這個規(guī)律進(jìn)行擬合．假如散點圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系，我們可以用最小二乘法估計出線性回來方程；假如散點圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系，我們就要利用其他的工具進(jìn)行擬合．2．線性回來方程用eq\x\to(x)表示eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，用eq\x\to(y)表示eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)，由最小二乘法可以求得b＝eq\f(x1－\x\to(x)y1－\x\to(y)＋x2－\x\to(x)y2－\x\to(y)＋…＋xn－\x\to(x)yn－\x\to(y),x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2)＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to(x)\x\to(y),x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).這樣得到的直線方程y＝a＋bx稱為線性回來方程，a、b是線性回來方程的系數(shù)．思索：任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回來方程嗎？[提示]用最小二乘法求回來方程的前提是先推斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點圖來推斷)，否則求出的回來方程是無意義的．1．變量y對x的回來方程的意義是()A．表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系B．表示y與x之間的線性關(guān)系C．反映y與x之間的真實關(guān)系D．反映y與x之間的真實關(guān)系達(dá)到最大限度的吻合D[線性回來直線方程最能代表觀測值x、y之間的線性相關(guān)關(guān)系，反映y與x之間的真實關(guān)系達(dá)到最大限度的吻合．]2．下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性回來方程y＝bx＋a必過()x0123y1357A.點(2,2) B．點(1.5,2)C．點(1,2) D．點(1.5,4)D[回來方程必過樣本點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，經(jīng)計算得(1.5,4)．]3．對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的回來直線方程y＝a＋bx中，回來系數(shù)b()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0C[當(dāng)b＝0時，不具有相關(guān)關(guān)系，b可以大于0，也可以小于0.]4．正常狀況下，年齡在18歲到38歲的人，體重y(kg)對身高x(cm)的回來方程為y＝0.72x－58.2，張明同學(xué)(20歲)身高178cm，他的體重應(yīng)當(dāng)在________kg左右．69．96[用回來方程對身高為178cm的人的體重進(jìn)行預(yù)料，當(dāng)x＝178時，y＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．]線性回來方程的應(yīng)用【例1】某地區(qū)2013年至2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2013202420242024202420242024年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回來方程；(2)利用(1)中的回來方程，分析2013年至2024年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的改變狀況，并預(yù)料該地區(qū)2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up11(n),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t).[解](1)因為eq\x\to(t)＝eq\f(1＋2＋…＋7,7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9,7)＝4.3，設(shè)回來方程為y＝bt＋a，代入公式，經(jīng)計算得b＝eq\f(3×1.4＋2＋0.7＋0＋0.5＋1.8＋4.8,9＋4＋1×2)＝eq\f(14,14×2)＝eq\f(1,2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝4.3－eq\f(1,2)×4＝2.3，所以y關(guān)于t的回來方程為y＝0.5t＋2.3.(2)因為b＝eq\f(1,2)＞0，所以2013年至2024年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入穩(wěn)步增長，預(yù)料到2024年，該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入y＝0.5×8＋2.3＝6.3(千元)，所以預(yù)料到2024年，該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入約6.3千元．用線性回來方程估計總體的一般步驟1．作出散點圖，推斷散點是否在一條直線旁邊．2．假如散點在一條直線旁邊，用公式求出a，b，并寫出線性回來方程(否則求出回來方程是沒有意義的)．3．依據(jù)線性回來方程對總體進(jìn)行估計．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．一般來說，一個人腳掌越長，他的身高就越高，現(xiàn)對10名成年人的腳掌長x與身高y進(jìn)行測量，得到數(shù)據(jù)(單位均為cm)如表，作出散點圖后，發(fā)覺散點在一條直線旁邊，經(jīng)計算得到一些數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝577.5，eq\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝82.5；某刑偵人員在某案發(fā)覺場發(fā)覺一對裸腳印，量得每個腳印長為26.5cm，則估計案發(fā)嫌疑人的身高為________cm.腳長x20212223242526272829身高y141146154160169176181188197203185.5[回來方程的斜率b＝eq\f(\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up11(10),\s\do9(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(577.5,82.5)＝7，eq\x\to(x)＝24.5，eq\x\to(y)＝171.5，截距a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝0，即回來方程為y＝7x，當(dāng)x＝26.5時，y＝185.5.]最小二乘法[探究問題]1．一個好的線性關(guān)系與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？提示：整體上最接近．2．設(shè)直線方程為y＝a＋bx，隨意給定一個樣本點A(xi，yi)，用什么樣的方法刻畫點與直線的距離更便利有效？提示：如圖：法一點到直線的距離公式d＝eq\f(|bxi－yi＋a|,\r(b2＋1)).法二[yi－(a＋bxi)]2.明顯法二比法一更便利計算，所以我們用它表示二者之間的接近程度．3．假如有5個樣本點，其坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，怎樣刻畫這些樣本點與直線y＝a＋bx的接近程度？提示：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋[y3－(a＋bx3)]2＋[y4－(a＋bx4)]2＋[y5－(a＋bx5)]2.4．任給一組數(shù)據(jù)，我們都可以由最小二乘法得出線性回來方程嗎？提示：用最小二乘法求回來直線的前提是先推斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，否則求出的線性回來方程是無意義的．5．線性回來方程是否經(jīng)過肯定點？提示：線性回來方程恒過定點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．【例2】關(guān)于人體的脂肪含量(百分比)和年齡關(guān)系的探討中，得到如下一組數(shù)據(jù)：年齡x2327394145495053脂肪y9.517.821.225.927.526.328.229.6(1)推斷它們是否有相關(guān)關(guān)系，若有相關(guān)關(guān)系，請作一條擬合直線；(2)用最小二乘法求出年齡關(guān)于脂肪的線性回來方程．[思路探究](1)作出散點圖，通過散點圖推斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系，并作出擬合直線；(2)利用公式求出線性回來方程的系數(shù)a，b即可．[解](1)以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量(百分比)，畫出散點圖，如下圖．進(jìn)一步視察，發(fā)覺上圖中的點分布在一條直線旁邊，這說明這一正相關(guān)可以用這始終線來靠近，依據(jù)圖中分析，人體的脂肪含量(百分比)和年齡具有相關(guān)關(guān)系．(2)設(shè)回來直線為y＝bx＋a，那么結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可得eq\x\to(x)＝40.875，eq\x\to(y)＝23.25，eq\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))xiyi＝8092.8，eq\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝14195，則b＝eq\f(\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))xiyi－8\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up11(8),\s\do9(i＝1))x\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)，＝eq\f(8092.8－8×40.875×23.25,14195－8×40.8752)≈0.5912，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝23.25－0.5912×40.875＝－0.9153，所以所求的線性回來方程是y＝0.5912x－0.9153.1．最小二乘法的適用條件兩個變量必需具有線性相關(guān)性，若題目沒有說明相關(guān)性，必需先對兩個變量進(jìn)行相關(guān)性檢驗．2．留意事項(1)利用求回來方程的步驟求線性回來方程的方法實質(zhì)是一種待定系數(shù)法．(2)計算a，b的值時，用列表法理清計算思路，削減計算失誤．同時，計算時，盡量運用計算機(jī)或科學(xué)計算器．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知變量x，y有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x1234y1345(1)作出散點圖；(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的回來直線方程．[解](1)散點圖如下圖所示．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋4＋5,4)＝eq\f(13,4)，eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do9(i＝1))xiyi＝1＋6＋12＋20＝39，eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，b＝eq\f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(13,10)，a＝eq\f(13,4)－eq\f(13,10)×eq\f(5,2)＝0，故所求回來直線方程為y＝eq\f(13,10)x.1．求回來直線的方程時應(yīng)留意的問題(1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗．假如兩個變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回來方程也是毫無意義的，而且用其估計和預(yù)料的量也是不行信的．(2)用公式計算eq\o(a,\s\up11(^))，eq\o(b,\s\up11(^))的值時，要先算出eq\o(b,\s\up11(^))，然后才能算出eq\o(a,\s\up11(^)).2．利用回來方程，我們可以進(jìn)行估計和預(yù)料．若回來方程為eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(a,\s\up11(^))，則x＝x0處的估計值為eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x0＋eq\o(a,\s\up11(^)).1．思索辨析(1)回來直線總經(jīng)過樣本中的全部點． ()(2)由回來直線求出的值不是一個精確值． ()(3)任何一組數(shù)據(jù)，都可以由最小二乘法得出線性回來方程． ()[解析](1)×，回來直線不肯定經(jīng)過樣本中的點，若經(jīng)過全部點，則兩變量為函數(shù)關(guān)系．(2)√，求出的值是一個估計值．(3)×，只有線性相關(guān)的數(shù)據(jù)才有線性回來方程．[答案](1)×(2)√(3)×2．設(shè)有一個回來方程為y＝－1.5x＋2，則變量x增加一個單位時()A．y平均增加1.5個單位B．y平均增加2個單位C．y平均削減1.5個單位D．y平均削減2個單位C[回來方程斜率為－1.5，所以變量x增加一個單位，y平均削減1.5個單位．]3．某商店統(tǒng)計了最近6個月某商品的進(jìn)價x與售價y(單位：元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：x3528912y46391214則eq\x\to(x)＝________，eq\x\to(y)＝________，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝________，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xiyi＝________，回來方程為________．6．58327396y＝1.14x＋0.59[依據(jù)公式代入即可求得，也可以利用計算器求得eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝8，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝327，eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do9(i＝1))xiyi＝396，回來方程為y＝1.14x＋0.59.]4．某探討機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和推斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356已知記憶力x和推斷力y是線性相關(guān)的，求線性回來方程