2024年1月遼寧高中學業(yè)水平合格考數(shù)學試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年1月遼寧省普通高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學（本試卷分I、II兩卷，滿分100分，考試時間90分鐘）第I卷（選擇題共36分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．計算的值是（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．在中，角，，所對的邊分別為，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)（且）的圖象一定過點（

）A． B． C． D．5．“山海有情，天遼地寧”.為推動遼寧文旅產業(yè)快速發(fā)展，遼寧電視臺推出了2024年春節(jié)“回遼過年、來遼過年”大型系列活動.某景點為迎接八方來客在門口搭建了一個雪人雕像（如圖），其下半部可看成直徑約為2m的球體，則雪人下半部的體積（單位：）約為（

）A． B． C． D．6．平流層是指地球表面以上到的區(qū)域.下列不等式中，能表示平流層高度的是（

）A． B． C． D．7．已知，則的值為（

）A． B． C． D．28．已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則9．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．10．如圖為一個摩天輪示意圖，該摩天輪圓半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60s轉動一周.圖中與地面垂直，從開始逆時針轉動，經過到達.設點與地面的距離為.若與的函數(shù)解析式為，其中，則的值為（

）

A． B． C． D．11．甲、乙兩隊進行排球決賽，采用三局兩勝制.目前的情形是甲隊贏了第一局，甲隊只需再贏一局將獲得冠軍，乙隊需贏兩局才能獲得冠軍.若每局比賽甲隊獲勝的概率均為，則甲隊獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題共64分）二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.要求直接寫出答案，不必寫出計算過程或推證過程.13．已知向量與不共線，而且與共線，則的值為.14．我國古代的統(tǒng)計工作有著悠久的歷史.據(jù)《周禮》記載，周朝設有專門負責調查和記錄數(shù)據(jù)的官員，稱為“司書”，主要工作是負責“邦之六典以周知入出百物”.《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題：今有糧倉開倉收糧，有人送來米2024石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得253粒內夾谷29粒.則估計這批米內所夾的谷有石.15．已知，則16．已知實數(shù)，分別滿足，，且，則的值為.三、解答題：本大題共5小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在物理學中我們已經知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如圖所示，在光滑的水平面上靜止的物體受到力與的作用.(1)求物體受到與的合力的大??；(2)求.18．在中，角，，所對的邊分別為，，.已知，.(1)求的值；(2)求的值.19．某中學為了解某選修課的學習情況，通過抽樣獲得50名學生的期末考試成績，將數(shù)據(jù)制成如下的頻率分布表和頻率分布直方圖.分組人數(shù)55102010頻率0.10.10.20.2(1)求頻率分布表中的值及頻率分布直方圖中的值；(2)假設同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，試估計該中學選修該課程的所有學生成績的平均數(shù).20．陽馬是我國古代數(shù)學對有一側棱垂直于底面且底面是矩形的四棱錐的統(tǒng)稱.如圖所示，陽馬中，平面，，相交于點，且，，，，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.21．已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的值；(2)當時，的最小值為，求函數(shù)的解析式；(3)若對任意實數(shù)均成立，求實數(shù)的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】直接根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則計算即可．【詳解】．故選：B2．A【分析】直接根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】因為集合，，所以.故選：A3．C【分析】結合三角形的性質，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】在三角形中，若，根據(jù)大角對大邊可得邊，若，則根據(jù)大邊對大角可知．所以是的充要條件．故選：C4．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定點計算即可.【詳解】因為，所以的圖象一定過點.故選：D.5．A【分析】根據(jù)球的體積公式計算即可.【詳解】因為直徑約2m，所以球的體積為.故選：A.6．D【分析】利用絕對值不等式的求解方法分別求出各選項，判斷即可.【詳解】對于A：由得，解得，不滿足題意，故A不正確；對于B：由得，解得，不滿足題意，故B不正確；對于C：由得，解得，不滿足題意，故C不正確；對于D：由得，解得，滿足題意，故D正確；故選：D.7．C【分析】利用二倍角的正切公式計算即可求得結論.【詳解】因為，所以．故選：C.8．B【分析】根據(jù)線面平行及線面垂直得出線面，線線位置關系判斷各個選項即可.【詳解】若，，則或相交或異面，A選項錯誤；根據(jù)線面垂直的性質若，則，B選項正確；若，，則或在平面內，C選項錯誤；若，，則或相交，D選項錯誤.故選：B.9．C【分析】令，求得，結合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，即，即，解得，因為，所以函數(shù)在區(qū)間內存在零點.故選：C.10．B【分析】根據(jù)角速度的概念直接求解即可.【詳解】由題意從開始逆時針轉動，60s轉動一周，故點A在圓上轉動的角速度是，所以.故選：B11．C【分析】分兩種情況（甲第二局獲勝或甲第二局負，第三局獲勝）討論得解.【詳解】根據(jù)題意知只需考慮剩下兩局的情況，（1）甲要獲勝，則甲第二局獲勝，此時甲獲得冠軍的概率為；（2）甲要獲勝，則甲第二局負，第三局獲勝，所以甲獲得冠軍的概率為.故甲獲得冠軍的概率為.故選：C12．D【分析】按和兩種情況分別列出不等式，當時，將不等式化為，記，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，結合及即可得解；當時，平方后將不等式化為，然后解二次不等式即可，最后求并集即得.【詳解】當時，由得，，即，記，則，令得，又在上單調遞增，所以當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以的解為；當時，由，得，即，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：D13．##【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解.【詳解】因為與共線，又向量與不共線，所以，解得，故答案為：14．232【分析】利用樣本估計總體進行計算.【詳解】這批米內所夾的谷有，故答案為：23215．【解析】利用對數(shù)的運算律及進行計算即可.【詳解】因為.故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)的運算法則，屬于簡單題.16．【分析】根據(jù)題干所給方程式子特征得，為方程的兩根，由韋達定理求解即可.【詳解】實數(shù)，分別滿足，，故，為方程的兩根，由韋達定理可知，即.故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）利用向量的線性運算求解合力，利用模的坐標運算求解即可；（2）利用向量的坐標運算及數(shù)量積的坐標運算公式計算即可.【詳解】（1）由題圖可知，，則物體受到與的合力為，所以其大小為；（2）因為，，所以.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦邊角關系及已知條件求；（2）直接應用余弦定理求值；【詳解】（1）由及正弦定理得，又，所以．（2）由，及余弦定理可得．19．(1)(2)80【分析】（1）由頻率分布表和頻率分布直方圖性質即可求解；（2）由平均數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】（1）由，可得：，由，可得：.（2）所有學生成績的平均數(shù)為：，所以平均數(shù)為80.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由中位線性質及線面垂直的性質定理得，再根據(jù)長方形性質得，從而由線面垂直的判定可得平面，最后利用即可證明；（2）結合錐體體積公式，借助等體積法求解.【詳解】（1）因為，分別為，的中點，所以，因為平面，所以平面，平面，所以，因為，分別為，的中點，所以，由得，又且平面，所以平面，又，所以平面；（2）因為平面，所以為三棱錐的高，由，，知，，則，所以三棱錐的體積.21．(1)(2)(3)【分析】（1）把代入，結合指數(shù)冪的運算直接求解即得.（2）令，則，將問題轉化為求解最小值問題，根據(jù)和兩種情況分類討論求解即可.（3）利用換元法將恒成立問題轉化為恒