第04講 二次函數的性質綜合（4種題型）（解析版）

第04講二次函數的性質綜合（4種題型）【知識梳理】一．二次函數的性質二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減??；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．二．二次函數圖象上點的坐標特征二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．三．二次函數的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．四．待定系數法求二次函數解析式（1）二次函數的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0）；（2）用待定系數法求二次函數的解析式．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．五．二次函數的三種形式二次函數的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是（0，c）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據解析式得到拋物線的頂點坐標為（h，k）；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）．【考點剖析】一．二次函數的性質（共17小題）1．（2022秋?金東區(qū)期末）拋物線y＝2x2﹣4x+1的對稱軸是直線（）A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝﹣ D．x＝﹣1【分析】把二次函數解析式配方成頂點式的形式，然后即可寫出對稱軸．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴對稱軸是直線x＝1．故選：B．【點評】本題考查了二次函數的性質，配方成頂點式是解題的關鍵，也可以利用對稱軸公式直接求解．2．（2023?龍港市二模）二次函數y＝ax2+bx+1（a，b是常數，a≠0）的圖象過點（5，6），下列選項正確的是（）A．若對稱軸為直線x＝1，則a＜0 B．若對稱軸為直線x＝2，則a＜0 C．若對稱軸為直線x＝3，則a＜0 D．若對稱軸為直線x＝4，則a＞0【分析】應用二次函數的性質分別判斷即可．【解答】解：二次函數y＝ax2+bx+1（a，b是常數，a≠0）的圖象過點（5，6），則有25a+5b+1＝6，即5a+b＝1．A、若對稱軸為直線x＝1，則，又5a+b＝1，得a＝＞0；不符合題意．B、若對稱軸為直線x＝2，則，又5a+b＝1，得a＝1＞0；不符合題意．C、若對稱軸為直線x＝3，則，又5a+b＝1，得a＝﹣1＜0；符合題意．D、若對稱軸為直線x＝4，則，又5a+b＝1，得a＝＜0；不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了二次函數的對稱性，及圖象上的點坐標與函數解析式的關系．3．（2022秋?西湖區(qū)期末）設函數y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直線x＝1的圖象與函數y1，y2的圖象分別交于點A（1，c1），B（1，c2），得（）A．若1＜a1＜a2，則c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，則c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，則c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，則c2＜c1【分析】根據題意分別畫出y1，y2的圖象，繼而根據圖象即可求解．【解答】解：∵直線x＝1的圖象與函數y1，y2的圖象分別交于點A（1，c1），B（1，c2），A．若1＜a1＜a2，如圖所示，則c1＞c2B．若a1＜1＜a2，如圖所示，則c1＞c2則c1＜c2，故B選項不合題意，C．若a1＜a2＜1，如圖所示，∴c1＜c2，故C選項正確，D選項不正確；故選：C．【點評】本題考查了二次函數圖象的性質，數形結合是解題的關鍵．4．（2023?長興縣一模）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（）A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴拋物線頂點坐標為（﹣9，﹣3），故選：D．【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數的頂點式．5．（2022秋?溫州期末）拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸的交點坐標為（）A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1）【分析】令x＝0，求出相應的y的值，即可得到拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸的交點坐標．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣4x+3，∴當x＝0時，y＝3，即拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸的交點坐標是（0，3），故選：B．【點評】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確拋物線與y軸交點，就是求出當x＝0時y的值．6．（2023?婺城區(qū)模擬）關于拋物線y＝﹣x2+2x﹣3的判斷，下列說法正確的是（）A．拋物線的開口方向向上 B．拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1 C．拋物線對稱軸左側部分是下降的 D．拋物線頂點到x軸的距離是2【分析】由拋物線的解析式可求得其開口方向、對稱軸、增減性以及頂點坐標，進一步可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴拋物線開口向下，對稱軸為x＝1，頂點坐標為（1，﹣2），在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，∴A、B、C不正確；∵拋物線頂點到x軸的距離是|﹣2|＝2，∴D正確，故選：D．【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．7．（2023?南湖區(qū)一模）在同一直角坐標系中，已知函數，y2＝kx+2（k為不等于零的常數）．若函數y2的圖象經過y1的圖象的頂點，則k，c之間的數量關系為c+k＝3．【分析】將函數化為頂點式，求出頂點坐標，再代入y2＝kx+2，即可作答．【解答】解：，即其頂點坐標為：（﹣1，c﹣1），將（﹣1，c﹣1）代入y2＝kx+2中，有：c﹣1＝﹣k+2，整理，得：c+k＝3，故答案為：c+k＝3．【點評】本題主要考查了求解二次函數的頂點坐標的知識，正確將函數化為頂點式，是解答本題的關鍵．8．（2023?鄞州區(qū)一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，則9a+3b+c的值是﹣2．【分析】根據拋物線的軸對稱性質得到：當x＝3與當x＝﹣1時，所對應的y值相等，據此解答．【解答】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，∴點A（﹣1，﹣2）關于直線x＝1對稱的點的坐標為（3，﹣2）．∴當x＝3時，y＝﹣2，即9a+3b+c＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．9．（2022秋?南潯區(qū)期末）已知二次函數y＝x2+2x﹣5，當x＝3時，y＝10．【分析】把x＝3代入y＝x2+2x﹣5計算即可．【解答】解：把x＝3代入y＝x2+2x﹣5，得y＝32+2×3﹣5＝10．故答案為：10．【點評】本題考查了二次函數的性質，準確計算是解題的關鍵．10．（2022秋?嵊州市期末）二次函數y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1）的圖象上任意二點連線不與x軸平行，則b的取值范圍為b≤1或b≥2．【分析】先根據函數表達式得出函數的對稱軸，再根據題意可得該二次函數的圖象取對稱軸的左邊或對稱軸的右邊，即可進行解答．【解答】解：∵二次函數表達式為y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1），∴該函數的對稱軸為直線x＝2，∵圖象上任意二點連線不與x軸平行，∴x≤2或x≥2，∵b≤x≤b+1，∴b+1≤2或≥2，解得：b≤1或b≥2．故答案為：b≤1或b≥2．【點評】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象，會根據二次函數的表達式求出函數的對稱軸．11．（2022秋?余姚市期末）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于點M，P為拋物線的頂點，若直線OP交直線AM于點B，且M為線段AB的中點，則線段PB的長為．【分析】先根據拋物線解析式求出點A坐標和其對稱軸，再根據對稱性求出點M坐標，利用點M為線段AB中點，得出點B的坐標；再將點B的坐標代入直線OP的解析式，用含a的式子表示出點P坐標，即可求解出a的值，據此即可解答．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）與y軸交于點A，∴A（0，3），拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴頂點P坐標為（1，3﹣a），點M坐標為（2，3）∵點M為線段AB的中點，∴點B坐標為（4，3），設直線OP解析式為y＝kx（k為常數，且k≠0），將點B（4，3）代入得4k＝3，解得，∴直線OP解析式為，將點P（1，3﹣a）代入得，得，解得，∴點，∴故答案為：．【點評】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求正比例函數解析式，兩點間距離公式，坐標與圖形，求得點B的坐標是解決本題的關鍵．12．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）直線l1：y＝kx+3與y軸交于點P，直線l1繞點P順時針旋轉45°得到直線l2，若直線l2與拋物線y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共點，則k＝﹣1或﹣3．【分析】根據直線解析式可得l1，l2都經過點（0，3），分別討論直線l2與y軸重合或與拋物線相切兩種情況，通過添加輔助線構造全等三角形可求出直線y＝kx+3上的點坐標，進而求解．【解答】解：由y＝kx+3，y＝﹣x2+2x+3可得直線l2與拋物線交于點A（0，3），①直線l2與y軸重合滿足題意，則直線l1與y軸交點為45°，如圖，∵OB＝3，∠ABO＝45°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴OA＝OB＝3，∴點B坐標為（3，0），將（3，0）代入y＝kx+3得0＝3k+3，解得k＝﹣1．②設直線l2解析式為y＝mx+3，令mx+3＝﹣x2+2x+3，Δ＝（m﹣2）2，當m＝2時滿足題意．∴y＝2x+3，把y＝0代入y＝2x+3得x＝﹣，∴直線l2與x軸交點D坐標為（﹣，0），即OD＝，作DE⊥AD交直線y＝kx+3于點E，過點E作EF⊥x軸于點F，∵∠EAD＝45°，∴AD＝DE，∵∠ADO+∠EDF＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠EDF，又∵∠EFD＝∠AOD＝90°，∴△EFD≌△DOA，∴FD＝AO＝3，EF＝DO＝，∴OF＝FD+DO＝，∴點E坐標為（﹣，）．將（﹣，）代入直線AE解析式y(tǒng)＝k1x+3得＝﹣k1+3，解得k1＝．∵k1?k＝﹣1，∴k＝﹣3．故答案為：﹣1或﹣3．【點評】本題考查二次函數與一次函數交點問題，解題關鍵是掌握函數與方程的關系，通過添加輔助線分類討論求解．13．（2022秋?杭州期末）已知0＜m＜3，若二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0的自變量x與函數y的部分對應值如表，x…﹣5﹣235…y…m3m0…則c＝3，方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣7，x2＝5．【分析】根據當x＝﹣5或3時，y＝m，可知圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，因為當x＝﹣2時，y＝3，根據對稱性可得c＝3，再根據當x＝5時，y＝0，得當x＝﹣7時，y＝0，即可得方程ax2+bx+c＝0的兩根．【解答】解：∵當x＝﹣5或3時，y＝m，∴圖象的對稱軸為直線x＝＝﹣1，∵當x＝﹣2時，y＝3，∴當x＝0時，y＝3，∴c＝3，∵當x＝5時，y＝0，∴當x＝﹣7時，y＝0，∴方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣7，x2＝5．故答案為：3，x1＝﹣7，x2＝5．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵．14．（2023?龍灣區(qū)一模）如圖，已知點C為二次函數y＝x2﹣4x+1的頂點，點P（0，n）為y軸正半軸上一點，過點P作y軸的垂線交函數圖象于點A，B（點A在點B的左側）．點M在射線PB上，且滿足PM＝1+n．過點M作MN⊥AB交拋物線于點N，記點N的縱坐標為yN．（1）求頂點C的坐標．（2）①若n＝3，求MB的值．②當0＜n≤4時，求yN的取值范圍．【分析】（1）把二次函數的解析式化成頂點式，即可求得頂點C的坐標；（2）①解方程x2﹣4x+1＝3，求得B的坐標即可得出；②由xN＝xM＝1+n，代入解析式得，求得當n＝1時，yN的最小值為﹣3．n＝4時，yN的最大值為6，根據二次函數的性質即可求得﹣3≤yN≤6．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴頂點C的坐標為（2，﹣3）．（2）①當n＝3時，則PM＝1+3＝4，令y＝3，則x2﹣4x+1＝3，解得，，∴B（2+，3），∴．②∵xN＝xM＝1+n，∴．∴當n＝1時，yN的最小值為﹣3．當n＝4時，yN的最大值為6．∴﹣3≤yN≤6．【點評】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．15．（2023?海曙區(qū)一模）對于拋物線y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若拋物線過點（4，3）．①求頂點坐標；②當0≤x≤6時，直接寫出y的取值范圍為﹣1≤y≤15；（2）已知當0≤x≤m時，1≤y≤9，求a和m的值．【分析】（1）①解析式化成頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標；②求得x＝6時的函數值，根據二次函數的性質即可求解；（2）拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝，由當0≤x≤m時，1≤y≤9可知拋物線頂點坐標為（，1）且過點（m，9），把頂點坐標代入解析式即可求得a＝2，然后把點（m，9）代入解析式即可求得m的值．【解答】解：（1）若拋物線過點（4，3），則3＝16a﹣16+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣4x+3；①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點坐標為（2，﹣1）；②當x＝6時，y＝x2﹣4x+3＝15，∴當0≤x≤6時，直y的取值范圍為﹣1≤y≤15，故答案為：﹣1≤y≤15；（2）拋物線y＝ax2﹣4x+3（a＞0）對稱軸為直線x＝﹣＝，∵當0≤x≤m時，1≤y≤9，且x＝0時，y＝3，∴x＝時，y＝1為函數最小值，即拋物線頂點坐標為（，1），∴1＝﹣+3，解得a＝2，∴y＝2x2﹣4x+3，把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3，解得m1＝3，m2＝﹣1，∴m＞0，∴m＝3，故a的值為2，m的值為3．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．16．（2023春?上城區(qū)校級月考）設二次函數y＝ax2+4ax+4a+1，a為常數，且a＜0．（1）寫出該函數的對稱軸和頂點坐標．（2）若該函數圖象經過點P（n，y1），Q（n+1，y2），當n≥1時，試比較y1和y2的大小關系．（3）若該函數圖象經過點P（x1，y1），Q（x2，y2），設n≤x1≤n+1，當x2≥3時均有y1≥y2，請求出實數n的取值范圍．【分析】（1）畫出頂點時，即可求得對稱軸和頂點坐標；（2）根據二次函數的性質即可得到結論；（3）利用函數圖象，結合函數的對稱性即可得出n的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，∴二次函數圖象的對稱軸是直線x＝﹣2，頂點為（﹣2，1）；（2）∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，∴當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小，∵該函數圖象經過點P（n，y1），Q（n+1，y2），∴當n≥1時，y1＞y2；（3）∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，當x2≥3時均有y1≥y2，∴|x1+2|≤|x2+2|，即|x1+2|≤x2+2，∴x1+2≤x2+2，或x1+2≥﹣2﹣x2，∴x1≤x2，或x1≥﹣4﹣x2∵x2≥3，∴﹣4﹣x2≤﹣7，∵該二次函數圖象上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），設n≤x1≤n+1，當x2≥3時均有y1≥y2，∴，∴﹣7≤n≤2．【點評】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，二次函數圖象上點的坐標特征，關鍵是靈活應用二次函數的性質解題．17．（2022秋?嘉興期末）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣4．（1）求該函數圖象的頂點坐標和對稱軸．（2）自變量在什么范圍內時，y隨x的增大而增大．【分析】（1）利用配方法或公式法即可解決問題．（2）利用圖象以及二次函數的性質即可解決問題．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x2﹣2x+1）﹣4﹣1＝（x﹣1）2﹣5，∴頂點坐標為（1，﹣5），對稱軸為x＝1．（2）當x＞1時，y隨x的增大而增大．【點評】本題考查二次函數的性質、配方法或公式法求頂點坐標，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，屬于基礎題，中考常考題型．二．二次函數的最值（共4小題）18．（2023?江北區(qū)一模）已知拋物線y＝（x﹣b）2+c經過A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三點，y1＝y(tǒng)3．當1﹣n≤x≤n時，二次函數的最大值與最小值的差為16，則n的值為（）A．﹣5 B．3 C． D．4【分析】根據y1＝y(tǒng)3，可得A，C兩點關于對稱軸對稱，從而得到拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+c，再由1﹣n≤x≤n，可得點B在點A的右側，，然后分兩種情況討論，即可求解．【解答】解：∵y1＝y(tǒng)3，∴A，C兩點關于對稱軸對稱．∴，即拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+c．∵1﹣n≤x≤n，∴點B在點A的右側，且有1﹣n≤n，∴．情況1：如圖1，當點A與點B均在對稱軸的左側時，此時n＜2；當x＝1﹣n時，二次函數取到最大值為y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；當x＝n時，二次函數取到最小值為y＝（n﹣2）2+c，∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得（舍去）．情況2：如圖2，當點A與點B在對稱軸的兩側時，此時n≥2；A到對稱軸的水平距離為2﹣（1﹣n）＝1+n．B到對稱軸的距離為n﹣2，當x＝1﹣n時，二次函數取到最大值為y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；當x＝2時，二次函數取到最小值為y＝c，∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．綜上，n＝3．故選：B．【點評】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．19．（2022秋?金華期末）二次函數y＝2x2﹣4x的最小值為﹣2．【分析】把二次函數的解析式化為頂點式，即可求解．【解答】解：y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∵2＞0，∴二次函數y＝2x2﹣4x有最小值，最小值為﹣2．故答案為：﹣2【點評】此題考查將二次函數一般式化為頂點式，二次函數的性質．熟練轉化二次函數解析式的形式及掌握確定最值的方法是解題的關鍵．20．（2022秋?海曙區(qū)期末）已知點P（m，n）在二次函數y＝x2+4的圖象上，則m﹣n的最大值等于﹣．【分析】根據題意，可以得到m和n的關系，然后將m、n作差，利用二次函數的性質，即可得到m﹣n的最大值，本題得以解決．【解答】解：∵點P（m，n）在拋物線y＝x2+4上，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴當m＝時，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．21．（2022秋?諸暨市期末）已知函數y＝x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）當0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差；（3）當k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，求k的值．【分析】（1）（0，3）是與y軸的交點，可得c＝3，再將（6，3）代入求值，可求得b的值；（2）根據二次函數的解析式y(tǒng)＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；當0≤x≤4時，僅當x＝0時，y取得最大值；僅當x＝3時，y取得最小值；再計算y的最大值與最小值之差；（3）分類討論：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②當k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7；③當3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7；根據函數特點，計算求出符合題意k的值．【解答】解：（1）∵函數y＝x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3），∴c＝3，y＝x2+bx+3，將點（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，∴b＝﹣6，c＝3；（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，當0≤x≤4時，①僅當x＝3時，y取得最小值，此時y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；②僅當x＝0時，y取得最大值，此時y＝（0﹣3）2﹣6＝3；3﹣（﹣6）＝9，∴當0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差為9；（3）當k﹣4≤x≤k時，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，①當k﹣4≤x≤k≤3時，即k≤3，僅當x＝k，y取得最小值，此時y＝k2﹣6k+3；僅當x＝k﹣4，y取得最大值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，∵k＜3，∴k＝4不符合題意；②當k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7，此時最小值為y＝﹣6，當x＝k﹣4取得最大值時，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝7±3，∵3≤k≤7，7+3＞7，7﹣3＜3，∴k＝7±3不符合題意；當x＝k取得最大值時，y＝k2﹣6k+3，k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2，∵3≤k≤7，3＜3+2＜7，3﹣2＜3，∴k＝3+2符合題意，k＝3﹣2不符合題意，∴k＝3+2；③當3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7，僅當x＝k﹣4，y取得最小值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；僅當x＝k，y取得最大值，此時y＝k2﹣6k+3；k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，∵k≥7，∴k＝6不符合題意；綜上所述，當k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，k的值為3+2．y取得最小值，此時y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；【點評】本題考查了二次函數的最值，熟練掌握二次函數的特點，并用分類討論思想分析計算求值是解本題的關鍵，綜合性較強，難度適中．三．待定系數法求二次函數解析式（共8小題）22．（2022秋?溫州期末）若拋物線y＝x2﹣6x+c的頂點在x軸，則c＝9．【分析】頂點在x軸上，根據頂點的縱坐標是0，列出方程求解．【解答】解：根據題意，頂點在x軸上，頂點縱坐標為0，即，解得c＝9．【點評】本題考查求頂點縱坐標的公式，比較簡單．23．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個二次函數圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點坐標為（1，﹣3），則該二次函數的表達式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【分析】根據二次函數的頂點坐標為（1，﹣3），可得可設這個二次函數的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，再根據圖象的形狀和與拋物線y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．【解答】解：∵二次函數的頂點坐標為（1，﹣3），∴可設這個二次函數的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，∵二次函數圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，，∴|a|＝2，∴a＝±2，∴這個二次函數的解析式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．故答案為：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質，牢記形狀相同的二次函數二次項系數的絕對值相等是解題的關鍵．24．（2023春?蕭山區(qū)期中）已知二次函數y＝x2+bx+c．當﹣1≤x≤1時，y的取值范圍是﹣1≤y≤1，該二次函數的對稱軸為x＝m，則m的取值范圍是1﹣≤m≤﹣1．【分析】分別求解當y＝x2+bx+c過點（1，1）時，當y＝x2+bx+c過點（﹣1，1）時的m的值，即可得到結論．【解答】解：二次函數y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣，當﹣1≤x≤1時，y的取值范圍是﹣1≤y≤1，如圖，當拋物線y＝x2+bx+c過點（1，1）時，則1+b+c＝1，此時﹣1≤﹣＜0，即0＜b≤2，解得：c＝﹣b，∴拋物線為：y＝x2+bx﹣b＝（x+）2﹣b﹣，此時函數的最小值必為﹣1，∴﹣b﹣＝﹣1，解得：b1＝﹣2+2，b2＝﹣2﹣2（舍去），此時m＝﹣＝1﹣，同理，當拋物線y＝x2+bx+c過點（﹣1，1）時，則1﹣b+c＝1，此時0＜﹣≤1，即﹣2≤b＜0，解得：c＝b，∴拋物線為：y＝x2+bx+b＝（x+）2+b﹣，此時函數的最小值必為﹣1，∴b﹣＝﹣1，解得：b1＝2﹣2，b2＝2+2（舍去），此時m＝﹣＝﹣1，∴1﹣≤m≤﹣1，故答案為：1﹣≤m≤﹣1．【點評】本題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質，運用數形結合思想是解題的關鍵．25．（2023?鹿城區(qū)校級二模）如圖，拋物線經過點（﹣2，0）和（0，4）．?（1）求拋物線的函數表達式和對稱軸．（2）拋物線交y軸于點A，點P在線段OA上，過點P作x軸的平行線交拋物線于B，C兩點（B在C的左側），若時，CP＝nPB，求n的值．【分析】（1）利用待定系數法即可求得；（2）首先求得A的坐標，然后設BP＝m，則，，根據拋物線的對稱性求得C（m+2，﹣），即可得出BC＝2m+2，AP＝，由得到關于m的方程，解方程求得m的值，從而求得CP＝3，BP＝1，即可求得n＝3．【解答】解：（1）∵拋物線經過點（﹣2，0）和（0，4），∴，解得，∴拋物線的函數表達式為：；∴對稱軸直線：x＝﹣＝1；（2）∵拋物線交y軸于點A，∴A（0，4），設BP＝m，則，，∵拋物線對稱軸直線x＝1，∴C（m+2，﹣），∴BC＝2m+2，AP＝4﹣（﹣）＝，∵，∴，解得：m1＝1，（舍去），∴CP＝3，BP＝1，∴n＝3．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，正確表示出點的坐標，從而根據題意得到關于m的方程是解題的關鍵．26．（2023?龍港市二模）二次函數y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經過點A（1，0），B（3，0）．（1）求該二次函數的表達式和對稱軸．（2）設P（m，y1），Q（m+1，y2）（m＞2）是該二次函數圖象上的兩點．當m≤x≤m+1時，函數的最大值與最小值的差為5，求m的值．【分析】（1）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式，利用拋物線的對稱性即可求得對稱軸；（2）根據題意函數的最大值yQ＝（m+1）2﹣4（m+1）+3，函數最小值yP＝y(tǒng)Q＝m2﹣4m+3，由函數的最大值與最小值的差為5，得到關于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經過點A（1，0），B（3，0），∴，解得，∴二次函數的表達式為y＝x2﹣4x+3，對稱軸是直線x＝＝2；（2）∵a＝1＞0，對稱軸為直線x＝2，∴當x＞2時，y隨著x的增大而增大，∵m＞2，∴當m≤x≤m+1時，y隨著x的增大而增大，∴函數的最大值yQ＝（m+1）2﹣4（m+1）+3，函數最小值yP＝y(tǒng)Q＝m2﹣4m+3，∵函數的最大值與最小值的差為5，（m+1）2﹣4（m+1）+3﹣m2+4m﹣3＝5，∴m＝4．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題．27．（2023?溫州二模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函數y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，且x2﹣x1＝6．（1）求該二次函數的表達式．（2）已知點A，B在對稱軸的異側，當x1≤x≤x2時，二次函數的最大值與最小值的差為5，設x1，x2的最小值分別為m，n，求m+n的值．【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）由題意可知函數的最大值為3，最小值為﹣2，把y＝﹣2代入解析式即可求得自變量x的值，即可求得m＝，n＝，進一步求得m+n的值．【解答】解：（1）∵C（4，1）在二次函數y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，∴1＝a（4﹣2）2+3，解得，∴該二次函數的表達式為；（2）∵A，B在對稱軸異側，且x1≤x≤x2，∴函數的最大值為3，∵函數的最大值與最小值的差為5，∴最小值為﹣2，把y＝﹣2代入，得，∵，∴由圖象得x1最小值，∴x2最小值＝，∴m+n＝2﹣+8﹣＝10﹣2．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，二次函數的最值，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題．28．（2023?定海區(qū)模擬）二次函數y＝x2+bx過點（2，8）．（1）求二次函數y＝x2+bx的解析式；（2）若點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數圖象上，求y1+y2最小值；（3）一次函數y＝x+2和二次函數y＝x2+bx在同一平面直角坐標系中．其中點A（m，y1）是二次函數y＝x2+bx圖象上一點，點B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2圖象上一點．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范圍．【分析】（1）把已知點的坐標代入y＝x2+bx中求出b的值，從而得到二次函數解析式；（2）根據一次函數和二次函數圖象上點的坐標特征得到y(tǒng)1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，則y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函數的性質解決問題；（3）先確定拋物線y＝x2+2x的對稱軸為直線x＝﹣1，再求出點A（m，y1）關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（﹣2﹣m，y1），則|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通過解方程m2+3m＝2和二次函數的性質得到m2+3m＞2的解集為m＜或m＞，通過解方程m2+3m＝﹣2和二次函數的性質得到得m2+3m＜﹣2的解集為﹣2＜m＜﹣1．【解答】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，解得b＝2，∴二次函數解析式為y＝x2+2x；（2）∵點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數圖象上，∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，∴當m＝時，y1+y2有最小值，最小值為；（3）∵拋物線y＝x2+2x的對稱軸為直線x＝﹣1，∴點A（m，y1）關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（﹣2﹣m，y1），∵點B的坐標為（﹣2﹣m，y2），∴|y1﹣y2|表示點A′與點B的距離，∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，整理得|m2+3m|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，∴m2+3m＞2的解集為m＜或m＞，解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，∴m2+3m＜﹣2的解集為﹣2＜m＜﹣1，綜上所述．m的取值范圍為m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了一次函數，、二次函數的性質和二次函數圖象上點的坐標特征．29．（2023?西湖區(qū)模擬）設二次函數y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數，a≠0）．（1）若a＝2，求該函數圖象頂點坐標；（2）若該二次函數圖象經過（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數的表達式；（3）若二次函數圖象經過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當x1+x2＝2，x1＜x2時．y1＞y2，求a的取值范圍．【分析】（1）當a＝2時，二次函數y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6，即可求出頂點坐標；（2）先判斷拋物線過點（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，從而求得拋物線的解析式；（3）分a＞0和a＜0兩種情況，根據二次函數的增減性和已知條件列出a的不等式便可求得結果．【解答】解：（1）當a＝2時，二次函數y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6＝2（x+2）2﹣2，∴頂點坐標為（﹣2，﹣2）；（2）當x＝﹣1時，y＝0≠1，因此不過（﹣1，1）點，當x＝﹣2時，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不過（﹣2，3）點，故拋物線過點（1，﹣2），代入得，2（3a+2）＝﹣2，解得a＝﹣1，∴拋物線的關系式為y＝﹣x2﹣x；（3）∵二次函數y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數，a≠0）的圖象與x軸交于點（﹣1，0），﹣2﹣，0），∴函數圖象的對稱軸為直線x＝﹣，當a＞0時，函數圖象開口向上，∵當x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，x2+＜﹣﹣x1，∴2+＜0，解得a＜﹣，舍去；當a＜0時，函數圖象開口向下，∵x1＜x2時，y1＞y2，∴x1≥﹣，∵x1+x2＝2，x1＜x2，∴x1＜1，∴﹣＜1，∴a＜﹣．【點評】本題是二次函數的綜合題，主要考查了二次函數的圖象與性質，函數圖象上點的坐標特征，待定系數法，關鍵是根據題意正確列出a的不等式．四．二次函數的三種形式（共3小題）30．（2022秋?義烏市校級月考）已知二次函數y＝2x2+4x﹣6，（1）將二次函數的解析式化為y＝a（x﹣h）2+k的形式．（2）寫出二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標．【分析】（1）用配方法可將拋物線一般式轉化為頂點式；（2）根據（1）中的頂點式確定開口方向、對稱軸、頂點坐標．【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；（2）由（1）知，該拋物線解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；a＝2＞0，則二次函數圖象的開口方向向上．對稱軸是直線x＝﹣1、頂點坐標是（﹣1，﹣8）．【點評】本題考查了二次函數的三種形式和二次函數的性質．二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）；（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．31．（2022秋?余杭區(qū)校級月考）將二次函數y＝x2+2x﹣1轉化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，結果為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2【分析】加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故選：D．【點評】本題考查了二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）；（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．32．（2022秋?定海區(qū)校級月考）把函數y＝2x2﹣4x﹣1寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式，則h+k＝﹣2．【分析】利用配方法把一般式化為頂點式，計算即可．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x2﹣2x）﹣1＝2（x﹣1）2﹣3∴h+k＝1﹣3＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】本題考查的是二次函數的最值問題，靈活運用配方法把一般式化為頂點式、掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·浙江·九年級階段練習）已知二次函數的圖象和一次函數的圖象交于點，則下列說法正確的是（

）A．若，則的對稱軸在y軸左側，且 B．若，則的對稱軸在y軸右側，且C．若，則的對稱軸在y軸右側，且 D．若，則的對稱軸在y軸左側，且【答案】A【分析】依題意得出，根據分別判斷即可求解．【詳解】解：∵二次函數的圖象和一次函數的圖象交于點，∴，∴，若，則，則，即∵二次函數的對稱軸為直線∴的對稱軸在y軸左側，故A選項正確，B選項錯誤若，則，故C選項錯誤，則的對稱軸在y軸右側，故D選項不正確；故選：A．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的性質，得出是解題的關鍵．2．（2023·浙江·模擬預測）設二次函數（a，c是常數，），已知函數的圖象經過點，，，設方程的正實數根為m，（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據二次函數的性質可得點關于對稱軸的對稱點為，點關于對稱軸的對稱點為，再由二次函數圖象與方程的關系可得二次函數的圖象與直線的右側的交點的橫坐標為m，再結合圖象即可求解．【詳解】解：∵二次函數關于y軸對稱，∴點關于對稱軸的對稱點為，點關于對稱軸的對稱點為，∵方程的正實數根為m，∴二次函數的圖象與直線的右側的交點的橫坐標為m，如圖，當時，，故A、B選項錯誤，不符合題意；當，時，，故C選項錯誤，不符合題意；D選項正確，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．3．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）二次函數自變量與函數值的對應關系如下表，設一元二次方程的根為，，且，則下列說法正確的是（

）00.511.522.50.130.380.530.580.530.380.13A． B．C． D．【答案】A【分析】根據表格找出y的值接近0時對應的x的值的取值范圍，從而分析求解．【詳解】解：由表格可得：當時，；當時，，又∵一元二次方程的根為，，且，∴，，故選：A．【點睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，結合表格中的數據找出方程（，a，b，c為常數）的一個解的近似值是解題的關鍵．4．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮档膱D象過兩點，下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據根據二次函數的解析式得到對稱軸為直線，再利用二次函數的性質對各項判斷即可解答．【詳解】解：∵二次函數的圖象過兩點，∴二次函數的頂點式為：，∴當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大；∵，∴，∴，∴，故錯誤；∵二次函數的頂點式為：，∴拋物線的對稱軸為直線，若，∴解得：，∴當時，和關于對稱，∴當時，；當時，，故錯誤，正確；當時，隨的增大而增大，∵，∴，故錯誤；故選．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的對稱軸，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）坐標平面上有一水平線與二次函數的圖形，其中為一正數，且與二次函數圖象相交于、兩點，其位置如圖所示．若：：，則的長度為()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根據對稱軸，結合即可求解．【詳解】解：設對稱軸與交于點．.，．對稱軸，．，：：．：：：：．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數關于對稱軸對稱，結合圖形，找到線段的長度是解題的關鍵．6．（2023春·浙江·九年級階段練習）如圖，二次函數的對稱軸為直線，下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由題意知，當時，；將和分別代入，計算求解可得的關系，然后進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，當時，；當時，，即，，∴，即，∴A錯誤，故不符合要求；B正確，故符合要求；當時，，即，，∴，即，，∴C、D錯誤，故不符合要求；故選B．【點睛】本題考查了根據二次函數的圖象判斷式子的符號．解題的關鍵在于數形結合確定的關系．7．（2023春·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學校?？茧A段練習）已知a為實數，下列命題：①若，則；②若，則；③若，則或．其中真命題的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】借助函數圖象，先確定出三函數圖象的交點坐標為，再根據二次函數與不等式組的關系求解即可．【詳解】解：對于函數和，當時，三個函數的函數值都是1，所以，交點坐標為，根據對稱性，和在第三象限的交點坐標為，畫出三個函數的圖象如圖，①如果，那么，故①正確；②如果時，那么，故②正確；③如果，那么或，故③正確；綜上所述，真命題是①②③．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數、反比例函數、一次函數與不等式組的關系，命題與定理，求出兩交點的坐標并準確識圖是解題的關鍵．8．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，二次函數圖象的對稱軸為直線，且經過點，則下列說法①；②；③若是拋物線上的兩點，則；④正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，，再由對稱軸為直線得到，即可判斷①；根據當時，，即可判斷②；根據拋物線開口向下，離對稱軸越遠函數值越小，即可判斷③；根據二次函數的性質可知當時，函數有最大值，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；由函數圖象可知，當時，，∴，故②正確；∵拋物線開口向下，∴離對稱軸越遠函數值越小，∵，∴，故③錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，函數有最大值，∴，∴，故④正確；故選C．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，根據二次函數圖象判斷式子符號等等，解題的關鍵是靈活應用圖中信息解決問題，屬于中考常考題型．9．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）已知二次函數y＝ax2﹣4ax﹣1，當x≤1時，y隨x的增大而增大，且﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，則a的值為（

）A．1 B． C．﹣ D．﹣【答案】D【分析】根據二次函數y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到該函數的對稱軸，再根據當x≤1時，y隨x的增大而增大，可以得到a的正負情況，然后根據﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，即可得到a的值．【詳解】解：∵二次函數y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴該函數的對稱軸是直線x＝2，又∵當x≤1時，y隨x的增大而增大，∴a＜0，∵當﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，∴x＝6時，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a＝﹣，故選：D．【點睛】本題考查二次函數的基本性質，熟練掌握二次函數基本性質是解題關鍵．10．（2023·統(tǒng)考二模）二次函數(，是常數，)的圖象過點，下列選項正確的是(

)A．若對稱軸為直線，則 B．若對稱軸為直線，則C．若對稱軸為直線，則 D．若對稱軸為直線，則【答案】C【分析】先求得拋物線與軸交于，然后根據拋物線的對稱軸求得對稱點，根據拋物線對稱軸的右側的增減性即可求解．【詳解】解：由，當時，，即拋物線與軸交于若對稱軸為直線，則關于對稱的點為，又二次函數(，是常數，)的圖象過點，在對稱軸的右側，隨的增大而增大，∴拋物線開口向上，即，故A錯誤若對稱軸為直線，則關于對稱的點為，又二次函數(，是常數，)的圖象過點，在對稱軸的右側，隨的增大而增大，∴拋物線開口向上，即，故B錯誤若對稱軸為直線，則關于對稱的點為，又二次函數(，是常數，)的圖象過點，在對稱軸的右側，隨的增大而減小，∴拋物線開口向下，即，故C正確若對稱軸為直線，則關于對稱的點為，又二次函數(，是常數，)的圖象過點，在對稱軸的右側，隨的增大而減小，∴拋物線開口向下，即，故D錯誤故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．二、填空題11．（2023春·浙江·九年級開學考試）若關于x的一元二次方程有實數根，且．當時，試比較，2，3的大小，并用“<”連接：___________．【答案】【分析】設，根據二次函數圖象和直線的交點橫坐標為，由圖象即可得到答案．【詳解】解：設，當時，或，即拋物線與x軸交于點，如圖所示，拋物線與直線交點的橫坐標為，由圖象可知，．故答案為：【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數圖象和一元二次方程的關系是解題的關鍵．12．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線經過點兩點，則關于x的一元二次方程的解是________．【答案】【分析】根據平移的性質可得拋物線經過點兩點，再由拋物線與軸的交點的橫坐標即為一元二次方程的解，即可求解．【詳解】解：根據題意得：把拋物線向左平移1個單位得到拋物線，∵拋物線經過點兩點，∴拋物線經過點、兩點，∴當，即時，解得：，∴的解為．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數的平移，二次函數與一元二次方程的根的關系，理解拋物線與軸的交點的橫坐標即為一元二次方程的解是解題的關鍵．13．（2023·浙江·九年級專題練習）已知二次函數的圖象與x軸恰有一個交點，且過點和點，則______．【答案】【分析】根據二次函數的圖象與x軸恰有一個交點，可得，再由二次函數的軸對稱性可得，從而得到，，再把代入解析式可得，然后代入結合完全平方公式計算，即可求解．【詳解】解：∵二次函數的圖象與x軸恰有一個交點，∴，即，∵二次函數的圖象過點和點，∴，解得：，∴，∴二次函數的解析式為，當時，，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是得到，，靈活利用完全平方公式計算是解題的關鍵．14．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在同一直角坐標系中，已知函數，（k為不等于零的常數）．若函數的圖象經過的圖象的頂點，則k，c之間的數量關系為__________．【答案】【分析】將函數化為頂點式，求出頂點坐標，再代入，即可作答．【詳解】，即其頂點坐標為：，將代入中，有：，整理，得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求解二次函數的頂點坐標的知識，正確將函數化為頂點式，是解答本題的關鍵．15．（2023·浙江溫州·校考三模）拋物線的頂點落在一次函數的圖象上，則b的最小值為__________．【答案】3【分析】首先求出拋物線的頂點坐標，然后代入一次函數，然后利用二次函數的性質求解即可．【詳解】解：，∴頂點坐標為，∵拋物線的頂點落在一次函數的圖象上，∴在一次函數的圖象上，∴∴∵，∴拋物線開口向上，∴當時，b有最小值3．故答案為：3．【點睛】此題考查了二次函數的最值，二次函數的頂點式，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．16．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知是關于的函數，若該函數的圖象經過點，則稱點為函數圖象上的“平衡點”，例如：直線上存在“平衡點”，若函數的圖象上存在唯一“平衡點”，則___________．【答案】2，，1【分析】將代入，得，由函數的圖象上存在唯一“平衡點”，可得有兩個相等的實數根，，求解即可．【詳解】解：將代入，得：，即，函數的圖象上存在唯一“平衡點”，有兩個相等的實數根，，解得：或，當時，是一次函數，有唯一“平衡點”，故答案為：2，，1．【點睛】本題考查了二次函數圖象上的點的特征，新定義，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，一次函數的性質，理解“平衡點”的定義是解題的關鍵．17．（2023·浙江·九年級專題練習）若二次函數的圖象經過點，，，且，則下列結論：①；②；③；④中，一定成立的有____________．（填序號）【答案】①②④【分析】由，可知對稱軸為直線由可知開口向上，時，隨增大而增大，根據已知條件可得根據對稱軸為直線可知與的一個交點在和之間，與的另一個交點在和之間，即可得出，，即可得出結論．【詳解】解：∴對稱軸為直線∴開口向上，時，隨增大而增大，的圖象經過點，，故①一定成立，∴與的一個交點在和之間，∵對稱軸為∴與的另一個交點在和之間，的圖象經過點，或故②③一定成立，∴綜上所述，一定成立的有①②④．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵．18．（2023·浙江·九年級專題練習）已知二次函數．當時，的取值范圍是，該二次函數的對稱軸為，則的值是____．【答案】或【分析】根據二次函數的性質可得當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，然后分三種情況討論：若，該函數圖像過點，；若，該函數圖像過點，；若，即可求解．【詳解】解：根據題意得：二次函數的對稱軸為直線，∵該二次函數的對稱軸為，∴，∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，∵當時，y的取值范圍是，若，該函數圖像過點，，∴，解得：，此時（舍去）；若，該函數圖像過點，，∴，解得：，此時（舍去）；若，當時，此時，當時，，且該函數圖像過點，∴，解得：或，此時（舍去）或；當時，此時，當時，，該函數圖像過點，∴，解得：或，此時（舍去）或；綜上所述，的值是為或．故答案為：或【點睛】本題考查二次函數的圖像和性質，熟練掌握二次函數的圖像和性質，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．三、解答題19．（2023秋·浙江杭州·九年級期中）已知二次函數的圖象經過點．（1）求這個二次函數的表達式．（2）畫出這個函數的圖象，并利用圖象解決下列問題：①直接寫出方程的解．②當滿足什么條件時，．【答案】（1）；（2）①，；②或【分析】（1）把點代入二次函數解析式進行求解即可；（2）①由（1）及圖像可直接進行求解即可；②當時可由圖像直接進行求解．【詳解】解：（1）∵二次函數的圖象經過點，∴，解得，∴；（2）由五點法可得如圖所示：①由圖像可得：方程的解是，；②由圖象可得，當時，或．【點睛】本題主要考查二次函數的圖像與性質，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解題的關鍵．20．（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線經過點和點，(1)求這個拋物線的解析式及頂點坐標．(2)求拋物線與x軸兩個交點之間的距離．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；（2）令，可得，即可求解．【詳解】（1）解：把點和點代入得：，解得：，∴這個拋物線的解析式為，∵，∴這個拋物線的頂點坐標為；（2）解：當時，，解得：，∴拋物線與x軸兩個交點坐標為，∴拋物線與x軸兩個交點之間的距離為．【點睛】本題主要考查了求二次函數的解析式，拋物線與x軸的交點問題，利用待定系數法求出拋物線的解析式是解題的關鍵．21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數和一次函數．(1)二次函數的圖象過點，求二次函數的表達式；(2)若一次函數與二次函數的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點．①求證：；②若兩個函數圖象的另一個交點為二次函數的頂點，求m的值．【答案】(1)二次函數的表達式為；(2)①證明見解析，②【分析】（1）待定系數法，求出函數解析式即可．（2）①先求出二次函數與軸的交點坐標，進而得到一次函數與二次函數的圖象的交點坐標，代入一次函數，即可得出結論；②求出二次函數的頂點坐標，代入一次函數即可得出結果．【詳解】（1）解：∵二次函數過，∴，∴二次函數的表達式為，將點代入，得，∴；∴二次函數的表達式為．（2）①∵當