2024年1月遼寧高中學(xué)業(yè)水平合格考數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024年1月遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)（本試卷分I、II兩卷，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘）第I卷（選擇題共36分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．計(jì)算的值是（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)（且）的圖象一定過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．5．“山海有情，天遼地寧”.為推動(dòng)遼寧文旅產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，遼寧電視臺(tái)推出了2024年春節(jié)“回遼過(guò)年、來(lái)遼過(guò)年”大型系列活動(dòng).某景點(diǎn)為迎接八方來(lái)客在門(mén)口搭建了一個(gè)雪人雕像（如圖），其下半部可看成直徑約為2m的球體，則雪人下半部的體積（單位：）約為（

）A． B． C． D．6．平流層是指地球表面以上到的區(qū)域.下列不等式中，能表示平流層高度的是（

）A． B． C． D．7．已知，則的值為（

）A． B． C． D．28．已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則9．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．10．如圖為一個(gè)摩天輪示意圖，該摩天輪圓半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60s轉(zhuǎn)動(dòng)一周.圖中與地面垂直，從開(kāi)始逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)到達(dá).設(shè)點(diǎn)與地面的距離為.若與的函數(shù)解析式為，其中，則的值為（

）

A． B． C． D．11．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，采用三局兩勝制.目前的情形是甲隊(duì)贏了第一局，甲隊(duì)只需再贏一局將獲得冠軍，乙隊(duì)需贏兩局才能獲得冠軍.若每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率均為，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題共64分）二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.要求直接寫(xiě)出答案，不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程或推證過(guò)程.13．已知向量與不共線，而且與共線，則的值為.14．我國(guó)古代的統(tǒng)計(jì)工作有著悠久的歷史.據(jù)《周禮》記載，周朝設(shè)有專門(mén)負(fù)責(zé)調(diào)查和記錄數(shù)據(jù)的官員，稱為“司書(shū)”，主要工作是負(fù)責(zé)“邦之六典以周知入出百物”.《數(shù)書(shū)九章》中有“米谷粒分”問(wèn)題：今有糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米2024石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得253粒內(nèi)夾谷29粒.則估計(jì)這批米內(nèi)所夾的谷有石.15．已知，則16．已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，則的值為.三、解答題：本大題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．在物理學(xué)中我們已經(jīng)知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如圖所示，在光滑的水平面上靜止的物體受到力與的作用.(1)求物體受到與的合力的大?。?2)求.18．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，.(1)求的值；(2)求的值.19．某中學(xué)為了解某選修課的學(xué)習(xí)情況，通過(guò)抽樣獲得50名學(xué)生的期末考試成績(jī)，將數(shù)據(jù)制成如下的頻率分布表和頻率分布直方圖.分組人數(shù)55102010頻率0.10.10.20.2(1)求頻率分布表中的值及頻率分布直方圖中的值；(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)該中學(xué)選修該課程的所有學(xué)生成績(jī)的平均數(shù).20．陽(yáng)馬是我國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)有一側(cè)棱垂直于底面且底面是矩形的四棱錐的統(tǒng)稱.如圖所示，陽(yáng)馬中，平面，，相交于點(diǎn)，且，，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.21．已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為，求函數(shù)的解析式；(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】．故選：B2．A【分析】直接根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：A3．C【分析】結(jié)合三角形的性質(zhì)，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】在三角形中，若，根據(jù)大角對(duì)大邊可得邊，若，則根據(jù)大邊對(duì)大角可知．所以是的充要條件．故選：C4．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以的圖象一定過(guò)點(diǎn).故選：D.5．A【分析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹睆郊s2m，所以球的體積為.故選：A.6．D【分析】利用絕對(duì)值不等式的求解方法分別求出各選項(xiàng)，判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由得，解得，不滿足題意，故A不正確；對(duì)于B：由得，解得，不滿足題意，故B不正確；對(duì)于C：由得，解得，不滿足題意，故C不正確；對(duì)于D：由得，解得，滿足題意，故D正確；故選：D.7．C【分析】利用二倍角的正切公式計(jì)算即可求得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：C.8．B【分析】根據(jù)線面平行及線面垂直得出線面，線線位置關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】若，，則或相交或異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)若，則，B選項(xiàng)正確；若，，則或在平面內(nèi)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，則或相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.9．C【分析】令，求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，即，即，解得，因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).故選：C.10．B【分析】根據(jù)角速度的概念直接求解即可.【詳解】由題意從開(kāi)始逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，60s轉(zhuǎn)動(dòng)一周，故點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是，所以.故選：B11．C【分析】分兩種情況（甲第二局獲勝或甲第二局負(fù)，第三局獲勝）討論得解.【詳解】根據(jù)題意知只需考慮剩下兩局的情況，（1）甲要獲勝，則甲第二局獲勝，此時(shí)甲獲得冠軍的概率為；（2）甲要獲勝，則甲第二局負(fù)，第三局獲勝，所以甲獲得冠軍的概率為.故甲獲得冠軍的概率為.故選：C12．D【分析】按和兩種情況分別列出不等式，當(dāng)時(shí)，將不等式化為，記，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合及即可得解；當(dāng)時(shí)，平方后將不等式化為，然后解二次不等式即可，最后求并集即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，，即，記，則，令得，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以的解為；當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：D13．##【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解.【詳解】因?yàn)榕c共線，又向量與不共線，所以，解得，故答案為：14．232【分析】利用樣本估計(jì)總體進(jìn)行計(jì)算.【詳解】這批米內(nèi)所夾的谷有，故答案為：23215．【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算律及進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于簡(jiǎn)單題.16．【分析】根據(jù)題干所給方程式子特征得，為方程的兩根，由韋達(dá)定理求解即可.【詳解】實(shí)數(shù)，分別滿足，，故，為方程的兩根，由韋達(dá)定理可知，即.故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算求解合力，利用模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題圖可知，，則物體受到與的合力為，所以其大小為；（2）因?yàn)?，，所?18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦邊角關(guān)系及已知條件求；（2）直接應(yīng)用余弦定理求值；【詳解】（1）由及正弦定理得，又，所以．（2）由，及余弦定理可得．19．(1)(2)80【分析】（1）由頻率分布表和頻率分布直方圖性質(zhì)即可求解；（2）由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由，可得：，由，可得：.（2）所有學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為：，所以平均數(shù)為80.20．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由中位線性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)定理得，再根據(jù)長(zhǎng)方形性質(zhì)得，從而由線面垂直的判定可得平面，最后利用即可證明；（2）結(jié)合錐體體積公式，借助等體積法求解.【詳解】（1）因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，平面，所以，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，由得，又且平面，所以平面，又，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，所以為三棱錐的高，由，，知，，則，所以三棱錐的體積.21．(1)(2)(3)【分析】（1）把代入，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算直接求解即得.（2）令，則，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解最小值問(wèn)題，根據(jù)和兩種情況分類(lèi)討論求解即可.（3）利用換元法將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒